Tweede orde lineaire differentiaalvergelijkingen We build too many walls and not enough bridges.

Tweede orde lineaire differentiaalvergelijkingen

We build too many walls and

not enough bridges.

Massa-veersysteem

Voorbeeld

De tweede wet van Newton geeft:

m(L + u)⁰⁰ = ma = Fz + Fs + Fd

= mg − k(L + u) − γ(L + u)⁰ of mu⁰⁰ = − ku − γu⁰

Tweede orde homogene DV met constante co¨ effici¨ enten

Doel

Het oplossen van differentiaalvergelijkingen van de vorm:

ay⁰⁰ + by⁰ + cy = 0 Probeer een oplossing van de vorm y (t) = e^rt.

Dit levert de karakteristieke vergelijking ar² + br + cy = 0 op.

De oplossingen van deze vergelijking leveren ons de algemene oplossing van de DV op.

Laat D = b² − 4ac.

We onderscheiden de gevallen D > 0, D = 0 en D < 0.

1

D > 0

De karakteristieke vergelijking heeft twee verschillende, re¨ele oplossingen r₁ en r₂.

De algemene oplossing van de homogene differentiaalverge- lijking is:

y = c1e^r1t + c2e^r2t (c1, c2∈ R) of

y = c1y1 + c2y2 (c1, c2∈ R) waarbij y₁ = e^r1t en y₂ = e^r2t.

Opgave

§3.1, opgave 10

Los het volgende beginwaardeprobleem op:











y⁰⁰ + 4y⁰ + 3y = 0 y (0) = 3

y⁰(0) = −1

Schets de oplossing en beschrijf de oplossing voor toenemende t.

1 Karakteristieke vergelijking: r² + 4r + 3 = 0

2 Oplossingen: r = −3 en r = −1.

3 Algemene oplossing DV: y = c1e^−3t + c2e^−t (c1, c2∈ R)

4 Opleggen beginvoorwaarden: c1 = −1 en c2 = 4.

2

D = 0

De karakteristieke vergelijking heeft twee gelijke oplossingen r1. De algemene oplossing van de homogene differentiaalverge- lijking is:

y = c1e^r1t + c2te^r1t (c1, c2∈ R) of

y = c1y1 + c2y2 (c1, c2∈ R) waarbij y1 = e^r1t en y2 = te^r1t.

Hoe valt in te zien dat de algemene oplossing van de DV er zo uitziet?

Voorbeeld

Gegeven is de DV:

y⁰⁰ + 4y⁰ + 4y = 0

De karakteristieke vergelijking hiervan is: r² + 4r + 4 = 0 met als enige oplossing r = −2.

y1 = e^−2t is een oplossing van de DV.

Daarmee vinden we als oplossingen: y = c1y1 (c1∈ R). We weten dat de algemene oplossing twee constanten c₁en c₂moet bevatten.

Daarom proberen we als oplossing:

y = c(t)e^−2t

Substitutie in de DV geeft: c(t) = c1 + c2t (c1, c2∈ R) zodat de algemene oplossing van de DV is:

y = c1y1 + c2y2 (c1, c2∈ R) waarbij (y1 = e^−2t en y2 = te^−2t).

3

D < 0

De karakteristieke vergelijking heeft twee verschillende, complex geconjugeerde oplossingen r₁ = λ + i µ en

r2 = λ − i µ (λ, µ ∈ R).

De algemene oplossing van de homogene differentiaalverge- lijking is:

y = e^λt(c1cos µt + c2sin µt) (c1, c2∈ R) of

y = c₁y₁ + c₂y₂ (c₁, c₂∈ R) waarbij y1 = e^λtcos(µt) en y2 = e^λtsin(µt).

Opgave

§3.3, opgave 18

Los het volgende beginwaardeprobleem op:











y⁰⁰ + 4y⁰ + 5y = 0 y (0) = 1

y⁰(0) = 1

Schets de oplossing en beschrijf de oplossing voor toenemende t.

1 Karakteristieke vergelijking: r² + 4r + 5 = 0

2 Oplossingen: r = −2 + i en r = −2 − i .

3 Algemene oplossing DV:

y = e^−2t(c1cos t + c2sin t) (c1, c2∈ R)

4 Opleggen beginvoorwaarden: c = 1 en c = 3.

Doel

De grafiek van de oplossing is een golfbeweging tussen twee e-machten. Welke e-machten? En kunnen we de golfbeweging weergeven door een sinus of cosinus?

Schrijf y = e^λt(c1 cos µt + c2 sin µt) als:

y = q

c₁² + c₂²e^λt( c1

pc₁² + c₂² cos µt + c2

pc₁² + c₂² sin µt)



c1

√

c²₁+ c₂²,√ ^c2

c₁²+ c₂²



is een punt op de ´e´enheidscirkel dus bestaat er een δ ∈ [0, 2π) zodat: cos δ = √ ^c1

c₁²+ c₂² en sin δ = √ ^c2

c²₁+ c₂².

Hieruit volgt:

y = q

c₁² + c₂²e^λt( c1

pc₁² + c₂² cos µt + c2

pc₁² + c₂² sin µt)

= q

c₁² + c₂²e^λt(cos δ cos µt + sin δ sin µt)

= q

c₁² + c₂²e^λtcos(µt − δ)

Opgave

§3.7, opgave 3

Schrijf de expressie u = − cos t + √

3 sin t in de vorm u = R cos(ω0t − δ).

u = 2(−1

2cos t +

√3 2 sin t)

= 2(cos2π

3 cos t + sin2π 3 sin t)

= 2 cos(t − 2π 3 )

dus R = 2, ω₀ = 1 en δ = ^2π₃.

Tweede orde inhomogene DV met constante co¨ effici¨ enten

Doel

Het oplossen van differentiaalvergelijkingen van de vorm:

ay⁰⁰ + by⁰ + cy = g (t)

Stelling

Is V de oplossingsverzameling van de gegeven differentiaalvergelijking, yp ´e´en oplossing hiervan en Vhde oplossingsverzameling van de bijbehorende homogene differentiaalvergelijking ay⁰⁰ + by⁰ + cy = 0 dan is V = {y = yh + yp| yh∈ Vh}

Tweede orde inhomogene DV met constante co¨ effici¨ enten

Dit geeft ons het volgende stappenplan:

1 Bepaal de algemene oplossing y = y_h van de homogene differentiaalvergelijking: ay⁰⁰ + by⁰ + cy = 0.

2 Bepaal ´e´en oplossing y = yp van de inhomogene differentiaalvergelijking: ay⁰⁰ + by⁰ + cy = g (t).

Deze oplossing heet een particuliere oplossing.

3 De algemene oplossing van de inhomogene

differentiaalvergelijking ay⁰⁰ + by⁰ + cy = g (t) wordt dan gegeven door y = y_h + y_p.

Hoe kan een particuliere oplossing worden gevonden?

Veel voorkomende rechterleden hebben een vorm zoals weergegeven in de volgende tabel:

g (t) 1. p(t)

2. A e^at

3. A cos(bt) en A sin(bt) 4. A e^at cos(bt) en A e^at sin(bt) 5. p(t) e^at

6. p(t) cos(bt) en p(t) sin(bt) 7. p(t) e^at cos(bt) en p(t) e^at sin(bt) Hierin is p(t) een polynoom en zijn A, B, a, b constanten.

Merk op dat afgeleiden van de functies in de tabel van hetzelfde type zijn. Hier kunnen we op een handige manier gebruik van maken. Zie de voorbeelden in de volgende tabel:

g (t) Vorm y_p

1. t² A + B t + C t²

2. e^−t A e^−t

3. sin 4t A cos 4t + B sin 4t 4. e^t cos t A e^t cos(t) + B e^t sin(t) 5. t e^t (A + Bt) e^t

6. (1 + t) sin 2t (A + Bt) cos(2t) + (C + Dt) sin(2t) 7. t²e^−t cos 3t (A + Bt + Ct²) e^−t cos(3t) +

(D + Et + Ft²) e^−t sin(3t)

Het lukt niet altijd om op deze manier een particuliere oplossing van te vinden.

Is het type van de particulier oplossing (y_p) uit de tabel die in aanmerking komt,of een gedeelte hiervan, een oplossing van homogene vergelijking ay⁰⁰ + by⁰ + cy = 0 kies dan t yp als particuliere oplossing. Is t yp, of een gedeelte hiervan, nog steeds een oplossing van de homogene vergelijking kies dan t²yp als particuliere oplossing.

Voorbeeld

We zoeken een particuliere oplossing van de DV:

y⁰⁰ + 2y⁰ + y = (1 + t)e^−t De bijbehorende homogene DV heeft als oplossing:

y_h = c₁e^−t + c₂te^−t (c₁, c₂∈ R)

y_p = (A + Bt)e^−t is geen particuliere oplossing omdat dit voor alle A en B een oplossing is van de bijbehorende homogene DV.

y_p = t(A + Bt)e^−t is geen particuliere oplossing omdat dit ook het geval is voor Ate^−t

yp = t²(A + Bt)e^−t is voor A = ¹₂ en B = ¹₆ een particuliere oplossing.

Opgave

§3.5, Opgave 6

Bepaal de algemene oplossing van de differentiaalvergelijking:

y⁰⁰ + 2y⁰ = 5 + 4 sin 2t

1 Los de bijbehorende homogende DV op:

yh = c1 + c2e^−2t (c1, c2∈ R).

2 Probeer als particuliere oplossing:

yp = At + B cos 2t + C sin 2t.

3 Bepaal A, B en C : A = ⁵₂, B = C = 2.

4 Algemene oplossing: y = yh + yp

Massa-veersysteem

mu⁰⁰ + γu⁰ + ku = 0

De karakteristieke vergelijking van deze differentiaalvergelijking is:

mr² + γr + k = 0 Deze vergelijking heeft als oplossingen:

r1, r2 = = −γ ±p

γ²− 4km

2m = γ

2m



−1 ± r

1 − 4km γ²



De beweging van de veer verandert als γ de waarde 2√

km passeert.

Definitie

De beweging van de veer heet kritiek gedempd, over gedempd en onder gedempd als γ = 2√

km, γ > 2√

km en γ < 2√ km.

Resonantie

Vraag

Wat gebeurt er met een oplossing van:

mu⁰⁰ + γu⁰ + ku = F0cos(ωt) als γ ≈ 0, ω ≈ ω⁰en u = cos(ω0t) een oplossing is van mu⁰⁰ + ku = 0?

Een particuliere oplossing is:

up = R cos(ωt − δ)

waarbij R = ^F0

k√

D en D = γ²ω² + k²(1 −^ω2

ω²₀)

Als γ ≈ 0 en ω ≈ ω0wordt deze particuliere oplossing dus heel groot.