Functies van meerdere (meestal twee) variabelen De richtingsafgeleide

Functies van meerdere (meestal twee) variabelen

De richtingsafgeleide

Wat is een richtingsafgeleide? (Definitie)

Laat f een functie zijn op D ⊂ R², (a, b) ∈ D en u = hu1, u2i een vector met lengte 1.

Als lim

h→0

f (a + hu1, b + hu2) − f (a, b)

h bestaat en

gelijk is aan L dan heet L de richtingsafgeleide van f in (a, b) in de richting van u.

Notaties D_uf (a, b) = ∂f

∂u(a, b)

Om een richtingsafgeleide uit te rekenen hoeven we niet steeds de definitie toe te passen. De volgende stelling zorgt er voor dat dit eenvoudiger kan.

Stelling

Veronderstel nu dat f continue, eerste orde, parti¨ele afgeleiden heeft op D.

Dan is

Duf (a, b) = lim

h→0

f (a + hu1, b + hu2) − f (a, b) h

= f1(a, b)u1 + f2(a, b)u2

Blijkbaar

D_uf (a, b) = hf₁(a, b), f₂(a, b)i^•hu₁, u₂i

= hf₁(a, b), f₂(a, b)i^•u

De vector hf1(a, b), f2(a, b)i wordt de gradi¨ent van f in (a, b) genoemd.

Notaties

gradf (a, b) = ∇f (a, b)

Opmerkingen

Als u ∈ R² en |u| = 1 dan u = hcos θ, sin θi voor zekere θ (0 ≤ θ ≤ 2π).

Duf (a, b) = ∇f (a, b)^•u

Eigenschap van de gradi¨ent

De functie f stijgt in (a, b) het snelst in de richting van

∇f (a, b) en daalt het snelst in tegenovergestelde richting.

Gevolg

∇f (a, b) een vector is loodrecht op de hoogtelijn van f door (a, b).

Opmerking

Het voorafgaande kan gegeneraliseerd worden voor functies van drie en meer variabelen.

Is f een functie op D ⊂ R³ waarvan de eerste orde parti¨ele afgeleiden bestaan en continu zijn op D en (a, b, c) ∈ D. dan is

∇f (a, b, c) een vector loodrecht op het niveauoppervlak van f door (a, b, c).

Functies van meerdere (meestal twee) variabelen

Extreme waarden

De grafiek van de functie f die gegeven wordt door:

f (x , y ) = 10x²y − 5x²− 4y²− x⁴− 2y⁴.

Herinnering

Laat D ⊂ R een open interval zijn en f : D → R een differentieerbare functie.

Als f een lokaal extreem aanneemt in c ∈ D dan f⁰(c) = 0.

Als f⁰(c) = 0 voor zekere c ∈ D dan kan f in c dus een lokaal extreem aannemen.

Laat D ⊂ R een open interval zijn en f : D → R een twee maal differentieerbare functie.

Als f⁰(c) = 0 voor zekere c ∈ (a, b) dan neemt f in c een lokaal maximum aan als f⁰⁰(c) < 0 en

een lokaal minimum als f⁰⁰(c) > 0.

Als f⁰⁰(c) = 0 dan kan f in c een extreem aannemen maar dit hoeft niet.