We beschouwen de differentiaalvergelijking: a

We beschouwen de differentiaalvergelijking:

a_n(t)y⁽ⁿ⁾ + a_n−1(t)y⁽ⁿ⁻¹⁾ + · · · + a₀(t)y = g(t) (1) met als bijbehorende homogene vergelijking:

an(t)y⁽ⁿ⁾ + an−1(t)y⁽ⁿ⁻¹⁾ + · · · + a0(t)y = 0 (2) De vraag die we ons stellen is:

Als de algemene oplossing van de homogene vergelijking (2) bekend is kan daarmee dan de algemene oplossing van (1) worden gevonden?

I.A.M. Goddijn

Stelling

Is V de oplossingsverzameling van de lineaire differentiaal- vergelijkiing (1), y_p ´e´en oplossing van (1) en V_h de

oplossingsverzameling van de bijbehorende homogene vergelijking (2) dan is V = {y_p + y_h| y_h ∈ V_h}.

y_p wordt eenparticuliere oplossingvan (1) genoemd.

Een particuliere oplossing kan worden gevonden door ´e´en van de twee volgende methoden toe te passen .

Variatie van de constanten

Methode van de onbepaalde co¨effici¨enten

I.A.M. Goddijn

Veel voorkomende rechterleden hebben een vorm zoals weergegeven in de volgende tabel:

g(t) 1. p(t)

2. p(t) e^at

3. p(t) cos(bt) en p(t) sin(bt) 4. p(t) e^at cos(bt) en p(t) e^at sin(bt) Hierin is p(t) een polynoom en zijn a, b constanten.

Merk op dat afgeleiden van de functies in de tabel van hetzelfde type zijn. Hier kunnen we op een handige manier gebruik van maken.

g(t) 1. p(t)

2. p(t) e^at

3. p(t) cos(bt) en p(t) sin(bt) 4. p(t) e^at cos(bt) en p(t) e^at sin(bt)

y_p(t) 1. t^mq(t)

2. t^mq(t) e^at

3. t^m(q(t) cos(bt) + r(t) sin(bt)) 4. t^m(q(t) e^at cos(bt) + r(t) e^at sin(bt))

Hierin zijn q(t) en r(t) willekeurige polynomen van dezelfde graad als p(t) en m ∈ N zo groot dat geen enkele term van yp(t) een oplossing is van de homogene vergelijking.

I.A.M. Goddijn

Voorbeelden

g(t) Vorm y_p(t)

1. t² t^m(A + B t + C t²) 2. e^−t t^m(A e^−t)

3. sin 4t t^m(A cos 4t + B sin 4t) 4. e^t cos t t^m(A e^tcos(t) + B e^t sin(t)) 5. t e^t t^m(A + Bt) e^t

6. (1 + t) sin 2t t^m((A + Bt) cos(2t) + (C + Dt) sin(2t)) 7. t²e^−t cos 3t t^m((A + Bt + Ct²) e^−t cos(3t) +

(D + Et + F t²) e^−t sin(3t))

Voorbeelden

Gegeven is de differentiaalvergelijking:

y⁰⁰ + y = cos t

De algemene oplossing van de bijbehorende homogene vergelijking is

y_h(t) = c₁ cos t + c₂ sin t (c₁, c₂ ∈ R)

Als y_p(t) = A cos t + B sin t dan is y_p voor alle waarden van A en B een oplossing van de homogene vergelijking (c₁ = A en c₂ = B).

I.A.M. Goddijn

Voorbeelden, vervolg

yp(t) = A t cos t + B t sin t is voor geen enkele waarde van A 6= 0 of B 6= 0 een oplossing van de homogene vergelijking.

y_p(t) = ¹₂t sin t (A = 0 en B = ¹₂).

Voorbeelden, vervolg

Gegeven is de differentiaalvergelijking:

y⁰⁰ + 2y⁰ + y = e^−t

De algemene oplossing van de bijbehorende homogene vergelijking is

yh(t) = c1e^−t + c2t e^−t (c1, c2 ∈ R)

Als yp(t) = A e^−t dan is yp(t) voor alle waarden van A een oplossing van de homogene vergelijking (c₁= A en c₂ = 0).

I.A.M. Goddijn

Voorbeelden, vervolg

Als yp(t) = A t e^−t dan is yp(t) voor alle waarden van A een oplossing van de homogene vergelijking (c₁= 0 en c₂ = A).

yp(t) = A t²e^−t is voor geen enkele waarde van A 6= 0 een oplossing van de homogene vergelijking.

yp(t) = ¹₂t²e^−t (A = ¹₂).

3

Lj * -Q_Lj> +. TjzLO C2_) i s d e \ o C j C ^ > K a r a t e - K O M Ö ^ M .

4 o a ^ ^ d L ü A ^ c r o t o ^ c u jFv,©>e <R o s p k ^ L o a , u a a J & 3 y ^ Q V s bC/5-t-ë>t) e £ = 6 ' ^ f ^ 6 è

) e

f «s> ^ e a ^ p o / u i t c u d k € r e _

V Gl n

9f

= 2 A e i • + C 4,4 f é & ) feei t £é b

^ +• £> e

y

a ) = "fetV^" +• Cf? ±£ 6L) ft.^ fc £ A tó) L e i -f- e./9ei~

^ C L±_&J -ei

"TT

% t> e