C&A 2013-2014 - les02_handout

(1)

Stefaan Poedts

CmPA, Dept. Wiskunde, KU Leuven

Monitoraat

• Kaat Zeeuwts (Kaatje.Zeeuwts@wet.kuleuven.be)

• Annouk Van Vlierden (Annouk.VanVlierden@wet.kuleuven.be)

Oefeningen

(2)

0 _{Inleiding tot logisch redeneren in bewijsvoering} 1 _{De getallenverzamelingen}

2 _{Functies, Rijen, Limieten en Continu¨ıteit} 3 _{Afgeleiden en Middelwaardestellingen} 4 _{Reeksen en Machtreeksen}

5 _{Transcendente Functies}

6 Grafieken van Functies en Vergelijkingen 7 Integraalrekening

(3)

1 _{Verzamelingen}

2 _{De getallenverzamelingen N, Z en Q} 3 De verzameling van re¨ele getallen, R 4 Absolute waarde en intervallen in R 5 Complexe getallen (C)

(4)

Complexe getallen (C)

Verzamelingen

Def.: Een verzameling is een geheel van aparte ‘onderdelen’, die men deelementenvan die verzameling noemt.

• omschrijving, bv. A = {x | x is een deler van 6},

opnoeming, bv. A = {1, 2, 3, 6}

• 2 ∈ A (lees: ‘ 2 is een element van A ’); 4 /∈ A (‘ 4 is geen element van A ’)

• #A = aantal elementen van verzameling A

• ∅ = de lege verzameling / singleton: bevat juist ´e´en element • A ⊂ B : A is eendeelverzameling van B

(5)

Bewerkingen op verzamelingen

de doorsnedevan A en B, A ∩ B = {x | x ∈ A en x ∈ B} de unievan A en B, A ∪ B = {x | x ∈ A of x ∈ B} let wel: inclusieve “of”!

het verschil A \ B = {x | x ∈ A en x /∈ B}

het cartesisch product A × B = {(x , y ) | x ∈ A en y ∈ B}

Voorbeeld:

A = {delers van 6} = {1, 2, 3, 6}, B = {delers van 8} = {1, 2, 4, 8} ⇒ A ∩ B = {1, 2}

⇒ A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6, 8}

⇒ A \ B = {3, 6}, MAAR: B \ A = {4, 8} Wat is #(A × B)?

(6)

De natuurlijke getallen, N

• worden gebruikt om aantallen te tellen

• _{Notatie: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .}} en N0 = N\ {0}

• _{N is} oneindig en geordend: 0 ≤ 1 ≤ 2 ≤ . . .

• _{optelling en vermenigvuldiging zijn gedefinieerd in N} • aftrekking en deling NIET! (vb. 2 − 5 /∈ N en ook 5

4 ∈ N)/

(7)

De gehele getallen, Z

• N ⊂ Z: Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .} , en Z0 = Z\ {0}

⇒ _{binnen Z kunnen we optellen ´en aftrekken (vb. 2 − 5 = −3 ∈ Z)} ⇒ vergelijking x + 1 = 0 heeft w´el een oplossing, nl. x = −1 ∈ Z

• _{vermenigvuldigen kan ook in Z maar voor de deling is Z nog te klein} ⇒ _{vergelijking 2x = 1 heeft ook in Z g´e´en oplossing!}

(8)

De rationale getallen, Q

• _{Q is op haar beurt een uitbreiding van Z:} Q = nm n | m ∈ Z, n ∈ Z, n 6= 0 o , per def.: m n = p q ⇔ mq = np (in Z) ⇒ n ∈ Z = n 1 ∈ Q • _{optelling en vermenigvuldiging worden van Z uitgebreid tot Q:}

m n + p q = mq + np nq en m n × p q = mp nq • ook x

y kan met x , y ∈ Q als y 6= 0

⇒ vergelijking ax + b = c met a, b, c ∈ Q, a 6= 0is oplosbaar inQ • ‘tekortkomingen’ (i.v.m. ‘volledigheid’)

(9)

Stelling 1.1 :

Er bestaat geen rationaal getal a zodat a2 = 2. ⇒ Bewijs ‘uit het ongerijmde’: zelfstudie!

(10)

Volledig en totaal geordend veld R, +, ×, ≤

• wordt op axiomatische wijze ingevoerd

• drie defini ¨erende voorwaarden:

1 definitie + en × zodat R, +, × =_veld

2 _{bepaling orderelatie ≤} ⇒ _{totaal geordend veld} 3 _volledigheid_{: verschil tussen R en Q}

Eerste defini ¨erende eigenschap van de re ¨ele getallen:

R, +, × is een veld

(11)

⇒ _{zorgt dat de bewerkingen + en × kunnen worden uitgevoerd in R} • deoptelling in R :

1 is _{inwendig :} ∀x, y ∈ R : x + y ∈ R

2 _is _{associatief :} ∀x, y , z ∈ R : (x + y) + z = x + (y + z) 3 _{heeft een} _{neutraal element}_{dat we 0 noemen; dat wil zeggen :}

∀x ∈ R : x + 0 = 0 + x = x

4 elk element heeft een_{tegengesteld element :}

∀x ∈ R : ∃y ∈ R : x + y = 0 = y + x (notatie tegengesteld element van x : −x )

5 _is _{commutatief :} ∀x, y ∈ R : x + y = y + x

(12)

Complexe getallen (C) • devermenigvuldiging in R0 :

1 is _{inwendig :} ∀x, y ∈ R : x × y ∈ R

2 _is _{associatief :} ∀x, y , z ∈ R : (x × y) × z = x × (y × z) 3 heeft een _{neutraal element}dat we 1 noemen:

∀x ∈ R : x × 1 = 1 × x = x

4 _{elk element}_{van R0} _{heeft een} _{invers element :}

∀x ∈ R0 : ∃y ∈ R : x × y = y × x = 1

5 is _{commutatief :} ∀x, y ∈ R : x × y = y × x

⇒ samengevat : ook (R0, ×) is een commutatieve groep

• de vermenigvuldiging is distributieften opzichte van de optelling: ∀x, y , z ∈ R : x × (y + z) = x × y + x × z

(13)

Tweede defini ¨erende eigenschap van de re ¨ele

getallen:

(R, +, ×, ≤) is een totaal geordend veld

⇒ de‘orderelatie’ heeft de volgende eigenschappen:

1 _reflexief_: ∀x ∈ R : x ≤ x

2 _{anti-symmetrisch}: ∀x, y ∈ R : x ≤ y én y ≤ x ⇒ x = y 3 _transitief: ∀x, y , z ∈ R : x ≤ y én y ≤ z ⇒ x ≤ z 4 _{de ordening is bovendien}_totaal_: ∀x, y ∈ R : x ≤ y óf y ≤ x 5 ordening blijft behouden bij:

∀x, y , a ∈ R : x ≤ y ⇒ x + a ≤ y + a

6 _{ordening blijft behouden bij:}

(14)

Hulpstelling 1.1 :

Indienc een positief re ¨eel getal is zodat voor elk strikt positief getalεgeldt dat0 ≤ c < εdan isc gelijk aan nul:

∀c ∈ R+ : ((∀ε > 0 : 0 ≤ c < ε )⇒ c = 0) Bewijs:

• bewijs uit het ongerijmde (cf. ‘speciaal geval’ en Eig. I.1 (2)):

¬∀c ∈ R+_{: (}_s(c)_⇒_t(c)_{) is equivalent met ∃c ∈ R}+_:_s(c)_∧_¬t(c)

⇒ vertrekpunt (dat tot contradictie moet leiden) :

∃c ∈ R+:(∀ε > 0 : 0 ≤ c < ε )∧c 6= 0 of ook : ∃c ∈ R+_{: ∀ε > 0 : 0 < c < ε}

• aangezien c > 0 kunnen we ε gelijk aan c kiezen

(15)

Eigenschap 1.1 :

Voor alle_{x , y ∈ R}geldt

1 x ≤ y ⇔ 0 ≤ y − x , 2 x ≤ y ∧ 0 ≤ z ⇒ xz ≤ yz, 3 0 < x ⇒ 0 < x−1,

4 0 < x ≤ y ⇒ 0 < y−1≤ x−1,

5 _{Als x , y > 0, dan ∀n ∈ N}₀ _{: x ≤ y ⇔ x}n≤ yn

Opm.: (Q, +, ×, ≤) is ook een totaal geordend veld!

• _{onderscheid tussen Q en R betreft} volledigheid

⇒ begrippen bovengrensensupremum,ondergrens eninfimum nodig ⇒ _{beschouw deelverzameling W ⊂ R}

(16)

Def.: b ∈ R is een bovengrensvan W indien ∀x ∈ W : x ≤ b. W wordt dan naar boven begrensdgenoemd.

c ∈ R is eenondergrensvan W indien ∀x ∈ W : c ≤ x. W is dannaar onder begrensd.

Een verzameling die zowel naar onder begrensd als naar boven begrensd is, wordt kortweg begrensdgenoemd.

Opm.: {meerdere bovengrenzen} ⇒ ∃ ‘kleinste en grootste’ element

Def.: De bovengrens s van W is de kleinste bovengrens of het

supremumvan W (sup W) indien voor elke bovengrens b van W geldt dat sup W = s ≤ b.

Def.: De ondergrens t is de grootste ondergrens of infimumvan W (inf W) indien voor elke ondergrens c van W geldt dat c ≤ t = inf W.

(17)

Opmerkingen:

• natuurlijk geldt er dat inf W ≤ sup W

• het supremum en infimum van W behoren niet steeds tot W • sup W is niet altijd gelijk aan max W ∈ W

inf W isniet altijd gelijk aan min W ∈ W want:

M = max W ⇔ M ∈ W ∧ ∀x ∈ W : x ≤ M

(18)

Frequent gebruikte eigenschap i.v.m. het supremum s :

Als s het supremum is van de verzameling W dan ∀ε > 0 : ∃x ∈ W : s − ε < x.

Bewijs:

• Gegeven: s is kleinste bovengrens van W • kies een willekeurige ε > 0

⇒ s − ε < s, dus is s − ε geen bovengrens ⇒ ∃x ∈ W : s − ε < x

(19)

Opmerking: Hulpstelling 1.2leidt tot een alternatieve maarequivalente

definitie van supremum:

Stelling 1.2 :

s is supW ⇔∀x ∈ W : x ≤ s∧ ∀ε > 0 : ∃x₀ ∈ W : s − ε < x₀

Opmerking: Enkel richting ⇒ bewezen,probeer richting ⇐ zelf!

(20)

Opmerkingen:

• een niet-ledige, naar boven begrensde verzameling W in een totaal geordend veld V, +, ×, ≤ heeft niet steeds een supremum in V! • tegenvoorbeeld W = {x | x ∈ Q ∧ x2< 2} ⊂ Q, +, ×, ≤:

W bezit geen maximum

alle rationale getallen x >√2 zijn bovengrens W bezit geen supremum in Q

W bezit geen minimum

alle rationale getallen x < −√2 zijn ondergrens W bezit geen infimumin Q

• de 3de def. eigenschap zorgt er voor dat W wel_{een sup bezit in R} • _{in R heeft} elkeniet-ledige, naar boven begrensde verzameling een sup ⇒ fundamenteel onderscheid tussen Q en R

(21)

Def.: Een totaal geordend veld V, +, ×, ≤ is volledigindien elke niet-ledige deelverzameling W van V die een bovengrens heeft in V ook een supremum heeft in V.

Derde defini ¨erende eigenschap van de re ¨ele getallen:

Het totaal geordend veld R, +, ×, ≤ is volledig

Opm.: Analoog heeft elke niet-ledige en naar onder begrensde verzameling in

R een infimum in R Direct gevolg:

(22)

Er is geen re ¨eel getal b zodat voor elk natuurlijk getal n geldt dat n ≤ b; of

(23)

Bewijs:

strategie: bewijs uit hetongerijmde

• ¬q : N is in R een naar boven begrensde verzameling ⇒ N heeft een supremum c in R (cf. 3de axioma) ⇒ ∀ε > 0 : ∃n₀ _{∈ N : c − ε < n}₀

• kies nu ε = 1 zodat

∃n0∈ N : c − 1 < n0 of ∃n0 ∈ N : c < n0+ 1

• n0+ 1 is een natuurlijk getal, n0+ 1 ∈ N

⇒ _{een element van N is strikt groter is dan een bovengrens van N!?} ⇒ veronderstelling ¬q is dus fout zodat q juist is!

(24)

Stelling 1.3 :

∃b ∈ R+: b2 = 2. Bewijs:

(25)

PAUZE

(5 min.)

There are things which seem incredible to most men who have not studied mathematics.

(26)

Eigenschap van Archimedes

Als a, b ∈ R en a > 0 dan bestaat er een n ∈ N zodat b < na. Bewijs:

• _{als a, b ∈ R en a > 0 dan is} b

a ∈ R

⇒ volgens vorige hulpstelling: ∃n ∈ N : b

a < n en dus: ∃n ∈ N : b < na

(27)

Dichtheid van Q in R

Stelling 1.4 :

Tussen twee verschillende re ¨ele getallen x en y ligt steeds een rationaal getal q .

Opmerkingen:

• elk re¨eel getal kan duswillekeurig dicht benaderd worden door een rationaal getal!

• tussen elke twee re¨ele getallen liggenoneindig veel andere re¨ele getallen!

x x +x +y₂ 2 x +y 2 y

(28)

Somnotatie

• vb.: a0+ a1x + a2x2+ a3x3≡ 3 X k=0 akxk (k is de sommatie-index)

⇒ k isgewoon een symbool, kan vervangen worden vb.: a0+ a1x + a2x2+ a3x3≡ 3 X n=0 anxn= a0+ 3 X n=1 anxn of ook vb.: a0+ a1x + a2x2+ a3x3≡ 4 X n=1 an−1xn−1 • opgave: p−1 X k=0 xk+1yp−k = p X l =1 xlyp+1−l want k = l − 1 ⇒ k + 1 = l en p − k = p − l + 1

(29)

De factori¨

ele functie

Def.: Defactori ¨ele functie n! wordt gedefinieerd als

f : N → N : n 7→ f (n) = n! = 1 als n = 0 1.2.3. . . . .(n − 1).n als n 6= 0. 1! = 1 6! = 720 2! = 2 7! = 5040 3! = 6 8! = 40320 4! = 24 9! = 362880 5! = 120 10!= 3628800

(30)

Complexe getallen (C) Stelling 1.5 : Binomiaalstelling: ∀n ∈ N : ∀x, y ∈ R : (x + y)n= n X k=0 n k xkyn−k,

met debinomiaalco ¨effici ¨ent: n k

= n!

k!(n − k)!.

‘volledige inductie’: uitspraak A(n) : (x + y )n=

n X k=0 n k xkyn−k • Opgave: 1 0 =1 1 1 =1

(31)

Complexe getallen (C) Stelling 1.5 : Binomiaalstelling: ∀n ∈ N : ∀x, y ∈ R : (x + y)n= n X k=0 n k xkyn−k,

met debinomiaalco ¨effici ¨ent: n k

= n!

k!(n − k)!. Bewijs:

Basis van de inductie: A(1) is juist want

1 X k=0 1 k xky1−k =1 0 x0y1+1 1 x1y0 = x + y

(32)

Complexe getallen (C) Inductiestap: TB: A(p) ⇒ A(p + 1).

• ‘A(p) is juist’ betekent dat (x + y )p =

p X k=0 p k xkyp−k • We hebben (x + y )p+1 = (x + y )(x + y )p= (x + y ) p X k=0 p k ! xkyp−k = p X k=0 p k ! xk+1yp−k+ p X k=0 p k ! xkyp+1−k = xp+1+ p−1 X k=0 p k ! xk+1yp−k+ p X k=1 p k ! xkyp+1−k+ yp+1 = xp+1+ p X l =1 p l − 1 ! xlyp+1−l+ p X l =1 p l ! xlyp+1−l+ yp+1 = xp+1+ p X l =1 " p l − 1 ! + p l !# xlyp+1−l+ yp+1

(33)

Complexe getallen (C) Nu is p+1_p+1 = 1, p+1₀ = 1 en p l − 1 +p l = p! (l − 1)!(p − l + 1)!+ p! l !(p − l )! = p!l +p!(p − l + 1) l !(p − l + 1)! = p!(l + p − l + 1) l !(p − l + 1)! = p!(p + 1) l !(p − l + 1)! = p + 1 l want (p − l + 1)! = (p − l + 1)(p − l )! en l ! = l(l − 1)! p l − 1 ! + p l ! = p!l + p!(p − l + 1) l !(p − l + 1)! = p + 1 l ! zodat (x + y )p+1 = p + 1 p + 1 xp+1+ p X l =1 p + 1 l xlyp+1−l + p + 1 0 yp+1 = p+1 X l =0 p + 1 l xlyp+1−l

⇒ De uitspraak A(p + 1) is juist en de inductiestap geldt

• _{A(0) geldt ook, zodat A(n) juist is voor alle n ∈ N}

(34)

Complexe getallen (C) • Opgave: bereken (x + y )2 (x + y )2 = 2 X k=0 2 k xky2−k = 2 0 x0y2−0+ 2 1 x1y2−1+ 2 2 x2y2−2 = y2+ 2xy + x2 • UOVT: bereken (x + y )3 en (x + y )4

(35)

Absolute waarde en topologische begrippen in R

Def.: Deabsolute waarde |x| van een re¨eel getal x wordt gedefinieerd door |x| = x indien x ≥ 0 −x indien x < 0. Opm.: Uiteraard is |x| ≥ 0 en |x| = 0 ⇔ x = 0

(36)

Eigenschappen van absolute waarde

Eigenschap 1.2 : 1 r > 0 en |x |≤r ⇔ −r ≤x ≤r (idem met <) 2 |x| = | − x|, 3 |x|2 _{= x}2 _{= |x}2|, 4 −|x| ≤ x ≤ |x|, 5 |x + y | ≤ |x| + |y |, (de ‘driehoeksongelijkheid’) 6 |x − y | ≤ |x − z| + |z − y |, . . .

(37)

Def.: Deafstand tussen twee re ¨ele getallen x en y wordt voorgesteld door d (x , y ) en gedefinieerd door

d (x , y ) = |x − y |.

Eigenschappen:

• De afstand is positief definiet, dit wil zeggen

d (x , y ) ≥ 0 ∧ d (x , y ) = 0 ⇔ x = y . • De afstand is symmetrisch: d (x , y ) = d (y , x ).

• Voor de afstand geldt de driehoeksongelijkheid, namelijk: d (x , y ) ≤ d (x , z) + d (z, y ).

(38)

Open en gesloten intervallen in R en R

open interval ]a, b[ = {x | a<x<b} a _b half-open interval]a, b]= {x | a<x≤b} a _b half-open interval[a, b[ = {x | a≤x<b} a _b gesloten interval [a, b]= {x | a≤x≤b} a _b

(39)

Def.: De verzameling {x | x > a} wordt een open oneindig interval

genoemd:

]a, +∞[= {x | x>a}.

De verzameling {x | x ≥ a} wordt eengesloten oneindig inter-val genoemd: [a, +∞[= {x | x≥a}. Meetkundige voorstelling: → +∞ a → +∞ a

(40)

δ-omgeving van een re¨

eel getal

Def.: Beschouw δ, een strikt positief re¨eel getal (δ > 0), en a een re¨eel getal. De verzameling {x | |x − a| < δ} wordt eenδ-omgeving van a genoemd en wordt genoteerd als B(a, δ):

B(a, δ) = {x | |x − a| < δ}, of

B(a, δ) = {x | d (x , a) < δ}.

• Opm.: |x − a| < δ ⇔ −δ < x − a < +δ ⇔ a − δ < x < a + δ ⇒ B(a, δ) is hetopen interval ]a − δ, a + δ[

(41)

Omgeving van een re¨

eel getal

Def.: Een deelverzameling A ⊂ R wordt een omgeving van het re ¨ele getal a ∈ A genoemd als ze een δ-omgeving van a bevat.

Voorbeeld: het open interval ]α, β[ met α < a < β is omgeving van a:

α

a − δ a a + δ β

Opmerkingen:

• [α, β], ]α, β] en [α, β[ zijn ook omgevingen van a met α < a < β • [a, +∞[ (met a ∈ R) is eenomgeving van +∞

(42)

Inwendig punt van V

Def.: x is een inwendig punt van V ⊂ R indien er een δ-omgeving van x bestaat die volledig behoort tot V, of

∃δ > 0 : B(x, δ) ⊂ V.

Opmerkingen:

• natuurlijk is x ∈ V

• verzameling van de inwendige punten van V is hetinwendige van V • inw V ⊆ V

• als V = inw V, is V een open verzameling

(43)

Ophopingspunt van V

Def.: x is eenophopingspunt van V indien elke δ-omgeving van x minstens ´e´en punt van V bevat, verschillend van x ; of

∀δ > 0 : (B(x, δ) ∩ V) \ {x} 6= φ.

Opm.: ophopingspunt van V kan al dan niet tot V behoren

Voorbeelden

• V = {1₂,1₃,1₄,1₅, . . .} heeft 0 6∈ V als ophopingspunt (cf. Hst. 1.4, a = δ, b = 1)

( Eig. van Archimedes:) ∃n ∈ N : 1

n < δ ⇒ 1

n ∈ ] − δ, +δ[

• +∞ is een ophopingspunt van {1, 2, 3, 4, . . .}, waarom??? omgeving [b, +∞[ bevat altijd natuurlijk getal (cf. Hst. 1.3)

(44)

Randpunt van V

Def.: a is eenrandpuntvan V indien elke δ-omgeving van a zowel punten van V bevat als punten buiten V, of

∀δ > 0 : B(a, δ) ∩ V 6= ∅ en B(a, δ) ∩ (R \ V) 6= ∅.

Opm.: randpunt van V kan al dan niet tot V behoren

Voorbeelden

• a en b zijn randpunten van het gesloten interval [a, b] • a en b zijn randpunten van het open interval ]a, b[

(45)

Gesloten en open verzamelingen

Def.: Een deelverzameling V van R noemen wegeslotenindien elk rand-punt van V tot V behoort. We noemen Vopenindien elk randpunt van V niet tot V behoort.

Voorbeelden

• [a, b] is een gesloten verzameling • ]a, b[ is een open verzameling

(46)

Eigenschap 1.3 :

x is een inwendig punt van V ⇒ x is een ophopingspunt van V x is een ophopingspunt van V ⇒ ∀δ > 0 : B(x , δ) bevat

oneindig veel punten van V

(47)

x ∈ ]a, b[ ⇒ x is een inwendig punt van]a, b[. Bewijs:

• x ∈ ]a, b[ zodat a < x < b en min {x − a, b − x } > 0 ⇒ kies bijvoorbeeld δ = 1₂ min {x − a, b − x }

⇒ B(x , δ) = ]x − δ, x + δ[ ⊂ ]a, b[

⇒ x is een inwendig punt van ]a, b[

Illustratie: De factor 1₂ is natuurlijk niet essentieel

a

x − δ x x + δ b

(48)

• uit deze hulpstelling volgt direct dat

x ∈ ]a, b[ ⇒ x is een inwendig punt van [a, b] • analoog: volgende eigenschappen

- Een eindpunt van een niet-gedegenereerd gesloten interval is een ophopingspunt van dat gesloten interval

- Een eindpunt van een niet-gedegenereerd open interval is een ophopingspunt van dat interval

(49)

Complexe getallen (C)

• thuis doornemen!

⇒ getallenverzamelingen ingevoerd en besproken:

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C

• _{eerste deel van de cursus: hoofdzakelijk R}

• volgende hoofdstuk: invoering begrippen voor het ‘vertalen’ van praktische problemen naar wiskundige problemen