Functies van meerdere (meestal twee) variabelen
De grafiek van de functie f : R2 → R gegeven door:
f (x , y ) = xy x2+ y2
Parti¨ele afgeleiden
Laat f : D → R waarbij D ⊂ R2 en (a, b) ∈ D.
Definieer de functie g door g (x ) = f (x , b).
De grafiek van g is de doorsnede van de grafiek van f en het vlak met als vergelijking y = b.
Als g differentieerbaar is in a dan is g0(a) de rich- tingsco¨effici¨ent van de raak- lijn aan de grafiek van g in (a, b, g (a)) = (a, b, f (a, b)).
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
13 oktober 2014 1
Er geldt g0(a) = lim
h→0
g (a + h) − g (a)
h = lim
h→0
f (a + h, b) − f (a, b) h
f heet partieel differentieerbaar naar de eerste variabele (of naar x ) in (a, b).
Verder heet g0(a) de parti¨ele afgeleide van f naar de eerste variabele (of naar x ) in (a, b).
Notaties
f1(a, b) = fx(a, b) = ∂f
∂x(a, b)
Definieer de functie l door l (y ) = f (a, y ).
De grafiek van l is de doorsnede van de grafiek van f en het vlak met als vergelijking x = a.
Als l differentieerbaar is in b dan is l0(a) de rich- tingsco¨effici¨ent van de raak- lijn aan de grafiek van l in (a, b, l (b)) = (a, b, f (a, b)).
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
13 oktober 2014 3
Er geldt l0(b) = lim
k→0
l (b + k) − l (b)
k = lim
k→0
f (a, b + k) − f (a, b) k
f heet partieel differentieerbaar naar de tweede variabele (of naar y ) in (a, b).
Verder heet l0(b) de parti¨ele afgeleide van f naar de tweede variabele (of naar y ) in (a, b).
Notaties
f2(a, b) = fy(a, b) = ∂f
∂y(a, b)
Als de parti¨ele afgeleiden van f bestaan voor alle (x , y ) ∈ D dan zijn deze parti¨ele afgeleiden opnieuw functies van x en y op D.
Differenti¨eren we f1 = fx = ∂f
∂x in (a, b) opnieuw naar de eerste variabele (of naar x ) dan vinden we de tweede orde parti¨ele afgeleide naar de eerste variabele (of naar x ) in (a, b).
Notaties
(f1)1(a, b) = (fx)x(a, b) = ∂
∂x
∂f
∂x
(a, b) of korter
f11(a, b) = fxx(a, b) = ∂2f
∂x2(a, b)
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
13 oktober 2014 5
Differenti¨eren we f1 = fx = ∂f
∂x in (a, b) naar de tweede variabele (of naar y ) dan vinden we een tweede orde, gemengde, parti¨ele afgeleide in (a, b).
Notaties
(f1)2(a, b) = (fx)y(a, b) = ∂
∂y
∂f
∂x
(a, b) of korter
f12(a, b) = fxy(a, b) = ∂2f
∂y ∂x(a, b)
We kunnen hetzelfde doen met f2 = fy = ∂f
∂y in (a, b) en vinden
Notaties
(f2)1(a, b) = (fy)x(a, b) = ∂
∂x
∂f
∂y
(a, b) of korter
f21(a, b) = fyx(a, b) = ∂2f
∂x ∂y(a, b) (f2)2(a, b) = (fy)y(a, b) = ∂
∂y
∂f
∂y
(a, b) of korter
f22(a, b) = fyy(a, b) = ∂2f
∂y2(a, b)
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
13 oktober 2014 7
Stelling
Als f gedefinieerd is op een open cirkelschijf D en f1, f2, f12 bestaan en zijn continu op D
dan bestaat f21 ook op D en f21 = f12.
Ruimtemeetkunde
Vectoren
Definitie
Een gericht lijnstuk heeft naast een grootte en een richting.
Zo’n lijnstuk heeft dus een beginpunt en een eindpunt. Het eindpunt wordt meestal van een pijltje voorzien om de richting aan te geven.
Notaties
−→AB of AB
Definitie
Twee gerichte lijnstukken zijn equivalent of gelijk als ze door een verplaatsing in elkaar zijn over te voeren.
Kiezen we een oorsprong in het platte vlak of de ruimte dan wordt een gericht lijnstuk dat in de oorsprong begint ook wel vector genoemd. Elk gericht lijnstuk is dus equivalent met een vector.
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
13 oktober 2014 2
Er geldt dus:
−→CD = −→
AB Notatie
−
→u of u of u
De nulvector
De nulvector is de vector met lengte 0. Dit is de enige vector zonder richting.
Notatie 0
De tegengestelde vector
Als u een vector is en v is de vector die even lang is als u maar tegengesteld gericht dan heet v de tegengestelde van u.
Notatie
−u
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
13 oktober 2014 4
Vermenigvuldiging met een factor
Als u een vector is en c een re¨eel getal en v is de vector die |c|
maal zo lang is als u en dezelfde richting heeft als u als c > 0 en tegengesteld is aan u als c < 0 dan heet v de
vermenigvuldiging van u met c.
Notatie cu
De som van twee vectoren
Om de som van twee vectoren u en v te bepalen worden twee technieken gebruikt:
‘de parallellogramconstructie’ en de ‘kop-aan-staartmethode’
Notatie
u + v en u + (−v) wordt genoteerd als u − v
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
13 oktober 2014 6
Het gerichte lijnstuk van de
‘kop’ van v naar de ‘kop’ van u is gelijk aan u − v.
Eigenschappen
Laten a, b en c vectoren zijn en c, d re¨ele getallen. Dan geldt:
1. a + b = b + a,
2. a + (b + c) = (a + b) + c, 3. a + 0 = a,
4. a + (−a) = 0, 5. c(a + b) = ca + cb, 6. (c + d )a = ca + d a, 7. (cd )a = c(d a), 8. 1a = a.
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
13 oktober 2014 8
Om het werken met vectoren te vergemakkelijken tekenen we een rechthoekig assenstelsel in het platte vlak (de ruimte) en noemen we de eenheidsvectoren (vectoren met lengte 1) in de richting van de positieve assen, i en j (i, j en k).
Opmerking
Iedere vector kan op precies ´e´en manier worden uitgedrukt in i en j (i, j en k).
Er geldt:
u = (x i + y j) + zk = x i + y j + zk.
x , y en z heten de kentallen van de vector u.
Notaties
u = x i + y j + zk = hx , y , zi of a = a1i + a2j + a3k = ha1, a2, a3i
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
13 oktober 2014 10
Bewerkingen
Als a = ha1, a2i en b = hb1, b2i dan a + b = ha + b , a + b i
Bewerkingen
Als a = ha1, a2, a3i, b = hb1, b2, b3i en c een re¨eel getal dan geldt:
1. a + b = ha1+ b1, a2+ b2, a3+ b3i, 2. ca = hca1, ca2, ca3i,
3. |a| = q
a12+ a22+ a23 is de lengte van de vector a.
Als a 6= 0 dan is bovendien u = a
|a| de vector met lengte 1 in de richting van a.
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
13 oktober 2014 12
