Niet lineaire stelsels differentiaalvergelijkingen en stabiliteit
Lorenz-attractor
Vraag
Gegeven zijn een stelsel differentiaalvergelijkingen:
dx
dt = F (x , y ) dy
dt = G (x , y )
(1)
met als kritiek punt (x0, y0) en gelineariseerd stelsel vergelijkingen:
dx dt dy dt
=
∂F
∂x(x0, y0) ∂F
∂y(x0, y0)
∂G
∂x(x0, y0) ∂G
∂y(x0, y0)
| {z }
A
"
x − x0
y − y0
#
(2)
Wat is de relatie tussen het type en de stabiliteit van (x0, y0) als kritiek punt van (2) en als kritiek punt van (1)?
I.A.M. Goddijn
Meestal zijn die gelijk maar dat hoeft niet zo te zijn.
Als de discriminant van het karakeristieke polynoom van A gelijk is aan 0 (discr(pA(r ) = 0)) dan kan het kritieke punt (x0, y0) van (2) een instabiele knoop zijn en van (1) een instabiele knoop of een instabiel spiraalpunt of van (2) een asymptotisch stabiele knoop en van (1) een asymptotisch stabiele knoop of een asymptotisch stabiel spiraalpunt.
Als A twee zuiver imaginaire eigenwaarden heeft dan is (x0, y0) van (2) een stabiel centrumpunt en van (1) een centrumpunt of spiraalpunt waarbij de stabiliteit onbepaald is.
Let eens op de roodgekleurde parabool en lijn!
I.A.M. Goddijn
Beschrijving van diverse modellen
Definitie
Een model dat de groei van het aantal konijnen (x ) in een weiland beschrijft is:
dx
dt = ax (1 − x Kx
) a, Kx > 0
Definitie
Een model dat de groei van concurerende diersoorten (x en y ) beschrijft is:
dx
dt = ax (1 − x Kx
) − cxy a, c, Kx > 0 dy
dt = by (1 − y Ky
) − dxy b, d , Ky > 0
Definitie
Een roofdier-prooimodel (Lotka-Volterra) die de interactie tussen prooidieren en roofdieren (x en y ) beschrijft is:
dx
dt = x (a − αy ) a, α > 0 dy
dt = y (−c + γx ) c, γ > 0
I.A.M. Goddijn
Opgave
§9.5, opgave 1
Een roofdier-prooimodel (Lotka-Volterra) die de interactie tussen prooidieren en roofdieren (x en y ) beschrijft is:
dx
dt = x (2 − 0.5y ) dy
dt = y (−0.5 + x )
(a) Teken het richtingsveld en beschrijf hoe de oplossingen zich lijken te gedragen.
(b) Bepaal de kritieke punten.
Opgave
dx
dt = x (2 − 0.5y ) dy
dt = y (−0.5 + x )
(c) Bepaal bij ieder kritiek punt het lineaire stelsel differentiaal- vergelijkingen en klassificeer hun typen en stabiliteit.
(d) Schets de banen ‘in de buurt van’ ieder kritiek punt.
(e) Teken het fasevlak bij het stelsel.
(f) Bepaal het limietgedrag van x en y als t → ∞ en interpreteer de resultaten in termen van de populatie van de twee soorten.
I.A.M. Goddijn
Definitie
De beschrijving van een trilling (oscillator) met een niet-constante demping (weerstand) (van der Pol vergelijking):
d2x
dt2 − µ(1 − x2)dx
dt + x = 0 (µ ≥ 0) Of omgeschreven als een stelsel met y = dx
dt: dx
dt = y dy
dt = −x + µ(1 − x2)y
µ ≥ 0
De van der Pol-vergelijking is voortgevloeid uit onderzoek dat werd verricht aan het Philips Natuurkundig Laboratorium. Deze niet-lineaire
differentiaalvergelijking heeft vele toepassingsgebieden gevonden buiten de elektrodynamica, zoals in de plasmafysica. Deze vergelijking is een begrip in de theorie over natuurkundige trillingsverschijnselen en in de chaostheorie.
Zie ook: https://nl.wikipedia.org/wiki/Van der Pol-vergelijking
Figuur:Balthasar van der Pol (1889-1959)
I.A.M. Goddijn
Definitie
Een model voor convectiestromingen in de lucht (Lorenz vergelijkingen):
dx
dt = σ(−x + y ) σ > 0 dy
dt = rx − y − xz r > 0 dz
dt = −bz + xy b > 0 Het betreft hier een zeer vereenvoudigde versie van deze vergelijkingen.
De variabele x is gerelateerd aan de intensiteit van de luchtstroming en de variabelen y en z zijn gerelateerd aan de veranderingen van de temperatuur in horizontale en verticale richting.
Lorenz-attractor zoals getekend door Lorenz
I.A.M. Goddijn
Zie ook: https://nl.wikipedia.org/wiki/Edward Lorenz en bijvoorbeeld:
https://en.wikipedia.org/wiki/Lorenz system
Figuur:Edward N. Lorenz (1917-2008)
