DVGLn 2012-2013 - les05_handout

cf. Vorige les. . . Toepassing: mechanische en elektrische trillingen

DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN

Stefaan Poedts

cf. Vorige les. . . Toepassing: mechanische en elektrische trillingen

Vorige les. . .

• inhomogenevergelijking (2de orde)

L[y ](t) = y00(t) + p(t)y0(t) + q(t)y (t) =g (t) (∗) met p, q en g gegeven (continue) functies op een open interval I • wat is de algemene oplossing?

y (t) = Φ(t) = c1y1(t) + c2y2(t) + Y (t),

• hoe bepaal je de particuliere oplossing? - methode onbepaalde co¨effici¨enten - variatie van parameters

cf. Vorige les. . . Toepassing: mechanische en elektrische trillingen

Opgave

Bepaal voor λ > 0, λ 6= 1, de oplossing van  



y00+ y = sin(λt), y (0) = 0, y0(0) = 1,

Overeenkomstige homogene vergelijking:

• kar. vgl.: r2+ 1 = 0 ⇒ r1,2 = ±i

⇒ yc =c1cost + c2sint

Inhomogene vergelijking:

• part. opl. via onbepaalde co¨eff. stel Y =Asin(λt) ⇒ A(1 − λ2_{) = 1 ⇒ A = 1/(1 − λ}2₎

Algemene oplossing:

• y =c1cost + c2sint + 1

cf. Vorige les. . . Toepassing: mechanische en elektrische trillingen

Opgave (vervolg)

Beginvoorwaarden gebruiken: • y (0) = c1cos0+ c2sin0+ 1 1 − λ2sin(λ0) = c1 = 0 • y0(0) = −c1sin0+ c2cos0+ λ 1 − λ2cos(λ0) = c2+ λ 1 − λ2 = 1 ⇒ c₂= 1 − λ 1 − λ2 = 1 − λ − λ2 1 − λ2

Unieke particuliere oplossing: ⇒ y = (1 − λ − λ

2_{)sint + sin(λt)}

Hoofdstuk 4

• Algemene theorie van lineaire vergelijkingen van orde n - De homogene vergelijking

- De inhomogene vergelijking

• Homogene vergelijkingen met constante co¨effici¨enten - Re¨ele en verschillende wortels

- Complexe wortels - Samenvallende wortels

• De methode van onbepaalde co¨effici¨enten • De methode van variatie van parameters

Hoofdstuk 4

• veralgemening theoretische structuuren oplossingsmethoden uit het vorige hoofdstuk voor lineaire differentiaalvergelijkingen van orde 3 en hoger

• orde ‘n’ ⇒ hoger abstractieniveau

• resultaten gelden voor een veel groter toepassingsgebied

Definitie

Def.: Een differentiaalvergelijking wordt eenalgemene lineaire differen-tiaalvergelijking van orden genoemd als ze in de volgende vorm kan geschreven worden:

y(n)+ p1(t)y(n−1)+ . . . + pn−1(t)y0+ pn(t)y = g (t), (∗)

waarbij p1(t), . . . , pn(t), g (t) gegeven functies zijn van de

veran-derlijke t. Opmerkingen: • 6= notaties: y(n)= d n_y dtn = D n_y

Aannames en notatie

• we laten toe dat p1(t), . . . , pn(t), g (t) en ook de y (t) complexe functies

van ´e ´en re ¨ele veranderlijkezijn (cf. hfdst 2)

• we nemen aan dat p1(t), . . . , pn(t), g (t)continu zijn op een open interval

I = ]α, β[ ⊂ R

• notatie: F = {f : I ⊂ R → C}

Lineaire differentiaaloperator

• definieer de afbeelding L : F → F : y 7→ L[y ] = y(n)+ p1y(n−1)+ · · · + pn−1y 0 + pny = Dny + p1Dn−1y + · · · + pn−1Dy + pny • verkorte notatie: L = Dn+ p1Dn−1+ · · · + pn−1D + pn

•OPM: L[y ] enkel gedefinieerd als y n keer afleidbaar is

(wordt stilzwijgend verondersteld)

• L wordtlineaire differentiaaloperator genoemd (cf. hfdst 3) ⇒ we tonen aan dat dit zo is :

Lineaire differentiaaloperator

Eigenschap 4.1 :

L : F → F is een lineaire afbeelding. Bewijs:

• Zij a, b ∈ C en y1, y2 ∈ F

⇒ Te Bewijzen: L(ay1+ by2) = aL[y1] + bL[y2]

L[ay1+ by2] = (ay1+ by2)(n)+ p1(ay1+ by2)(n−1)+ . . . + pn(ay1+ by2) = ay₁(n)+by₂(n)+ap1y (n−1) 1 +bp1y (n−1) 2 + . . . +apny1+bpny2 = a(y₁(n)+ p1y (n−1) 1 + . . . + pny1)+b(y (n) 2 + p1y (n−1) 2 + . . . + pny2) = aL[y1] + bL[y2] 

• wiskundige theorie verbonden aan

y(n)+ p1(t)y(n−1)+ . . . + pn−1(t)y0+ pn(t)y = g (t) (∗)

is volledig analoogaan die voor de lin. vgl. van 2de orde (cf. hfdst 3) • vb. veralgemening Stelling 3.3 :

Stelling 4.1 :

Bestaans- en ´e ´enduidigheidsstelling

Zij p1, . . . , pn, g : I ⊂ R → C continue functies en t0 ∈ I. Zij

y0, . . . , y0(n−1)∈ C, dan bestaat er ´e ´en en juist ´e ´en oplossingyvan vgl.(∗)

die voldoet aan de (n) beginvoorwaarden

De homogene vergelijking

• we bespreken opnieuw eerst de homogene vergelijking

L[y ](t) = y(n)+ p1(t)y(n−1)+ · · · + pn−1(t)y0+ pn(t)y = 0 (∗)

• we tonen nu aan dat de verzameling van alle oplossingen van een homogene lineaire Dvgl een n-dimensionale lineaire deelruimteis vanF • Gevolg Eig. 4.1 : als y1, y2, . . . , yn oplossingen zijn van vgl. (∗), dan ook

de lineaire combinatie

y (t) = c1y1(t) + c2y2(t) + · · · + cnyn(t)

met willekeurige c1, c2, . . . , cn

⇒ kan elkeoplossing van vgl. (∗) als lineaire combinatie van y1, y2, . . . , yn

De homogene vergelijking (vervolg)

• is zo als, onafhankelijk van de opgelegde BVWn, c1, c2, . . . , cn zo

gekozen kunnen worden dat de BVWn voldaan zijn door y (t) = c1y1(t) + c2y2(t) + · · · + cnyn(t)

• m.a.w.voor elke keuze van t0 ∈ I en y0, y00, . . . , y (n−1)

0 , moet het mogelijk zijn c1, c2, . . . , cnzo te bepalen dat voldaan is aan

c1y1(t0) + c2y2(t0) + · · · + cnyn(t0) = y0,

c1y10(t0) + c2y20(t0) + · · · + cnyn0(t0) = y00,

..

. (∗∗)

De homogene vergelijking (vervolg)

• stelsel (∗∗) heeft unieke oplossing als de determinant van de co¨effici¨entenmatrix niet gelijk is aan nul(en vice versa)

⇒ nodige en voldoende voorwaarde voor het bestaan van een oplossing van vgln. (∗∗) voor willekeurige y0, y00, . . . , y

(n−1)

0 is dus dat deWronskiaan

W (y1, . . . , yn)(t) =          y1(t) y2(t) · · · yn(t) y₁0(t) y₂0(t) · · · y_n0(t) .. . ... ... y₁(n−1)(t) y₂(n−1)(t) · · · yn(n−1)(t)          , (∗ ∗ ∗) niet nul is in t = t0

• maar t0 kanelk punt kan zijn in I

De homogene vergelijking (vervolg)

• cf. 2de orde vgln: men kan aantonen dat als y1, y2, . . . , yn oplossingen

zijn van vgl. (∗), W (y1, . . . , yn) ofwel gelijk is aan nul voor elke t ∈ I of

anders nergens gelijk aan nul is in I • de volgende stelling geldt dus:

Stelling 4.2 :

Alsp1, p2, . . . , pn continu zijn op het open intervalI, als y1, y2, . . . , yn

op-lossingen zijn van vgl. (∗), en als W (y1, . . . , yn)(t) 6= 0 voor tenminste

´e ´en punt inI, dan kan elke oplossing van vgl.(∗)uitgedrukt worden als een lineaire combinatie vany1, y2, . . . , yn.

De homogene vergelijking: algemene oplossing

• een set opln y1, y2, . . . , yn van vgl. (∗) waarvan de Wronskiaan niet nul

is wordt eenfundamentele set van oplossingengenoemd

• bestaan van zo’n set kan op precies dezelfde manier aangetoond worden als voor lineaire vgln van de 2de orde (zie Stelling 3.7).

⇒ ´alleoplossingen van vgl. (∗) zijn van de vorm

y (t) = c1y1(t) + c2y2(t) + · · · + cnyn(t)

Lineaire (on-)afhankelijkheid

• ook lineaire (on-)afhankelijkheid (cf. sectie 3.2.3) is te veralgemenen • functies f1, f2, . . . , fn worden lineair afhankelijkgenoemd op I als er een

set van constanten k1, k2, . . . , kn, die niet alle nul zijn, bestaat zodat

k1f1+ k2f2+ . . . + knfn= 0 voor alle t ∈ I

zoniet zijn f1, f2, . . . , fn lineair onafhankelijk

• men kan aantonen dat W (y1, . . . , yn)(t0) 6= 0 voor een t0∈ I een nodige

en voldoende voorwaarde is voor lineaire onafhankelijkheid

- fundamentele set van oplossingen is dus lineair onafhankelijk

De inhomogene vergelijking

• beschouw nu de inhomogene vergelijking

y(n)+ p1(t)y(n−1)+ . . . + pn−1(t)y0+ pn(t)y = g (t) (∗)

• als Y1 en Y2 willekeurigeoplossingen zijn van deze vgl, dan volgt

onmiddellijk uit Eig. 4.1 dat

L[Y1− Y2](t) = L[Y1](t) − L[Y2](t) = g (t) − g (t) = 0

⇒ Y1− Y2 is dus een oplossing van de overeenkomstige hom. vgl.

(cf. hfdst 3)

⇒ Y1− Y2 kan dus uitgedrukt worden alslin. combinatie van een

De inhomogene vergelijking: algemene oplossing

⇒ cf. hfdst 3: elke oplossing van vgl. (∗) is dus van de vorm

y (t) = c1y1(t) + c2y2(t) + . . . + cnyn(t) + Y (t) (∗∗)

waarbij Y (t) een particuliere oplossing is van de inhom. vgl. ⇒ (∗∗) is de algemene oplossingvan de inhom. vergelijking (∗)

⇒ fundamentele probleem is dus opnieuw hetbepalen van een

fundamentele set van opln van de overeenkomstige hom. vergelijking • vrij eenvoudig als de co¨effici¨enten constanten zijn

• zoniet zijn meestal numerieke oplossingsmethoden of reeksmethoden

De inhomogene vergelijking: opmerking

• methode van de ordereductie (cf. sectie 3.2.5) ook toegepasbaar op lineaire Dvgln van orde n:

- stel dat y1 oplossing is van overeenkomstige hom. vgl.

⇒ subst. y =v (t)y1(t) levert lin. Dvgl op van orde n − 1 voor v0

• voor n ≥ 3 is deze gereduceerde vergelijking dus zelf van de orde 2 of hoger, meestal niet eenvoudiger dan oorspronkelijke vergelijking

Homogene vergelijkingen met constante co¨

effici¨

enten

• beschouw de n-de orde lineaire homogene differentiaalvergelijking

L[y ] = a0y(n)+ a1y(n−1)+ · · · + an−1y0+ any = 0 (∗)

waarbij a0, a1, . . . , an re¨ele constanten zijn

• OPM: cf. ‘Calculus en analyse’ (1ste bach): gewone differentiaaloperator

• inderdaad, afbeelding L te zien als veelterm P(D):

L = a0Dn+ a1Dn−1+ · · · + an−1D + an= P(D)

⇒ Dvgl (*) kan dan genoteerd worden als P(D)y = 0 • P is dekarakteristieke veeltermvan vgl. (∗)

Homogene vergelijkingen met constante co¨

effici¨

enten

• beschouw de n-de orde lineaire homogene differentiaalvergelijking

P(D)y = a0y(n)+ a1y(n−1)+ · · · + an−1y0+ any = 0 (∗)

waarbij a0, a1, . . . , an re¨ele constanten zijn

• cf. hfdst 3: opl van vorm y (t) = ert te verwachten voor geschikte r • inderdaad :

P(D)ert = ert(a0rn+ a1rn−1+ · · · + an−1r + an) = ertP(r )

voor alle r met

Homogene vergelijkingen met constante co¨

effici¨

enten

• voor die r waarvoor P(r ) = 0, is dus ook P(D)ert = 0 ⇒ ert is een oplossing van vgl. (∗)

• P(r ) = 0 is dekarakteristieke vergelijking van vgl. (∗)

• cf. hfdst 2 : veelterm van graad n heeft n nulpunten en kan dus in de vorm

P(r ) = a0(r − r1)(r − r2) · · · (r − rn)

Re¨

ele en verschillende wortels

• stel: wortels van de karakteristieke vergelijking zijn re¨eel en allemaal verschillend

⇒ n verschillende oplossingen er1t_{, e}r2t_{, . . . , e}rnt _{van vgl. (∗)}

• als deze n functies lineair onafh. zijn, dan is de alg. opl. y = c1er1t+ c2er2t+ · · · + cnernt (∗∗)

• lineaire onafhankelijkheid van er1t_{, e}r2t_{, . . . , e}rnt _{kan aangetoond worden}

Voorbeeld

• bepaal de algemene oplossing van

y(4)+ y000− 7y00− y0+ 6y = 0 (∗)

en zoeken de oplossing die bovendien voldoet aan de beginvoorwaarden y (0) = 1, y0(0) = 0, y00(0) = −2, y000(0) = −1 (∗∗)

• stel y = ert ⇒ karakteristieke vergelijking: r4+ r3− 7r2− r + 6 = 0 ⇒ wortels zijn: r1 = 1, r2= −1, r3 = 2 en r4 = −3

⇒ algemene oplossing van vgl. (∗) is dus

Voorbeeld (vervolg)

• opleggen BVWn (∗∗) levert stelsel op voor c1, c2, c3, c4 :

       c1+ c2+ c3+ c4= 1 c1− c2+ 2c3− 3c4= 0 c1+ c2+ 4c3+ 9c4= −2 c1− c2+ 8c3− 27c4= −1

• oplossing van dit systeem : c1 = 11 8 , c2 = 5 12, c3= − 2 3, c4= − 1 8 ⇒ oplossing van het beginvoorwaardenprobleem is:

y = 11 8 e t₊ 5 12e −t₋ 2 3e 2t₋1 8e −3t

Voorbeeld (vervolg)

–0.8 –0.6 –0.4 –0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

y

0.2 0.4 0.6 0.8 1

t

Opmerking

• de oplossingsprocedure van een n-de orde lineaire

differentiaalvergelijking hangt dus af vanhet vinden van de wortels van de overeenkomstige karakteristieke vergelijking

• dit is een veeltermvergelijking van graad n ⇒ niet altijd even eenvoudig!

- cf. methodes aangeleerd in het secundair onderwijs

Complexe wortels

• beschouw opnieuw de n-de orde lineaire homogene Dvgl

L[y ] = a0y(n)+ a1y(n−1)+ · · · + an−1y0+ any = 0 (∗)

waarbij a0, a1, . . . , an re ¨ele constanten zijn

• als de karakteristieke vergelijking

P(r ) = a0(r − r1)(r − r2) · · · (r − rn) = 0

complexe wortelsheeft, moeten ze in toegevoegde paren, λ ± i µ, voorkomen aangezien de co¨effici¨enten a0, . . . , an re¨ele getallen zijn

Complexe wortels: opmerking

• als geen enkele wortel een multipliciteit hoger dan 1 heeft, is de algemene oplossing van vgl. (∗) nog steeds van de vorm

y = c1er1t+ c2er2t+ · · · + cnernt (∗∗)

• cf. sectie 3.2.4: de complexe oplossingen e(λ+i µ)t en e(λ−i µ)t kunnen vervangen worden door de re ¨ele oplossingen

eλtcosµt en eλtsinµt

⇒ stemmen overeen met re¨ele en imaginaire deel van e(λ+i µ)t

⇒ het is dus nog steeds mogelijk om de algemene oplossing van vgl.(∗)te

Complexe wortels: voorbeeld

• we bepalen de algemene oplossing van

y(4)− y = 0 (∗)

en zoeken de oplossing die bovendien voldoet aan de beginvoorwaarden y (0) = 7 2, y 0_{(0) = −4, y}00_{(0) =} 5 2, y 000_{(0) = −2 (∗∗)} • karakteristieke vergelijking: r4− 1 = (r2_{− 1)(r}2_{+ 1) = 0} ⇒ wortels : r = 1, −1, i , −i ⇒ algemene oplossing is dus

Complexe wortels: voorbeeld

• als we de beginvoorwaarden y (0) = 7 2, y 0_{(0) = −4, y}00_{(0) =} 5 2, y 000_{(0) = −2} opleggen, vinden we c1 = 0, c2 = 3, c3 = 1 2, c4 = −1 ⇒ de oplossing van het beginvoorwaardenprobleem is dus

y = 3e−t +1

Complexe wortels: voorbeeld

–1 0 1 2 3

y

2 4 6 8 10 12 14

t

Complexe wortels: opmerking

• het vorige voorbeeld maakt duidelijk dat de beginvoorwaarden een enorm belangrijke rol spelen

⇒ door de keuze y (0) = 7 2, y 0_{(0) = −4, y}00_{(0) =} 5 2, y 000_{(0) = −2}

was de co¨effici¨ent c1 = 0

⇒ de snel groeiende exp. term in de alg. opl. werd uitgeschakeld

• voor een lichtjes andere keuze van BVWn zal c1 6= 0 en zal de

PAUZE

Whoever despises the high wisdom of mathematics nourishes himself on delusion.

Samenvallende wortels

• beschouw opnieuw de n-de orde lineaire homogene Dvgl

L[y ] = a0y(n)+ a1y(n−1)+ · · · + an−1y0+ any = 0 (∗)

waarbij a0, a1, . . . , an re¨ele constanten zijn

• als de karakteristieke vergelijking

P(r ) = a0(r − r1)(r − r2) · · · (r − rn) = 0

samenvallende wortels heeft, dan is

y = c1er1t+ c2er2t+ · · · + cnernt

Samenvallende wortels (vervolg)

• cf. overeenkomstige geval hfdst 3 :

⇒ twee lin. onafh. opln. er1t _enter1t _gevonden

⇒ analoog voor vergelijkingen van orde n :

als P(r ) = 0 bv. een wortel r1 heeft met multipliciteit m1 ≤ n, heeft

vgl. (∗) als oplossingen

er1t_{, te}r1t_{, t}2_er1t_{, . . . , t}m1−1_er1t_,

Samenvallende wortels (vervolg)

Hulpstelling 4.1 :

Voor elke functiew ∈ F, elker ∈ Cen_{k ∈ N}geldt dat (D − r )k(wert) = (Dkw )ert.

Bewijs: volledige inductie

• Basis: voor k = 1 vinden we

(D − r )(wert) = (Dw )ert+ wrert− rwert = (Dw )ert • Inductiestap: stel dat de stelling waar is voor k, we moeten dan

bewijzen dat ze ook geldt voor k + 1. We vinden (D − r )k+1(wert) = (D − r )  (D − r )k(wert)  = (D − r )(Dkw )ert (cf. inductiehypothese) = (Dk+1w )ert−r (Dkw )ert+ r (Dkw )ert = (Dk+1w )ert

Direct gevolg Hulpstelling 4.1

• als een functie w voldoet aan Dk_{w = 0, dan is automatisch}

(D − r )k(wert) = 0 ⇒ de functies

er1t_{, te}r1t_{, t}2_er1t_{, . . . , t}m1−1_er1t _(∗∗)

zijn dus inderdaad allemaal oplossingen van de vergelijking (D − r1)m1y = 0

Hulpstelling 4.2 :

De functies(∗∗)zijn lineair onafhankelijk. Bewijs:

• stel dat

c1er1t+ c2ter1t+ . . . + cm1t

m1−1_er1t _{= 0}

• aangezien er1t _{6= 0, moet dus}

c1+ c2t + . . . + cm1t

m1−1_{= 0}

• veelterm is enkel identiek nul is als alle co¨effici¨enten nul zijn

Opmerkingen

• Stelling 3.7 is makkelijk te veralgemenen: een fundamentele set van oplossingen van vergelijking (*) bevat n functies

⇒ de m1 functies

er1t_{, te}r1t_{, t}2_er1t_{, . . . , t}m1−1_er1t _(∗∗)

vormen dus een basis voor de oplossingsruimte van (D − r1)m1y = 0

⇒ dealgemene oplossing van (D − r1)m1y = 0 wordt gegeven door

y (t) = c1er1t+ c2ter1t+ . . . + cm1t

m1−1_er1t

= (c1+ c2t + . . . + cm1t

m1−1_{) e}r1t

= Z (t) er1t

Besluit

Stelling 4.3 :

Zijr1, . . . , rk ∈ Ronderling verschillende re ¨ele getallen en zijm1, . . . , mk ∈

N0. Dan wordt de algemene oplossing van de vergelijking

(D − r1)m1(D − r2)m2. . . (D − rk)mky = 0,

gegeven door

y (t) = Z1(t)er1t+ Z2(t)er2t+ . . . + Zk(t)erkt,

waarbij deZl willekeurige veeltermen zijn van graadml − 1voor elkel =

Samenvallende complexe wortels

• stel complexewortel λ + i µ heeft multipliciteit m, dan heeft λ−i µ ook

multipliciteitm

⇒ 2m complexe oplossingen, maar makkelijk 2mre ¨ele oplossingente

vinden aangezien de re¨ele en imaginaire delen van

e(λ+i µ)t, te(λ+i µ)t, . . . , tm−1e(λ+i µ)t ook lineair onafhankelijke oplossingen zijn:

eλtcosµt, eλtsinµt,teλtcosµt,teλtsinµt, . . . ,tm−1eλtcosµt,tm−1eλtsinµt, ⇒ algemene oplossing van vgl. (∗) kan nog steeds geschreven worden als

Samenvallende wortels : voorbeeld

• bepaal de algemene oplossing van y(4)+ 2y00+ y = 0 • de karakteristieke vergelijking is

r4+ 2r2+ 1 = (r2+ 1)(r2+ 1) = 0 ⇒ λ = 0, µ = 1 ⇒ wortels : r = i , −i , i , −i

⇒ dealgemene oplossing is dus

y = c1cost + c2sint + c3tcost + c4tsint

• OPM : het kan nodig zijn wortels te trekken uit een complex getal ⇒ cf. hfdtst 2: via de formule van Euler, eit = cost + i sint

Samenvallende wortels : opmerkingen

• zelfde probleem : alle wortels nodig van een veeltermvergelijking ⇒ niet altijd even gemakkelijk, zelfs niet met een computer :

onderscheidsamenvallend - dicht bij elkaar liggendsoms moeilijk ⇒ belangrijk : vorm alg. oplossing verschillendin deze twee gevallen

• als de co¨effici¨enten a0, a1, . . . , an in vgl. (∗) complexe getallenzijn

⇒ oplossing nog steeds van de vorm (HStelling 4.1 is algemeen!) y = c1er1t+ c2er2t+ · · · + cnernt

maar de r1, . . . , rn zijn dan in het algemeen complex

+complex toegevoegde van een wortel is niet altijd ook een wortel

Inhomogene lineaire vergelijkingen

• beschouwinhomogene lineaire vgl van orde n met const. co¨effici¨enten L[y ] = a0y(n)+ a1y(n−1)+ · · · + an−1y0+ any =g (t) (∗)

⇒ een particuliere oplossing Y (t) is te bepalen via demethode van onbepaalde co ¨effici ¨enten,ALSg (t)een geschikte vorm heeft

• niet zo algemeen als demethode van variatie van parameters, MAAR : meestalveel eenvoudiger te gebruiken (indien toepasbaar) • cf. hfdst 3: toepassing van de lineaire differentiaaloperator L (met

constante co¨effici¨enten) op een veelterm, een exp, een sin of cos, resulteert in, respectievelijk, een veelterm, exp, sin en cos

De methode van onbepaalde co¨

effici¨

enten

⇒ als g (t) een som is van veeltermen, exp, sin en cos of producten ervan, kunnen we Y (t) te vinden door een geschikte combinatie voorop te stellen van die functies, vermenigvuldigd met een aantalonbepaalde constanten

• constanten bepalen door die combinatie te substitueren in vgl.(∗)

• enige verschil : karakteristieke vgl kan wortels hebben metmultipliciteit hoger dan 2

⇒ vooropgestelde termen voor inhomogene deel oplossing moeten dan met hogere machten van t vermenigvuldigd worden om ze te doen

De methode van onbepaalde co¨

effici¨

enten: verklaring

• VW voor toepasbaarheid: g moet zelf een oplossing zijn van een

homogene lineaire differentiaalvergelijking met constante co ¨effici ¨enten

⇒ ∃Q : Q(D)g = 0

• want, alternatieve notatie vgl. (∗): P(D)y = g

• als P(D)Y = g ⇒ Q(D)P(D)Y = Q(D)g = 0 (= hom. vgl.!) ⇒ alg. opl. altijd te vinden, nl. als kar. vgl. Q(r )P(r ) = 0 wortels r1, . . . , rk

heeft met multipliciteiten m1, . . . , mk, dan is dealgemene oplossingvan

Q(D)P(D)y = 0 gegeven door y (t) = c₁1er1t + c1 2ter1t + · · · + cm11t m1−1_er1t + · · · + c₁kerkt + ck 2terkt + · · · + cmkkt mk−1_erkt

De methode van onbepaalde co¨

effici¨

enten: verklaring

• Opm.: elke wortel van P(r ) = 0 is ook wortel van Q(r )P(r ) = 0

⇒ algemene opl. bevat dus ook de basisoplossingen van P(D)y = 0

• MAAR: niet elke functie van de vorm y (t) = c₁1er1t + c1 2ter1t + · · · + cm11t m1−1_er1t + · · · + c₁kerkt + ck 2terkt + · · · + cmkkt mk−1_erkt _(∗∗)

is oplossing van de oorspronkelijke differentiaalvergelijking P(D)y = g ⇒ EIS dus nu dat (∗∗) een oplossing is van P(D)y = g

⇒ basisoplossingen van P(D)y = 0 vallen weg

⇒ co¨eff. opln. bepalen door in P(D)y = g LL en RL te vergelijken ⇒ zo vinden we de particuliere oplossing Y

Voorbeeld

• bepaal de algemene oplossing van y000− 3y00+ 3y0− y = 4et _(∗)

• karakteristieke veelterm van de overeenkomstige homogene vergelijking : r3− 3r2+ 3r − 1 = (r − 1)3

⇒ algemene oplossing van de overeenkomstige hom. vgl. is

yc(t) = c1et+ c2tet+ c3t2et (∗∗)

• voor particuliere oplossing : veronderstellen datY (t) = Aet ? • MAAR : et, tet en t2et zijn oplossingen v/d hom. vgl.

⇒ beginkeuze vermenigvuldigen met t3 : stel dus dat Y (t) = At3et metAeen onbepaalde co ¨effici ¨ent

Voorbeeld (vervolg)

• NB: we weten nu ook waarom dit zo is!

• rechterlid van y000− 3y00+ 3y0− y = 4et _{is immers oplossing van de}

homogene vergelijking (D − 1)y = 0

⇒ hier is P(D) = (D − 1)3 _{en Q(D) = (D − 1)}

• voor Q(D)P(D)y = 0 vinden we dus (D − 1)4y = 0 , met de algemene oplossing gegeven door

y (t) = c1et+ c2tet+ c3t2et

| {z }

=yc(t)

+c4t3et

Voorbeeld (vervolg)

• Om A te vinden, leiden we Y (t) drie keer af en substitueren we y en de afgeleiden ervan in vgl. (∗)

⇒ na vereenvoudiging bekomen we 6Aet = 4et ⇒ A = 2 3 ⇒ de particuliere oplossing is dus

Y (t) = 2 3t

3_et _{(∗ ∗ ∗)}

• algemene oplossing van vgl. (∗) is dan

y (t) = c1et+ c2tet+ c3t2et | {z } yc(t) +2 3t 3_et | {z } Y (t)

Nog een voorbeeld

• bepaal een particuliere opl. van y(4)+ 2y00+ y =3sint − 5cost (∗) • algemene opl. hom. vgl. al gevonden in vb. 4.3 :

yc(t) = c1cost+ c2sint+ c3t cost + c4t sint (∗∗)

in overeenstemming met de wortels r = i , −i , i , −i van de kar. vgl. ⇒ hier is P(D) = (D2_{+ 1)}2 _{en Q(D) = D}2_{+ 1}

• dus is Q(D)P(D)y = (D2+ 1)3y = (D − i )3(D + i )3y = 0 ⇒ neem dus de volgende vorm aan voor Y (t):

Nog een voorbeeld (vervolg)

• Y (t) vier keer afleiden en alles substitueren in vgl. (∗) levert: −8Asint−8Bcost =3sint−5cost

⇒A = −3

8 en B =

5 8

⇒ een particuliere oplossing van vgl. (∗) is dus Y (t) =−3

8t

2_{sint +} 5

8t

Opmerking

alsg (t)een som is van verschillende termen ⇒ cf. vgl. van de tweede orde:

- het kan eenvoudiger zijn de particuliere oplossingen horende bij elk van deze termen afzonderlijk te bepalen

- particuliere oplossing van het volledige probleem is dan gewoon de som van deze particuliere oplossingen van de afzonderlijke deelproblemen

De methode van variatie van parameters

• alternatieve methode voor bepalen van een particuliere oplossing van de inhomogene lineaire differentiaalvergelijking van de n-de orde

L[y ](t) = y(n)+ p1(t)y(n−1)+ . . . + pn−1(t)y0+ pn(t)y = g (t) (∗)

• directe uitbreiding van de gelijknamige methode voor

differentiaalvergelijkingen van de tweede orde (cf. hfdst 3)

⇒ eerst de overeenkomstige hom. vgl. oplossen (kan in het algemeen problemen opleveren tenzij de co¨effici¨enten constanten zijn) • algemener dan de methode van onbepaalde co ¨effici ¨enten :

De methode van variatie van parameters (vervolg)

• stel : y1, y2, . . . , yn is set van fund. opln. v/d hom. vgl.

⇒ alg. opl. hom. vgl. is dan

yc(t) =c1y1(t) +c2y2(t) + · · · +cnyn(t) (∗∗)

• variatie van parameters : steunt op de mogelijkheid om n functies u1, u2, . . . , un te bepalen zodat y (t) van de volgende vorm is

Y (t) =u1(t)y1(t) +u2(t)y2(t) + · · · +un(t)yn(t) (∗ ∗ ∗)

⇒ n functieste bepalen ⇒ n voorwaarden specifi¨eren! • ´e´en voorwaarde is dat Y (t) aan de vgl. (∗) moet voldoen

De methode van variatie van parameters (vervolg)

• overige n − 1 voorwaardenkiezen we zo dat de berekeningen zo

eenvoudig mogelijk worden

⇒ oplossen hoge-orde differentiaalvergelijkingen voor u1, u2, . . . , un

vermijden

⇒ VWn opleggen die hogere afgeleiden van u1, u2, . . . , un onderdrukken

• uit vgl. (∗ ∗ ∗) vinden we

Y0(t) = (u1y10 + u2y20 + · · · + unyn0) +(u10y1+ u20y2+ · · · + un0yn) ⇒ eerste voorwaarde : u₁0y1+ u20y2+ · · · + un0yn= 0

De methode van variatie van parameters (vervolg)

• analoog verder werken tot aan de (n − 1)-de afgeleide van Y ;

Y(m)(t) = u1y1(m)+ u2y2(m)+ · · · + unyn(m), m = 0, 1, 2, . . . , n − 1, (6)

waarbij we de volgenden − 1 VWn oplegden aan u1, u2, . . . , un:

u0₁y₁(m−1)+ u0₂y₂(m−1)+ · · · + u0_nyn(m−1)= 0, m = 1, 2, . . . , n − 1 (7) ⇒ de n-de afgeleide van Y is dan

Y(n)(t) = (u1y1(n)+ u2y2(n)+ · · · + unyn(n))

De methode van variatie van parameters (vervolg)

• eis tenslotte dat Y een oplossing moet zijn van vgl. (∗)

⇒ afgeleiden van Y uit vgln. (6) en (8), termen herschikken, + gebruik maken van L[yi] = 0, i = 1, 2, . . . , n

⇒ dan bekomen we uiteindelijk:

u₁0y₁(n−1)+ u₂0y₂(n−1)+ · · · + u_n0yn(n−1)= g (9)

• vgl. (9) + de n − 1 vgln. (7) = stelsel van n lineaire inhom. algebra¨ısche vgln. voor u0₁, u0₂, . . . , u0_n :          y1u01+ y2u20+ · · · + ynu0n = 0 y₁0u0₁+ y₂0u₂0+ · · · + y_n0u0_n = 0 .. . y₁(n−1)u0₁+ y₂(n−1)u₂0+ · · · + yn(n−1)u0n = g

De methode van variatie van parameters (vervolg)

⇒ oplossen en de resulterende uitdrukking integreren ⇒ u1, u2, . . . , un

• VW: determinant van de co¨effici¨entenmatrix 6= 0 voor elke t • determinant = Wronskiaan W (y1, y2, . . . , yn)

⇒ nergens nul aangezien y₁, y2, . . . , yn lineair onafh. zijn

• regel van Cramer toepassen : u0_m(t) = g (t)Wm(t)

W (t) , m = 1, 2, . . . , n

met W (t) = W (y1, y2, . . . , yn)(t) en Wm = determinant bekomen uit

De methode van variatie van parameters (vervolg)

⇒ de particuliere oplossing van vgl. (∗) is te schrijven als

Y (t) = n X m=1 ym(t) Z t t0 g (s)Wm(s) W (s) ds waarbij t0 willekeurig is

• OPM : procedure is duidelijk maar berekeningen omslachtiger naarmate n groter is

Een voorbeeld

• gegeven dat y1(t) = et, y2(t) = tet, en y3(t) = e−t de opln zijn van de

homogene vergelijking die hoort bij

y000− y00− y0+ y = g (t) (∗) bepaal een particuliere oplossing

• formule van daarnet gebruiken ⇒ eerst Wronskiaan uitrekenen:

W (t) = W (et, tet, e−t)(t) =       et tet e−t et _{(t + 1)e}t _−e−t et (t + 2)et e−t      

Een voorbeeld

• et factorizeren uit eerste 2 kolommen en e−t uit 3de kolom, en vervolgens 1ste rij aftrekken van de 2de en 3de:

W (t) = et       1 t 1 1 (t + 1) −1 1 (t + 2) 1       R2−R1,R3−R1 = et       1 t 1 0 1 −2 0 2 0      

• kolomontwikkelen volgens de eerste kolom : W (t) = 4et • vervolgens : W1(t) =       0 tet e−t 0 (t + 1)et −e−t 1 (t + 2)et e−t       =     tet e−t (t + 1)et −e−t     = −2t − 1

Een voorbeeld

• analoog : W2(t) =       et 0 e−t et 0 −e−t et 1 e−t       = −     et e−t et −e−t     = 2 en W3(t) =       et tet 0 et (t + 1)et 0 et (t + 2)et 1       =     et _tet et (t + 1)et     = e2t

Een voorbeeld

• dit alles in vgl. (∗) substitueren, levert tenslotte

Y (t) = et Z t t0 g (s)(−1 − 2s) 4es ds + te t Z t t0 g (s)(2) 4es ds + e −tZ t t0 g (s)e2s 4es ds = 1 4 Z t t0 n et−s[−1 + 2(t − s)] + e−(t−s)og (s) ds