DVGLn 2012-2013 - les09_handout

Stefaan Poedts

Hoofdstuk 7 : Lineaire integraaltransformaties

• Inleiding en motivatie

• De Laplace-transformatie

- Definities en basiseigenschappen

• Oplossen van lineaire Dvgln m.b.v. Laplace-transformaties

• Verdere eigenschappen

• Convolutie

• De Dirac-delta-functie

Inleiding en motivatie

• veel problemen in de ingenieurs-wetenschappen = mechanische of elektrische systemen waarop discontinue of impulsieve aandrijvende krachten inwerken

⇒ methoden hfdst 3 & 4 vaak niet of moeilijk te gebruiken

• Laplace-transformatie =alternatieve methodedie bijzonder geschikt is voor dit soort problemen

(ook nuttig voor meer algemene problemen)

Inleiding en motivatie (vervolg)

• Fouriertransformatie = andere belangrijke‘integraaltransformatie’

- generalisatie van de complexe Fourierreeks (Hfdst 9)

- bv. tijddomein naar frequentiedomein ‘transformeren’, d.w.z. input signaal beschrijven met andere “basiseenheden” (vb. cm - inch)

⇒ een signaal kan op veel verschillende manieren beschreven (‘getransformeerd’) worden door het kiezen vanbasisvectoren,

afhankelijk van het doel

- pulsen: geschikt om de temporele ontwikkeling van het signaal nauwkeurig te volgen

Definitie

Def.: Een integraaltransformatie transformeert een gegeven functie in een nieuwe functie met behulp van een integraal. In het bijzonder, zij K (s, t) een functie van twee (re¨ele) veranderlijken s en t. We defini¨eren een nieuwe functie F (s) door

F : R → R : s 7→ F (s) = Z b

a

K (s, t)f (t)dt.

NB: we veronderstellen hierbij dat K (s, t) en f (t) gedefinieerd zijn voor alle t ∈ [a, b] en dat de integraal bestaat

Definitie

• de transformatie f (t) 7→ F (s) noemen we een lineaire integraaltransformatie

⇒ is dus een afbeelding

K : F → F : f 7→ K[f ] met K[f ](s) = Z b a K (s, t)f (t)dt

• functie K (s, t) wordt dekern van K genoemd

Eigenschap

Hulpstelling 7.1 :

De afbeeldingKis een lineaire afbeelding.

Bewijs:

• stel dat λ en µ re¨ele getallen zijn en f en g functies

• dan is K[λf + µg ] = Z b a K (s, t)(λf (t) + µg (t))dt = λ Z b a K (s, t)f (t)dt+ µ Z b a K (s, t)g (t)dt = λK[f ]+ µK[g ] 

Gebruik

• integraaltransformaties worden gebruikt om in een bepaald probleem functies te transformeren naar andere functies diebetere eigenschappen hebben dan de oorspronkelijke functies,gemakkelijker te manipuleren of bepaalde kenmerken duidelijker maken

• vb.: als f (t) het resultaat is van bepaalde metingen

⇒ bevat (meet-)fouten, storingen of ruis ⇒ geven aanleiding tot kleine pieken in de grafiek (die geen essenti¨ele bijdrage leveren in de integraal)

⇒ integraaltransformatie zal de fouten ‘afzwakken’ en bv. een geluidssignaal met ruis omzetten in een signaal waaruit deze ruis is weggefilterd, precies daarvoor werden ze lang geleden ontworpen

Voorbeeld: image processing met FFT

Voorbeeld: image processing met FFT

• Een FFT van het beeld. Door de regelmaat wordt het ruispatroon als vier pieken weergegeven. Een van de pieken is gemarkeerd als AOI (Area of Interest) ter voorbereiding van de wegschrapping ervan.

Voorbeeld: image processing met FFT

• De vier ruispieken, die overeenkomen met het reguliere ruispatroon, werden weggeschrapt in de FFT.

Voorbeeld: image processing met FFT

• Wanneer de gecorrigeerde FFT van beeld 3 wordt toegepast, is de ruis verdwenen.

• de getransformeerde functies kunnen ookbetere wiskundige

eigenschappen hebben, onder bepaalde voorwaarden geldt bijvoorbeeld dF ds = h→0lim F (s + h)−F (s) h = lim h→0 1 h Z b a K (s + h, t)f (t)dt− Z b a K (s, t)f (t)dt  = Z b a lim h→0 K (s + h, t) − K (s, t) h f (t)dt = Z b a ∂K ∂s (s, t)f (t)dt

⇒ voor “brave” functies K zal dus de getransformeerde functie F differentieerbaar zijn, zelfs alsf dat niet is!!!

Gebruik integraaltransformaties bij oplossen Dvgln

Schematische voorstelling van het gebruik van integraaltransformaties voor het oplossing van differentiaalvergelijkingen.

De Laplace-transformatie

Def.: DeLaplace-getransformeerdeL [f ]van een functie f is gedefini-eerd door

L [f ] (s) = Z ∞

0

e−st f (t)dt.

⇒ dekern van de Laplace-transformatie L : F → F : f 7→ L[f ]is dus de functie met voorschrift e−st

• voor de eenvoud noteren we L [f ] (s) dikwijls door F (s)

De Laplace-transformatie : voorbeeld

• we berekenen de Laplace-getransformeerde van de constante functie 1

L {1} (s) = Z ∞ 0 e−st dt = lim A→∞ 1 s Z A 0 e−st d (st) = lim A→∞ 1 s h −e−stiA 0 = 1 s[0 + 1] = 1 s voors > 0

De Laplace-transformatie (vervolg)

• uit dit voorbeeld zien we dat de Laplace-getransformeerde niet altijd overal gedefinieerd is

• we geven eenvoldoende voorwaarde die garandeert dat de Laplace-getransformeerde bestaat; eerst een definitie:

Def.: We zeggen dat een functiestuksgewijs continuis op een interval [a, b] als f continu is overal in het interval [a, b], behalve in een eindig aantal punten ai ∈ [a, b] en er bovendien geldt dat de

lin-kerlimiet lim x→a< i f (x ) en de rechterlimiet lim x→a> i f (x ) bestaan en eindig zijn.

⇒ een functie is stuksgewijs continu als ze“slechts eeneindigaantaleindige sprongen maakt”

De Laplace-transformatie (vervolg)

De Laplace-transformatie : voorwaarde

Stelling 7.1 :

Zij_{f : R}+ _{→ R}een functie die stuksgewijs continu is op elk eindig interval

[0, b], en stel dat

|f (t)| ≤ Meγt (15)

voor allet ≥ 0, voor een zekereM ∈ R+enγ ∈ R. Dan bestaatL [f ] (s)

Bewijs

• de functie f (t)e−st is integreerbaar op elk eindig interval [0, b]

• bovendien is, voors > γ

|L [f ] (s)| =     Z ∞ 0 e−st f (t)dt     ≤ Z ∞ 0 |e−stf (t)|dt ≤ Z ∞ 0 e−stMeγtdt = M Z ∞ 0 e(γ − s)t dt = M 1 γ − s h e(γ − s)ti ∞ 0 = M 1 γ − s[0 − 1] = M 1 s − γ wat aantoont dat de oneigenlijke integraal inderdaad bestaat 

⇒ elke stuksgewijs continue functie die niet sneller dan een exponenti¨ele functie naar oneindig gaat, heeft een Laplace-getransformeerde!

Voorbeeld

• voor α ≤ −1 bestaatL {tα_{}niet; de problemen stellen zich in s = 0}

• _{in het bijzonder zal voor alle n ∈ N :} L {tn} (s) = n! sn+1

⇒ en dus is L {t} (s) = 1 s2

Opmerking

• uit dit voorbeeld zien we dat de voorwaarden van Stelling 7.1 geen nodige voorwaarden zijn: de functie f (t) = t−12 is niet gedefinieerd in 0, maar Lnt−12 o (s) = Γ 1 2  s−12 wat duidelijk bestaat voor s > 0

• men kan aantonen dat Γ(1₂) =√π (zie Appendix), dus is

Lnt−12 o

(s) =r π s

Nog een voorbeeld

Laplace-getransformeerden: lijst

f (t) F (s) = L {f (t)} (s) tn−1eat Γ(n) (n > 0) (s − a)1 n sinat a _s2_{+ a}1 2 cosat s s2+ a2 ebtsinat a _{(s − b)}12_{+ a}2 ebtcosat s − b (s − b)2+ a2

f (t) F (s) = L {f (t)} (s) sinh at a _s2_{− a}1 2 cosh at s s2− a2 ebtsinh at a _{(s − b)}12_{− a}2 ebtcosh at s − b (s − b)2− a2 ebt− eat b − a (a 6= b) (s − a)(s − b)1

f (t) F (s) = L {f (t)} (s) bebt− aeat b − a (a 6= b) (s − a)(s − b)s sinat − atcosat 2a3 1 (s2+ a2)2 tsinat 2a _(s2_{+ a}s 2₎2 sinat + atcosat 2a s 2 (s2+ a2)2 cosat −1₂atsinat s3 (s2+ a2)2

f (t) F (s) = L {f (t)} (s) tcosat s2− a2 (s2+ a2)2 at cosh at − sinh at 2a3 1 (s2− a2)2 t sinh at 2a _(s2_{− a}s 2₎2 sinh at + at cosh at 2a s 2 (s2− a2)2

f (t) F (s) = L {f (t)} (s) cosh at + 1₂atsinat s3 (s2− a2)2 t cosh at s2+ a2 (s2− a2)2 lnt −(γ + lns)_s

(γ = constante van Euler = 0, 5772156 . . .)

ln2t π_6s2 +(γ + lns)

2

Opgave

• toon aan dat de Laplace-getransformeerde van f (t) = 5e−2t− 3sin4t voor t ≥ 0 gelijk is aan 5

s + 2− 12

s2_{+ 16} (s > 0)

⇒ we hebben wegens de lineariteit

L5e−2t_{− 3sin4t (s) = 5Le}−2t _{(s)− 3L {sin4t} (s)}

= 5 1 s + 2− 3 4 s2_{+ 4}2 = 5 s + 2− 12 s2_{+ 16}

Inverse transformatie

• als we in een bepaald probleem de Laplace-transformatie hebben toegepast, is het wellicht nodig om ook te kunnen terugkeren naar de oorspronkelijke functies, m.a.w.

1) als weF (s)hebben, kunnen we danf vinden zodatL [f ] = F?

2) is deze functie bovendien uniek?

⇒ het antwoord op beide vragen is negatief

• tegenvoorbeeld vraag 1):

als F = 1, bestaat er geen enkele functie f zodat L [f ] = F = 1

Inverse transformatie

• ook uniciteit is er niet: definieer immers de volgende functie

g (t) =  1, als t 6∈ N, 0, als t ∈ N, dan zal L {g (t)} = L {1}

⇒ logisch want in een integraal leveren de sprongpunten die we kunstmatig hebben toegevoegd, geen bijdrage

• OPM: men kan aantonen dat dit de enige problemen zijn die kunnen opduiken aangaande de uniciteit

Inverse transformatie : uniciteit

Stelling 7.2 :

[Uniciteit van de inverse Laplace-getransformeerde]

Stel datf , g : R+ → Rfuncties zijn die continu zijn op een open interval

(a, b). AlsL [f ] = L [g ], dan isf = g op(a, b).

• m.a.w.: als L [f ] = L [g ], dan is f = g , behalve in de sprongpunten

• we noteren:

L [f ] = F ⇔ f = L−1[F ] ondanks het feit dat L−1[F ] niet uniek bepaald is

Inverse transformatie : bepaling

• we noemen L−1[F ] de inverse Laplace-getransformeerdevan F

• indien mogelijk kiezen we L−1[F ] continu

• er bestaan formules die, onder bepaalde voorwaarden op F , L−1[F ] uitdrukken

• meestal is het voldoende om, na het toepassen van een aantal

standaardtechnieken, de inverse Laplace-getransformeerde op te zoeken in de tabel:

Inverse transformatie : voorbeeld

• zoek L−1[F ] als F (s) = 1

s2_{− 1} (staat in de tabel, maar we illustreren

de technieken op dit eenvoudig voorbeeld) • we splitsen F (s) = 1 s2_{− 1} in partieelbreuken: F (s) = 1 s2_{− 1} = 1 2  1 s − 1− 1 s + 1 

en vinden in de tabel dat dit gelijk is aan

= 1 2  Lnet o −Lne−t o = L 1 2(et − e−t )  en dus is L−1{F (s)} = 1

Opmerking

• men kan ook de Laplace-getransformeerde van complexe functies van ´

e´en re¨ele veranderlijke defini¨eren

• algemeen : in een integraaltransformatie mag de kern K een complexe functie van twee re¨ele veranderlijken zijn

• we moeten dan wel de integraal van een complexe functie defini¨eren: zij f (t) = f1(t) + if2(t) een complexe functie, dan zeggen we dat f

integreerbaar is op een interval [a, b] als f1 en f2 dat zijn en

Z b a f (t)dtdef= Z b a f1(t)dt + i Z b a f2(t)dt

Opmerking

• zo geldt bijvoorbeeld de fundamentele eigenschap

Z b a f0(t)dt = Z b a f₁0(t)dt + i Z b a f₂0(t)dt = [f1(t)]b_a+ i [f2(t)]b_a = [f (t)]b_a

• Stelling 7.1 blijft geldig voor complexe functies, als we de modulus gebruiken i.p.v. de absolute waarde

PAUZE

Logic, like whiskey, loses its beneficial effect when taken in too large quantities. [Lord Dunsany (In J.R. Newman (ed.), The World of Mathematics, New

Hoofdstuk 7 : Lineaire integraaltransformaties

• Inleiding en motivatie

• De Laplace-transformatie

- Definities en basiseigenschappen

• Oplossen van lineaire Dvgln m.b.v. Laplace-transformaties

• Verdere eigenschappen

• Convolutie

• De Dirac-delta-functie

De Laplace-transformatie

Def.: DeLaplace-getransformeerdeL [f ]van een functie f is gedefini-eerd door

L [f ] (s) = Z ∞

0

e−st f (t)dt.

⇒ dekern van de Laplace-transformatie is dus de functie e−st

De Laplace-transformatie : voldoende voorwaarde

Stelling 7.1 :

Zij_{f : R}+ _{→ R}een functie die stuksgewijs continu is op elk eindig interval

[0, b], en stel dat

|f (t)| ≤ Meγt (16)

voor allet ≥ 0, voor een zekereM ∈ R+enγ ∈ R. Dan bestaatL [f ] (s)

voor alles > γ.

⇒ we zullen ons bijna uitsluitend beperken tot functies die aan deze twee voorwaarden voldoen:

1)stuksgewijs continu

Laplace-getransformeerden: lijst

Inverse transformatie : uniciteit

Stelling 7.2 :

[Uniciteit van de inverse Laplace-getransformeerde]

Stel datf , g : R+ → Rfuncties zijn die continu zijn op een open interval

(a, b). AlsL [f ] = L [g ], dan isf = g op(a, b).

• m.a.w.: als L [f ] = L [g ], dan is f = g , behalve in de sprongpunten

• we noteren:

L [f ] = F ⇔ f = L−1[F ] ondanks het feit dat L−1[F ] niet uniek bepaald is

Bepaling inverse transformatie : voorbeeld

• zoek L−1[F ] als F (s) = 1

s2_{− 1} (staat in de tabel, maar we illustreren

de technieken op dit eenvoudig voorbeeld) • we splitsen F (s) = 1 s2_{− 1} in partieelbreuken: F (s) = 1 s2_{− 1} = 1 2  1 s − 1− 1 s + 1 

en vinden in de tabel dat dit gelijk is aan

= 1 2  Lnet o −Lne−t o = L 1 2(et − e−t )  en dus is L−1{F (s)} = 1

Toepassing van Laplace-transformaties

• belangrijkste toepassing = oplossen van lineaire Dvgln

• deze techniek is gebaseerd op de volgende stelling:

Stelling 7.3 :

Alsf , f0, . . . , f(n−1)enf(n)continu zijn enL [f ] , L [f0_{] , . . . , Lf}(n−1)

en

Lf(n)

bestaan, dan geldt

Lhf(n) i

Bewijs (door volledige inductie)

Bewijs (door volledige inductie)

• veronderstel dat de formule waar is voor k, en bewijs ze voor k + 1

• we gebruiken hierbij de formule voor n = 1 die we juist bewezen hebben, toegepast op de functie f(k)_: Lhf(k+1)i(s) = −f(k)_{(0) + sL}h_f(k)i_(s) = −f(k)(0)+ s  skL [f ] (s) − sk−1f (0) − · · · − f(k−1)(0)  = sk+1L [f ] (s) − skf (0) − · · · − sf(k−1)(0)−f(k)(0) 

Opmerking

• de formule in St 7.3 is ook geldig als f , f0, . . . , f(n−1) continu zijn en f(n) enkel stuksgewijs continu is

• we zullen de formule vooral gebruiken als n = 1 en n = 2, dus

Lf0

= sL [f ] − f (0) Lf00

= s2L [f ] − sf (0) − f0(0)

• voorbeeld: pas formule toe om een inhomogene lineaire Dvgl van de 2de orde op te lossen met gegeven BVWn

Voorbeeld

Voorbeeld

• vereenvoudiging en splitsing in partieelbreuken geeft dan

L [y ] = Y = 1 s − 1+ 1 s2_{− 1}− 1 s2 = Lnet o +L {sinh t} − L {t}

• lineariteit en uniciteit geeft dan

y = et + sinh t − t

⇒ voordeel: gevonden oplossing voldoet meteen aan de BVWn (zonder eerst de algemene oplossing te moeten zoeken dus!)

Opmerking

• debelangrijkste elementaire toepassingen van de

Laplace-getransformeerde zitten in destudie van mechanische trillingen en de analyse van elektrische circuits

• cf. Hfdst 3:

mu00(t) + γu0(t) + ku(t) = F (t) LI00(t) + RI0(t) + 1

CI (t) = E

0_(t)

⇒ mathematisch equivalent (en zo nog vele andere toepassingen!) ⇒ ´e´enmaal opgelost ⇒vele interpretaties van oplossing!

Verdere eigenschappen

• als f : R → R een functie is en a ∈ R, dan kunnen we een nieuwe functie fa defini¨eren door

fa: R → R : x 7→ fa(x ) := f (x − a)

Verdere eigenschappen

• _{als f : R → R een functie is en a ∈ R, dan kunnen we een nieuwe}

functie fa defini¨eren door

fa: R → R : x 7→ fa(x ) := f (x − a)

⇒ ‘verschuiving’ in de variabele x

⇒ graf fa = horizontale verschuiving graf f

- naar rechts over een afstand a als a > 0 - naar links over een afstand −a als a < 0

• OPM: f hoeft niet overal gedefinieerd te zijn,

s-verschuiving

Stelling 7.4 :

AlsF = L [f ]ena ∈ R, dan geldt

Fa(s) = F (s − a) = L

n

eat f (t)o(s)

voor alles waarvoorF (s − a)bestaat.

Bewijs: F (s−a) = Z ∞ 0 f (t)e−(s − a)t dt = Z ∞ 0

f (t)eate−st dt = Lnf (t)eato(s) 

s-verschuiving : toepassing

Opmerking: we passen deze stelling vooral toe in de volgende vorm:

L−1{F (s − a)} (t) = eat f (t)

s-verschuiving : voorbeeld

⇒ pas s-verschuiving toe voor F (s) = 1 s2: f (t) = L−1 1 s2  (t) = t zodat L−1  1 (s − a)2  (t) = eat f (t) = teat

f (t) F (s) = L {f (t)} (s) tn−1eat Γ(n) (n > 0) (s − a)1 n sinat a _s2_{+ a}1 2 cosat s s2+ a2 ebtsinat a _{(s − b)}12_{+ a}2 ebtcosat s − b (s − b)2+ a2

f (t) F (s) = L {f (t)} (s) tn−1eat Γ(n) (n > 0) (s − a)1 n sinat a _s2_{+ a}1 2 cosat s s2+ a2 ebtsinat a _{(s − b)}12_{+ a}2 ebtcosat s − b (s − b)2+ a2

Reflectie

• St 7.4 geeft aan wat er gebeurt als we een verschuiving uitvoeren in de parameter s van de Laplace-getransformeerde

• Wat gebeurt er als we een verschuiving uitvoeren in de parametertvan de functie zelf?

⇒ berekening Laplace-getransformeerde van fa geeft problemen wanneer

a ≥ 0 ´en wanneer a ≤ 0

De Heaviside-functie

• eerst voeren we voor willekeurige a ∈ R de Heaviside-functie ua in

(ook trapfunctieof unit-step-functiegenoemd)

Def.: ua: R → R :  t 7→ 1, als t ≥ a, t 7→ 0, als t < a. De grafiek vanua.

De Heaviside-functie

• eerst voeren we voor willekeurige a ∈ R de Heaviside-functie ua in

(ook trapfunctieof unit-step-functiegenoemd)

Def.: ua: R → R :  t 7→ 1, als t ≥ a, t 7→ 0, als t < a. De grafiek vany = 1 − ua.

De Heaviside-functie

• eerst voeren we voor willekeurige a ∈ R de Heaviside-functie ua in

(ook trapfunctieof unit-step-functiegenoemd)

Def.: ua: R → R :  t 7→ 1, als t ≥ a, t 7→ 0, als t < a. De grafiek vany = ua− u2a.

De Heaviside-functie

• _{eerst voeren we voor willekeurige a ∈ R de} Heaviside-functie ua in

(ook trapfunctieof unit-step-functiegenoemd)

Def.: ua: R → R :  t 7→ 1, als t ≥ a, t 7→ 0, als t < a. De grafiek vany (t) = 1 +P∞ k=1(−1) k_u

De Heaviside-functie: opmerking

• als a = 0, dan noteren we u0(t) = u(t), en we hebben dan dat

ua(t) = u(t − a)

m.a.w. ua is gewoon een verschuiving vanu!

• stel nu a ≥ 0 en beschouw een f :R+→ R

⇒ berekening L {fa(t)} geeft problemen omdat fa(t) = f (t − a) niet

gedefinieerd is voor0 ≤ t < a

⇒ oplossing: definieer een functie efa: R+→ R door



t 7→ 0, als t < a t 7→ fa(t) = f (t − a), als t ≥ a

De Heaviside-functie: notatie

• we noteren ook dat

e

fa(t) = ua(t)fa(t) = u(t − a)f (t − a)

alhoewel strikt genomen f (t − a) niet gedefinieerd is voor t < a, maar omdat toch u(t − a) = 0 voor t < a, kunnen we u(t − a)f (t − a) := 0 stellen voor t < a

De Heaviside-functie: notatie

• we noteren ook dat

e

fa(t) = ua(t)fa(t) = u(t − a)f (t − a)

alhoewel strikt genomen f (t − a) niet gedefinieerd is voor t < a, maar omdat toch u(t − a) = 0 voor t < a, kunnen we u(t − a)f (t − a) := 0 stellen voor t < a

• om niet teveel notaties te moeten gebruiken zullen we i.p.v.fe_a(t)steeds u(t − a)f (t − a)gebruiken

De Heaviside-functie: toepassing

Stelling 7.5 :

Als_{a ∈ R}+₀ enF = L [f ], dan geldt

L {u(t − a)f (t − a)} (s) = e−as F (s). Bewijs:

L {u(t − a)f (t − a)} = Z ∞

0

e−st u(t − a)f (t − a)dt =

Z ∞

a

e−stf (t − a)dt De substitutiev = t − a geeft dan

De Heaviside-functie: toepassing

L {u(t − a)f (t − a)} = Z ∞

0

e−st u(t − a)f (t − a)dt =

Z ∞

a

e−stf (t − a)dt De substitutiev = t − a geeft dan

L {u(t − a)f (t − a)} = Z ∞ 0 e−s(v + a)f (v)dv = e−sa Z ∞ 0 e−sv f (v )dv = e−saF (s) 

Gevolg en opmerking

• gevolg van Stelling 7.5 :

L {ua(t)} (s) = L {u(t − a)} (s) =L {1}e−as =

1 se−as

• ook hier gaan we de stelling vaak toepassen in de volgende vorm:

Voorbeeld

= u(t − a)f (t − a) dat

L−1  e−3s 1 s3  = u(t − 3)(t − 3) 2 2

Voorbeeld : opl Dvgl met discontinu rechterlid!

• we lossen de volgende vergelijking op

y00+y = u(t − 2)

⇒ beschrijft de beweging van een trillend deeltje waarop we eerst geen uitwendige kracht uitoefenen, en vervolgens vanaf tijdstip t = 2 een constante kracht • we passen L toe: s2Y − y (0)s − y0(0)+Y = 1 se−2s ⇒ we vinden Y = y (0)s 1 + s2 + y0(0) 1 + s2 + e−2s s(1 + s2₎ en dus y (t) = L−1  s 1 + s2  y (0)+L−1  1 1 + s2  y0(0)+L−1  1 s(1 + s2₎e−2s 

Voorbeeld : opl Dvgl met discontinu rechterlid!

• door gebruik te maken van de tabel, splitsing in partieelbreuken en t-verschuiving vinden we L−1  s 1 + s2  = cost L−1  1 1 + s2  = sint L−1  1 s(1 + s2₎  = L−1 1 s − s 1 + s2  = 1 − cost L−1  1 s(1 + s2₎e−2s  = u(t − 2)(1 − cos(t − 2)) en dus is