• No results found

1. Show that B(V, W ) = {f ∈ Hom(V, W ): ||f || < ∞} is a subspace of Hom(V, W ), and that || · || is a norm on B(V, W ).

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "1. Show that B(V, W ) = {f ∈ Hom(V, W ): ||f || < ∞} is a subspace of Hom(V, W ), and that || · || is a norm on B(V, W )."

Copied!
1
0
0

Bezig met laden.... (Bekijk nu de volledige tekst)

Hele tekst

(1)

Linear algebra 2: exercises for Section 7

Ex. 7.1. Let V and W be normed vector spaces over R. For a linear map f : V → W let

||f || = sup

x∈V, ||x||=1

||f (x)||

1. Show that B(V, W ) = {f ∈ Hom(V, W ): ||f || < ∞} is a subspace of Hom(V, W ), and that || · || is a norm on B(V, W ).

2. Show that B(V, W ) = Hom(V, W ) if V is finite dimensional.

3. Taking V = W above, we obain a norm on B(V, V ). Show that ||f ◦ g|| ≤ ||f || · ||g||

for all f, g ∈ B(V, V ).

Ex. 7.2. Consider the rotation map f : R

2

→ R

2

which rotates the plane by 45 degrees.

For any norm on R

2

the previous exercise defines a norm ||f ||. Show that ||f || = 1 when we take the standard euclidean norm || · ||

2

on R

2

. What is ||f || when we take the maximum norm || · ||

on R

2

?

Ex. 7.3. Consider V = R

n

with the standard inner product and the norm || · ||

2

. Suppose that f : V → V is a diagonalizable map whose eigenspaces are orthogonal (i.e., V has an orthogonal basis consisting of eigenvectors of f ). Show that ||f || as defined in Ex. 7.1 above is equal to the largest absolute value of an eigenvalue of f .

Ex. 7.4. What is the sine of the matrix  π π 0 π



?

Ex. 7.5. Consider the vector space V of polynomial functions [0, 1] → R with the sup- norm: ||f || = sup

0≤x≤1

|f (x)|. Consider the functional φ ∈ V

defined by φ(f ) = f

0

(0).

Show that φ 6∈ B(V, R). [Hint: consider the polynomials (1 − x)

n

for n = 1, 2, . . ..]

1

Referenties

GERELATEERDE DOCUMENTEN

Om het resultaat van Anamos weer STABIEL te krijgen is gezocht naar het maximale toepassingsniveau, door het niveau van de bovengrens in de spreadsheet te verlagen.. Het

Door Water, en door Vier, zijn Vyand tegen vliên ? Jacobus vaft geplaatft , wort egter nogh verdreven, Dat menigh braaf Soldaat ellendigh brenght om ’t leven. Nooit Gauler,

• Make sure that the appliance, the power cord and plug do not come in contact with water9. sAfety instructions -

In de regel zullen gemeenten dergelijke afspraken niet in de registratie opnemen, waardoor de door Divosa en CBS gepubliceerde cijfers weliswaar een beeld geven van het aantal

De aanvrager dient de noodzakelijkheid van afwijking van de maximale lengte uitdrukkelijk te motiveren. Het feit dat de toegang tot het perceel gebruikelijk moet dienen

Het bestuursorgaan is verantwoordelijk voor het opstellen van de jaarrekening die een getrouw beeld geeft in overeenstemming met het in België van toepassing

gedaente van blauw- of zwartagtige puys- ten 7' de welke ? naer eene verzweêring, op meer of min tyd geneézen. Het is met het voortplanting-vogt van deze on- middelyke

Activiteiten en bereikte resultaten 2017 8 Naar professioneler ondernemerschap en meer rendement voor de bloemist 9 Naar een gezondere arbeidsmarkt voor de bloemist