2. Functies van meerdere variabelen
We beschouwen voornamelijk functies van twee variabelen, de uitbreiding van de vernoemde be- grippen naar functies van meer dan twee variabelen is voor de hand liggend.
2.1 Enkele basisbegrippen en definities
Definitie 2.1.1. .
Een relatie f : R×R → R : (x,y) → f (x,y) is een functie indien met elk koppel (x,y) hoogstens één waarde z= f (x, y) correspondeert.
Het domein van de functie: dom f = {(x,y) ∈ R × R| f (x,y) bestaat}.
Het beeld(=bereik) van de functie beeld f = { f (x,y)
(x,y) ∈ dom f}.
Een gebied G is een verzameling punten van het vlak waarvoor geldt: elke twee punten kunnen verbonden worden door een gebroken lijn die volledig tot de verzameling behoort.
Voorbeeld 2.1 Bepaal domein en beeld van z= 1 p4− x2− y2. dom f = {(x,y)
x2+ y2< 4 } is een open schijf met straal 2 en middelpunt (0,0).
beeld f= [12, +∞[.
De grafische voorstelling van een functie z= f (x, y) in de 3-dimensionale ruimte is een oppervlak Ω.
De vergelijking van een kromme in de ruimte kan men geven:
1. als een doorsnede van twee oppervlakken
F(x, y, z) = 0 G(x, y, z) = 0
2. in parametervorm:
x= f1(t) y= f2(t) z= f3(t)
met parameter t∈ R
Een niveaulijn is een kromme die de doorsnede is van het oppervlak met een vlak evenwijdig met één van de coördinaatvlakken. Het tekenen van niveaulijnen helpt bij het visualiseren van het oppervlak z= f (x, y).
2.2 Partieel afleiden 22
Voorbeeld 2.2 Teken de functie z= x2+ y2. dom f = R × R beeld= R+
De niveaulijnen // XY -vlak zijn cirkels.
De niveaulijnen //Y Z-vlak zijn parabolen.
.
2.2 Partieel afleiden
2.2.1 Partiële afgeleiden van de eerste orde De functie f :(x, y) → z = f (x,y) stelt een opper- vlak voor. Voor p(x0, y0) ∈ dom f beschouwen we de niveaulijn K, snijkromme van het opper- vlakΩmet het vlak y= y0(// X Z-vlak).
In het vlak y= y0 kan men de kromme K be- schouwen als de grafische voorstelling van de functie fx : x→ f (x,y0). Deze functie is afhan- kelijk van één variabele, namelijk x.
.
Definitie 2.2.1. De afgeleide van de functie fxnaar x, noemt men de partiële afgeleide van f naar x en men noteert:
∀y : ∂f(x, y)
∂x = lim
∆x→0
f(x +∆x, y) − f (x,y)
∆x
Analoog definieert men de partiële afgeleide van f naar y en men noteert:
∀x : ∂f(x, y)
∂y = lim
∆y→0
f(x, y +∆y) − f (x,y)
∆y Men gebruikt eveneens de notatie:
fx′=∂f
∂x en fy′= ∂f
∂y
Praktisch: men gebruikt de gewone rekenregels voor afgeleiden waarbij slechts één variabele varieert en de andere variabelen als constanten beschouwd worden.
Voorbeeld 2.3 De partiële afgeleiden van f(x, y) = x2y3+ 2y zijn ∂f
∂x = 2xy3 en ∂f
∂y = 3x2y2+ 2
2.2 Partieel afleiden 23 2.2.2 Partiële afgeleiden van hogere orde
Vermits ∂f
∂x en ∂f
∂y functies zijn van x en y, kan men deze opnieuw partieel afleiden. Notatie:
∂2f
∂x2 = ∂
∂x
∂f
∂x
= fxx′′ ∂2f
∂x∂y = ∂
∂x
∂f
∂y
= fyx′′
∂2f
∂y2 = ∂
∂y
∂f
∂y
= fyy′′ ∂2f
∂y∂x = ∂
∂y
∂f
∂x
= fxy′′
Dit zijn de tweede orde partiële afgeleiden van f naar x en/of y. Analoog definieert men de partiële afgeleiden van de derde orde en hoger.
Eigenschap 2.2.1 — Stelling van Clairaut. Indien in een gebied G de partiële afgeleiden van de 1ste en 2de orde van een functie f bestaan én continu zijn dan geldt: ∂2f
∂x∂y = ∂2f
∂y∂x.
Voorbeeld 2.4 De eerste en tweede orde partiële afgeleiden van f(x, y) = x3ln y zijn:
∂f
∂x = 3x2ln y ∂f
∂y = x3 y
∂2f
∂x2 = 6x ln y ∂2f
∂x∂y = ∂2f
∂y∂x =3x2 y
∂2f
∂y2 = −x3 y2 2.2.3 Totale differentiaal van eerste orde
Definitie 2.2.2. De totale differentiaal van f is:
d f =∂f
∂xdx+∂f
∂ydy
Dit is een uitbreiding naar functies van twee variabelen van d f = f′(x) dx. Breidt men dit uit tot een functie van n variabelen z= f (x1, x2, ··· ,xn) dan definieert men:
d f = ∂f
∂x1dx1+ ∂f
∂x2dx2+ ··· + ∂f
∂xndxn
Voorbeeld 2.5 De totale differentiaal van f(x, y, z) = x2− y2z3is:
d f = 2x dx − 2yz3dy− 3y2z2dz 2.2.4 Hogere orde totale differentialen
De tweede orde totale differentiaal kan als volgt uitgewerkt worden.
d2f = d(d f ) = d(∂f
∂xdx+∂f
∂ydy) = ∂
∂x
∂f
∂xdx+∂f
∂ydy
dx+ ∂
∂y
∂f
∂xdx+∂f
∂ydy
dy
=
∂2f
∂x2dx+∂f
∂x
∂
∂x(dx) + ∂2f
∂x∂ydy+ 0
dx+
∂2f
∂y∂xdx+ 0 +∂2f
∂y2dy+ 0
dy
= ∂2f
∂x2dx2+ 2 ∂2f
∂x∂ydx dy+∂2f
∂y2 dy2=
∂
∂x(dx) + ∂
∂y(dy)
′′2′′
f
Analoog is dnf= d(dn−1f) en dus:
dnf=
∂
∂x(dx) + ∂
∂y(dy)
′′n′′
f
Voorbeeld 2.6 De derde orde differentiaal van f(x, y) = x
y is d3f = 6
y3dx(dy)2−6 x y4 (dy)3.
2.3 Meetkundige betekenis van de totale differentiaal 24
(x;y )
(x+x;y )
(x;y+y )
(x+x;y+y ) a
b c g
(dz)
y
(dz)
x
p z
= f
( x;
y )
2.3 Meetkundige betekenis van de totale differentiaal
In een punt p(x, y, z) van het oppervlak z = f (x, y), bekijken we de invloed van een verandering∆x en∆y op de wijziging in functiewaarde∆z= f (x +∆x, y +∆y) − f (x,y).
In de figuur is∆z= ag. We vergelijken dit met ac : dit is de afstand tot het raakvlak in (x, y, z) aan het oppervlak z= f (x, y).
Er geldt: ab= (dz)y≈ (∆z)y: verandering in z-waarde bij constante y-waarde.
bc= (dz)x≈ (∆z)x: verandering in z-waarde bij constante x-waarde.
ac= ab + bc
De differentiaal in de X -richting is: (dz)y= ∂∂xfdx= ab de differentiaal in de Y -richting is: (dz)x= ∂∂yfdy= bc
zodat dz= ac De totale differentiaal is een benadering voor∆z bij kleine toename van x en y.
Een benadering van f(x +∆x, y +∆y) voor de functie z = f (x, y) als∆x≈ 0 en∆y≈ 0 is:
∆f =∆z≈ dz = d f = ∂f
∂xdx+∂f
∂ydy zodat f(x +∆x, y +∆y) ≈ f (x,y) +∂f
∂x∆x+∂f
∂y∆y
Voorbeeld 2.7 Bereken zonder rekenmachine een benadering voor(1.02)3.01. Beschouw z= xyin het punt (1,3) en stel∆x= 0.02,∆y= 0.01.
De totale differentiaal is: d f = (yxy−1) dx + (xyln x) dy,
zodat(1.02)3.01 ≈ 13+ 3 × 12×∆x+ 13× ln 1 ×∆y= 1 + 0.06 + 0 = 1.06.
2.4 Berekeningswijze voor y′
Een impliciete kromme kan men steeds schrijven onder de vorm F(x, y) = 0.
De afgeleide y′bekomt men uit
dF= 0 ⇔ ∂F
∂x dx+∂F
∂y dy= 0 ⇔ y′= −Fx′ Fy′
2.5 Gradiënt 25
Voorbeeld 2.8 Bepaal de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in het punt p(−1,12) van K: πy= 3Bgsin(x2y).
Uit πy= 3Bgsin(x2y) ⇔ F(x,y) =πy− 3Bgsin(x2y) = 0 volgt:
Fx′= − 6xy
p1− x4y2 , Fy′=π−√3x2
1−x4y2 en y′= 6xy πp
1− x4y2− 3x2.
De richtingscoëfficiënt van de raaklijn in het punt p, gelijk aan y′p, is dus y′p= 6
6−π√3. 2.5 Gradiënt
Stelϕeen functie die met een punt p(x, y, z) = p(~r) in de ruimte een scalairϕ(x, y, z) laat corres- ponderen.
Stel f een functie die met een punt p(x, y) = p(~r) in het vlak een scalair f (x, y) laat corresponde- ren.
Definitie 2.5.1. Voor een scalaire functie ϕ :(x, y, z) →ϕ(x, y, z) wordt de gradiënt van ϕ gedefinieerd als de vectorfunctie:
gradϕ= ~∇ϕ= ∂ϕ
∂x~ex+∂ϕ
∂y~ey+∂ϕ
∂z~ez=
∂ϕ
∂x,∂ϕ
∂y,∂ϕ
∂z
Voor de scalaire functie f :(x, y) → f (x, y) geldt: grad f = ~∇f =n∂
∂xf,∂∂yfo .
Men noemt het symbool ~∇nabla, en
~∇= ∂
∂x~ex+ ∂
∂y~ey+ ∂
∂z~ez de Nabla-operator.
Een vergelijking van het typeϕ(x, y, z) = C noemt men een niveauoppervlak van u =ϕ(x, y, z).
Een vergelijking van het type f(x, y) = C noemt men een niveaulijn van z = f (x, y).
Voorbeeld 2.9 Bereken de waarde van de gradiënt vanϕ= 2x2y3(2y+z4) in het punt p(1, 1, −1).
De gradiënt is: gradϕ= 4xy3(2y + z4)~ex+ 2x2y2(8y + 3z4)~ey+ 8x2y3z3~ez De waarde in p is: (gradϕ)p= 12~ex+ 22~ey− 8~ez= {12,22,−8}
2.5 Gradiënt 26 2.5.1 Eigenschappen van gradiënt
Eigenschap 2.5.1 — Verband tussen de gradient en totale differentiaal. dϕ= ~∇ϕ· d~r met d~r de verplaatsingsvector met componenten {dx, dy, dz}
d f = ~∇f· d~r met d~r de verplaatsingsvector met componenten {dx, dy}
Dit volgt uit:
gradϕ· d~r =
∂ϕ
∂x~ex+∂ϕ
∂y~ey+∂ϕ
∂z~ez
· (dx~ex+ dy~ey+ dz~ez)
= ∂ϕ
∂x dx+∂ϕ
∂y dy+∂ϕ
∂z dz= dϕ Analoog voor
d f = ~∇f· d~r
met d~r de verplaatsingsvector met componenten {dx,dy}.
Eigenschap 2.5.2 — Gradiënt en niveau-oppervlak / niveaulijn. De gradiënt ~∇ϕ staat loodrecht op elk niveau-oppervlak van u=ϕ(x, y, z), de gradiënt ~∇f staat loodrecht op elke niveaulijn van z= f (x, y).
Bewijs
Uit dϕ= ~∇ϕ· d~r enϕ= C geldt dϕ= ~∇ϕ· d~r = 0 m.a.w. ~∇ϕ⊥ d~r.
Analoog ~∇f⊥ d~r.
Eigenschap 2.5.3 — Richting van de grootste verandering. Gegeven de scalaire functie u=ϕ(x, y, z) of z = f (x, y). De richting van de grootste verandering inϕ resp. f in een punt p, m.a.w. de richting van de grootste helling in een punt p wordt gegeven door ~∇ϕpresp. ~∇fp.
Bewijs
Vermits dϕp= ~∇ϕp· d~r = k~∇ϕpk.kd~rk.cosθ metθ de hoek tussen ~∇ϕp en d~r, is dϕ maximaal indienθ= 0, m.a.w. indien d~r k ~∇ϕp. De richting van de grootste helling wordt derhalve gegeven door ~∇ϕp. Analoog voor ~∇fp.
2.5 Gradiënt 27
Voorbeeld 2.10 Bepaal de richting van de grootste helling in onderstaande punten voor onder- staande functies:
1. f(x, y) = x2y in p(−1, 1):
~∇f= {2xy, x2}, richting van de grootste helling is ~∇fp= {−2, 1}.
2. ϕ(x, y, z) = x2y+ y2z+ z2x in p(−1, 1, 2):
~∇ϕ= {2xy + z2, x2+ 2 y z, y2+ 2 z x}, de richting van de grootste helling is
~∇ϕp= {2, 5, −3}.
2.5.2 Vergelijking van raakvlak en normaal in een punt van een oppervlak Voor een oppervlakϕ(x, y, z) = 0 is de richting van de normaal deze van de gradiënt en is:
1. de vergelijking van het raakvlak in p(x0, y0, z0) aanϕ(x, y, z) = 0 gegeven door:
∂ϕ
∂x
p
(x − x0) +
∂ϕ
∂y
p
(y − y0) +
∂ϕ
∂z
p
(z − z0) = 0
2. de vergelijking van de normaal in p(x0, y0, z0) aanϕ(x, y, z) = 0 gegeven door:
x− x0
∂ϕ
∂x
p
= y− y0
∂ϕ
∂y
p
= z− z0
∂ϕ
∂z
p
Voorbeeld 2.11 Bepaal de vergelijking van het raakvlak en de normaal aan het oppervlak x2− y2z2= 5 in p(3, 2, 1).
Ga na dat p op het oppervlak ligt. De vergelijking van het oppervlak is:ϕ= x2− y2z2− 5 = 0.
De normaalvector in p is: (gradϕ)p= {2x,−2yz2, −2y2z}p= {6,−4,−8}// {3,−2,−4}.
Het raakvlak in p is: 3(x − 3) − 2(y − 2) − 4(z − 1) = 0 ⇔ 3x− 2y − 4z = 1.
De normaal in p is: x− 3
3 =y− 2
−2 =z− 1
−4
2.6 Extrema van een functie van twee veranderlijken 28 2.5.3 Vergelijking van raaklijn en normaalvlak in een punt van een kromme
Voor een punt p(x0, y0, z0) van de snijlijn van twee oppervlakken
ϕ(x, y, z) = 0 ψ(x, y, z) = 0
is de raaklijn in p aan de kromme de snijlijn van beide raakvlakken. Een richtingsvector van de raaklijn is het vectorieel product van de normaalvectoren:
(∂ϕ
∂x
p
,
∂ϕ
∂y
p
,
∂ϕ
∂z
p
)
× (∂ψ
∂x
p
,
∂ψ
∂y
p
,
∂ψ
∂z
p
)
Het normaalvlak in het punt p is het vlak loodrecht op de raaklijn.
Voor een punt p(t = t0) gelegen op een parameterkromme
x = f1(t) y = f2(t) z = f3(t)
met t∈ R
is een richtingsvector van de raaklijn gegeven door: { f1′(t0), f2′(t0), f3′(t0)}
De raaklijn in p is: x− x0
f1′(t0) =y− y0
f2′(t0) = z− z0
f3′(t0)
Het normaalvlak in p is: f1′(t0) (x − x0) + f2′(t0) (y − y0) + f3′(t0) (z − z0) = 0
Voorbeeld 2.12 Bepaal de vergelijking van de raaklijn en het normaalvlak in het punt p(1, 1, 2) aan de kromme
x2+ y2 = z x+ 2y = z + 1
Metϕ= x2+ y2− z = 0 enψ = x + 2y − z − 1 = 0 is een richtingsvector van de raaklijn:
(~∇ϕ)p× (~∇ψ)p= {2,2,−1} × {1,2,−1} = {0,1,2}
Het normaalvlak is: (y − 1) + 2(z − 2) = 0 ⇔ y + 2z = 5 De raaklijn is:
x= 1 2y= z
2.6 Extrema van een functie van twee veranderlijken
We beschouwen enkel functies z= f (x, y) met continue partiële afgeleiden.
Beschouw de scalaire functieϕ(x, y, z) = f (x, y) − z dan is
~∇ϕ=
∂f
∂x
,
∂f
∂y
, −1
de richting van de normaal is.
In een punt p waar een extremum bereikt wordt, is de normaal evenwijdig met de Z-as:
(∂f
∂x
p
,
∂f
∂y
p
, −1 )
// {0,0,1} ⇔
∂f
∂x
p
= 0
∂f
∂y
p
= 0
