• No results found

DVGLn 2012-2013 - les10_handout

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "DVGLn 2012-2013 - les10_handout"

Copied!
81
0
0

Bezig met laden.... (Bekijk nu de volledige tekst)

Hele tekst

(1)

DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN

Stefaan Poedts

(2)

De Laplace-transformatie

Def.: DeLaplace-getransformeerdeL [f ]van een functie f is gedefini-eerd door

L [f ] (s) = Z ∞

0

e−st f (t)dt.

⇒ dekern van de Laplace-transformatie is dus de functie e−st

(3)

Gebruik integraaltransformaties bij oplossen Dvgln

Dvgl in f (t) STAP 1 -integraaltransformaties algebra¨ısche vgl in F (s) ? STAP 2 bepaal F (s) inverse transformaties  STAP 3 oplossing f (t) 6 ?

Schematische voorstelling van het gebruik van integraaltransformaties voor het oplossing van differentiaalvergelijkingen.

(4)

STAP 1 : voldoende voorwaarde

Stelling 7.1 :

Zijf : R+ → Reen functie die stuksgewijs continu is op elk eindig interval [0, b], en stel dat

|f (t)| ≤ Meγt (17)

voor allet ≥ 0, voor een zekereM ∈ R+enγ ∈ R. Dan bestaatL [f ] (s) voor alles > γ.

⇒ we zullen ons bijna uitsluitend beperken tot functies die aan deze twee voorwaarden voldoen:

1)stuksgewijs continu

(5)

STAP 1 (vervolg)

f (t) F (s) = L {f (t)} (s) 1 1s t 1 s2 tn(n ∈ N) n! sn+1 tα(α > −1) Γ(α + 1) sα+1 eat s − a1

(6)

STAP 1 (vervolg)

• Stelling 7.3 met n = 1 en n = 2: Lf0 = sL [f ] − f (0) Lf00 = s2L [f ] − sf (0) − f0(0)

pas deze formules toe om een inhomogene lineaire Dvgl van de 2de orde op te lossen met gegeven BVWn

(7)

STAP 3 : Inverse transformatie

Stelling 7.2 :

[Uniciteit van de inverse Laplace-getransformeerde]

Stel datf , g : R+ → Rfuncties zijn die continu zijn op een open interval (a, b). AlsL [f ] = L [g ], dan isf = g op(a, b).

• m.a.w.: als L [f ] = L [g ], dan is f = g , behalve in de sprongpunten

• we noteren:

L [f ] = F ⇔ f = L−1[F ] ondanks het feit dat L−1[F ] niet uniek bepaald is

(8)

Voorbeeld

• we lossen y00(t) − y (t) = t op met BVWn y (0) = 1 en y0(0) = 1 • we noteren Y = L [y ] : Ly00 − L [y ] =L {t} = 1 s2 s2Y − sy (0) − y0(0)− Y = 1 s2 s2Y − s − 1 − Y = 1 s2 (s2− 1)Y = s + 1 + 1 s2 Y = s + 1 s2− 1+ 1 s2(s2− 1) = 1 s − 1 + 1 s2(s2− 1)

(9)

Voorbeeld

• vereenvoudiging en splitsing in partieelbreuken geeft dan

L [y ] = Y = 1 s − 1+ 1 s2− 1− 1 s2 = Lnet o +L {sinh t} − L {t}

• lineariteit en uniciteit geeft dan

y = et + sinh t − t

voordeel: gevonden oplossing voldoet meteen aan de BVWn (zonder eerst de algemene oplossing te moeten zoeken dus!)

(10)

Hoofdstuk 7 : Lineaire integraaltransformaties

• Inleiding en motivatie • De Laplace-transformatie

- Definities en basiseigenschappen

• Oplossen van lineaire Dvgln m.b.v. Laplace-transformaties • Verdere eigenschappen

• Convolutie

• De Dirac-delta-functie

(11)

Convolutie

• soms is het mogelijk een Laplace-getransformeerde te identificeren als hetproduct van twee andere Laplace-transformatiesdie overeenkomen met bekende functies

⇒ men zou kunnen denken dat de eerste Laplace-getransformeerde

overeenkomt met de transformatie van het product van deze twee functies. Dit is echter niet het geval!

M.a.w. de Laplace-getransformeerde commuteert niet met de gewone vermenigvuldiging

• dit verandert mits een geschikt “veralgemeend product” wordt ingevoerd, zoals zal blijken uit Stelling 7.7

(12)

Convolutieproduct

Def.: Hetconvolutieproduct f ∗ g van twee functies f , g : R+ → R is gedefinieerd door

(f ∗ g )(t) = Z t

0

f (t− x)g (x)dx.

Het convolutieproduct van twee functies is dus een nieuwe functie (van dezelfde veranderlijket).

(13)

Convolutieproduct : eigenschappen

Stelling 7.6 :

Voor alle functiesf , g , hen getallenb, c ∈ Rgeldt 1 f ∗ g = g ∗ f , 2 f ∗ (bg + ch) = b(f ∗ g ) + c(f ∗ h). Bewijs: • per definitie is (g ∗ f )(t) = Z t 0 g (t − x)f (x )dx ⇒ na substitutie y = t − x geeft dit (dy =−dx )

(g ∗ f )(t) =− Z 0 t g (y)f (t − y)dy = Z t 0 g (y)f (t − y)dy = (f ∗ g )(t) • 2de bewering volgt uit definitie en lineariteit integraal 

(14)

Convolutieproduct : eigenschappen

• de convolutie is duscommutatief endistributief

• ze is ook associatiefen heeft eenopslorpend element, nl. de nulfunctie, i.e. f ∗ 0 = 0 ∗ f = 0 (bewijs deze eigenschappen!) • OPM: het is duidelijk dat (f ∗ 1)(t) 6= f (t)

NUT: voor toepassingen waarin gedrag van het systeem op tijdstip t niet alleen afhangt van de toestand van het systeem op ogenbliktmaar ook van de voorgeschiedenis

• de Laplace-transformatie zet een convolutieproduct om in een gewoon product = deConvolutiestelling

(15)

Convolutiestelling

Stelling 7.7 : L [f ∗ g ] = L [f ] L [g ]. Bewijs: L [f ∗ g ] (s) = Z ∞ 0 e−st(f ∗ g )(t)dt = Z ∞ 0 e−st Z t 0 f (t − x )g (x )dx  dt = Z ∞ 0 Z t 0 e−st f (t − x )g (x )dxdt

• d.i. is een dubbele integraal over het gebied in het (t, x )-vlak, tussen de positieve t-as en de eerste bissectrice x = t: 0 ≤ t < ∞, 0 ≤ x ≤ t

(16)

Convolutiestelling : vervolg bewijs

Domein van de dubbele integraal.

(17)

Convolutiestelling : vervolg bewijs

• volgorde van integreren omkeren: 0 ≤ x < ∞, x ≤ t ≤ ∞, en dus is

L [f ∗ g ] (s) = Z ∞ 0 Z ∞ x e−st f (t − x )g (x ) dt dx = Z ∞ 0 g (x ) Z ∞ x e−st f (t − x )dt  dx • bereken eerst de integraal binnen de haken (stel t − x = u):

Z ∞ x e−st f (t − x )dt = Z ∞ 0 e−s(u + x )f (u)du = e−sx Z ∞ 0 e−suf (u)du = e−sxL [f ] (s)

(18)

Convolutiestelling : vervolg bewijs

• invullen levert dan

L [f ∗ g ] (s) = Z ∞ 0 g (x )e−sx L [f ] (s)dx = L [f ] (s) Z ∞ 0 g (x )e−sx dx = L [f ] (s)L [g ] (s) 

(19)

Convolutiestelling : gevolg

• onmiddellijk gevolg: L Z t 0 f (x )dx  (s) = 1 sL [f ] (s) aangezien L Z t 0 f (x )dx  (s) = L {1 ∗ f } =L {1}L [f ] = 1 sL [f ] (s)

• de convolutiestelling wordt dikwijls op de volgende manier gebruikt:

(20)

Convolutiestelling : voorbeeld van gebruik

• bereken L−1  1 s2(s − 1) 

met behulp van de convolutiestelling ⇒ we zoeken m.a.w. een functie y zodat

L [y ] = 1 s2(s − 1) = 1 s2 1 s − 1 = L {t}Lnet o = Lnt ∗ eto

(21)

Convolutiestelling : voorbeeld van gebruik

en bijgevolg is y (t) = t ∗ et = Z t 0 (t − x )ex dx = Z t 0 (t − x )dex PI = (t − x)ex t0+ Z t 0 ex dx = 0 − t+ et − 1 en dus is y (t) = −t + et − 1

(22)

Impulsen

• sommige fenomenen zijn moeilijk te beschrijven met klassieke functies • wanneer bv. een grote kracht gedurende een korte tijd uitgeoefendwordt,

zoals bij

- een blikseminslag

- de krachtstoot van een raketmotor - een ontploffing. . .

⇒ meestal moeilijk rechtstreeks te meten - hoe groot die kracht juist is geweest - hoe lang ze gewerkt heeft

(23)

Impulsen

⇒ in de mechanica wordt de ‘impuls’ van een kracht f (t) die uitgeoefend werd in een tijdsinterval [a, b] gedefinieerd doorRb

a f (t)dt

• dit idee ligt achter de wiskundige definitie van de Dirac-delta-functie

• als men de Dirac-delta-functie heel exact wil invoeren, moet dit gebeuren in het kader van de functionalen

(24)

De Dirac-delta-functie : intro

• we kiezen hier een meer intu¨ıtieve manier (die gemakkelijk exact gemaakt zou kunnen worden)

• beschouw voor willekeurige a ∈ R en k ∈ N functies (fa)k:

(fa)k : R → R :                x 7→ 0, als x < a x 7→ k, als a ≤ x ≤ a + 1 k x 7→ 0, als x > a + 1 k (∗)

(25)

De Dirac-delta-functie : intro

(26)

De Dirac-delta-functie : intro

• fysisch stelt (fa)k een functie voor die nul is buiten een interval van

lengte 1k

• als (fa)k eenkrachtvoorstelt, zal voor k voldoende groot, (fa)k een

kracht zijn die groot is op een klein interval en nul erbuiten

• wel zal het uiteindelijke effect gekend zijn: het is inderdaad duidelijk dat

Z +∞

−∞

(fa)k(t)dt = k

1 k = 1 • we noteren de functies voor a = 0 door fk = (f0)k

(27)

De Dirac-delta-functie : intro

• als we nu k steeds groter laten worden, dan zal (fa)k steeds groter

worden op een steeds kleiner wordend interval [a, a + k1]

(28)

De Dirac-delta-functie : intro

• als we nu k steeds groter laten worden, dan zal (fa)k steeds groter

worden op een steeds kleiner wordend interval [a, a + k1]

• in de limiet k → ∞ zal (fa)k(t) = 0 zijn, behalve voor t = a, waar

(fa)k(a) = ∞ is

⇒ lim

k→∞(fa)k is geen echte functieen wordt daarom meestal geen functie,

maar een distributiegenoemd, meer bepaald deDirac-delta-distributie

(29)

De Dirac-delta-functie : intro

voor de eenvoud veronderstellen we vanaf nu dat a ∈ R+

• het is dan duidelijk dat Z +∞

0

(fa)k(t)dt = k

1 k = 1 ⇒ we kunnenintu¨ıtief de Dirac-delta-functie δa defini¨eren als

δa(t) = lim

k→∞(fa)k(t)

• ook hier zullen we δ = δ0 noteren, en δ(t − a) = δa(t)

⇒ δa(t) wordt ∞ in a, maar Z ∞ 0 δa(t)dt = lim k→∞ Z ∞ 0 (fa)k(t)dt = 1

(30)

De Dirac-delta-functie : definitie

• dit inspireert ons tot de volgende (nog steeds intu¨ıtieve) definitie

Def.: Voor alle a ∈ R+ defini¨eren we de Dirac-delta-functie δa(t) = δ(t − a)als die “functie” waarvoor geldt dat

Z ∞ 0 δ(t − a)f (t)dt = lim k→∞ Z ∞ 0 fk(t − a)f (t)dt

voor alle functies f , waarbij (fa)k(t) = fk(t − a) gedefinieerd is

(31)

De Dirac-delta-functie : opmerking

• we benadrukken dat δa(t)geen echte functie is

• maar als we de bovenstaande definitie op de volgende manier interpreteren, zitten we heel dicht bij een “goede” definitie van de Dirac-delta-functie:

• beschouw Z ∞

0

δ(t − a)f (t)dt louter formeel alshet re ¨ele getal, gegeven door lim

k→∞ Z ∞

0

fk(t − a)f (t)dt

⇒ m.a.w. δ(t − a) heeft enkel zin als ze in een integraal voorkomt, en de manier hoe we moeten “integreren” is dan gegeven door bovenstaande definitie

(32)

De Dirac-delta-functie : Stelling

• de volgende stelling zegt wat het resultaat zal zijn als we een dergelijke integraal zullen uitrekenen (in de meeste wiskunde-boeken zal dit de definitie van de Dirac-delta-distributie zijn)

Stelling 7.8 :

Alsf continu is in het interval[a, a + ], > 0, dan zal Z ∞

0

(33)

Bewijs

• uit de definitie weten we Z ∞ 0 δ(t − a)f (t)dt = lim k→∞ Z ∞ 0 fk(t − a)f (t)dt = lim k→∞ Z a+1k a kf (t)dt = lim k→∞k Z a+1 k a f (t)dt

• neem nu k groot genoeg, zodat k1 < , dan is f continu op [a, a +1k]

⇒ uit de middelwaardestellingvolgt dan dat ∃tk ∈ [a, a +k1]

Z a+1k a f (t)dt= (a + 1 k − a)f (tk) = 1 kf (tk)

(34)

Bewijs

• we vinden dan dat Z ∞ 0 δ(t − a)f (t)dt = lim k→∞k 1 kf (tk)= limk→∞f (tk) = f (a) 

GEVOLG: voor alle a ∈ R+ geldt dat

L {δ(t − a)} = Z ∞

0

δ(t − a)e−st dt = e−sa ⇒ meer bepaald geldt dus dat

(35)

Voorbeeld

• stel dat we op tijdstip t = 1 een stilliggende biljartbal wegstoten ⇒ we oefenen een heel grote kracht uit op de bal gedurende een hele korte

tijd na tijdstip 1

• veronderstel nu dat deze kracht gegeven wordt door een veelvoud van de Dirac-delta-functie ⇒ beweging bal wordt beschreven door de vergelijking

y00(t) = cδ(t − 1) met als beginvoorwaarden y (0) = 0 en y0(0) = 0

• oplossen met een Laplace-transformatie,want zonder het gebruik van een integraal kunnen we in feite geen zin geven aanδ(t)

(36)

Voorbeeld

• dan is s2L [y ] = Ly00 = cL {δ(t − 1)} = ce−s en dus is L [y ] = ce−s s2 = ce−sL {t}= cL {u(t − 1)(t − 1)} • besluit : y = cu(t − 1)(t − 1)

⇒ komt fysisch overeen met wat we verwachten: voor t < 1 is y (t) = 0 en voor t ≥ 1 is y (t) = c(t − 1); tot aan tijdstip 1 blijft de bal stilliggen, en vanaf tijdstip 1 beweegt de bal met constante snelheid c

(37)

De Fourier-transformatie

• de Fourier-transformatie is een lineaire integraaltransformatie met als kern de complexe functie √1

2πe−ist: F [f ](s) = √1 2π Z +∞ −∞ e−istf (t)dt

OPM: interessante verschillen met de Laplace-getransformeerde : - integratiegebied isheel R

- kern is eencomplexe functie

⇒ Fourier-getransformeerde van re¨ele functie = complexe functie! - de kern √1

(38)

De Fourier-transformatie

strengere eisen opf nodigvoor bestaan F [f ] : bv. f stuksgewijs continu op elk eindig interval en

Z +∞

−∞

|f (t)|dt < ∞ • er gelden analoge stellingen voor de Fourier-transformatie als voor de

Laplace-transformatie, vb. onder bepaalde voorwaarden op f , geldt dat F [f0](s) = (is)F [f ](s)

F [f00](s) = −s2F [f ](s)

• belangrijk voordeel van de Fourier-transformatie: de inverse

(39)

De integraalstelling van Fourier

Stelling 7.9 :

Alsf stuksgewijs continu is op elk eindig interval en alsR−∞+∞|f (t)|dt < ∞, dan bestaat de Fourier-getransformeerdeF (s) = F [f ](s)en geldt dat

f (t) = √1 2π

Z +∞

−∞

eist F (s)ds.

⇒ verklaart waarom de (normalisatie-)factor √1

2π in de definitie van de Fourier-getransformeerde voorkomt (nl. voor de symmetrie)

• NB: natuurkundigen en technici verkiezen vaak 1 en 1/2π voor respectievelijk de voorwaartse en inverse transformatie

(40)

De Fourier-transformatie : opmerking

• als F wordt toegepast op een functie f van t, ontbindt ze f in het continue spectrum van de frequenties waaruit die functie is opgebouwd ⇒ de Fourier-getransformeerde van een signaal f (t) kan worden gezien als

dat signaal in het “frequentiedomein” (cf. voorbeeld seffens) • OPM: Fourier-variabele s wordt vaak vervangen door ω als de

Fouriertransformatie wordt toegepast op functies van t

• soms wordt s vervangen door 2πν, zodat de integratie bij de inverse transformatie plaatsvindt over de frequentie ν (in plaats van over de circulaire frequentie ω = 2πν (cf. Sect. 3.3))

(41)

De Fourier-transformatie : voorbeeld

• cf. “tijddomein −→ frequentiedomein”F • F toepassen op ei 2πν0t : F {ei 2πν0t}(ν) = Z +∞ −∞ e−i 2π(ν−ν0)tdt = δ(ν − ν0) want ook F−1{δ(ν − ν0)}(t) = Z +∞ −∞ ei 2πνt δ(ν − ν0) d ν = ei 2πν0t ⇒ bv. cos(2πν0t) transformeert in 1 2(δ(ν − ν0) + δ(ν + ν0))

(42)

De Fourier-transformatie : voorbeeld

• lineaire transformatie ⇒ multi-periodieke functie dus transformeren in een som van delta-functies

⇒ aanwezige frequenties in signaal duidelijk zichtbaar

⇒ gewichten aanwezige frequenties = co¨effici¨enten in die som

OPM:de Fourier-transformatie is een veralgemening van de complexe Fourier-reeks in de limietL → ∞(cf. Hfdst 9)

(43)

De Fourier-transformatie : voorbeeld

(44)

PAUZE

The essence of mathematics is not to make simple things complicated, but to make complicated things simple.

(45)

Inleiding en motivatie

klassieke analyse(cf. ‘Calculus & Analyse’ en ‘Lineaire algebra’) = studie van functies die gedefinieerd zijn op (open delen van)R,C,Rn,. . . • in depraktijk (bv. metingen) : functies die je enkel kent in een eindig

aantal punten

=rijen getallen x0, x1, x2, x3, . . . in bv. meetpunten t0, t1, t2, t3, . . .

wiskundige rijen: oneindige rijen(xn)∞n=0

⇒ wiskundige theorie wordt“eindige analyse”of “differentie-analyse” genoemd

(46)

Hoofdstuk 8: Differentievergelijkingen en numerieke

methoden

• Differentie-analyse

• Differentievergelijkingen

• Lineaire homogene vergelijkingen met constante co¨effici¨enten

• Numerieke methoden

- De eindige-differentie-methode

- De voorwaartse en achterwaartse Euler differentie-schema’s - Fouten, convergentie en consistentie

- Verbeteringen aan de Euler methode - De Runge-Kutta methode

(47)

Definities

• definieer de verzameling R =(xn)∞n=0= (x0, x1, x2, . . . ) xn∈ R

• definieer de optellingen vermenigvuldiging met getallendoor:

a(xn)∞n=0+ b(yn)∞n=0= (axn+ byn)∞n=0

⇒ R iseen vectorruimte (toon zelf aan!)

Opm.: je kan overal in dit hoofdstukRvervangen doorC

(48)

De shift-operator

Def.: De shift-operator E (ook wel eens schuif-operator genoemd), wordt gedefinieerd door

E : R → R : x = (xn)∞n=0 7→ Ex waarbij (Ex )n= xn+1.

⇒ associeert aan elke rij een nieuwe rij door alle getallen een plaats naar voor te schuiven enx0 weg te laten

Voorbeeld:

• beschouw de rij x = (0, 1, 2, 3, 4, . . . ) ⇒ xn= n

(49)

De differentie-operator

Def.: De differentie-operator ∆ (of verschil-operator) is gedefinieerd door ∆ : R → R : x = (xn)∞n=07→ ∆x waarbij (∆x )n= xn+1− xn. Opm.: (∆x )n=xn+1− xn=(Ex )n− xn= (Ex − x )n zodat ∆x = Ex − x en ∆ = E − 1

(50)

De differentie-operator : voorbeeld

• beschouw opnieuw de rij x = (0, 1, 2, 3, 4, . . . )

⇒ (∆x)n= xn+1− xn= n + 1 − n = 1

(51)

De differentie-operator : notatie-vereenvoudiging

• we vermijden de haakjes in de notaties zoveel mogelijk:

- de rij x = (xn)∞n=0 noteren we door xn

- de schuif-operator wordt dan (Ex )n= xn+1

- en de verschil-operator wordt dan ∆xn= xn+1− xn

Voorbeeld: voor de rij xn= n wordt dit (Ex )n= n + 1 en ∆n = 1

• verder is ∆2n = ∆∆n= ∆1= 1 − 1 = 0 is verkorte schrijfwijze voor

(52)

De differentie-operator : opmerking

• de verschil-operator ∆ geeft aan hoe groot het verschil is tussen twee opeenvolgende waarden en is dan ook een analoog begrip voor de afgeleide van een functie!

Differentie-analyse • rijen: f : N → R • differentie: (∆x )n= xn+1− xn Klassieke analyse • functies: f : I ⊂ R → R • afgeleide: f0(x ) = lim h→0 f (x + h) − f (x ) h

(53)

De differentie-operator : opgave

(54)

De differentie-operator : opgave

Stel een formule op om de differenties∆2xnte berekenen in functie vanxn

∆2xn= ∆(∆xn) = ∆(xn+1− xn) = ∆xn+1− ∆xn = (xn+2− xn+1) − (xn+1− xn) = xn+2− 2xn+1+ xn • en zo ook: ∆3xn= ∆(∆2xn) = xn+3− 3xn+2+ 3xn+1− xn ∆4xn= ∆(∆3xn) = xn+4− 4xn+3+ 6xn+2− 4xn+1+ xn

(55)

Enkele lemma’s

We bewijzen nu eerst enkele lemma’s. . . Hulpstelling 8.1 :

Alsr ∈ R(ofC) enxn= rn, dan is(Ex )n = rxn. Met andere woorden, als

x = (rn)∞n=0, dan isEx = rx.

Bewijs:

(Ex )n= xn+1= rn+1= rrn= rxn. 

(56)

Enkele lemma’s

Hulpstelling 8.2 :

Alsr ∈ R(ofC),z ∈ Renxn= znrn, dan is

((E − r )x )n= (∆zn)rn+1 Bewijs: ((E − r )x )n = (Ex )n− rxn = xn+1− rxn = zn+1rn+1− rznrn = (zn+1− zn)rn+1 = (∆zn)rn+1 

(57)

Enkele lemma’s

Hulpstelling 8.3 :

Alsr ∈ R(ofC),z ∈ Renxn= znrn, dan is voor elkek ∈ N0

((E − r )kx )n= (∆kzn)rn+k.

Bewijs (door volledige inductie!):

Basis: voor k = 1 is het bewijs gegeven door Lemma 8.2Stap: stel lemma gegeven voor k; we bewijzen het voor k + 1:

((E − r )k+1x )n = (E − r )  ((E − r )kx )n  geg = (E − r )(∆kzn)rn+k  Hst 8.2 = (∆∆kzn)rn+1+k = (∆k+1zn)rn+k+1 

(58)

Enkele lemma’s

Hulpstelling 8.4 :

Alsxn= n`voor een` ∈ N, dan geldt

∆xn=`n`−1+ b1n`−2+ · · · + b`−2n + b`−1 voor zekereb1, . . . , b`−1. Bewijs: ∆xn= xn+1− xn = (n + 1)`− n` ∗ = n`+ `n`−1+ · · · + 1 −n` = `n`−1+ · · · + 1

∗binomium van Newton (cf. C&A (1BSc) met x = n, y = 1 en n = `): (n + 1)`= ` X k=0 ` k ! nk met ` k ! = `! k!(` − k)! 

(59)

Gevolgen

• stel ` = 1 ⇒ ∆n = 1, stel ` = 0 ⇒ ∆1 = 0 • meer algemeen vinden we het volgende:

Gevolg 8.1 :

Alsxn= n`voor een` ∈ N, dan geldt voork ∈ N

∆kxn= ∆kn` = 0 als k > `.

Bewijs: Zij k > `, dan is

∆kxn= ∆k−1(∆xn) = ∆k−1(`n`−1+ b1n`−2+ · · · + b`−2n + b`−1)

= ∆k−2(`(` − 1)n`−2+ · · · ) = . . .

= ∆k−`(`!) = 0

(60)

Gevolgen

• door Gevolg 8.1

∆kn`= 0 als k > ` en Lemma 8.3

(E − r )k(znrn)= (∆kzn)rn+k

te combineren vinden we onmiddellijk het volgende: Gevolg 8.2 :

Voor allek > ` ∈ Nenr ∈ Rgeldt

(61)

Differentievergelijkingen

• analoge begrip van een Dvgl (in de klassieke analyse) is een differentievergelijking in de differentie-analyse

• een differentievergelijking van ordek is een vergelijking waaraan alle k + 1 opeenvolgende elementen van een rij (xn) moet voldoen, m.a.w.

een vergelijking van de vorm

φ(n, xn, xn+1, . . . , xn+k) = 0 (∗)

waarbij φ een functie van k + 2 veranderlijken is • ‘oplossen’ = zoeken naar rijen (xn) die voldoen aan (∗)

(62)

Differentievergelijkingen

φ(n, xn, xn+1, . . . , xn+k) = 0 (∗)

⇒ ook hier : alle oplossingen zoeken (algemene oplossing), of ´e´en oplossing zoeken die eventueel aan bijkomende (begin)voorwaardenvoldoet

(63)

Differentievergelijkingen : voorbeeld

• bekijk de differentievergelijking (van orde 1)

xn+1= 2xn

• als we x0 kennen kunnen we hieruit x1= 2x0 berekenen

• daarmee kunnen we x2 = 2x1= 4x0 berekenen, enz.

⇒ in het algemeen zal dan

xn= 2xn−1 = · · · = 2nx0

• dit is de algemene oplossing

(64)

Differentievergelijkingen : oplossingsmethode

• veronderstel voor de eenvoud dat de vgl(∗) in de vorm

xn+k = F (n, xn, xn+1, . . . , xn+k−1) (∗∗)

kan geschreven worden (= de normale vorm)

⇒ stel x0, . . . , xk−1 gegeven ⇒ stel n = 0 in vgl (∗∗) :

xk = F (0,x0, x1, . . . , xk−1)

• stel vervolgens n = 1 in vgl (∗∗) :

xk+1 = F (1, x1, x2, . . . , xk)

⇒ zo vinden we stap voor stap de elementen xn uit de rij

• of we een mooi “functie-voorschrift” voor xn kunnen vinden, zoals in het

(65)

Differentievergelijkingen vs differentiaalvergelijkingen

Differentie-analyse

• Diffvgl orde 1: enkel n, xn, xn+1

• differentievgl: xn+1− xn= 1 xn+1 = 1 + xn= 1 + (1 + xn−1) = . . . = 1 + 1 + . . . + x0 = (n + 1) + C ⇒ xn= n + C (met hier C = 0) Klassieke analyse • Dvgl orde 1: enkel x , y , y0 • Dvgl: y0 = 1 ⇒ y = x + C (met hier C = 0)

(66)

Differentievergelijkingen : opmerking

• de theorie van de differentievergelijkingen vertoont grote gelijkenissen met de theorie van de Dvgln

⇒ daarnet al een soort bestaans- en ´e ´enduidigheidsstellingaangetoond (k begin-VWnx0, . . . , xk−1nodig voor een unieke oplossing een

differentie-vergelijking van ordek)

(67)

Lineaire homogene vgln met constante co¨

effici¨

enten

• een lineaire homogene differentievergelijking met constante

co ¨effici ¨enten is een vergelijking van de vorm

xn+k+ c1xn+k−1+ · · · + ckxn= 0 (∗)

waarbij c1, . . . , ck ∈ R (of C) constanten zijn

• met de shift-operator E kan deze vgl anders geschreven worden ((Ex )n= xn+1, E2xn= Exn+1= xn+2 en, algemeen, Emxn= xn+m)

(Ekx )n+ c1(Ek−1x )n+ · · · + ck−1(Ex )n+ ckxn= 0

(68)

Karakteristieke veelterm

• voeren we net als voor lineaire Dvgln met constante co¨effici¨enten de karakteristieke veeltermP in door

P(X ) = Xk + c1Xk−1+ · · · + ck−1X + ck

dan kunnen we vgl (∗) kort opschrijven als P(E )xn= 0

stelling van d’Alembert (voor P : C → C):

P(X ) = (X − r1)k1· · · (X − rt)kt

waarbij rj wortel is van P met multipliciteitkj

(69)

Oplossingen

OPM: als (E − rj)kjxn= 0 voor een j , dan is P(E )xn= 0

• bekijk dus eerst een vergelijking van de vorm

(E − r )kxn= 0 (∗∗)

• met Lemma 8.3 en Gevolg 8.2 vinden we dat voor alle 0 ≤ ` ≤ k − 1

(E − r )k(n`rn) = (∆kn`)rn+k = 0

⇒ we vinden dus de volgende oplossingen voor vgl (∗∗):

rn, nrn, n2rn, . . . , nk−1rn

(70)

Oplossingen

• deze procedure herhalen voor elke wortel rj van P

⇒ vindalle oplossingen van de vergelijking P(E )xn= 0

• een willekeurigelineaire combinatie van deze oplossingen is

xn = (a11nk1−1+ a12nk1−2+ · · · + a1k1)r1n

+ · · · + (at1nkt−1+ at2nkt−2+ · · · + atkt)rtn

(71)

Voorbeeld: Getallen van Fibonacci (1202)

• de regelmaat in de rij getallen van Fibonacci

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . . . is dat elk getal de som is van de twee vorige getallen ⇒ deze rij wordt dus beschreven door de Diffvgl van 2de orde:

xn+2 = xn+1+ xn

met als beginvoorwaarden x0 = 1 en x1= 1

⇒ de differentievergelijking die we moeten oplossen is dus

(72)

Voorbeeld: Getallen van Fibonacci (1202)

• de wortels van de karakteristieke veeltermX2− X − 1 zijn

r1,2 =

1 ±√5 2

⇒ de (algemene) oplossing van de vergelijking is dan

xn= a1 1 +√5 2 !n + a2 1 −√5 2 !n

• de getallen a1 en a2 vinden door

( 1 = x0= a1+ a2 1 = x1= a1(1+ √ 5 2 ) + a2( 1−√5 2 ) = a1+a2 2 + √ 5 2 (a1− a2) op te lossen

(73)

Voorbeeld: Getallen van Fibonacci (1202)

• dit stelsel is te herleiden tot ( 1 = a1+ a2 1 √ 5 = a1− a2 • de oplossingen zijn ( a1 = 1+ √ 5 2√5 a2 = √ 5−1 2√5 zodat xn = 1 +√5 2√5 ( 1 +√5 2 ) n+ √ 5 − 1 2√5 ( 1 −√5 2 ) n = 1 2n+1√5((1 + √ 5)n+1− (1 −√5)n+1)

(74)

Voorbeeld: Getallen van Fibonacci (1202)

OPM: Fibonacci, ofte Leonardo van Pisa, ontdekte deze rij getallen in 1202toen hij onderzocht hoe snel konijnen konden kweken in ideale omstandigheden!

(75)

Voorbeeld: Getallen van Fibonacci (1202)

OPM: Fibonacci, ofte Leonardo van Pisa, ontdekte deze rij getallen in 1202toen hij onderzocht hoe snel konijnen konden kweken in ideale omstandigheden!

Stel dat je vertrekt van een pasgeboren koppel konijnen. Ze kunnen paren als ze 1 maand oud zijn en de dracht duurt 1 maand. Op het eind van de eerste maand paren ze en op het eind van de tweede maand produceert het wijfje een ander kop-pel. Als ze niet sterven en altijd precies 1 nieuw koppel produceren vanaf de tweede maand. Hoeveel paren zijn er dan na 1 jaar?

(76)

Opmerking

als r ∈ C \ R en als we r in polaire vorm schrijven: r = ρeiθ, dan is

rn= ρneinθ = ρn(cosnθ + i sinnθ)

⇒ als dan in de oorspronkelijke vergelijking

xn+k+ c1xn+k−1+ · · · + ckxn= 0 (∗∗)

alle co¨effici¨enten re ¨eelzijn, en we een re ¨ele oplossingxn willen, dan kunnen we, als rj = ρjei θj en dus ook rj = ρje−i θj complexe wortels

zijn van P, in de algemene oplossing de termenrjnenrnj vervangen door

(77)

Voorbeeld

• we lossen de volgende vergelijking op drie manieren op

xn+2+ xn= 0

• we kunnen deze vergelijking schrijven als

E2xn+ xn= (E + i )(E − i )xn= 0

(78)

Voorbeeld

• complexe vorm van de oplossing is dus

xn= a1in+ a2(−i )n

• als n even is, stel n = 2m, dan is

x2m = a1i2m+ a2(−i )2m = a1(−1)m+ a2(−1)m = (a1+ a2)(−1)m

⇒ het is dan duidelijk dat x0= a1+ a2, zodat

x2m = x0(−1)m

• analoog is

(79)

Voorbeeld

• in re¨ele vorm wordt de oplossing gegeven door

xn= b1cos

2 + b2sin nπ

2 • als n even is, stel n = 2m, dan is

x2m = b1cos(mπ) + b2sin(mπ) = b1(−1)m

⇒ het is dan duidelijk dat x0= b1, zodat

x2m = x0(−1)m

• analoog is dan opnieuw

(80)

Voorbeeld

• de vergelijking is ook op te lossen zonder gebruik te maken van de theorie:

• uit de vergelijking vinden we dat x2 = −x0, x4 = −x2= x0 of in het

algemeen dat

x2m = −x2m−2= x2m−4= · · · = (−1)mx0

en analoog dat

(81)

Opmerking

• heel wat technieken uit de theorie van de gewone Dvgln kunnen“vertaald” worden naar de theorie van de differentievergelijkingen

• enkele concrete voorbeelden zullen in de oefen-zittingen worden behandeld

Referenties

GERELATEERDE DOCUMENTEN

Def.: We zeggen dat een functie stuksgewijs continu is op een interval [a, b] als f continu is overal in het interval [a, b], behalve in een eindig aantal punten a i ∈ [a, b] en

• RVWn-problemen kunnen onder gelijkaardige voorwaarden wel een unieke oplossing hebben, maar ze kunnen ook g ´e ´en oplossing hebben of, in bepaalde gevallen, oneindig

• ook wiskundig zijn ze van aanzienlijk belang : alle lineaire parti ¨ele differentiaalvergelijkingen van de tweede orde kunnen geklasseerd worden in ´e ´en van de drie categori

• de eigenwaarden λn = n 2 π 2 /L 2 van het probleem (118)-(119) zijn dus evenredig met de kwadraten van de natuurlijke frequenties , en de eigenfuncties sin (nπx /L) zijn

4p 18 Bereken deze

• Geef drie voorbeelden uit de natuur (planten, vruchten en/of dieren) waar je de Fibonacci-rij tegenkomt en omschrijf duidelijk met plaatjes hoe je de Fibonacci-rij daarin ziet..

Deze representatie voldoet per constructie aan de modulo-eisen, maar correspondeert niet met een geheel getal: Het enige gehele getal dat een veelvoud is van alle oneven priemmachten

Ik héb Kozyn niet voor men oogen Gezien, én ook niet uit geweest, Maar hier mét Bélitje gezeeten, En al de gantsche tyd versleeten Mét naaijen, want ik was bevreest?. Voor 't