Deﬁnitie De diﬀerentiaalvergelijking:

(1)

Definitie

De differentiaalvergelijking:

a₀(x)y⁽ⁿ⁾ + a₁(x)y⁽ⁿ⁻¹⁾ + · · · + a_n(x)y = g(x)

voor zekere continue functies a0, a1, · · · , an en g op een open interval heet lineair en van de orde n.

Een eerste orde lineaire differentiaalvergelijking kan nu geschreven worden als:

dy

dx + p(x)y = g(x) (5)

waarbij p en g continue functies zijn op een open interval.

I.A.M. Goddijn Faculteit EWI

September 26, 2011 13

(2)

Deze differentiaalvergelijking kan onder andere worden opgelost door op zoek te gaan naar een integrerende factor.

Vermenigvuldig daartoe de hele vergelijking met een µ(x).

Dit geeft

µ(x)dy

dx + µ(x)p(x)y = µ(x)g(x) Omdat d(µ(x)y)

dx = µ(x)dy

dx + dµ(x)

dx y willen we de functie µ

zo kiezen datµ(x)p(x) = dµ(x) dx .

(3)

De functie µ moet dus een oplossing zijn van de differentiaalvergelijking dµ

dx = p(x) µ.

Deze differentiaalvergelijking kan eenvoudig worden opgelost door de variabelen te scheiden.

Is P een primitieve van p dan vinden we µ(x) = e^{P (x)}.

Dus d(e^{P (x)}y)

dt = e^{P (x)}g(x). Waarmee voor niet al te ingewikkelde rechterleden y te bepalen valt.