Definitie De differentiaalvergelijking:

Definitie

De differentiaalvergelijking:

an(t)y⁽ⁿ⁾ + an−1(t)y⁽ⁿ⁻¹⁾ + · · · + a0(t)y = g(t) (1) voor zekere continue functies a0, a1, · · · , an en g op een open interval heet lineair en van de orde n.

Is g de nulfunctie dan heet (1) een homogene vergelijking.

Zijn de co¨effici¨enten in (1) constanten dan heet deze differentiaalvergelijking lineair met constante co¨effici¨enten.

Als a0, a1, · · · , an continue functies zijn op een open interval en een functie y is n maal differentieerbaar op hetzelfde interval dan kunnen we aan y de functie

a_ny⁽ⁿ⁾ + a_n−1y⁽ⁿ⁻¹⁾ + · · · + a₀y toevoegen.

Notatie L[y]

Dus:

L[y](t) = an(t)y⁽ⁿ⁾(t) + an−1(t)y⁽ⁿ⁻¹⁾(t) + · · · + a0(t)y(t).

En dus kan de differentiaalvergelijking (1) geschreven worden als:

L[y](t) = g(t) met L[y](t) = 0 als g(t) = 0.

Stelling

Als L[y] gedefinieerd wordt zoals hiervoor dan geldt de zogenaamde lineariteitseigenschap dat wil zeggen:

L[c1y1 + c2y2] = c1L[y1] + c2L[y2] voor alle scalairen c1, c2

en n maal differentieerbare functies y₁ en y₂ op een geschikt open interval.

Gevolg

Als y1 en y2 oplossingen zijn van een n-de orde homogene differentiaalvergelijking dan is c₁y₁ + c₂y₂ voor alle scalairen c₁ en c₂ ook een oplossing.

Stelling

De algemene oplossing van een lineaire n-de orde homogene differentiaalvergelijking wordt gegeven door:

y = c₁y₁ + c₂y₂ + · · · + c_ny_n

waarbij y₁, y₂, · · · , y_nlineair onafhankelijke oplossingen zijn.

Opmerking

Twee functies y1 en y2 zijn lineair onafhankelijk als ze geen veelvoud van elkaar zijn.

In het vervolg willen we de algemene oplossing bepalen van lineaire, tweede orde differentiaalvergelijkingen met constan- te co¨effici¨enten.

Toepassingen

Mathematische slingers (´e´en slinger) Elektrisch circuits (´e´en stroomkring) Massa-veersystemen (´e´en veer)

§3.7 Homogene 2-de orde differentiaal- vergelijkingen met constante co¨ effici¨ enten

Voordat we de algemene oplossing van de differentiaalvergelijking

a y⁰⁰ + b y⁰ + c y = f (t) proberen te bepalen doen we dit eerst voor

a y⁰⁰ + b y⁰ + c y = 0 (2) waarbij a, b, c ∈ R, a 6= 0.

De algemene oplossing van (2) wordt gegeven door

y = c1y1 + c2y2 waarbij y1 en y2 twee lineair onafhankelijke oplossingen zijn van (2).

y₁ en y₂ kunnen we vinden door ons af te vragen voor welke waarde(n) van r, y = e^rx een oplossing is van (2).

Dit is het geval als r een oplossing is van de kwadratische vergelijking ar² + br + c = 0 die ook wel de karakteristieke vergelijking van beide differentiaalvergelijkingen wordt genoemd.

We onderscheiden drie gevallen:

b² − 4a c > 0, b² − 4a c = 0 en b² − 4a c < 0.

b² − 4ac > 0

De karakteristieke vergelijking heeft twee verschillende, re¨ele oplossingen r1 en r2.

De algemene oplossing van de homogene differentiaalverge- lijking (2) is

y = c₁e^r1t + c₂e^r2t (c₁, c₂ ∈ R) (y₁ = e^r1t en y₂ = e^r2t)

b² − 4ac = 0

De karakteristieke vergelijking heeft twee gelijke, re¨ele oplossingen r1.

De algemene oplossing van de homogene differentiaalverge- lijking (2) is

y = c₁e^r1t + c₂t e^r1t (c₁, c₂ ∈ R) (y₁ = e^r1t en y₂ = t e^r1t)

b² − 4ac < 0

De karakteristieke vergelijking heeft twee complexe

oplossingen r1 en r2, die elkaars complex geconjugeerde zijn.

Als r₁ = α + iβ en r₂ = α − iβ (α, β ∈ R) dan is de algemene oplossing van de homogene differentiaalvergelij- king (2)

y = c1e^αtcos(βt) + c2e^αtsin(βt) (c1, c2∈ R) (y₁ = e^αtcos(βt) en y₂ = e^αtsin(βt))

b² − 4ac < 0

Als (c₁, c₂) 6= (0, 0) dan kan de oplossing ook geschreven worden als:

y = c1e^αtcos(βt) + c2e^αtsin(βt)

= q

c²₁ + c²₂e^αt( c1

pc²₁ + c²₂ cos(βt)

+ c₂

pc²₁ + c²₂ sin(βt))

= q

c²₁ + c²₂e^αt(cos θ cos(βt) + sin θ sin(βt))

= q

c²₁ + c²₂e^αt cos(αt − θ) waarbij cos θ = c1

pc² + c² en sin θ = c2

pc² + c².