We bekijken nogmaals de lineaire n-de orde differentiaal- vergelijking
an(x)y(n) + an−1(x)y(n−1) + · · · a1(x)y(1) + a0(x)y = f (x) en de bijbehorende homogene vergelijking
an(x)y(n) + an−1(x)y(n−1) + · · · a1(x)y(1) + a0(x)y = 0 Stelling
Is yp ´e´en oplossing van de gegeven differentiaalvergelijking en V de oplossingsverzameling hiervan, Vh de oplossings-
verzameling van de bijbehorende homogene vergelijking dan is V = {y = yp + yh| yh∈ Vh}
Lineaire differentiaalvergelijkingen
Laat f een re¨ele, continue, functie zijn op een interval I en laten a, b, c ∈ R, a 6= 0.
Dan heet ay00 + by0 + cy = f (x) (1)
een lineaire differentiaalvergelijking met constante co¨effici¨enten . De algemene oplossing hiervan kan worden gevonden door eerst
de algemene oplossing (yh) te bepalen van de bijbehorende homogene vergelijking ay00 + by0 + cy = 0 en vervolgens
´
e´en oplossing (yp) , particuliere oplossinggeheten, van (1).
De algemene oplossing van (1) kan nu worden geschreven als y = yh + yp.
October 15, 2009 2
De algemene oplossing van de homogene vergelijking
De algemene oplossing van de homogene vergelijking is te schrijven als
y = c1y1 + c2y2 (c1, c2 ∈ R)
voor zekere lineair onafhankelijke oplossingen y1 en y2. y1 en y2 kunnen we vinden door ons af te vragen voor welke waarde(n) van r, y = erx een oplossing is van deze homogene vergelijking.
Dit is het geval als r een oplossing is van de kwadratische vergelijkingar2 + br + c = 0die ook wel de karakteristieke vergelijkingvan beide differentiaalvergelijkingen wordt genoemd.
We onderscheiden drie gevallen b2 − 4ac > 0
De karakteristieke vergelijking heeft twee verschillende, re¨ele oplossingen r1 en r2.
De algemene oplossing van de homogene differentiaal- vergelijking is
y = c1er1x + c2er2x (c1, c2 ∈ R) (y1 = er1x en y2 = er2x)
October 15, 2009 4
b2 − 4ac = 0
De karakteristieke vergelijking heeft twee gelijke, re¨ele oplossingen r1.
De algemene oplossing van de homogene differentiaal- vergelijking is
y = c1er1x + c2x er1x (c1, c2 ∈ R) (y1 = er1x en y2 = x er1x)
b2 − 4ac < 0
De karakteristieke vergelijking heeft twee complexe oplos- singen r1 en r2, die elkaars complex geconjugeerde zijn.
Als r1 = α + iβ en r2 = α − iβ (α, β ∈ R) dan is de algemene oplossing van de homogene differentiaal- vergelijking
y = c1eαxcos(βx) + c2eαxsin(βx) (c1, c2 ∈ R) (y1 = eαxcos(βx) en y2 = eαxsin(βx))
October 15, 2009 6
Een particuliere oplossing kan nu worden gevonden door ´e´en van de twee volgende methoden toe te passen .
Variatie van de constanten
Methode van de onbepaalde co¨effici¨enten