• No results found

V = { y = y + y | y ∈ V } V deoplossingsverzamelinghiervan, V deoplossings-verzamelingvandebijbehorendehomogenevergelijkingdanis Is y ´e´enoplossingvandegegevendifferentiaalvergelijkingen Stelling a ( x ) y + a ( x ) y + ··· a ( x ) y + a ( x ) y =0 a ( x

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "V = { y = y + y | y ∈ V } V deoplossingsverzamelinghiervan, V deoplossings-verzamelingvandebijbehorendehomogenevergelijkingdanis Is y ´e´enoplossingvandegegevendifferentiaalvergelijkingen Stelling a ( x ) y + a ( x ) y + ··· a ( x ) y + a ( x ) y =0 a ( x "

Copied!
8
0
0

Bezig met laden.... (Bekijk nu de volledige tekst)

Hele tekst

(1)

We bekijken nogmaals de lineaire n-de orde differentiaal- vergelijking

an(x)y(n) + an−1(x)y(n−1) + · · · a1(x)y(1) + a0(x)y = f (x) en de bijbehorende homogene vergelijking

an(x)y(n) + an−1(x)y(n−1) + · · · a1(x)y(1) + a0(x)y = 0 Stelling

Is yp ´e´en oplossing van de gegeven differentiaalvergelijking en V de oplossingsverzameling hiervan, Vh de oplossings-

verzameling van de bijbehorende homogene vergelijking dan is V = {y = yp + yh| yh∈ Vh}

(2)

Lineaire differentiaalvergelijkingen

Laat f een re¨ele, continue, functie zijn op een interval I en laten a, b, c ∈ R, a 6= 0.

Dan heet ay00 + by0 + cy = f (x) (1)

een lineaire differentiaalvergelijking met constante co¨effici¨enten . De algemene oplossing hiervan kan worden gevonden door eerst

de algemene oplossing (yh) te bepalen van de bijbehorende homogene vergelijking ay00 + by0 + cy = 0 en vervolgens

´

e´en oplossing (yp) , particuliere oplossinggeheten, van (1).

De algemene oplossing van (1) kan nu worden geschreven als y = yh + yp.

October 15, 2009 2

(3)

De algemene oplossing van de homogene vergelijking

De algemene oplossing van de homogene vergelijking is te schrijven als

y = c1y1 + c2y2 (c1, c2 ∈ R)

voor zekere lineair onafhankelijke oplossingen y1 en y2. y1 en y2 kunnen we vinden door ons af te vragen voor welke waarde(n) van r, y = erx een oplossing is van deze homogene vergelijking.

Dit is het geval als r een oplossing is van de kwadratische vergelijkingar2 + br + c = 0die ook wel de karakteristieke vergelijkingvan beide differentiaalvergelijkingen wordt genoemd.

(4)

We onderscheiden drie gevallen b2 − 4ac > 0

De karakteristieke vergelijking heeft twee verschillende, re¨ele oplossingen r1 en r2.

De algemene oplossing van de homogene differentiaal- vergelijking is

y = c1er1x + c2er2x (c1, c2 ∈ R) (y1 = er1x en y2 = er2x)

October 15, 2009 4

(5)

b2 − 4ac = 0

De karakteristieke vergelijking heeft twee gelijke, re¨ele oplossingen r1.

De algemene oplossing van de homogene differentiaal- vergelijking is

y = c1er1x + c2x er1x (c1, c2 ∈ R) (y1 = er1x en y2 = x er1x)

(6)

b2 − 4ac < 0

De karakteristieke vergelijking heeft twee complexe oplos- singen r1 en r2, die elkaars complex geconjugeerde zijn.

Als r1 = α + iβ en r2 = α − iβ (α, β ∈ R) dan is de algemene oplossing van de homogene differentiaal- vergelijking

y = c1eαxcos(βx) + c2eαxsin(βx) (c1, c2 ∈ R) (y1 = eαxcos(βx) en y2 = eαxsin(βx))

October 15, 2009 6

(7)

Een particuliere oplossing kan nu worden gevonden door ´e´en van de twee volgende methoden toe te passen .

Variatie van de constanten

Methode van de onbepaalde co¨effici¨enten

(8)

Referenties