grafiek met
klopt dal
x
x en x
16 , 2 2
16 , 4 16 , ) 0 (
16 , 4 16
,
0 2
1
= +
=
=
= Uitwerkingen hoofdstuk 2
2. Kwadratische functies.
Opgave 2.1 De waardes van a, b en c in de drie voorbeeldfuncties.
a
b 1,1⋅x2−4,75x+0,75=0
) 5 )(
2 ( 5 , 0 ) (
5 , 10 0 10 5
5 ) 5 0 )(
2 0 ( 5
5 2
. , 2
5 2
0 ) (
) 5 )(
2 ( ) (
2 1
− +
−
=
−
=
−
=
→
−
=
→
− +
=
=
−
=
−
=
−
=
=
− +
=
x x x
f
a a a
x en x
nl as x met snijpunten heeft
grafiek de
x als of x
als x
f
x x a x f
) 5 )(
1 ( 6 , 0 ) (
6 , 5 0 5 3
3 ) 5 0 )(
1 0 ( 3
5 1
. , 2
5 1
0 ) (
) 5 )(
1 ( ) (
2 1
−
−
−
=
−
=
−
=
→
=
−
→
−
−
=
−
=
=
−
=
=
=
−
−
=
x x x
f
a a a
x en x
nl as x met snijpunten heeft
grafiek de
x als of x als x
f
x x a x f
) 1 )(
5 , 0 ( 4 ) (
5 4 , 0 5 2
, 0 2 ) 1 0 )(
5 , 0 0 ( 2
1 5
, 0 .
, 2
1 5
, 0 0
) (
) 1 )(
5 , 0 ( ) (
2 1
− +
=
=
−
−
=
→
−
=
−
→
− +
=
−
=
−
=
−
=
−
=
=
− +
=
x x
x f
a a a
x en x
nl as x met snijpunten heeft
grafiek de
x als of x
als x
f
x x
a x f
) 125 , 6
; 5 , 1 ( :
125 , 6 5 , 3 5 , 3 5 , 0 ) (
5 , 2 1 3 2
5 ) 2
2 ( )
( 1 2
top top y
top x x
top x x a opgave
=
×
×
−
=
=
= +
−
=
→ +
=
) 4 , 2
; 3 ( :
4 , 2 2 2 6 , 0 ) (
2 3 6 2
5 ) 1 2 (
)
( 1 2
top top y
top x x
top x x b opgave
=
−
×
×
−
=
=
= +
=
→ +
= c
Opgave 2.2 Oefenen met a(x+p)(x+q) en ax2 + bx + c
Controleer je antwoorden met applet 2.1 a
b
c
d Bereken de coördinaten van het maximum of minimum bij a en b.
12 10 2 ) 6 5 ( 2 ) 3 )(
2 ( 2 )
(x = x+ x+ = x2+ x+ = x2+ x+ f
6 4 2 ) 3 2 ( 2 ) 1 )(
3 ( )
(x =− x+ x− = x2 + x− = x2+ x− f
6 3 3 ) 2 (
3 ) 2 )(
1 ( 3 )
(x =− x− x+ =− x2 +x− =− x2 − x+ f
) 1
; 5 , 2 ( :
1 ) 5 , 0 )(
5 , 0 ( 2 ) (
5 , 2 ) ( 3
2 2
1
−
−
−
= +
−
=
−
=
−
=
−
=
dal dal y
dal x en x
x
. 1.3 applet met antwoorden je
Controleer
) 3 )(
1 ( 2 ) 3 2 ( 2 ) (
3 1
2 ) 3 ( ) 1 ( 3
) 3 ( ) 1 (
2 3
2
) 3 2 ( 2 6 4 2 ) (
2
2 2
+
−
=
− +
= +
−
= +
−
−
=
×
−
+
−
− +
=
− +
=
x x x
x x f
getallen juiste
de zijn en
en
som en product met
getallen zoek
x x x
x x f
. 1.3 applet met antwoorden je
Controleer
) 4 )(
1 ( 3 ) 4 3 ( 3 ) (
4 1
3 ) 4 ( ) 1 ( 4
) 4 ( ) 1 (
3 4
2
) 4 3 ( 3 12 9 3 ) (
2
2 2
+
−
−
=
− +
−
= +
−
= +
−
−
= +
×
−
+
−
− +
−
= +
−
−
=
x x x
x x
f
getallen juiste
de zijn en
en
som en product met
getallen zoek
x x x
x x f
. 1.3 applet met antwoorden je
Controleer
) 4 )(
6 ( ) 24 2 ( ) (
4 6
2 ) 4 ( ) 6 ( 24
) 4 ( ) 6 (
2 24
2
) 24 2 ( 24 2 )
(
2
2 2
+
−
−
=
−
−
−
= +
−
−
= +
−
−
=
×
−
−
−
−
−
−
= + +
−
=
x x x
x x f
getallen juiste
de zijn en
en
som en product
met getallen zoek
x x x
x x f e f
g
h Teken de snijpunten met de x-as en bereken de plaats van top of dal.
Bij opgave e
Opgave 2.3 Ontbind in factoren ofwel schrijf in de vorm f(x) = a(x + p)(x + q)
Het ontbinden in factoren lukt alleen met mooie getallen en is bedoeld om de snijpunten met de x-as te bepalen.
a
`
b
c
. 1.3 applet met antwoorden je
Controleer
) 1 )(
1 ( 4 ) 1 ( 4 ) (
1 1
0 ) 1 ( ) 1 ( 1
) 1 ( ) 1 (
0 1
2
) 1 ( 4 4 4 ) (
2
2 2
− +
=
−
= +
−
= +
−
−
=
×
−
−
−
=
−
=
x x x
x f
getallen juiste
de zijn en
en
som en product met
getallen zoek
x x
x f
) 0
; 1 ( ) 0
; 3 ( : 1 3
0 ) 1 )(
3 (
2 ) 3 ( ) 1 ( 3
) 3 ( ) 1 (
2 3
2
0 3 2
2 1
2
en as
x de met snijpunten
x en x
x x
en
som en product met
getallen zoek
x x
−
−
=
−
=
=
− +
+
= +
−
−
=
×
−
+
−
=
− +
) 0
; 4 ( ) 0
; 2 ( : 4 2
0 ) 4 )(
2 (
2 ) 2 ( ) 4 ( 8
) 2 ( ) 4 (
2 8
2
0 8 2
2 1
2
en as
x de met snijpunten
x en x
x x
en
som en product met
getallen zoek
x x
−
−
=
−
=
=
− +
−
= +
−
−
=
×
−
−
−
=
−
−
) 0
; 7 ( ) 0
; 3 ( : 7 3
0 ) 7 )(
3 (
4 ) 7 ( ) 3 ( 21
) 7 ( ) 3 (
4 21
2
0 ) 21 4 ( 2 0 42 8 2
2 1
2 2
en as
x de met snijpunten
x en x
x x
en
som en product
met getallen zoek
x x x
x
−
−
=
−
=
=
− +
−
=
− +
−
=
−
×
−
−
=
−
−
→
=
−
−
) 0
; 3 ( ) 0
; 1 ( : 0
) 3 )(
1 (
0 3 4 0
3
4 2
2
en as
x de met snijpunten
x x
x x x
x
−
=
−
−
= +
−
→
=
− +
− d
e
f
g
h
) 4 )(
2 ( ) (
1 )
4 )(
2 ( 8
) 4 )(
2 ( ) ( :
) 3 )(
1 ( 2 ) (
3 ) 6
3 )(
1 ( 6
) 3 )(
1 ( ) ( :
) 4 )(
2 ( ) (
1 )
4 0 )(
2 0 ( 8
) 4 )(
2 ( ) ( :
) 6 )(
6 ( 5 , 0 ) (
5 , 36 0 ) 18
6 0 )(
6 0 ( 18
) 6 )(
6 ( ) ( :
− +
−
=
−
=
→
−
=
− +
=
−
−
=
=
→
−
−
=
−
−
=
− +
=
→
=
→
− +
=
−
− +
=
+
−
=
→
=
−
= −
→
− +
=
−
− +
=
x x x f
a a
x x a x f D
x x x f
a a
x x a x f C
x x x f
a a
x x a x f B
x x x
f
a a
x x a x f A
36 36
6 6 )
6 )(
6
(x− x+ = x2 + x− x− = x2 −
genoemd product
dubbele het
wordt 12
- , 2 komt 6
term De
36 12 36
6 6 )
6 )(
6 ( ) 6
( 2 2 2
x x
x x x
x x x
x x
×
−
+
−
= +
−
−
=
−
−
=
−
) )(
(
soort de van genoemd product
bijzonder een
Dit wordt
) 6 )(
6 ( 36
2 2 2
b a b a b a
x x x
− +
=
−
− +
=
−
6 als 0 ) 6
(x− 2 = x=
Opgave 2.4 Functievoorschrift opstellen bij grafiek.
a
b
c Werk haakjes weg bij (x – 6)2
d
e Welke van de twee onderstaande grafieken hoort bij opgave c ?
De blauwe grafiek heeft een raakpunt bij x = 6 .
) 0
; 2 ( :
) 2 ( ) (
0 4
4 4
2 2 4 4
2 1
2 )
( 4
4 )
(
2 2
2 2
2 2
− +
=
→
=
→
= +
→
= +
→
=
=
→
=
→
=
→
+ + +
= + + +
+
=
dal
x x f
q q
q ap
p a ap
a
q ap apx ax
q p x a x
x x
f <>
2 ) ( : 2
) 1 ( 1
) 2
; 1 ( :
2 ) 1 ( 2 ) (
2 4
2 4
2 1 4 4
2 2
2 )
( 4
4 2 ) (
2 2
2 2
2 2
>
=
−
−
=
−
+ +
=
→
=
→
= +
→
= +
→
=
=
→
=
→
=
→
+ + +
= + + +
+
=
x g geldt x van waardes andere
alle Voor
g dan x
Als dal
x x g
q q
q ap
p a ap
a
q ap apx ax
q p x a x
x x
g <>
2 ) ( : 2
) 1 ( 1
) 2
; 1 ( :
2 ) 1 ( 2 ) (
2 4
2 4
2 1 4 4
2 2
2 )
( 4
4 2 ) (
2 2
2 2
2 2
−
<
−
=
−
−
=
−
−
− +
−
=
→
−
=
→
−
= +
−
→
−
= +
→
=
−
=
→
−
=
→
−
=
→
+ + +
= + +
−
−
−
=
x h geldt x van waardes andere
alle Voor
h dan x
Als top
x x
h
q q
q ap
p a ap
a
q ap apx ax
q p x a x
x x
h <>
) 3
; 1 ( :
3 ) 1 ( 3 ) (
3 0
3 0
2 1 6 6
2 3
2 )
( 6
3 ) (
2 2
2 2
2 2
−
−
− +
=
→
−
=
→
= +
→
= +
→
=
=
→
=
→
=
→
+ + +
= + + +
=
dal
x x k
q q
q ap
p a ap
a
q ap apx ax
q p x a x x x
k <>
Opgave 2.5 Functievoorschrift in de vorm van f(x) = a(x + p)2 + q
Door een kwadraat af te splitsen kun je meteen zien waar de top of het dal ligt.
a
b
c
d
) 2
; 1 ( :
2 ) 1 ( 2
2 4
2 4
2 1 4 4
2 2
2 )
( 2
4 2
2 2
2 2
2 2
−
+ +
=
→
=
→
= +
→
= +
→
=
=
→
=
→
=
→
+ + +
= + + +
+
=
dal x y
q q
q ap
p a ap
a
q ap apx ax
q p x a x
x
y <>
) 5
; 1 ( :
5 ) 1 ( ) (
5 4
1 4
2 1 2 2
2 1
2 )
( 2
2
2 2
2 2
2 2
−
+ +
−
=
→
=
→
= +
−
→
= +
→
=
−
=
→
−
=
→
−
=
→
+ + +
= + +
−
−
−
=
top
x x f
q q
q ap
p a ap
a
q ap apx ax
q p x a x
x
y <>
) 4
; 2 ( :
4 4 2 8 2 2 ) 2 ( 2 2
:
2 4 2
2 4 2 8
4 2 2 4 8
4 32 ) 8 ( 2
4
2 32
4 2 4 64 4
4
; 8
; 2
4 8 2 ) (
2 2 1
2 , 1 2
2
2
−
→
−
= +
×
−
×
=
→
=
−
=
+
= +
=
−
=
−
=
±
−
−
=
→
−
±
−
=
=
×
×
−
=
−
=
−
=
=
+
−
=
dal a f x b dal
x en x
a x ac b x b
n oplossinge dus
ac b
c b
a
x x x f
1,2
4) 91 2; ( 1 :
14 9 2 9
4 1 9 1 2) ( 1 2) (1 ) 2 2 (
1 : 2
2 37 2 1 1 2
37 37 1
12 12 2
37 1
2 37 ) 1 ( 2
4
2 37
9 1 4 1 4
9
; 1
; 1
9 )
(
2 2 1
2 , 1 2
2
2
−
→
= + +
−
= +
−
−
−
=
→
−
=
−
=
−
−
=
− +
= +
−
=
−
−
=
−
±
−
−
=
→
−
±
−
=
=
×
−
×
−
=
−
=
−
=
−
=
+
−
−
=
top a f x b top
x en x
a x ac b x b
n oplossinge dus
ac b
c b
a
x x x f
1,2
e
f
Opgave 2.6 Gebruik van de abc-formule.
a
b
8)
;15 54 ( :
158 8
40 50 ) 25
408 508 258 4) (5
4 5 5 5 4) (5 2 4) (5 4 5 : 2
15 5 2 4 25 4
5
; 5
; 2
5 5 2 ) (
2 2
2
dal f
f a x
x b dal
n oplossinge geen
dus ac
b
c b
a
x x x f
→
+ =
= − +
−
=
→
+
×
−
×
=
→
=
→
−
=
−
=
×
×
−
=
−
=
−
=
=
+
−
=
) 3
; 0 ( :
3 ) 0 4 (
0 : 2
36 3 3 4 0 4
3
; 0
; 3
3 3 ) (
2
2
dal
f a x
x b dal
n oplossinge geen
dus ac
b
c b a
x x f
→
=
→
=
→
−
=
−
=
×
×
−
=
−
=
=
=
+
=
) 4
; 2 ( :
4 4 2 8 2 2 ) 2 ( 2 2
:
2 4 2
2 4 2 8
4 2 2 4 8
4 32 8 2
4
2 32
4 2 4 64 4
4
; 8
; 2
4 8 2 ) 4 8 2 ( ) ( ) ( ) (
2 2 1
2 , 1 2
2
2 2
top a f x b top
x en x
a x ac b x b
n oplossinge dus
ac b
c b a
x x x
x x
m x f x m
1,2
→
=
−
× +
×
−
=
→
=
−
=
−
=
−
−
−
=
−
=
− +
−
=
−
±
−
=
→
−
±
−
=
=
−
×
−
×
−
=
−
−
=
=
−
=
− +
−
= +
−
−
=
→
−
=
) 8
; 2 ( : 8 8 2 16 2 4 ) 2 ( 2 2
:
2 8 2
2 8 2 16
8 2 2 8 16
8 128 16
2 4
2 128
8 4 4 256 4
8
; 16
; 4
8 16 4 ) 4 8 2 ( 2 ) ( ) ( 2 ) (
2 2 1
2 , 1 2
2
2 2
dal a f
x b dal
x en x
a x ac b x b
n oplossinge dus
ac b
c b
a
x x x
x x
m x f x n
1,2
= +
×
−
×
=
→
=
−
=
+
= +
=
−
=
−
=
= ±
− →
±
= −
=
×
×
−
=
−
=
−
=
=
+
−
= +
−
⋅
=
→
= c
d
e
De y-waarde van m(x) is overal even groot dan de y-waarde van f(x), maar dan gespiegeld t.o.v. de x-as.
f
De y-waarde van n(x) is overal 2× zo groot dan de y-waarde van f(x).
) 4
; 0 ( :
) 0
; 2 ( ) 0
; 2 ( :
2 4
0 4
4 )
(
2 , 1 2
2
2
−
−
±
=
→
=
→
=
−
−
=
dal n coordinate
en snijpunten
n coordinate
x x
x
x x f
) 0
; 1 ( :
) 0
; 1 ( : 0
) 1 (
0 1 2 0
1 2 0
2 4 2
2 4 2 ) (
2
2 2
2 2
top n coordinate
raakpunt n
coordinate x
x x x
x x
x
x x x
f
=
−
→
= +
−
→
=
− +
−
→
=
− +
−
− +
−
=
) 2
; 0 ( :
) 0
; 2 ( ) 0
; 2 ( :
) )(
( :
0 ) 2 )(
2 (
0 2 0
4 2
4 2 ) (
2 2 2
2 2
−
−
− +
=
−
= +
−
→
=
−
→
= +
−
+
−
=
top n coordinate
en snijpunten
n coordinate
b a b a b a type x
x
x x
x x
f
) 0
; 4 ( :
) 0
; 4 ( : 4
0 ) 4 ( 0 ) 4 ( 3
) 4 ( 3 ) (
2 2
2
dal n coordinate
raakpunt n
coordinate x
x x
x x f
=
→
=
−
→
=
−
−
=
) 3
; 0 ( :
) 0
; 3 ( ) 0
; 3 ( :
3 3
0 3
3 ) (
2 , 1 2
2
2
top n coordinate
en snijpunten
n coordinate
x x
x
x x
f
−
±
=
→
=
→
=
−
−
=
) 0
; 2 ( :
) 0
; 2 ( : 2 0
) 2 (
) 2 ( 4 ) (
2
2
−
−
−
=
→
= +
+
=
dal n coordinate
raakpunt n
coordinate x x
x x f
) 4
; 0 ( : m geen
2 0
4 2
4 2 ) (
2 2
2
−
−
−
=
→
=
−
−
−
−
=
dal n coordinate
as x et snijpunten
x x
x x
k
Opgave 2.7 Snijpunten bepalen met de x –as.
a
b
c
d
e
f
g
Top ligt onder de x-as, dus geen snijpunten!
4 4 ) 1 )(
1 ( 4 ) ( :
4 4 ) 1 ( 4 ) 1 )(
1 ( 4 ) ( :
2
2 2
+
−
= +
−
−
=
−
=
−
= +
−
=
x x
x x
g blauw
x x
x x x f rood
2) )( 7 2 ( 7 2 2) ( 7 2 7 2 )
(x = x2 − = x2 − = x+ x− f
2) ( 7 2 7 2 )
(x = x2 − x= x⋅ x− f
worden ontbonden
factoren in
niet kan
x x
f( )= 2 +4
) 3 )(
3 ( ) 3 ( 9 6 )
(x = x2 − x+ = x− 2 = x− x− f
) 3 )(
3 ( 2
) 3 ( 2 ) 9 6 ( 2 18 + 12 + 2 )
( 2 2 2
+ +
→
+
= + +
=
= x x
x x
x x
x x f
) 4 3 )(
4 - (3 16 9 )
(x = x2 − = x x+ f
) 2 )(
3 ( 2 ) 6 (
2 12 + 2 + 2 )
(x =− x2 x =− x2 −x− =− x− x+ f
) 4 )(
3 ( 12 + 7 - )
(x = x2 x = x− x− f
) 3 )(
1 4 ( ) 3 (
4 3 4 ) 3
2 ( ) 2 ( 3
) 3
; 1 ( :
2 1 3 ) 1
( ) 3 )(
1 ( ) (
− +
⋅
=
=
−
−
=
→
−
⋅
⋅
=
−
−
= +
−
=
→
− +
=
x x x
f
a a
dal
dal x x
x a x f
) 5 )(
1 4 ( ) 3 3 2 )(
1 2 4 ( ) 3
(x = ⋅ x− + x− − = ⋅ x− x− f
) 4 4 (
) 3 (
) )(
4 4 ( ) 3 3 3 )(
1 3 4 ( ) 3 (
+
⋅
=
→
+
⋅
=
− + + +
⋅
=
x x x
f
x x x
x x
f
2 ) 3 )(
1 4 ( ) 3
(x = ⋅ x+ x− − f
1 ) 1 )(
3 4 ( 1 3 ) 3 2 )(
1 2 4 ( ) 3
(x = ⋅ x+ + x+ − + = ⋅ x+ x− + f
h
Opgave 2.8 Ontbind de volgende functies in factoren.
a
b
c
d e
f g h
Opgave 2.9 Verschuiven van grafieken.
a
b
c
d e
14 2 2 4 3
) 3 3 2 4(
2 3 ) 3 )(
1 4 ( ) 3 (
4 3 ) 3 4 4 (
) 3 (
34 2 3
41 34
) 5 6 4 (
) 3 5 )(
1 4 ( ) 3 (
2 2
2
2 2
−
−
=
−
−
=
−
− +
⋅
=
+
= +
⋅
=
+
⋅
−
⋅
= +
−
⋅
=
−
−
⋅
=
x x
x x x
x x
f
x x x
x x
f
x x
x x x
x x
f
12 10 4 2
) 6 8 2 3 4 ( 2 ) 3 4 )(
2 ( 2 ) (
) 3 )(
1 )(
2 ( 2 ) (
2 3
2 2
3 2
+
−
−
→
+
− + +
−
= +
− +
=
→
−
− +
=
x x x
x x x x x x
x x x f
x x x x f
12 12 0 10 0 4 0 2 ) 0 ( 12
) 3 )(
1 )(
2 ( 2 ) 0 (
) 3 )(
1 )(
2 ( 2 ) (
= +
⋅
−
⋅
−
⋅
=
=
−
−
⋅
=
−
− +
=
f of f
x x x x f
. 8
20 10 4 2 12
10 4 2 )
( 3 2 3 2
worden verplaatst
omhoog n
schaaldele moet
grafiek De
x x x x
x x x
f = − − + +8888= − − +
) 4 )(
2 )(
1 ( 2 ) (
) 3 1 )(
1 1 )(
2 1 ( 2 ) (
−
− +
⋅
=
→
−
−
−
− +
−
=
x x x x
f
x x
x x f
0 6
0 6 2
2 6
6 0
0 ) 6 (
0 6 2
2 6
2 2 6
2 2
2 2
2
>
−
<
>
+
→
−
>
− +
−
=
=
= +
→
= +
→
−
=
− +
→
−
>
− +
x of x
x x x
x
x en x voor snijpunten met
l dalparaboo
x x
x x x
x x x f
Opgave 2.10 Een derdegraads functie kan 3 snijpunten hebben.
a
Teken met de applet 1.3 eerst de grafiek van het voorschrift met haakjes en vervolgens van het voorschrift zonder haakjes. Als de tweede grafiek over de eerste getekend wordt is de uitwerking correct. Op deze manier kun je de grafieken-applet gebruiken als controlemiddel.
b
c
d
De grafiek is 1 schaaldeel naar rechts verschoven.
Opgave 2.11 Grafieken vergelijken.
a
83 , 5 172
, 0 :
) 2 2 3 ( )
2 2 3 (
0 1 6
2 2 3 2
2 3
2 2 2 3
2 4 6 2
4 36 6
0 1 6
3 2 2 4
3 2 2 4
2
2 , 1 2
, 1
2 2 2
>
<
+
>
−
<
>
+
−
+
=
−
=
±
± =
=
− →
= ±
= +
−
→
−
=
−
−
→
−
>
−
−
x of x
afgerond of
x of x
als x x
x en x
voor snijpunten met
l dalparaboo
x x
x x
x x
x
x x
x
53 0
0 5 3
53 0
0 3) ( 5 3 0 5 3
4 4
5 2
2 2
2 2
>
<
>
−
→
=
=
=
−
⋅
→
=
−
→
−
−
>
−
−
x of x
x x
x en x voor snijpunten met
l dalparaboo
x x x
x
x x
x
41 , 1 41 , 2 :
113 12 12 3)
2 11 2 1 ( 1
3 0 2
113 12 12 113
12 12
113 12 12 2
113 1 2
83 1 1
) 0 (
3 0 0 2
4 6 6
2 3 3 2 3 3
2
2 1
2 , 1 2
, 1
2 2
2 2
<
<
−
+
−
<
<
−
−
<
− +
+
−
=
−
−
=
±
−
=
±
−
=
→ +
±
−
=
<
<
− +
→
>
+
−
−
→
− +
>
+
−
−
x afgerond
of
x als
x x
x en x
voor snijpunten met
l dalparaboo
x x
getal door delen x
x x
x
x x x
x b
c
d
) 0 2 (
0 1 4 8
12 0
4 8
4 8 8 4 8 4 4 8 4
4 ) 1 ( 8 ) 1 ( 4 4 8 4
2 2
2 2
<
<
→
>
+
−
=
→
= +
−
→
+
−
− + +
= +
−
+ +
− +
>
+
−
getal door delen x
x
x x
x x
x x
x
x x
x x
2 4 1
0 4 9 2
2 4 1
74 94 4
49 9 4
32 81 9
0 4 9 2 0 4 9 2 3
7 2 1 2
) 3 )(
1 2 ( 1 2
2
2 1
2 , 1 2
, 1
2 2
2
>
<
>
+
−
=
=
±
± =
=
− →
= ±
>
+
−
→
<
− +
−
→
− +
−
>
+
−
→
− +
−
>
+
−
x of x
als x x
x en x
voor snijpunten met
l dalparaboo
x x
x x x
x x
x x
x x x
3 1
2
0 ) 3 )(
2 )(
1 (
>
<
<
−
>
− +
−
x of x
x x x
45 , 4 45
, 0 :
) 6 2 ( ) 6 2 (
0 2 4
6 2 6
2 6 2 2
6 2 4 2
8 16 4
0 2 4 0
2 4
4 8 2 2 4
) 2 4 ( 2 2 4
2
2 1
2 , 1 2
, 1
2 2
2 2
2 2
<
<
− +
<
<
−
<
−
−
+
=
−
=
±
± =
= + →
= ±
<
−
−
→
>
+ +
−
→
−
−
>
−
−
→
−
−
⋅
>
−
−
x afgerond
of
x als
x x
x en x
voor snijpunten met
l dalparaboo
x x
x x x
x
x x x
x
x x x
x
) 2
; 4 ( ) 4
; 1 ( :
2 4
4 1
0 ) 1 )(
4 (
0 4 5 0
8 10 2
14 12 2 6 2
2 1
2 1
2 2
2
en snijpunten
y en y
x en x x
x
x x x
x
x x x
−
=
−
=
→
=
=
→
=
−
−
→
= +
−
→
= +
−
→
− +
−
=
− e
Als x< 12 dan rood(rechts) > blauw(links)
f
g
h
Opgave 2.12 Snijpunten bepalen 1.
a
) 1
; 3 ( :
1 ) 3 4 (
3 0
) 3 (
0 9 6 0
3 3 2
1 13 3 2
2 2
2 2
2
raakpunt y
x x
x x x
x x x
=
−
=
→
=
→
=
−
→
= +
−
→
= +
−
→
=
−
) 16 , 2
; 32 , 0 ( ) 16 , 1
; 32 , 6 ( : :
2 11 2 1 2 1 ) 11 3 2( 1
2 11 2 1 2 1 ) 11 3 2( 1
11 3 11
3
2 11 2 6 2
8 36 6
0 2 6 2 0
1 32 14
2 21 4
2 1 2 1
2 1
2 1
2 , 1
2 2
2
−
−
−
−
=
− +
−
−
=
+
−
=
−
−
−
−
=
→
+
−
=
−
−
=
→
±
−
= +
±
−
=
→
=
− +
→
=
− +
→
− +
=
−
−
en afgerond
snijpunten y
y
x en x
x
x x x
x
x x x
) 2
; 1 ( 9)
;2 13 ( : :
2 2 11
2 1 9 1
2 3 1 1
6 2 4 6
12 16 4
0 1 4 3
1 4 2
2 1
2 1
2 , 1 2
2 2
en afgerond
snijpunten
y en y
x en x
x x x
x x x
= +
−
=
=
→
=
=
→
±
=
−
±
=
→
= +
−
→
− +
−
=
2 2
4 0
4 0
2 4
0 4 4
) (
0 1 1
2 2
2 2 2
2 2
<
<
−
→
<
→
<
−
→
<
±
=
→
=
→
=
−
=
−
−
=
→
= +
−
→
= +
a
a a
D als snijpunten geen
a a
D als raakpunt
a a
D
ax x ax x
b
c
d
Opgave 2.13 Snijpunten bepalen 2.
a
14
0 4 1 0
14 1
4 0
4 1 4 ) 1 (
0
2 2 2
>
→
<
−
→
<
=
→
=
→
=
−
=
−
−
=
→
= +
−
→
= +
a
a D
als snijpunten geen
a a
D als raakpunt
a a
D
a x x x a x
0 4
0 ) 4 ( 0
4 0
0
) 4 ( 4 4
) (
0 1 1
2 2
2 2
>
<
−
→
<
+
→
<
−
=
=
→
=
+
= +
= +
−
=
→
= +
−
→
= +
a
a a D
als snijpunten geen
a of a D
als raakpunt
a a a a a a D
ax ax ax ax
3 2 )
(
3 ) 2 ( 1 2 2
3 1 2 3
3 3 3 3 3 3
) ( 2
4 3 6
2 0
2 0 4
) ( 6
2
2− +
=
=
−
−
−
=
−
−
=
=
−
= −
→
−
×
−
−
=
→
−
−
=
− + +
=
+
−
=
−
=
→ + +
=
−
− +
−
= + +
=
x x x f
b a c
a a
b a
c b a
c b a
b b
c b a
c b a b
c
Opgave 2.14 Stel het functievoorschrift op voor de grafiek.
a
2 2
) (
2 1 2 1 1
3 2 1 6
3 3 3
1 4
0 4
) ( 3
7
3 3 3
3 7
) ( 2
4 8 1
3 3 3
) ( 1
2 4 4
2 − +
−
=
= + +
−
=
−
−
−
=
−
− =
=
→
−
×
−
=
−
−
=
→
−
=
+
−
−
=
−
=
−
−
−
=
− + +
=
−
+ +
=
−
−
=
−
− + +
=
−
+
−
=
−
x x x
f
b a c
a a
b b b a
b a
b a
c b a
c b a
b a
c b a
c b a
2 2 2
) 1 (
2 2 2 4
12 4 2
12 0
8 4
) ( 2 12 2
2 4 2
2 12 2
) ( 4
16 2
2 4 4
2 4 2
) ( 2
4 4 2
2 + +
−
=
=
−
−
=
→
−
−
×
−
=
−
−
=
→ +
=
−
−
−
−
=
−
−
=
−
−
−
=
− + +
=
+ +
=
−
−
=
−
− + +
=
=
x x x
f
b b a a
b a
b a
b a
c b a
c b a
b a
c b a c
9 2
, 8 7 , 3 30
s m s
ms tal
hellingsge =
−
−
=
s t
t v
t v
83 , 84 3 , 7 30 30
84 , 7 0
30 84 , 7
=
=
→
=
→
=
+
−
=
30 84 ,
7 +
−
= t
v
2 0 2
0 2
2 0 2
0 1
0159 , 8 0 , 9 2 , 0 2
0638 , 8 0 , 9 8 , 0 2
v v s
v v s
⋅
=
×
×
=
⋅
=
×
×
=
b c
Opgave 2.15 Berekeningen aan de remweg.
a
v-t- diagram v vertikaal in m/s b
Dit is de remvertraging, de afname van de snelheid per seconde
c
d
t t t
s()=−0,98 2 +30
0
; 30
; 98 ,
0 = =
−
= b c
a
230)
; (15,3 : top
m 230 3 , 15 30 ) 3 , 15 ( 98 , 0 ) (
s 3 , 98 15 , 0 2
30 ) 2
(
2+ × =
×
−
=
=
−
×
−
=
−
= top s
a top b t e
Vertikaal is de remweg uitgezet tegen horizontaal de snelheid.
De rode grafiek hoort bij f = 0,8 (droog) De blauwe grafiek hoort bij f = 0,2 (sneeuw) f
De horizontale lijn in de grafiek hoort bij de stilstaande auto.
Conclusie: Als de snelheid bij het remmen op een droog wegdek groter is dan 22 m/s, zal een botsing plaats hebben.
g
h i
Vertikaal is s uitgezet in meter en horizontaal t in seconden.
j
De top geeft aan hoe groot de remtijd en de remweg is op het einde van de remweg.
30 96 , 1 )
(t =− t+ v
j vraag bij antwoord met
Klopt
s 3 , 96 15 , 1 0 30 30 96 , 1 0 )
(t = →− t+ = →t= =
v
0 ) 2 ( i 2
) 2 ( 30 ) 2 ( 98 , 0 )
( 2
=
−
=
−
⋅ +
−
⋅
−
= t s t Op
t t
t s
ms 3 , 17 ) 60 sin(
20 )
( 0
0 vertikaal = ⋅ = v
x x
y
x y x
t t
t y
t t
x
73 , 1 049 , 0
3 10 , 17 10) ( 9 , 4
3 , 17 9
, 4 ) (
10 ) (
2 2 2
+
⋅
−
=
⋅ +
⋅
−
=
⋅ +
⋅
−
=
⋅
= k l
Vertikaal is de snelheid uitgezet in m/s en horizontaal de tijd in s.
m
n
Opgave 2.16 Berekeningen aan een kogelbaan.
a
x(0) is de begin-afstand tot het referentiepunt in horizontale richting y(0) is de begin-afstand tot het referentiepunt in verticale richting b
c
Vertikaal is de hoogte y in m, horizontaal de afstand in horizontale richting in m uitgezet.
m ) 3 , 15
; 65 , 17 ( :
m 3 , 15 65 , 17 73 , 1 ) 65 , 17 ( 049 , 0 ) (
m 65 , 049 17 , 0 2
73 , 1 ) 2
( m
65 , 2 17
3 , 35 ) 2
(
m 3 , 049 35 , 0
73 , m 1
0
) 73 , 1 049 , 0 (
0 73 , 1 049 , 0
2 2
1 2 1
2
top top y
a top b x x of
top x x
x en x
x x
y
x x
y
=
× +
×
−
=
=
−
×
= −
= −
=
= +
=
=
=
=
→
+
−
=
= +
⋅
−
=
s 765 , 8 1 , 9
3 , 0 17
3 , 17 8 , 9
0 : max
=
−
−
=
→
= +
−
→
= t t
v hoogte
op y
d) vraag van antwoord het
met kloppen waardes
Deze
m 65 , 17 ) 765 , 1 (
10
m 3 , 15 765 , 1 3 , 17 ) 765 , 1 ( 9 , 4 ) 765 , 1 (
3 , 17 9
, 4 ) (
2 2
=
→
⋅
=
=
× +
×
−
=
→
⋅ +
⋅
−
=
x t x(t)
y
t t
t y
5 73 , 1 049 , 0
10 5 3 , 17 10) ( 9 , 4
5 3 , 17 9
, 4 ) (
10 ) (
2 2 2
+ +
⋅
−
=
+
⋅ +
⋅
−
=
+
⋅ +
⋅
−
=
⋅
=
x x
y
x y x
t t
t y
t t
x
m 0 , 098 38 , 0
72 , 3
m 65 , 098 2 , 0
26 , 0 098
, 0
99 , 1 73 , 1
049 , 0 2
5 049 , 0 4 73 , 1 73 , 1
0 5 73 , 1 049 , 0
2
1 2
, 1
2 2
, 1
2
=
−
−
=
→
−
=
−
=
→
−
±
= −
→
−
×
×
−
×
−
±
−
=
→
= + +
⋅
−
=
x
x x
x
x x
y d
e
f
g
h
x1 en x2 zijn de plaatsen waar de hoogte nul is.
x1 is niet van toepassing omdat de kogel wordt weggeschoten op een hoogte van 5 meter.
ms v
t v
y
t t
t y
10 ) 0 ( 10 8 , 9
m 20 ) 0 (
20 10 9
, 4 )
( 2
−
=
→
−
⋅
−
=
=
→
+
⋅
−
⋅
−
=
s 03 , 2 1
24 , 1 29 , ) 3 (
s 24 , 8 1 , 9
2 , s 12
29 , 8 3 , 9
2 , , 32
8 , 9
2 , 22 10 8
, 9
20 9 , 4 4 100 10
0 20 10 9
, 4
2 1
2 , 1
2
−
= +
−
=
=
−
−
=
−
=
−
=
−
= ±
−
×
−
×
−
±
=
= +
⋅
−
⋅
−
top t
t en t
t
t t
20 ) 1 ( 10 ) 1 ( 9 , 4 ) (
:y t =− ⋅ t− 2− ⋅ t− + B
5 2
) 5 (
5 5
:
x x x x x
l A
x l
x l B
−
=
⋅
−
=
⋅
=
→
−
=
→
= +
5 0
) 5 ( 5
2 1
2
=
=
−
⋅
=
−
= x en x
x x x x A
5 , 2 2
) (
5 0
) 5 ( 5
2 1
2 1
2
= +
=
=
=
−
⋅
=
−
=
x top x
x
x en x
x x x x A
Opgave 2.17 Berekeningen aan valbeweging.
a
b
c
Opgave 2.18 Optimalisering tweedegraads functie.
Je hebt een koord met een lengte van 10 m en moet daarmee een zo groot mogelijk rechthoekig oppervlak afzetten.
a
b
De waardes kloppen, want als x = 0 of als x = 5 dan A = 0 c De grafiek is een bergparabool met een maximum.
De oppervlakte is maximaal bij een vierkant van 2,5 × 2,5.
