§6.5 Oneigenlijke integralen
Eerste soort
Laat f een continue functie zijn op [a, ∞).
Als lim
R→∞
Z R a
f (x) dx bestaat dan heet f integreerbaar over [a, ∞) en we schrijven
Z ∞ a
f (x) dx = lim
R→∞
Z R a
f (x) dx.
Als lim
R→∞
Z R a
f (x) dx bestaat als eindig getal dan heet Z ∞
a
f (x) dx convergent en anders divergent.
Eerste soort (vervolg)
Laat f een continue functie zijn op (−∞, b].
Als lim
R→−∞
Z b R
f (x) dx bestaat dan heet f integreerbaar over (−∞, b] en we schrijven
Z b
−∞
f (x) dx = lim
R→−∞
Z b R
f (x) dx.
Als lim
R→−∞
Z b R
f (x) dx bestaat als eindig getal dan heet Z b
−∞
f (x) dx convergent en anders divergent.
Laat f een continue functie zijn op R.
Als Z ∞
a
f (x) dx en Z a
−∞
f (x) dx allebei convergent zijn dan heet
Z ∞
−∞
f (x) dx convergent en Z ∞
−∞
f (x) dx = Z a
−∞
f (x) dx + Z ∞
a
f (x) dx.
Z ∞ 1
1 xpdx is
convergent als p > 1 divergent als 0 < p ≤ 1
Tweede soort
Laat f een continue functie zijn op [a, b).
Als lim
c→b−
Z c a
f (x) dx bestaat dan heet f integreerbaar over [a, b) en we schrijven
Z b a
f (x) dx = lim
c→b−
Z c a
f (x) dx.
Als lim
c→b−
Z c a
f (x) dx bestaat als eindig getal dan heet Z b
a
f (x) dx convergent en anders divergent.
Tweede soort (vervolg)
Laat f een continue functie zijn op (a, b].
Als lim
c→a+
Z b c
f (x) dx bestaat dan heet f integreerbaar over (a, b] en we schrijven
Z b a
f (x) dx = lim
c→a+
Z b c
f (x) dx.
Als lim
c→a+
Z b c
f (x) dx bestaat als eindig getal dan heet Z b
a
f (x) dx convergent en anders divergent.
Laat f een continue functie zijn op (a, b), a < c < b.
Als Z b
c
f (x) dx en Z c
a
f (x) dx allebei convergent zijn dan heet
Z b
a
f (x) dx convergent en Z b
a
f (x) dx = Z c
a
f (x) dx + Z b
c
f (x) dx.
De vergelijkingstest
Laten f en g continue functies zijn op [a, ∞) zodat f (x) ≥ g(x) ≥ 0 voor x ≥ a.
Dan geldt:
1. Als Z ∞
a
f (x) dx een convergente integraal is, dan is Z ∞
a
g(x) dx ook een convergente integraal.
2. Als Z ∞
a
g(x) dx een divergente integraal is, dan is Z ∞
a
f (x) dx ook een divergente integraal.
Er zijn nog vergelijkbare andere testen.
§17.3 Differentiaalvergelijkingen van de eerste orde
Een gewone differentiaalvergelijking is een vergelijking in een onafhankelijke variabele (meestal t of x) en een afhankelijke variabele (meestal u of y) en een aantal van diens afgeleiden.
Een gewone differentiaalvergelijking van de eerste orde (de hoogste afgeleide die in de differentiaalvergelijking
voorkomt) met onafhankelijke variabele x en afhankelijke variabele y is dus een vergelijking van de vorm
§17.3 Differentiaalvergelijkingen van de eerste orde
Wij beschouwen alleen eerste orde differentiaalvergelijkingen die geschreven kunnen worden als:
dy
dx = f (x, y) (1)
Definitie
Een functie φ op (a, b) heet een oplossing van (1) als:
φ0(x) = f (x, φ(x)) voor a < x < b.
Opmerking
Over het algemeen heeft (1) oneindig veel oplossingen. Door een extra eis op te leggen wordt uit de hele collectie
oplossingen er ´e´en gekozen.
Definitie
Voegen we aan (1) beginvoorwaarde y(x0) = y0toe dan heet
dy
dx = f (x, y) y(x0) = y0
(2)
Opmerking
De meeste beginwaardeproblemen kunnen niet exact worden opgelost. Om een idee van de oplossingen te krijgen kan een richtingenveld worden getekend. Verder kunnen numerieke methoden worden gebruikt om een beginwaardeprobleem (2) bij benadering op te lossen. Het heeft alleen zin dit te doen wanneer bekend is dat dit probleem precies ´e´en oplossing heeft. Dit is niet altijd het geval. Daarom is de existentie en
´e´enduidigheidsstelling (§17.3, Stelling 3) belangrijk.
