§7.9 Differentiaalvergelijkingen van de eerste orde

§7.9 Differentiaalvergelijkingen van de eerste orde

Een gewone differentiaalvergelijking is een vergelijking in een onafhankelijke variabele (meestal t of x) en een afhankelijke variabele (meestal u of y) en een aantal van diens afgeleiden.

Een gewone differentiaalvergelijking van de eerste orde (de hoogste afgeleide die in de differentiaalvergelijking

voorkomt) met onafhankelijke variabele x en afhankelijke variabele y is dus een vergelijking van de vorm

F (x, y, y⁰) = 0.

I.A.M. Goddijn

Wij beschouwen alleen eerste orde differentiaalvergelijkingen die geschreven kunnen worden als:

dy

dx = f (x, y) (1)

Definitie

Een functie φ op (a, b) heet een oplossing van (1) als:

φ⁰(x) = f (x, φ(x)) voor a < x < b.

Opmerking

Over het algemeen heeft (1) oneindig veel oplossingen de algemene oplossing geheten. Door een extra eis op te leggen wordt uit de hele collectie oplossingen er ´e´en gekozen.

Definitie

Voegen we aan (1) beginvoorwaarde y(x₀) = y₀toe dan heet





 dy

dx = f (x, y) y(x₀) = y₀

(2)

een beginwaardeprobleem.

I.A.M. Goddijn

Opmerking

De meeste beginwaardeproblemen kunnen niet exact worden opgelost. Om een idee van de oplossingen te krijgen kan een richtingenveld worden getekend. Verder kunnen numerieke methoden worden gebruikt om een beginwaardeprobleem (2) bij benadering op te lossen. Het heeft alleen zin dit te doen wanneer bekend is dat dit probleem precies ´e´en oplossing heeft. Dit is niet altijd het geval. Daarom is de existentie en

´e´enduidigheidsstelling (§17.3, Stelling 3) belangrijk.

Het richtingsveld (lijnelementenveld)

Als φ een oplossing is van (1) op (a, b) dan heeft de grafiek van φ heeft in het punt (x, y) = (x, φ(x)) (a < x < b) een helling f (x, y) = f (x, φ(x)).

Definitie

Tekenen we in elk punt (x, y) waarvoor f (x, y) bestaat een lijnsegmentje met helling f (x, y) dan ontstaat zo een richtingsveld bij de differentiaalvergelijking (1).

Opmerking

Twee verschillende oplossingen van de differentiaalverge- lijking (1) snijden niet.

I.A.M. Goddijn

Voorbeeld

Het richtingsveld bij de differentiaalvergelijking

dy

dx = x² + y² − 2x.

Voorbeeld

Nu samen met de twee oplossingen die voldoen aan y(0) = 1

2 en y(0) = 1.

I.A.M. Goddijn

Voorbeeld

Definitie

Een isocline is een kromme met als vergelijking

f (x, y) = c (c ∈ R).

In het voorbeeld zijn de iso- clinen cirkels met middelpunt (1, 0).

De methode van Euler

Veronderstel dat we de oplos- sing φ van (2) willen benade- ren voor a = x₀ ≤ x ≤ b.

Verdeel [a, b] in N equidistan- te deelintervallen en laat h = b − a

n en xn+1 = xn+ h voor n = 0, 1, · · · , N − 1 en veronderstel dat we al een benadering y_n van φ(x_n) hebben gevonden.Dan wordt die van φ(xn+1) gevonden door: yn+1 = yn + hf (xn, yn).

I.A.M. Goddijn

Samenvattend: x₀ en y₀ zijn gegeven.







xn+1 = xn + h

y_n+1 = y_n + hf (x_n, y_n)

n = 0, 1, · · · N (3)

Voorbeeld, exponenti¨ele groei Beschouw het beginwaardeprobleem:



 dy

dx = ay x > 0

Passen de methode van Euler (3) toe met x0 = 0, y0 = c en N h = x vast.

Dan: y₁ = y₀ + hay₀ = (1 + a h)c y₂ = y₁ + hay₁ = (1 + a h)²c y₃ = y₃ + hay₃ = (1 + a h)³c etc.

y_N = y_{N −1} + hay_{N −1} = (1 + a h)^Nc.

y_N = c



1 + ax N

^N

Omdat lim

N →∞

 1 + x

N

^N

= e^x is lim

N →∞y_N = ce^ax.

I.A.M. Goddijn

Het is niet moeilijk om in te zien dat de functie φ op [0, ∞) met φ(x) = ce^ax de oplossing is van het gegeven begin- waardeprobleem.

§7.9 Eerste orde differentiaalvergelijkingen

Een eerste orde differentiaalvergelijking die geschreven kan worden als:

dy

dx = f (x) g(y) (4)

heet separabel. De variabelen kunnen worden gescheiden.

I.A.M. Goddijn

Als g(c) = 0 dan is de de constante functie y gegeven door y(x) = c een oplossing van (4).

Laat y nu een niet-constante oplossing zijn.

Dan 1 g(y)

dy

dx = f (x).

Is H een primitieve van 1

g en F van f dan:

H(y) = F (x) + C (C ∈ R).

Over het algemeen worden de oplossingen van (4) door deze vergelijkingen impliciet gegeven. Soms is een expliciete