1. Zij p: Y → X een overdekkingsafbeelding, en zij y ∈ Y . Bewijs dat de afbeelding p

Topologie, voorjaar 2015

Opgavenblad 12

werkcollege 18 mei

1. Zij p: Y → X een overdekkingsafbeelding, en zij y ∈ Y . Bewijs dat de afbeelding p

: π

(Y, y) → π

(X, p(y)) injectief is.

2. Zij n een positief geheel getal.

(a) Zij B

= {(x

, . . . , x

) ∈ R

| x

+ x

+ · · · + x

< 1} de open eenheidsbal in R

. Beschrijf een continue afbeelding B

→ B

zonder dekpunten.

(b) Zij S

= {(x

, . . . , x

) ∈ R

| x

+ x

+ · · · + x

= 1} de n-dimensionale eenheidsbol. Beschrijf een continue afbeelding S

→ S

zonder dekpunten.

3. Zij D

= {x ∈ R | x

≤ 1}. Bewijs dat elke continue afbeelding f : D

→ D

een dekpunt heeft.

4. Zij f : R

→ R

een continue afbeelding. Bewijs dat er λ > 0 en x ∈ R

bestaan zodanig dat f (x) = λx.

5. Beschouw de eenheidscirkel S

als de deelruimte {z ∈ C | |z| = 1}. Bekijk voor n ∈ Z de afbeelding

f

: S

−→ S

z 7−→ z

. Hoe ziet het ge¨ınduceerde groepshomomorfisme

(f

)

: π

(S

, 1) → π

(S

, 1) eruit onder de identificatie van π

(S

, 1) met Z?

6. Zij X een topologische ruimte, zij Y een deelruimte van X, en zij x ∈ X. Zij r: X → Y een retractie van X op Y .

(a) Neem aan dat x in Y ligt. Laat zien dat de afbeelding r

: π

(X, x) → π

(Y, r(x)) surjectief is.

(b) Geldt de uitspraak in (a) ook zonder de aanname dat x in Y ligt? Geef een bewijs of een tegenvoorbeeld.

7. (a) Bekijk de deelruimten Y ⊂ X ⊂ R

gedefinieerd door X = R

\ {(−1, 0), (1, 0)},

Y = {(x, y) ∈ R

| (x − 1)

+ y

= 1 of (x + 1)

+ y

= 1}.

Laat zien dat de inclusie i: Y → X een homotopie-equivalentie is.

(b) Zijn p, q, r ∈ R

drie verschillende punten. Bewijs dat de fundamentaalgroep π

(R

\ {q, r}, p) niet abels is. (Hint: gebruik opgave 11 van blad 11.)

8. Beschouw in R

de cirkel C en de lijn Z gegeven door C = {(x, y, 0) | x, y ∈ R, x

+ y

= 1}, Z = {(0, 0, z) | z ∈ R}.

Definieer X = R

\ (C ∪ Z), en zij x ∈ X. Laat zien dat de fundamentaalgroep π

(X, x) isomorf is met Z × Z.

1

9. Zij (X, T ) een topologische ruimte, zij ∼ een equivalentierelatie op X, zij Q = X/∼

de quoti¨entverzameling en zij

q: X → Q

de quoti¨entafbeelding. De quoti¨enttopologie op Q is de fijnste topologie T

op Q met betrekking waartoe de afbeelding q continu is.

(a) Laat zien dat

T

= {U ⊆ Q | q

U ∈ T }.

(b) Zij f : X → Y een continue afbeelding zodanig dat voor alle x, x

∈ X geldt x ∼ x

=⇒ f (x) = f (x

).

Laat zien dat er een unieke continue afbeelding ¯ f : Q → Y bestaat zodanig dat f ◦ q = f . ¯

10. Zij S

= {(x

, x

, x

) ∈ R

| x

+ x

+ x

= 1} de eenheidsbol, en zij ∼ de relatie op S

gedefinieerd door

x ∼ y ⇐⇒ x = y of x = −y.

(a) Laat zien dat ∼ een equivalentierelatie is.

Het re¨ele projectieve vlak is de ruimte P = S

/∼ voorzien van de quoti¨enttopologie.

(b) Laat zien dat de quoti¨entafbeelding q: S

→ P een overdekkingsafbeelding is.

(c) Zij p ∈ P . Laat zien dat de fundamentaalgroep π

(P, p) orde 2 heeft.

2