DVGLn 2012-2013 - les11_handout

(1)

DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN

Stefaan Poedts

(2)

Hoofdstuk 8: Differentievergelijkingen en numerieke

methoden

• Differentie-analyse • Differentievergelijkingen

• Lineaire homogene vergelijkingen met constante co¨effici¨enten

• Numerieke methoden

- De eindige-differentie-methode

- De voorwaartse en achterwaartse Euler differentie-schema’s

- Fouten, convergentie en consistentie

- Verbeteringen aan de Euler methode

- De Runge-Kutta methode

(3)

Numerieke methoden

• er is een zeer nauw verbandtussendifferentievergelijkingen en de numerieke oplossingvan Dvgln met behulp van de

‘eindige-differentie-methode’ (FDM)

• om een Dvgl op te lossen met behulp van een computer, wordt deze eerst gediscretizeerd

⇒ ze wordt enkel opgelost op eenrooster vandiscrete puntenin de ruimte en/of de tijd

i i-1 1 0 t N-1 0 ∆t 1 N t t t t t

Discrete representatie van het domein [0, 1] met N + 1 equidistante roosterpunten ti= i ∆t met ∆t = 1/N.

(4)

Numerieke methoden

⇒ de Dvgl wordt benaderddoor een systeem van algebra¨ısche vergelijkingen dat wordt opgelost met behulp van de computer • zo’n discretisatie kan op verschillende manierenworden bekomen

- eindige-differentie-methode

- eindige-elementen methode (vooral voor gelokaliseerde oplossingen) - eindige-volume methode (vooral voor behoudswetten)

- (pseudo-)spectrale discretisatie (vooral voor periodieke opln) • we bespreken hier enkel de eindige-differentie-methode

(5)

Model-beginvoorwaarden-probleem

• beschouw een eenvoudig model-beginvoorwaarden-probleem bestaande uit de eerste-orde Dvgl

dy

dt = F (t, y ) (∗) en de volgende beginvoorwaarde:

y (t0) = y0 (∗∗) • neem aan dat F en ∂F

∂y continu zijn in een (open) rechthoek in het (t, y )-vlak die het punt (t0, y0) bevat

(6)

De eindige-differentie-methode

• continue domein van de onafhankelijke variabele t wordt vervangen door

een eindig aantal roosterpunten(al dan niet equidistant)

• alle afhankelijke functies f (t)worden vervolgens benaderd door hun waarden{fi}op dit rooster,fi ≡ f (ti)

• representatie van de afgeleidenis gebaseerd op afgebroken Taylor-reeks-ontwikkelingen, bv.

yi +1 = yi+ y0(ti)∆t + y00(ti)

(∆t)2

2! + O(∆t)

3 ₍₁₈₎

“nauwkeurig tot de eerste orde in ∆t ≡ ti +1− ti”hebben we dus

(7)

De eindige-differentie-methode

• vergelijking (18) oplossen naar de eerste-orde afgeleide levert y0(ti) =

yi +1− yi

∆t + O(∆t) (20)

=eerste-orde voorwaartse differentie-uitdrukking voor y0(ti) • analoog levert de Taylor-reeks-ontwikkeling voor yi −1 rond yi

yi −1 = yi− y0(ti)∆t + y00(ti)

(∆t)2

2! − O(∆t)

3

een eerste-orde achterwaartse differentie-uitdrukking op: y0(ti) =

yi − yi −1

(8)

De eindige-differentie-methode

• de twee Taylor-reeks-ontwikkelingen yi +1 = yi+ y0(ti)∆t +y00(ti) (∆t)2 2! + y 000 (ti) (∆t)3 3! + O(∆t) 4 yi −1 = yi− y0(ti)∆t +y00(ti) (∆t)2 2! − y 000_(t i) (∆t)3 3! + O(∆t) 4

van elkaar aftrekken, levert

yi +1− yi −1 = 2y0(ti)∆t + 2y000(ti) (∆t)3 3! + O(∆t) 4 en dus y0(ti) = yi +1− yi −1 2∆t +O(∆t) 2 ₍₂₂₎

(9)

De eindige-differentie-methode

• de twee Taylor-reeks-ontwikkelingen yi +1 = yi+ y0(ti)∆t +y00(ti) (∆t)2 2! + y 000 (ti) (∆t)3 3! + O(∆t) 4 yi −1 = yi− y0(ti)∆t +y00(ti) (∆t)2 2! − y 000_(t i) (∆t)3 3! + O(∆t) 4

van elkaar aftrekken, levert

yi +1− yi −1 = 2y0(ti)∆t + 2y000(ti) (∆t)3 3! + O(∆t) 4 en dus y0(ti) = yi +1− yi −1 2∆t − y 000_(t i) (∆t)2 3! + O(∆t) 3 ₍₂₃₎

(10)

De eindige-differentie-methode

• substitutie in yi +1 = yi+y0(ti)∆t + y00(ti) (∆t)2 2! + y 000_(t i) (∆t)3 3! + O(∆t) 4

levert (uitwerken tot 3de orde term)

yi +1= yi+ yi +1− yi −1 2∆t − y 000 (ti) (∆t)2 3! ∆t +y00(ti) (∆t)2 2! + y 000 (ti) (∆t)3 3! + O(∆t) 4

⇒ tweede-ordenauwkeurige uitdrukking voor y00

y00(ti)=

yi +1− 2yi + yi −1

(∆t)2 +O(∆t)

(11)

Het voorwaartse Euler differentie-schema

• model-BVWn-probleem (∗)-(∗∗) discretiseren met (20):

y0(ti) =

yi +1− yi

∆t = F (ti, yi) i = 0, 1, 2, . . . of nog, met de notatie F (ti, yi) = Fi,

yi +1= yi + Fi∆t, i = 0, 1, 2, . . . (24)

=“voorwaartse Euler differentie-schema”

• laat toe om de volgende stap uit te voeren door gebruik te maken van de resultaten van de vorige stap ⇒ rij y0, y1, y2, . . . , yn, . . .

(12)

Het voorwaartse Euler differentie-schema

• voordeel: makkelijk te programmeren!

• eenvoudige structuur computer-programma: Stap 1: definieer F(t,y)

Stap 2: voer de beginwaarden t0 en y0 in

Stap 3: voer stapgrootte h en aantal te nemen stappen N in Stap 4: druk t0 en y0 af

Stap 5: for i from 1 to N do Stap 6: R = F(t,y)

y = y + h*R t = t + h Stap 7: druk t en y af Stap 8: end

(13)

Demo

• stel bijvoorbeeld F (t, y ) = 1 − 2t + 6y in vergelijking (∗): dy

dt = 1 − 2t + 6y (∗) en neem de volgende beginvoorwaarde:

y (0) = y0 = 1 (∗∗)

⇒ de model-vergelijking is dan lineair en van de eerste orde

• de exacte oplossing van dit probleem gelijk is aan y (t) = −1 9 + t 3 + 10 9 e 6t ₍₂₅₎

(14)

Demo : oplossing met voorwaartse Euler differentie-schema

t h = 0.05 h = 0.01 h = 0.001 exact 0.0 1.000000000 1.000000000 1.000000000 1.000000000 0.1 1.800000000 1.912052997 1.943172197 1.946798666 0.2 3.129000000 3.519039416 3.631370468 3.644574359 0.3 5.352010000 6.370545752 6.674663121 6.710719404 0.4 9.085896900 11.45079771 12.18267594 12.27019598 0.5 15.37316576 20.52239365 22.17365724 22.37281880 0.6 25.97565014 36.74187875 40.31850813 40.75359382 0.7 43.87084874 65.76214470 73.29406532 74.21814560 0.8 74.09073437 117.7066595 133.2445262 135.1671306 0.9 125.1393411 210.7050127 242.2584248 246.1960180 1.0 211.3884864 377.2245374 440.5116015 448.4764372 ⇒ voor h = 0.01 ⇒ fout8.27%in t = 0.5 en 15.89%in t = 1

(15)

Demo : oplossing met voorwaartse Euler differentie-schema

t h = 0.05 h = 0.01 h = 0.001 exact 0.0 1.000000000 1.000000000 1.000000000 1.000000000 0.1 1.800000000 1.912052997 1.943172197 1.946798666 0.2 3.129000000 3.519039416 3.631370468 3.644574359 0.3 5.352010000 6.370545752 6.674663121 6.710719404 0.4 9.085896900 11.45079771 12.18267594 12.27019598 0.5 15.37316576 20.52239365 22.17365724 22.37281880 0.6 25.97565014 36.74187875 40.31850813 40.75359382 0.7 43.87084874 65.76214470 73.29406532 74.21814560 0.8 74.09073437 117.7066595 133.2445262 135.1671306 0.9 125.1393411 210.7050127 242.2584248 246.1960180 1.0 211.3884864 377.2245374 440.5116015 448.4764372 ⇒ voor h = 0.001 ⇒ fout0.89%in t = 0.5 en 1.78%in t = 1

(16)

Het achterwaartse Euler differentie-schema

• model-BVWn-probleem (∗)-(∗∗) discretiseren met (21): yi = yi −1+ Fi∆t, i = 1, 2, 3, . . .

of nog, na verhogen van de index van i tot i + 1,

yi +1 = yi + Fi +1∆t, i = 0, 1, 2, . . . (26)

=“achterwaartse Euler differentie-schema”

(17)

Demo : achterwaartse Euler differentie-schema

• vb. F (t, y ) = 1 − 2t + 6y , substitueren in schema (26):

yi +1 = yi+ (1 − 2ti +1+ 6yi +1)∆t, i = 0, 1, 2, . . . ⇒ yi +1 nog steeds te expliciteren (in dit geval):

yi +1 = yi + (1 − 2ti +1)∆t

1 − 6∆t , i = 0, 1, 2, . . .

• lichte aanpassing computer-programma: Stap 6: t = t + h

(18)

Demo : achterwaartse Euler differentie-schema

t h = 0.05 h = 0.01 h = 0.001 exact 0.0 1.000000000 1.000000000 1.000000000 1.000000000 0.1 2.189795919 1.985125921 1.950460855 1.946798666 0.2 4.583256977 3.785570059 3.657932317 3.644574359 0.3 9.433177504 7.099744866 6.747262115 6.710719404 0.4 19.29628061 13.22433221 12.35905654 12.27019598 0.5 39.39036859 24.56676891 22.57539520 22.37281880 0.6 80.36401753 45.59673433 41.19693680 40.75359382 0.7 163.9490154 84.61269466 75.16146002 74.21814560 0.8 334.4959499 157.0216929 137.1332887 135.1671306 0.9 682.5162243 291.4286504 250.2300663 246.1960180 1.0 1392.726988 540.9418452 456.6510807 448.4764372 ⇒ vergelijkbare nauwkeurigheid

(19)

Vragen over ‘nauwkeurigheid’

⇒ is deze numerieke oplossing wel‘aanvaardbaar’ ?

• belangrijk: de oplossing moetconvergeren, d.w.z. dat de numerieke oplossing y1, y2, . . . , yi, . . . de exacte oplossing in de overeenkomstige

punten (tijdstippen) t1, t2, . . . , ti, . . . benadert in de limiet h → 0

(constentie)

• indien dat zo is, hoe snel convergeert de oplossing dan, m.a.w. hoe klein moet de tijdstap zijn om een gegeven niveau van nauwkeurigheid te bekomen? (overtollig rekenwerk vermijden)

(20)

Fouten, convergentie en consistentie

• fouten in numerieke oplossing hebben twee verschillende oorzaken • er is eerst en vooral de globale afbreekfout Ei

Ei = φ(ti) − yi (27)

⇒ is het gevolg van

1) de benaderende formule die we gebruiken om yi +1 te bepalen

=lokale afbreekfout ei

2) van het feit dat de gegevens die we hiervoor gebruiken (om Fi te

berekenen) ook slechts benaderend juist zijn aangezien φ(ti) niet gelijk

(21)

De afrondingsfout

• tweede belangrijke oorzaak van fouten in numeriek oplossingen is het feit dat een computer slechts met eeneindig aantal decimalen rekent

(cf. hfdst 2: re ¨ele getallen hebben meestal oneindig veel decimalen)

⇒ dit leidt tot een afrondingsfout Ri:

Ri = yi − Yi (28)

(22)

De totale fout

• de absolute waarde van de totale foutbij het berekenen van φ(ti) is

gegeven door

|φ(t_i) − Yi| = |φ(ti) − yi + yi− Yi|

≤ |φ(t_i) − yi| + |yi− Yi|

≤ |E_i| + |R_i| (29)

⇒ totale fout is begrensd door de som van de absolute waarden van de afbreekfout en de afrondingsfout

(23)

De lokale afbreekfout in het Euler-schema

• neem aan dat de oplossing y = φ(t) van het BVWn-probleem (∗)-(∗∗) een continue tweede-orde afgeleide heeft in een [a, b]

⇒ Taylor-veelterm + restterm gebruiken om φ(t) rond ti te ontwikkelen:

φ(ti + h) = φ(ti) +φ0(ti)h +

1 2φ

00_(¯_t

i)h2 (30)

met h = ∆t en ¯ti een punt in [ti, ti +1] (met ti +1 = ti + h) • vgl yi +1 = yi +Fih van vgl. (30) aftrekken, levert

φ(ti +1) − yi +1 = φ(ti) − yi+ (F (ti, φ(ti))−F (ti, yi))h +

1 2φ

00_(¯_t

(24)

De lokale afbreekfout in het Euler-schema

• pas nu vgl. (31) toe op de echte opl φ(t), m.a.w. neem yi = φ(ti) ⇒ uit vgl. (31) zien we meteen dat de lokale afbreekfout

ei +1 = φ(ti +1) − yi +1 =

1 2φ

00

(¯ti)h2 (32) ⇒ lokale afbreekfout is (voor het Euler-schema) dus evenredig met het

kwadraat van de stapgrootteh, en de evenredigheidsfactor hangt af van de tweede-orde afgeleide van de oplossing φ(t)

(25)

De lokale afbreekfout in het Euler-schema

• OPM: (32) hangt af van i , verschilt dus voor elke tijdstap

stel M = maximale waarde van |φ00(t)| in het interval [a, b], dan is |ei| ≤

M 2 h

2 ₍₃₃₎

een uniformebovengrens (is lokaal een overschatting)

• we kunnen vgl. (33) gebruiken om een stapgrootte te kiezen zodanig dat delokale afbreekfout niet groter wordt dan een gegeven tolerantieniveau! Als de lokale afbreekfout niet groter mag worden dan bv. , vinden we

M 2 h 2_≤ _⇒ _{h ≤} r 2 M (34)

(26)

De globale afbreekfout in het Euler-schema

• globale afbreekfout Ei is eigenlijk belangrijker dan de lokale afbreekfout, maar is veel moeilijker te analyseren

• nu we ei kennen, kunnen we Ei wel afschatten:

- stel dat we in n stappen van t0 naar T gaan, d.w.z. T = t0+ nh - in elke stap is de fout maximaal Mh2/2

- de totale fout is dus na n stappen maximaal nMh2/2

- aangezien n = (T − t0)/h vinden we dat Ei begrensd is door

nMh

2

2 = (T − t0) Mh

(27)

Consistentie en consistentie-orde

• voorgaande redenering is niet volledig maar men kan aantonen dat Ei niet groter is dan een constante maalh

⇒ de Euler-methode is consistent: de afbreekfouten verdwijnen in de limiet h → 0

⇒ Euler schema wordt een eerste-orde methodegenoemd

⇒ deze consistentie-ordebepaalt de snelheid waarmee de numerieke oplossing convergeertnaar de exacte oplossing in termen van de stapgrootte

(28)

Verbeteringen aan de Euler methode

• beschouw het Euler-schema (24)

yi +1= yi + F (ti, yi)∆t, i = 0, 1, 2, . . . .

• een betere benaderende formule bekomen we door F (ti, yi) te vervangen

door de gemiddelde waarde van deze factor in ti en ti +1:

yi +1= yi +

F (ti, yi) + F (ti +1,yi +1)

2 ∆t, i = 0, 1, 2, . . . (36) ⇒ deze vergelijking bepaalt yi +1 impliciet

(29)

Verbeteringen aan de Euler methode

⇒ oplossing: gebruik Euler formule (24) voor yi +1 :

yi +1 = yi + F (ti, yi) + F (ti +1,yi + F (ti, yi)∆t) 2 ∆t = yi + Fi + F (ti+ h,yi + hFi) 2 ∆t (37)

=verbeterde Euler Formule of deformule van Heun

• formule van Heun = voorbeeld van een twee-stappen-method • verbetering want lokale afbreekfout is nu evenredig met h3

(30)

Demo : verbeterde Euler differentie-schema

t VW Euler AW Euler verbeterde Euler exact

0.0 1.000000000 1.000000000 1.000000000 1.000000000 0.1 1.943172197 1.950460855 1.946791410 1.946798666 0.2 3.631370468 3.657932317 3.644547911 3.644574359 0.3 6.674663121 6.747262115 6.710647118 6.710719404 0.4 12.18267594 12.35905654 12.27002040 12.27019598 0.5 22.17365724 22.57539520 22.37241888 22.37281880 0.6 40.31850813 41.19693680 40.75271940 40.75359382 0.7 73.29406532 75.16146002 74.21628680 74.21814560 0.8 133.2445262 137.1332887 135.1632595 135.1671306 0.9 242.2584248 250.2300663 246.1880823 246.1960180 1.0 440.5116015 456.6510807 448.4603713 448.4764372

(31)

De Runge-Kutta methode

• de voorwaartse en achterwaartse Euler-schema’s en het verbeterde Euler-schema behoren tot de Runge-Kutta methoden

• methode oorspronkelijk ontwikkeld door Runge en Kutta, wordt nu de klassieke vierde-orde vier-staps-Runge-Kutta methode genoemd, of kortwegde Runge-Kutta methode

• heeft een lokale afbreekfout die evenredig is met h5, dus twee

grootte-ordes nauwkeuriger van de verbeterde Euler methode en zelfs drie grootte-ordes beter dan de Euler methode

• nochtans relatief eenvoudig te gebruiken en voldoende nauwkeurig om de meeste problemen effici¨ent aan te pakken (zeker waar voor adaptieve Runge-Kutta methoden, waarin variabele stapgroottes voorzien zijn)

(32)

De Runge-Kutta methode

• Runge-Kutta formule houdt een gewogen gemiddelde in van waarden van F (t, y ) in verschillende punten in het interval [ti, ti +1] :

yi +1 = yi+ h ki 1+ 2ki 2+ 2ki 3+ ki 4 6 (38) waarbij ki 1 = F (ti, yi) ki 2 = F (ti+ 1 2h, yi + 1 2hki 1) ki 3 = F (ti+ 1 2h, yi + 1 2hki 2) ki 4 = F (ti+ h, yi + hki 3) (39) • is dus vierde-orde nauwkeurigin de stapgrootte h

(33)

Demo : verbeterde Euler differentie-schema

t Heun (rel. fout) Runge-Kutta relatieve fout exact

0.0 0.000000000000 % 1.000000000 0.000000000000 % 1.000000000 0.1 0.0372714453e-2 % 1.946798669 0.1540991399e-6 % 1.946798666 0.2 0.0725681448e-2 % 3.644574360 0.2743804630e-7 % 3.644574359 0.3 0.1077172143e-2 % 6.710719409 0.7450766004e-7 % 6.710719404 0.4 0.1430946990e-2 % 12.27019599 0.8149829079e-7 % 12.27019598 0.5 0.1787526210e-2 % 22.37281884 0.1787883787e-6 % 22.37281880 0.6 0.2145626724e-2 % 40.75359392 0.2453771327e-6 % 40.75359382 0.7 0.2504508816e-2 % 74.21814577 0.2290544969e-6 % 74.21814560 0.8 0.2863935916e-2 % 135.1671314 0.5918598674e-6 % 135.1671306 0.9 0.3223325895e-2 % 246.1960191 0.4467984531e-6 % 246.1960180 1.0 0.3582328673e-2 % 448.4764388 0.3567634478e-6 % 448.4764372

(34)

Numerieke stabiliteit

• numerieke stabiliteitheeft te maken met het feit dat kleine rekenfouten die voorkomen in de loop van een wiskundige procedure kunnen

uitdempen naarmate de procedure wordt verder gezet

• tegenovergestelde kan ook gebeuren: als dergelijke kleine fouten accumuleren en dus (eventueel onbegrensd) toenemen, is de procedure onstabiel

• om deze instabiliteiten te vermijden, kan het nodig zijn beperkingen op te leggen aan de stapgrootte h

(35)

PAUZE

“I hear and I forget. I see and I remember. I do and I understand.” [Chinese Proverb]

(36)

Inleiding en motivatie

• veel problemen : twee of meer onafhankelijke variabelen

⇒ wiskundige modellen : parti ¨ele Dvgln

• belangrijke methode voor het oplossen van dergelijke parti¨ele Dvgln = scheiding van veranderlijken

⇒ parti¨ele Dvgl vervangen door stelsel van gewone Dvgln waarvan de oplossingen moeten voldoen aan gegeven rand- en beginvoorwaarden ⇒ eerst enkele belangrijke kenmerken van randvoorwaarden-problemen

(37)

Inleiding en motivatie

• oplossing van parti¨ele Dvgl wordt uitgedrukt als een oneindige reeks (of soms een eindige som) van de oplossingen van de gewone Dvgl

⇒ vaak is dat eenFourier-reeks ⇒ bespreking

• dan: illustratie van methode van scheiding van veranderlijken in een aantal toepassingen aangaande warmtegeleiding, golf-voortplanting, en potentiaalproblemen (tijds-onafhankelijk)

(38)

Hoofdstuk 9 : Parti¨

ele Dvgln en Fourier-reeksen

• Randvoorwaarden-problemen

- Randvoorwaarden versus beginvoorwaarden

- Eigenwaarden-problemen

• Uitbreiding van scalair product : motivatie • Scalair product op functie-ruimten

• Fourier-reeksen

• Parti¨ele differentiaalvergelijkingen - De warmte-vergelijking - De golf-vergelijking - De Laplace-vergelijking • Enkele slotbemerkingen

(39)

Randvoorwaarden versus beginvoorwaarden

• tot nu toe : vooral over beginvoorwaarden-problemen • typisch voorbeeld :

y00+ p(t)y0+ q(t)y = g (t) (40) met beginvoorwaarden

y (t0) = y0, y0(t0) = y00 (41) • cf. hfst 5 : onafh. veranderlijke kan iets anders zijn dan de tijd

• veel toepassingen leiden bovendien tot een ander type problemen: y of y0 gegeven intwee verschillende punten=randvoorwaarden-problemen

(40)

Randvoorwaarden versus beginvoorwaarden

• typisch voorbeeld RVWn-probleem :

y00+ p(x )y0+ q(x )y = g (x ) (42) met de randvoorwaarden

y (a) = y0, y (b) = y1 (43) • OPM:x als onafh. variabele want RVWn-problemen betreffen meestal

een ruimtelijkeco¨ordinaat als onafh. variabele (kan ook t zijn)

• oplossing van RVWn-probleem (42)-(43) vereist vinden van de functie y = φ(x ) die aan de Dvgl (42) voldoet in ]a, b[ ´en bovendien de waardeny0eny1 aanneemt in, respectievelijk,x =aenx =b

(41)

Opmerkingen

• RVWn-problemen kunnen ook niet-lineaire Dvgln bevatten en/of hogere-orde Dvgln (hier: enkel lineaire Dvgln)

• lineaire RVWn-problemen zijnal dan niet homogeen :

alsg identiek nul is, en ook de randwaardeny0 eny1nul zijn, dan is het probleem (42)-(43) homogeen, anders is het probleeminhomogeen ⇒ een homogene DVGL met inhomogene RVWn is dus een

(42)

Opmerkingen

• het RVWn-probleem (42)-(43) lijkt sterk op het

BVWn-probleem(40)-(41), maar de oplossingen van deze twee problemen verschillen opmerkelijk

• voor niet al te strenge voorwaarden op de co¨effici¨enten hebben BVWn-problemen altijd een unieke oplossing (zie bv. St 3.1, St 3.2, St 3.3)

• RVWn-problemen kunnen onder gelijkaardige voorwaarden wel een unieke oplossing hebben, maar ze kunnen ook g ´e ´en oplossing hebben of, in bepaalde gevallen, oneindig veel oplossingen

(43)

Voorbeeld

• beschouw het RVWn-probleem : y00+1

4y = 0, y (0) = 1, y (π) = 2 • dealgemene oplossing van de Dvgl is

y = c1cos x 2 + c2sin x 2 • eerste RVW ⇒ c1 = 1, tweede RVW ⇒ c2 = 2 ⇒ unieke oplossing: y = cosx 2 + 2sin x 2

(44)

Nog een voorbeeld

• beschouw nu het gelijkaardige RVWn-probleem

y00+ y = 0, y (0) = 1, y (π) = a met a een bepaald getal

⇒ algemene oplossing is opnieuw

y = c1cosx + c2sinx

en met de eerste RVW vinden we terug datc1= 1

• tweede RVW ⇒ c1 = −a ⇒ RVWn incompatibel alsa 6= −1

(45)

Nog een voorbeeld

• als a = −1 zijn beide RVWn voldaan met c1 = 1, onafh. van de waarde

van c2

⇒ in dit geval zijn er dusoneindig veel oplossingen van de vorm y = cosx + c2sinx

(46)

Het overeenkomstige homogene probleem

• hetovereenkomstige homogene probleem bij het RVWn-probleem (42)-(43) bestaat uit de vergelijking

y00+ p(x )y0+ q(x )y =0 (44) en de randvoorwaarden

y (a) =0, y (b) =0 (45)

• OPM: dit probleem heeft (altijd) de oplossing y = 0 voor alle x = de triviale oplossing (is zelden van belang)

(47)

Voorbeeld

• we lossen het volgende RVWn-probleem op:

y00+1

4y = 0, y (0) = 0, y (π) = 0 =overeenkomstige homogene probleem van Vb 9.1 • algemene oplossing van de Dvgl is natuurlijk nog steeds

y = c1cos x 2 + c2sin x 2 • eerste RVW ⇒ c1 = 0, tweede RVW ⇒ c2= 0

⇒ y = 0 voor alle waarden van x

(48)

Voorbeeld

• beschouw nu het overeenkomstige homogene probleem van Vb 9.2: y00+ y = 0, y (0) = 0, y (π) = 0

• de algemene oplossing van de Dvgl is opnieuw y = c1cosx + c2sinx

• eerste RVW ⇒ c1 = 0, tweede RVW is hiermeeautomatisch voldaan

(aangezien sinπ = 0), onafhankelijk van de waarde van c2! ⇒ er zijn hier dus oneindig veel oplossingen van de vorm

(49)

Gelijkenis met lineaire algebra¨ısche stelsels

• de voorbeelden 9.1-9.4 illustreren de gelijkenis tussen lineaire

RVWn-problemen en stelsels van lineaire algebra¨ısche vergelijkingen ⇒ betreft het verband tussen de homogene en de inhomogene vgln:

• als inhom. probleem unieke oplossingheeft (vb 9.1)

⇒ overeenkomstigehom. probleem heeft enkel triviale opl. (vb 9.3) • als inhom. probleem geen of oneindig veel oplossingen heeft (vb 9.2)

⇒ overeenkomstigehom. probleem heeft niet-triviale opln(vb 9.4)

(50)

Opgave!

• Los het volgende RVWn-probleem op:

y00+ 2y = 0, y (0) = 1, y (π) = 0 ⇒ algemene oplossing van de DVGL is:

y = c1cos

√

2x + c2sin

√ 2x

• met de eerste RVW vinden we dat c1= 1

• tweede RVW: 0 =1cos√2π + c2sin

√

2π ⇒ c2= −cot

√ 2π

⇒ unieke oplossing:

(51)

Nog een opgave!

• Los het volgende RVWn-probleem op:

y00+ 2y = 0, y (0) = 0, y (π) = 0

⇒ algemene oplossing van de DVGL is: y = c1cos

√

2x + c2sin

√ 2x

• met de eerste RVW vinden we dat c1= 0

• tweede RVW: 0 = c2sin

√

2π ⇒ c2 = 0