Functies van meerdere (meestal twee) variabelen
Extreme waarden
De grafiek van de functie f die gegeven wordt door:
f (x , y ) = 10x2y − 5x2− 4y2− x4− 2y4.
Herinnering
Laat D ⊂ R een open interval zijn en f : D → R een differentieerbare functie.
Als f een lokaal extreem aanneemt in c ∈ D dan f0(c) = 0.
Als f0(c) = 0 voor zekere c ∈ D dan kan f in c dus een lokaal extreem aannemen.
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
19 oktober 2014 1
Laat D ∈ R2 een open cirkelschijf zijn en f : D → R een functie met continue, eerste orde, parti¨ele afgeleiden.
Als f in (a, b) een lokaal extreem aanneemt dan f1(a, b) = f2(a, b) = 0.
Als f1(a, b) = f2(a, b) = 0 dan kan f in (a, b) dus een lokaal extreem aannemen.
Definitie
Punten (a, b) met de eigenschap dat f1(a, b) = f2(a, b) = 0 heten stationaire punten.
Herinnering
Laat D ⊂ R een open interval zijn en f : D → R een twee maal differentieerbare functie.
Als f0(c) = 0 voor zekere c ∈ (a, b) dan neemt f in c een lokaal maximum aan als f00(c) < 0 en
een lokaal minimum als f00(c) > 0.
Als f00(c) = 0 dan kan f in c een extreem aannemen maar dit hoeft niet.
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
19 oktober 2014 3
De determinant van Hesse
Laat D ∈ R2 een open cirkelschijf zijn en f : D → R een functie met continue, eerste orde, parti¨ele afgeleiden.
Dan heet DH(a, b) = f11(a, b)f22(a, b) − {f12(a, b)}2 de determinant van Hesse.
Als f1(a, b) = f2(a, b) = 0 dan neemt f in (a, b)
een lokaal maximum aan als f11(a, b) < 0 en DH(a, b) > 0 en
een lokaal minimum aan als f11(a, b) > 0 en DH(a, b) > 0.
Als DH(a, b) < 0 dan heeft f in (a, b) een zadelpunt.
Meervoudige (Riemann-) integralen
Bernhard Riemann Guido Fubini 1826 - 1866 1879 - 1943
Veronderstel dat f : D → R continu is, waarbij D = [a, b] × [c, d ].
Laten a = x0 < x1< x2 < · · · < xm−1< xm = b en c = y0 < y1 < y2 < · · · < yn−1 < yn = d partities zijn van [a, b] en [c, d ].
Deze partities bepalen een partitie P van D .
Hieronder is ´e´en term uit de Riemannsom getekend dat wil zeggen:
f (ξij, ηij)∆Aij
voor zekere 1 ≤ i ≤ m en 1 ≤ j ≤ n.
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
19 oktober 2014 2
En hieronder de totale Riemannsom:
n
X
j =1 m
X
i =1
f (ξij, ηij)∆Aij
MP = max
1 ≤ i ≤ m 1 ≤ j ≤ n
q
∆xi2 + ∆yj2 heet de maaswijdte van een
partitie P .
Wanneer lim
MP→0 n
X
j =1 m
X
i =1
f (ξij, ηij)∆Aij
bestaat onafhankelijk van de keuze van de steunpunten dan heet f Riemannintegreerbaar over D en de limiet heet de Riemannintegraal van f over D.
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
19 oktober 2014 3
Notaties Z Z
D
f (x , y ) dA = Z Z
D
f (x , y ) d(x , y ) Stelling
Als f continu is op D dan is f Riemannintegreerbaar over D.
Gevolgen (Gelijkheden)
Als f en g continu zijn op D en c ∈ R dan zijn f + g en c · f Riemannintegreerbaar over D en
Z Z
D
(f + g )(x , y ) dA = Z Z
D
f (x , y ) dA + Z Z
D
g (x , y ) dA Z Z
D
(c · f )(x , y ) dA = c · Z Z
D
f (x , y ) dA In het bijzonder:
Z Z
D
c dA = c · oppD
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
19 oktober 2014 5
Ongelijkheden
Laten f en g continu zijn op D.
Als f (x , y ) ≥ 0 voor (x , y ) ∈ D dan Z Z
D
f (x , y ) dA ≥ 0
Als f (x , y ) ≤ g (x , y ) voor (x , y ) ∈ D dan Z Z
D
f (x , y ) dA ≤ Z Z
D
g (x , y ) dA
Als m ≤ f (x , y ) ≤ M voor (x , y ) ∈ D dan m · opp(D) ≤
Z Z
D
f (x , y ) dA ≤ M · opp(D)
|f | is continu op D en
Z Z
D
f (x , y ) dA
≤ Z Z
D
|f (x, y )| dA
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
19 oktober 2014 7
