DVGLn 2012-2013 - les10_handout

DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN

Stefaan Poedts

De Laplace-transformatie

Def.: DeLaplace-getransformeerdeL [f ]van een functie f is gedefini-eerd door

L [f ] (s) = Z ∞

0

e−st f (t)dt.

⇒ dekern van de Laplace-transformatie is dus de functie e−st

Gebruik integraaltransformaties bij oplossen Dvgln

Schematische voorstelling van het gebruik van integraaltransformaties voor het oplossing van differentiaalvergelijkingen.

STAP 1 : voldoende voorwaarde

Stelling 7.1 :

Zij_{f : R}+ _{→ R}een functie die stuksgewijs continu is op elk eindig interval [0, b], en stel dat

|f (t)| ≤ Meγt (17)

voor allet ≥ 0, voor een zekereM ∈ R+enγ ∈ R. Dan bestaatL [f ] (s) voor alles > γ.

⇒ we zullen ons bijna uitsluitend beperken tot functies die aan deze twee voorwaarden voldoen:

1)stuksgewijs continu

STAP 1 (vervolg)

STAP 1 (vervolg)

⇒ pas deze formules toe om een inhomogene lineaire Dvgl van de 2de orde op te lossen met gegeven BVWn

STAP 3 : Inverse transformatie

Stelling 7.2 :

[Uniciteit van de inverse Laplace-getransformeerde]

Stel datf , g : R+ → Rfuncties zijn die continu zijn op een open interval (a, b). AlsL [f ] = L [g ], dan isf = g op(a, b).

• m.a.w.: als L [f ] = L [g ], dan is f = g , behalve in de sprongpunten

• we noteren:

L [f ] = F ⇔ f = L−1[F ] ondanks het feit dat L−1[F ] niet uniek bepaald is

Voorbeeld

Voorbeeld

• vereenvoudiging en splitsing in partieelbreuken geeft dan

L [y ] = Y = 1 s − 1+ 1 s2_{− 1}− 1 s2 = Lnet o +L {sinh t} − L {t}

• lineariteit en uniciteit geeft dan

y = et + sinh t − t

⇒ voordeel: gevonden oplossing voldoet meteen aan de BVWn (zonder eerst de algemene oplossing te moeten zoeken dus!)

Hoofdstuk 7 : Lineaire integraaltransformaties

• Inleiding en motivatie • De Laplace-transformatie

- Definities en basiseigenschappen

• Oplossen van lineaire Dvgln m.b.v. Laplace-transformaties • Verdere eigenschappen

• Convolutie

• De Dirac-delta-functie

Convolutie

• soms is het mogelijk een Laplace-getransformeerde te identificeren als hetproduct van twee andere Laplace-transformatiesdie overeenkomen met bekende functies

⇒ men zou kunnen denken dat de eerste Laplace-getransformeerde

overeenkomt met de transformatie van het product van deze twee functies. Dit is echter niet het geval!

M.a.w. de Laplace-getransformeerde commuteert niet met de gewone vermenigvuldiging

• dit verandert mits een geschikt “veralgemeend product” wordt ingevoerd, zoals zal blijken uit Stelling 7.7

Convolutieproduct

Def.: Hetconvolutieproduct _{f ∗ g van twee functies f , g : R}+ _{→ R is} gedefinieerd door

(f ∗ g )(t) = Z t

0

f (t− x)g (x)dx.

Het convolutieproduct van twee functies is dus een nieuwe functie (van dezelfde veranderlijket).

Convolutieproduct : eigenschappen

Stelling 7.6 :

Voor alle functiesf , g , hen getallen_{b, c ∈ R}geldt 1 f ∗ g = g ∗ f , 2 f ∗ (bg + ch) = b(f ∗ g ) + c(f ∗ h). Bewijs: • per definitie is (g ∗ f )(t) = Z t 0 g (t − x)f (x )dx ⇒ na substitutie y = t − x geeft dit (dy =−dx )

(g ∗ f )(t) =− Z 0 t g (y)f (t − y)dy = Z t 0 g (y)f (t − y)dy = (f ∗ g )(t) • 2de bewering volgt uit definitie en lineariteit integraal 

Convolutieproduct : eigenschappen

• ze is ook associatiefen heeft eenopslorpend element, nl. de nulfunctie, i.e. f ∗ 0 = 0 ∗ f = 0 (bewijs deze eigenschappen!) • OPM: het is duidelijk dat (f ∗ 1)(t) 6= f (t)

• NUT: voor toepassingen waarin gedrag van het systeem op tijdstip t niet alleen afhangt van de toestand van het systeem op ogenbliktmaar ook van de voorgeschiedenis

• de Laplace-transformatie zet een convolutieproduct om in een gewoon product = deConvolutiestelling

Convolutiestelling

• d.i. is een dubbele integraal over het gebied in het (t, x )-vlak, tussen de positieve t-as en de eerste bissectrice x = t: 0 ≤ t < ∞, 0 ≤ x ≤ t

Convolutiestelling : vervolg bewijs

Domein van de dubbele integraal.

Convolutiestelling : vervolg bewijs

• volgorde van integreren omkeren: 0 ≤ x < ∞, x ≤ t ≤ ∞, en dus is

L [f ∗ g ] (s) = Z ∞ 0 Z ∞ x e−st f (t − x )g (x ) dt dx = Z ∞ 0 g (x ) Z ∞ x e−st f (t − x )dt  dx • bereken eerst de integraal binnen de haken (stel t − x = u):

Z ∞ x e−st f (t − x )dt = Z ∞ 0 e−s(u + x )f (u)du = e−sx Z ∞ 0 e−suf (u)du = e−sxL [f ] (s)

Convolutiestelling : vervolg bewijs

L [f ∗ g ] (s) = Z ∞ 0 g (x )e−sx L [f ] (s)dx = L [f ] (s) Z ∞ 0 g (x )e−sx dx = L [f ] (s)L [g ] (s) 

Convolutiestelling : gevolg

• de convolutiestelling wordt dikwijls op de volgende manier gebruikt:

Convolutiestelling : voorbeeld van gebruik

met behulp van de convolutiestelling ⇒ we zoeken m.a.w. een functie y zodat

L [y ] = 1 s2_{(s − 1)} = 1 s2 1 s − 1 = L {t}Lnet o = Lnt ∗ eto

Convolutiestelling : voorbeeld van gebruik

Impulsen

• sommige fenomenen zijn moeilijk te beschrijven met klassieke functies • wanneer bv. een grote kracht gedurende een korte tijd uitgeoefendwordt,

zoals bij

- een blikseminslag

- de krachtstoot van een raketmotor - een ontploffing. . .

⇒ meestal moeilijk rechtstreeks te meten - hoe groot die kracht juist is geweest - hoe lang ze gewerkt heeft

Impulsen

⇒ in de mechanica wordt de ‘impuls’ van een kracht f (t) die uitgeoefend werd in een tijdsinterval [a, b] gedefinieerd doorRb

a f (t)dt

• dit idee ligt achter de wiskundige definitie van de Dirac-delta-functie

• als men de Dirac-delta-functie heel exact wil invoeren, moet dit gebeuren in het kader van de functionalen

De Dirac-delta-functie : intro

• we kiezen hier een meer intu¨ıtieve manier (die gemakkelijk exact gemaakt zou kunnen worden)

• beschouw voor willekeurige a ∈ R en k ∈ N functies (fa)k:

(fa)k : R → R :                x 7→ 0, als x < a x 7→ k, als a ≤ x ≤ a + 1 k x 7→ 0, als x > a + 1 k (∗)

De Dirac-delta-functie : intro

De Dirac-delta-functie : intro

• fysisch stelt (fa)k een functie voor die nul is buiten een interval van

lengte 1_k

• als (fa)k eenkrachtvoorstelt, zal voor k voldoende groot, (fa)k een

kracht zijn die groot is op een klein interval en nul erbuiten

• wel zal het uiteindelijke effect gekend zijn: het is inderdaad duidelijk dat

Z +∞

−∞

(fa)k(t)dt = k

1 k = 1 • we noteren de functies voor a = 0 door fk = (f0)k

De Dirac-delta-functie : intro

• als we nu k steeds groter laten worden, dan zal (fa)k steeds groter

worden op een steeds kleiner wordend interval [a, a + _k1]

De Dirac-delta-functie : intro

• als we nu k steeds groter laten worden, dan zal (fa)k steeds groter

worden op een steeds kleiner wordend interval [a, a + _k1]

• in de limiet k → ∞ zal (fa)k(t) = 0 zijn, behalve voor t = a, waar

(fa)k(a) = ∞ is

⇒ lim

k→∞(fa)k is geen echte functieen wordt daarom meestal geen functie,

maar een distributiegenoemd, meer bepaald deDirac-delta-distributie

De Dirac-delta-functie : intro

• _{voor de eenvoud veronderstellen we vanaf nu dat a ∈ R}+

• het is dan duidelijk dat Z +∞

0

(fa)k(t)dt = k

1 k = 1 ⇒ we kunnenintu¨ıtief de Dirac-delta-functie δa defini¨eren als

δa(t) = lim

k→∞(fa)k(t)

• ook hier zullen we δ = δ0 noteren, en δ(t − a) = δa(t)

⇒ δa(t) wordt ∞ in a, maar Z ∞ 0 δa(t)dt = lim k→∞ Z ∞ 0 (fa)k(t)dt = 1

De Dirac-delta-functie : definitie

• dit inspireert ons tot de volgende (nog steeds intu¨ıtieve) definitie

Def.: _{Voor alle a ∈ R}+ defini¨eren we de Dirac-delta-functie δa(t) = δ(t − a)als die “functie” waarvoor geldt dat

Z ∞ 0 δ(t − a)f (t)dt = lim k→∞ Z ∞ 0 fk(t − a)f (t)dt

voor alle functies f , waarbij (fa)k(t) = fk(t − a) gedefinieerd is

De Dirac-delta-functie : opmerking

• maar als we de bovenstaande definitie op de volgende manier interpreteren, zitten we heel dicht bij een “goede” definitie van de Dirac-delta-functie:

• beschouw Z ∞

0

δ(t − a)f (t)dt louter formeel alshet re ¨ele getal, gegeven door lim

k→∞ Z ∞

0

fk(t − a)f (t)dt

⇒ m.a.w. δ(t − a) heeft enkel zin als ze in een integraal voorkomt, en de manier hoe we moeten “integreren” is dan gegeven door bovenstaande definitie

De Dirac-delta-functie : Stelling

• de volgende stelling zegt wat het resultaat zal zijn als we een dergelijke integraal zullen uitrekenen (in de meeste wiskunde-boeken zal dit de definitie van de Dirac-delta-distributie zijn)

Stelling 7.8 :

Alsf continu is in het interval[a, a + ], > 0, dan zal Z ∞

0

Bewijs

• uit de definitie weten we Z ∞ 0 δ(t − a)f (t)dt = lim k→∞ Z ∞ 0 fk(t − a)f (t)dt = lim k→∞ Z a+1_k a kf (t)dt = lim k→∞k Z a+1 k a f (t)dt

• neem nu k groot genoeg, zodat _k1 < , dan is f continu op [a, a +1_k]

⇒ uit de middelwaardestellingvolgt dan dat ∃tk ∈ [a, a +_k1]

Z a+1_k a f (t)dt= (a + 1 k − a)f (tk) = 1 kf (tk)

Bewijs

• we vinden dan dat Z ∞ 0 δ(t − a)f (t)dt = lim k→∞k 1 kf (tk)= limk→∞f (tk) = f (a) 

• GEVOLG_{: voor alle a ∈ R}+ geldt dat

L {δ(t − a)} = Z ∞

0

δ(t − a)e−st dt = e−sa ⇒ meer bepaald geldt dus dat

Voorbeeld

• stel dat we op tijdstip t = 1 een stilliggende biljartbal wegstoten ⇒ we oefenen een heel grote kracht uit op de bal gedurende een hele korte

tijd na tijdstip 1

• veronderstel nu dat deze kracht gegeven wordt door een veelvoud van de Dirac-delta-functie ⇒ beweging bal wordt beschreven door de vergelijking

y00(t) = cδ(t − 1) met als beginvoorwaarden y (0) = 0 en y0(0) = 0

• oplossen met een Laplace-transformatie,want zonder het gebruik van een integraal kunnen we in feite geen zin geven aanδ(t)

Voorbeeld

⇒ komt fysisch overeen met wat we verwachten: voor t < 1 is y (t) = 0 en voor t ≥ 1 is y (t) = c(t − 1); tot aan tijdstip 1 blijft de bal stilliggen, en vanaf tijdstip 1 beweegt de bal met constante snelheid c

De Fourier-transformatie

• de Fourier-transformatie is een lineaire integraaltransformatie met als kern de complexe functie √1

2πe−ist: F [f ](s) = √1 2π Z +∞ −∞ e−istf (t)dt

• OPM: interessante verschillen met de Laplace-getransformeerde : - integratiegebied isheel R

- kern is eencomplexe functie

⇒ Fourier-getransformeerde van re¨ele functie = complexe functie! - de kern √1

De Fourier-transformatie

⇒ strengere eisen opf nodigvoor bestaan F [f ] : bv. f stuksgewijs continu op elk eindig interval en

Z +∞

−∞

|f (t)|dt < ∞ • er gelden analoge stellingen voor de Fourier-transformatie als voor de

Laplace-transformatie, vb. onder bepaalde voorwaarden op f , geldt dat F [f0](s) = (is)F [f ](s)

F [f00](s) = −s2F [f ](s)

• belangrijk voordeel van de Fourier-transformatie: de inverse

De integraalstelling van Fourier

Stelling 7.9 :

Alsf stuksgewijs continu is op elk eindig interval en alsR_−∞+∞|f (t)|dt < ∞, dan bestaat de Fourier-getransformeerdeF (s) = F [f ](s)en geldt dat

f (t) = √1 2π

Z +∞

−∞

eist F (s)ds.

⇒ verklaart waarom de (normalisatie-)factor √1

2π in de definitie van de Fourier-getransformeerde voorkomt (nl. voor de symmetrie)

• NB: natuurkundigen en technici verkiezen vaak 1 en 1/2π voor respectievelijk de voorwaartse en inverse transformatie

De Fourier-transformatie : opmerking

• als F wordt toegepast op een functie f van t, ontbindt ze f in het continue spectrum van de frequenties waaruit die functie is opgebouwd ⇒ de Fourier-getransformeerde van een signaal f (t) kan worden gezien als

dat signaal in het “frequentiedomein” (cf. voorbeeld seffens) • OPM: Fourier-variabele s wordt vaak vervangen door ω als de

Fouriertransformatie wordt toegepast op functies van t

• soms wordt s vervangen door 2πν, zodat de integratie bij de inverse transformatie plaatsvindt over de frequentie ν (in plaats van over de circulaire frequentie ω = 2πν (cf. Sect. 3.3))

De Fourier-transformatie : voorbeeld

De Fourier-transformatie : voorbeeld

• lineaire transformatie ⇒ multi-periodieke functie dus transformeren in een som van delta-functies

⇒ aanwezige frequenties in signaal duidelijk zichtbaar

⇒ gewichten aanwezige frequenties = co¨effici¨enten in die som

• OPM:de Fourier-transformatie is een veralgemening van de complexe Fourier-reeks in de limietL → ∞(cf. Hfdst 9)

De Fourier-transformatie : voorbeeld

PAUZE

The essence of mathematics is not to make simple things complicated, but to make complicated things simple.

Inleiding en motivatie

• klassieke analyse(cf. ‘Calculus & Analyse’ en ‘Lineaire algebra’) = studie van functies die gedefinieerd zijn op (open delen van)R,C,Rn,. . . • in depraktijk (bv. metingen) : functies die je enkel kent in een eindig

aantal punten

=rijen getallen x0, x1, x2, x3, . . . in bv. meetpunten t0, t1, t2, t3, . . .

⇒ wiskundige rijen: oneindige rijen(xn)∞n=0

⇒ wiskundige theorie wordt“eindige analyse”of “differentie-analyse” genoemd

Hoofdstuk 8: Differentievergelijkingen en numerieke

methoden

• Differentie-analyse

• Differentievergelijkingen

• Lineaire homogene vergelijkingen met constante co¨effici¨enten

• Numerieke methoden

- De eindige-differentie-methode

- De voorwaartse en achterwaartse Euler differentie-schema’s - Fouten, convergentie en consistentie

- Verbeteringen aan de Euler methode - De Runge-Kutta methode

Definities

• definieer de optellingen vermenigvuldiging met getallendoor:

a(xn)∞n=0+ b(yn)∞n=0= (axn+ byn)∞n=0

⇒ R iseen vectorruimte (toon zelf aan!)

Opm.: je kan overal in dit hoofdstuk_Rvervangen doorC

De shift-operator

Def.: De shift-operator E (ook wel eens schuif-operator genoemd), wordt gedefinieerd door

E : R → R : x = (xn)∞n=0 7→ Ex waarbij (Ex )n= xn+1.

⇒ associeert aan elke rij een nieuwe rij door alle getallen een plaats naar voor te schuiven enx0 weg te laten

Voorbeeld:

• beschouw de rij x = (0, 1, 2, 3, 4, . . . ) ⇒ xn= n

De differentie-operator

Def.: De differentie-operator ∆ (of verschil-operator) is gedefinieerd door ∆ : R → R : x = (xn)∞n=07→ ∆x waarbij (∆x )n= xn+1− xn. Opm.: (∆x )n=xn+1− xn=(Ex )n− xn= (Ex − x )n zodat ∆x = Ex − x en ∆ = E − 1

De differentie-operator : voorbeeld

• beschouw opnieuw de rij x = (0, 1, 2, 3, 4, . . . )

⇒ (∆x)_n= xn+1− xn= n + 1 − n = 1

De differentie-operator : notatie-vereenvoudiging

- de rij x = (xn)∞n=0 noteren we door xn

- de schuif-operator wordt dan (Ex )n= xn+1

- en de verschil-operator wordt dan ∆xn= xn+1− xn

Voorbeeld: voor de rij xn= n wordt dit (Ex )n= n + 1 en ∆n = 1

• verder is ∆2n = ∆∆n= ∆1= 1 − 1 = 0 is verkorte schrijfwijze voor

De differentie-operator : opmerking

• de verschil-operator ∆ geeft aan hoe groot het verschil is tussen twee opeenvolgende waarden en is dan ook een analoog begrip voor de afgeleide van een functie!

Differentie-analyse • rijen: f : N → R • differentie: (∆x )n= xn+1− xn Klassieke analyse • functies: f : I ⊂ R → R • afgeleide: f0(x ) = lim h→0 f (x + h) − f (x ) h

De differentie-operator : opgave

De differentie-operator : opgave

Stel een formule op om de differenties∆2xnte berekenen in functie vanxn

∆2xn= ∆(∆xn) = ∆(xn+1− xn) = ∆xn+1− ∆xn = (xn+2− xn+1) − (xn+1− xn) = xn+2− 2xn+1+ xn • en zo ook: ∆3xn= ∆(∆2xn) = xn+3− 3xn+2+ 3xn+1− xn ∆4xn= ∆(∆3xn) = xn+4− 4xn+3+ 6xn+2− 4xn+1+ xn

Enkele lemma’s

We bewijzen nu eerst enkele lemma’s. . . Hulpstelling 8.1 :

Alsr ∈ R(ofC) enxn= rn, dan is(Ex )n = rxn. Met andere woorden, als

x = (rn)∞_n=0, dan isEx = rx.

Bewijs:

(Ex )n= xn+1= rn+1= rrn= rxn. 

Enkele lemma’s

Hulpstelling 8.2 :

Als_{r ∈ R}(ofC),z ∈ Renxn= znrn, dan is

((E − r )x )n= (∆zn)rn+1 Bewijs: ((E − r )x )n = (Ex )n− rxn = xn+1− rxn = zn+1rn+1− rznrn = (zn+1− zn)rn+1 = (∆zn)rn+1 

Enkele lemma’s

Hulpstelling 8.3 :

Als_{r ∈ R}(ofC),z ∈ Renxn= znrn, dan is voor elkek ∈ N0

((E − r )kx )n= (∆kzn)rn+k.

Bewijs (door volledige inductie!):

• Basis: voor k = 1 is het bewijs gegeven door Lemma 8.2 • Stap: stel lemma gegeven voor k; we bewijzen het voor k + 1:

((E − r )k+1x )n = (E − r )  ((E − r )kx )n  geg = (E − r )(∆kzn)rn+k  Hst 8.2 = (∆∆kzn)rn+1+k = (∆k+1zn)rn+k+1 

Enkele lemma’s

Hulpstelling 8.4 :

Alsxn= n`voor een` ∈ N, dan geldt

∆xn=`n`−1+ b1n`−2+ · · · + b`−2n + b`−1 voor zekereb1, . . . , b`−1. Bewijs: ∆xn= xn+1− xn = (n + 1)`− n` ∗ = n`+ `n`−1+ · · · + 1 −n` = `n`−1+ · · · + 1

∗binomium van Newton (cf. C&A (1BSc) met x = n, y = 1 en n = `): (n + 1)`= ` X k=0 ` k ! nk met ` k ! = `! k!(` − k)! 

Gevolgen

• stel ` = 1 ⇒ ∆n = 1, stel ` = 0 ⇒ ∆1 = 0 • meer algemeen vinden we het volgende:

Gevolg 8.1 :

Alsxn= n`voor een` ∈ N, dan geldt voork ∈ N

∆kxn= ∆kn` = 0 als k > `.

Bewijs: Zij k > `, dan is

∆kxn= ∆k−1(∆xn) = ∆k−1(`n`−1+ b1n`−2+ · · · + b`−2n + b`−1)

= ∆k−2(`(` − 1)n`−2+ · · · ) = . . .

= ∆k−`(`!) = 0

Gevolgen

• door Gevolg 8.1

∆kn`= 0 als k > ` en Lemma 8.3

(E − r )k(znrn)= (∆kzn)rn+k

te combineren vinden we onmiddellijk het volgende: Gevolg 8.2 :

Voor allek > ` ∈ Nenr ∈ Rgeldt

Differentievergelijkingen

• analoge begrip van een Dvgl (in de klassieke analyse) is een differentievergelijking in de differentie-analyse

• een differentievergelijking van ordek is een vergelijking waaraan alle k + 1 opeenvolgende elementen van een rij (xn) moet voldoen, m.a.w.

een vergelijking van de vorm

φ(n, xn, xn+1, . . . , xn+k) = 0 (∗)

waarbij φ een functie van k + 2 veranderlijken is • ‘oplossen’ = zoeken naar rijen (xn) die voldoen aan (∗)

Differentievergelijkingen

φ(n, xn, xn+1, . . . , xn+k) = 0 (∗)

⇒ ook hier : alle oplossingen zoeken (algemene oplossing), of ´e´en oplossing zoeken die eventueel aan bijkomende (begin)voorwaardenvoldoet

Differentievergelijkingen : voorbeeld

xn+1= 2xn

• als we x0 kennen kunnen we hieruit x1= 2x0 berekenen

• daarmee kunnen we x2 = 2x1= 4x0 berekenen, enz.

⇒ in het algemeen zal dan

xn= 2xn−1 = · · · = 2nx0

• dit is de algemene oplossing

Differentievergelijkingen : oplossingsmethode

xn+k = F (n, xn, xn+1, . . . , xn+k−1) (∗∗)

kan geschreven worden (= de normale vorm)

⇒ stel x0, . . . , xk−1 gegeven ⇒ stel n = 0 in vgl (∗∗) :

xk = F (0,x0, x1, . . . , xk−1)

• stel vervolgens n = 1 in vgl (∗∗) :

xk+1 = F (1, x1, x2, . . . , xk)

⇒ zo vinden we stap voor stap de elementen xn uit de rij

• of we een mooi “functie-voorschrift” voor xn kunnen vinden, zoals in het

Differentievergelijkingen vs differentiaalvergelijkingen

Differentie-analyse

• Diffvgl orde 1: enkel n, xn, xn+1

• differentievgl: xn+1− xn= 1 xn+1 = 1 + xn= 1 + (1 + xn−1) = . . . = 1 + 1 + . . . + x0 = (n + 1) + C ⇒ xn= n + C (met hier C = 0) Klassieke analyse • Dvgl orde 1: enkel x , y , y0 • Dvgl: y0 = 1 ⇒ y = x + C (met hier C = 0)

Differentievergelijkingen : opmerking

• de theorie van de differentievergelijkingen vertoont grote gelijkenissen met de theorie van de Dvgln

⇒ daarnet al een soort bestaans- en ´e ´enduidigheidsstellingaangetoond (k begin-VWnx0, . . . , xk−1nodig voor een unieke oplossing een

differentie-vergelijking van ordek)

Lineaire homogene vgln met constante co¨

effici¨

enten

co ¨effici ¨enten is een vergelijking van de vorm

xn+k+ c1xn+k−1+ · · · + ckxn= 0 (∗)

waarbij c1, . . . , ck ∈ R (of C) constanten zijn

• met de shift-operator E kan deze vgl anders geschreven worden ((Ex )n= xn+1, E2xn= Exn+1= xn+2 en, algemeen, Emxn= xn+m)

(Ekx )n+ c1(Ek−1x )n+ · · · + ck−1(Ex )n+ ckxn= 0

Karakteristieke veelterm

• voeren we net als voor lineaire Dvgln met constante co¨effici¨enten de karakteristieke veeltermP in door

P(X ) = Xk + c1Xk−1+ · · · + ck−1X + ck

dan kunnen we vgl (∗) kort opschrijven als P(E )xn= 0

• _{stelling van d’Alembert (voor P : C → C):}

P(X ) = (X − r1)k1· · · (X − rt)kt

waarbij rj wortel is van P met multipliciteitkj

Oplossingen

• OPM: als (E − rj)kjxn= 0 voor een j , dan is P(E )xn= 0

• bekijk dus eerst een vergelijking van de vorm

(E − r )kxn= 0 (∗∗)

• met Lemma 8.3 en Gevolg 8.2 vinden we dat voor alle 0 ≤ ` ≤ k − 1

(E − r )k(n`rn) = (∆kn`)rn+k = 0

⇒ we vinden dus de volgende oplossingen voor vgl (∗∗):

rn, nrn, n2rn, . . . , nk−1rn

Oplossingen

• deze procedure herhalen voor elke wortel rj van P

⇒ vindalle oplossingen van de vergelijking P(E )xn= 0

• een willekeurigelineaire combinatie van deze oplossingen is

xn = (a11nk1−1+ a12nk1−2+ · · · + a1k1)r1n

+ · · · + (at1nkt−1+ at2nkt−2+ · · · + atkt)rtn

Voorbeeld: Getallen van Fibonacci (1202)

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . . . is dat elk getal de som is van de twee vorige getallen ⇒ deze rij wordt dus beschreven door de Diffvgl van 2de orde:

xn+2 = xn+1+ xn

met als beginvoorwaarden x0 = 1 en x1= 1

⇒ de differentievergelijking die we moeten oplossen is dus

Voorbeeld: Getallen van Fibonacci (1202)

• de wortels van de karakteristieke veeltermX2− X − 1 zijn

r1,2 =

1 ±√5 2

⇒ de (algemene) oplossing van de vergelijking is dan

xn= a1 1 +√5 2 !n + a2 1 −√5 2 !n

• de getallen a1 en a2 vinden door

( 1 = x0= a1+ a2 1 = x1= a1(1+ √ 5 2 ) + a2( 1−√5 2 ) = a1+a2 2 + √ 5 2 (a1− a2) op te lossen

Voorbeeld: Getallen van Fibonacci (1202)

• dit stelsel is te herleiden tot ( 1 = a1+ a2 1 √ 5 = a1− a2 • de oplossingen zijn ( a1 = 1+ √ 5 2√5 a2 = √ 5−1 2√5 zodat xn = 1 +√5 2√5 ( 1 +√5 2 ) n₊ √ 5 − 1 2√5 ( 1 −√5 2 ) n = 1 2n+1√₅((1 + √ 5)n+1− (1 −√5)n+1)

Voorbeeld: Getallen van Fibonacci (1202)

• OPM: Fibonacci, ofte Leonardo van Pisa, ontdekte deze rij getallen in 1202toen hij onderzocht hoe snel konijnen konden kweken in ideale omstandigheden!

Voorbeeld: Getallen van Fibonacci (1202)

• OPM: Fibonacci, ofte Leonardo van Pisa, ontdekte deze rij getallen in 1202toen hij onderzocht hoe snel konijnen konden kweken in ideale omstandigheden!

Stel dat je vertrekt van een pasgeboren koppel konijnen. Ze kunnen paren als ze 1 maand oud zijn en de dracht duurt 1 maand. Op het eind van de eerste maand paren ze en op het eind van de tweede maand produceert het wijfje een ander kop-pel. Als ze niet sterven en altijd precies 1 nieuw koppel produceren vanaf de tweede maand. Hoeveel paren zijn er dan na 1 jaar?

Opmerking

• _{als r ∈ C \ R en als we r in polaire vorm schrijven: r = ρeiθ, dan is}

rn= ρneinθ = ρn(cosnθ + i sinnθ)

⇒ als dan in de oorspronkelijke vergelijking

xn+k+ c1xn+k−1+ · · · + ckxn= 0 (∗∗)

alle co¨effici¨enten re ¨eelzijn, en we een re ¨ele oplossingxn willen, dan kunnen we, als rj = ρjei θj en dus ook rj = ρje−i θj complexe wortels

zijn van P, in de algemene oplossing de termenr_jnenrn_j vervangen door

Voorbeeld

• we lossen de volgende vergelijking op drie manieren op

xn+2+ xn= 0

• we kunnen deze vergelijking schrijven als

E2xn+ xn= (E + i )(E − i )xn= 0

Voorbeeld

• complexe vorm van de oplossing is dus

xn= a1in+ a2(−i )n

• als n even is, stel n = 2m, dan is

x2m = a1i2m+ a2(−i )2m = a1(−1)m+ a2(−1)m = (a1+ a2)(−1)m

⇒ het is dan duidelijk dat x0= a1+ a2, zodat

x2m = x0(−1)m

• analoog is

Voorbeeld

• in re¨ele vorm wordt de oplossing gegeven door

xn= b1cos

nπ

2 + b2sin nπ

2 • als n even is, stel n = 2m, dan is

x2m = b1cos(mπ) + b2sin(mπ) = b1(−1)m

⇒ het is dan duidelijk dat x0= b1, zodat

x2m = x0(−1)m

• analoog is dan opnieuw

Voorbeeld

• de vergelijking is ook op te lossen zonder gebruik te maken van de theorie:

• uit de vergelijking vinden we dat x2 = −x0, x4 = −x2= x0 of in het

algemeen dat

x2m = −x2m−2= x2m−4= · · · = (−1)mx0

en analoog dat

Opmerking

• heel wat technieken uit de theorie van de gewone Dvgln kunnen“vertaald” worden naar de theorie van de differentievergelijkingen

• enkele concrete voorbeelden zullen in de oefen-zittingen worden behandeld