Hoofdstuk 2 Complexe functies

Hoofdstuk 2 Complexe functies

§2.1 Lineaire functies

Functies waarbij de variabelen (en/of de coëfficiënten) complexe getallen zijn noemen we complexe functies. Bij het onderzoeken van reële functies, zoals we tot nu toe gedaan hebben, speelt de grafiek van die functies een belangrijke rol. Die grafiek bestaat uit punten (x,y), (waarbij x het origineel en y=f(x) het beeld van x genoemd wordt), in een assenstelsel in een plat vlak.

Bij een complexe functie f wordt er aan een origineel  een beeld  gekoppeld door   f( ) _. Een complex getal _{, bijv.}   a bi, is voor te stellen door een punt (a, b) (in een

tweedimensionaal vlak).

Bij complexe functies hebben we alleen al voor de originelen dus een vlak nodig om ze weer te geven (want dit zijn nu complexe getallen, ofwel punten), dus voor een combinatie van

origineel en beeld zouden we bij complexe functies een vierdimensionale ruimte nodig hebben!

Aangezien we leven in een driedimensionale wereld is zoiets heel moeilijk voor te stellen. We zullen daarom de originelen en beelden bij complexe functies vaak ieder in een 'eigen' complex vlak weergeven.

Alle originelen vormen samen het domein en alle beelden vormen samen het bereik van een functie. In enkele eenvoudige gevallen kunnen we domein en bereik samen in één complex vlak weergeven. Dit lukt bijvoorbeeld bij functies als ( )f z  z (3 .i)

§2.1a De

functies f z ( )   z ( a bi  )

Opgave 1.1

Gegeven is de functie ( )f z  z (3 i).

a) Bereken de beelden van 0, 2, i en 2+2i.

b) Teken de originelen en beelden van opg a) in één complex vlak en verbind origineel en beeld d.m.v. pijlen.

c) Teken het getal 2¹²  ¹²i en zijn beeld.

d) Wat is het beeld als je als domein de rechthoek met hoekpunten 0, 2, i en 2+i kiest?

e) Wat is het beeld als je als domein de driehoek met hoekpunten  4 2i_,  1 i _en

 2 4i_kiest?

f) Welke meetkundige transformatie wordt er door deze functie toegepast op het origineel?

§2.1b De functies f z ( )   a z , met a een reëel getal.

Opgave 1.2

Gegeven is de functie ( )f z 3z.

a) Neem als domein de driehoek met hoekpunten -1+i, 2+i en 3+2i en teken die in het vlak.

b) Bereken de beelden van de hoekpunten van het domein en teken ze.

c) Kies een punt op een van de zijden van het origineel en bereken het beeld. Ligt dit beeld op een van de zijden van de driehoek die gevormd wordt door de in b) gevonden beelden?

Nemen we de functie ( )f z  2zen als domein de driehoek met hoekpunten 1+i, 1-2i en -3+2i dan levert dit als grafiek de figuur die hiernaast staat. Het beeld van driehoek ABC is driehoek DEF.

Opgave 1.3

Welke meetkundige transformatie wordt er door deze functie toegepast op het origineel?

§2.1c De functies f z ( )  ( a bi z  ) 

Als voorbeeld nemen we de functie f z( ) (¹² 2 i ¹² 2)z. De functie f vermenigvuldigt dus een complex getal z met het complexe getal ¹² 2  i ¹² 2_.

Omdat dit getal modulus 1 heeft (reken na!), wordt de modulus van z dus met 1 vermenigvuldigd bij het toepassen van f. Dus f(z) ligt even ver van de Oorsprong als z.

Opgave 1.4

a) Bereken het argument van ¹² 2  i ¹² 2_.

b) Verklaar waarom bij deze functie een rotatie om de Oorsprong hoort en geef de rotatiehoek.

Opgave 1.5

Gegeven is de functie ( )f z    .i z

a) Neem als domein het vierkant met hoekpunten 4+i, 6+3i, 4+5i en 2+3i en teken dit in één figuur met het beeld er van.

b) Met welke meetkundige transformatie hebben we hier het beeld verkregen?

Voorbeeld

Gegeven is de functie ( )f z (1i) .z

Teken het beeld van het vierkant met de hoekpunten -1+i, -1+5i, 3+5i en 3+i.

Uitwerking:

We berekenen eerst de modulus van het getal 1+i: 1i  1 1  2. Het argument van 1+i is ^45 (schets!). Bij vermenigvuldiging van een getal z met 1+i wordt zijn modulus dus vermenigvuldigd met 2 én bij zijn argument dus ^45 opgeteld.

Dat levert de volgende figuur:

We zien dat we zowel met een draaiing als met een vermenigvuldiging ten opzichte van de Oorsprong te maken hebben. Zo'n combinatie van een vermenigvuldiging en een draaiing heet een draaivermenigvuldiging.

Opgave 1.6

Gegeven is de functie f z( )(1i z) _.

a) Teken de rechthoek met de hoekpunten 2 2i _, 4 2i _, 4 2i _en 2 2i en zijn beeld bij deze functie f.

b) We kiezen als domein: alle z met z 3

én 45  Arg z( )135. Wat is nu het bereik van f?

Opgave 1.7

Gegeven is de functie f z( )( 3i z) _.

a) Teken de cirkel met middelpunt 5+i en straal 2, en zijn beeld bij deze functie.

b) Teken het beeld van alle z met Re(z)=-2.

Opgave 1.8

Gegeven is de functie f z( )(3 3 ) i z

a) We kiezen als domein alle z op of binnen de driehoek met hoekpunten 0, 4 i _en4 i _. Wat is het bereik?

b) We kiezen als domein alle z met z 3

én 45  Arg z( )90. Wat is het bereik van f?

§2.1d De functies f z ( )  ( a bi z  )   ( c di  )

Als je bij een functie van de vorm f z( ) (a bi z ) (c di )de functiewaarde bij een waarde van z berekent voer je eerst de vermenigvuldiging met a+bi uit en dan de optelling met c+di.

Dat betekent meetkundig dat je eerst een draaivermenigvuldiging ten opzichte van O toepast op z (met factor a bi

en draaihoek arg(a bi )), gevolgd door een translatie van dit tussenbeeld over c+di.

Voorbeeld

Gegeven is de functie f z( ) (1i z)  3 4i_. a) Bereken het nulpunt van f.

b) Bereken het origineel bij f van -1+4i.

c) Teken het beeld bij f van het vierkant met hoekpunten 1+i, 3+i, 3+3i en 1+3i.

Uitwerking:

a) We moeten oplossen: f z ( ) 0_{, dus} (1i z)  3 4i 0_{. Dus} (1i z)  3 4i_.

Dus

1 1

2 2

3 4 3 4 1 7

1 1 1 2 3

i i i i

z i

i i i

   

     

   _.

b) Nu is f z( )   1 4i_{, dus} (1i z)  3 4i   1 4i_{, dus} (1i z) 2 8 i_.

Dus

2 8 1 10 6

1 1 2 5 3

i i i

z i

i i

  

    

 

c) Omdat 1 i 2

en arg(1i)  45 moeten we dus een

draaivermenigvuldiging t.o.v. O met factor 2 over een hoek van 45 uitvoeren, gevolgd door een translatie over (-3,-4).

Overzicht lineaire complexe functies

Functie Transformatie

( ) ( )

f z   z a bi 

( )

f z   a z

( ) ( )

f z  a bi z  

a bi 

en draaihoek

arg( a bi  )

( ) ( ) ( )

f z  a bi z    c di 

Draaivermenigvuldiging t.o.v. O met factor

a bi 

en draaihoek

arg( a bi  )

Opgave 1.9

Gegeven is de functie f z( )  iz  3 4i_. a) Bereken het nulpunt van f.

b) Bereken het beeld van z 3¹²  ¹²i_.

Het getal z 3¹²  ¹²i heeft bij de functie uit opgave 1.9 heeft de bijzondere eigenschap dat f(z)=z. Een getal z waarvoor geldt dat f(z)=z noemen we een dekpunt van de functie f.

Voorbeeld

Bereken het dekpunt van de functie f z( )(5 3 ) i z 2_. Uitwerking:

We moeten oplossen f(z)=z, dus (5 3 ) i z 2 z_{. Dan is} (4 3 ) i z  2, dus het dekpunt is

8 6

25 25

2 4 3 8 6

4 3 4 3 25

i i

z i

i i

   

     

 

Opgave 1.10

Bereken het dekpunt van de functies a) f z( ) 5z 3 4i

b) f z( ) iz 5

c) f z( )(2 3 ) i z  3 4i

§ 2.2 Tweedegraads functies

Tweedegraads functies (of kwadratische functies) hebben de vorm f z( )  az² bz c _, waarbij a, b en c (en z) complexe getallen zijn.

§2.2a De functie f(z)=z

We bestuderen eerst de eenvoudigste kwadratische functie: f z( )  z²_.

Om een beeld te krijgen hoe deze functie zich gedraagt schrijven we z in poolcoördinaten, dus (cos sin )

z  r  i  _.

Voor het beeld f z( ) van z geldt dan: f z( )  z²  r²(cos isin ) ² en dit is volgens de formule van De Moivre gelijk aan f z( ) r²(cos2isin2 ) _.

We zien dat de modulus van f z( )gelijk is aan r² en dat het argument van f z( )gelijk is aan 2

.

Conclusie: door de functie f z( ) z² wordt de modulus van z gekwadrateerd en het argument verdubbeld.

Opgave 2.1

Teken in het complexe vlak alle getallen z waarvoor geldt dat z 1¹²_. Teken het beeld van al deze getallen bij f z( )  z²_.

Opgave 2.2

Teken het beeld van de getallen z waarvoor geldt: ¹³ arg( )z  ¹² _bij f z( )  z²_. Opgave 2.3

Teken het beeld van de getallen z waarvoor geldt: Re( )z  Im( )z _bij f z( )  z²_. Opgave 2.4

Teken het beeld van de getallen z waarvoor geldt: Im( )z  2 Re( )z _bij f z( )  z²_. Opgave 2.5

Teken in het complexe vlak een willekeurige lijn l door de Oorsprong.

a) Teken het beeld van deze lijn l bij f z( )  z²_.

b) Teken alle punten die bij deze functie de lijn l als beeld opleveren.

Bij opgave 2.5b ben je op zoek geweest naar getallen w waarvoor geldt w²  z_.

Zo'n getal w is dus een wortel van z. Zoals je weet uit §1.5 van hoofdstuk 1 zijn complexe wortels meerwaardig, d.w.z. dat w  z meerdere (=twee) waarden kan hebben.

De functie f z( )  z geeft elk getal z dus twéé beelden!

**Heb je bij opgave 2.5b ook twee lijnen gevonden? Zo nee, zoek die dan alsnog op! Bedenk dat een getal meerdere argumenten kan hebben, bijvoorbeeld 240 _{en ook} 120_!

Opgave 2.6

Wat doet de functie f z( )  z met de modulus van z? En wat met het argument van z?

Opgave 2.7

a) Kies een willekeurig complex getal z binnen de eenheidscirkel. Bereken z².(Met de GR.

Zie §1.4) Bereken het kwadraat van dit getal. Als je zo door zou gaan met het steeds toepassen van f z( )  z² op de nieuwe uitkomst, wat gebeurt er dan uiteindelijk met de uitkomst? Geef een verklaring.

Het steeds weer opnieuw invullen in de functie f van het nieuwe beeld dat gevonden is heet:

het itereren van het getal z bij de functie f. Het n-de beeld dat je zo vindt heet de n-de iteratie van z. De hele rij met beelden (iteraties) heet de baan van z.

b) Wat gebeurt er met een punt buiten de eenheidscirkel als je dat punt gaat itereren?

c) Idem met een punt óp de eenheidscirkel?

Om te onderzoeken of de functie f z( )  z² ook een dekpunt heeft moeten we de vergelijking ( )

f z  zoplossen. We vinden: z²  z_{, dus} z² z 0. Hieruit volgt: z  0 _of z 1_{. De} functie f z( )  z²

heeft dus twee dekpunten!

§2.2b De functies f(z)=z

+c

Het beeld van een getal z ontstaat bij deze functie in het algemeen door de afstand tot de Oorsprong te veranderen (modulus kwadrateren) en het punt te draaien om die Oorsprong (argument verdubbelen), gevolgd door een translatie (optellen van c). Zou deze functie ook een dekpunt kunnen hebben?

Voorbeeld

Bereken het dekpunt van de functie a)

2 1

( ) 22

f z  z 

b) f z( ) z²  ³⁴ 3i Uitwerking:

a) Nu moet gelden z² 2¹²  z_{, dus} z²  z  2¹_{2 .} Nu links een kwadraat maken: (z  ¹²)²  2¹²   ¹⁴ 2¹⁴ Nu geldt:

1 1 1

2 24 12

z   i   i

dus de twee dekpunten zijn z  ¹² 1¹²i _en z  ¹₂ 1¹₂i_. b) Er moet nu gelden

2 3

4 3

z   i  z_{, ofwel} z² z  ³₄ 3i_.

Linkerlid weer kwadraat maken, dan krijgen we

1 2

(z 2)  1 3i. Het getal 1 3i heeft modulus 2 en argument 60en is dus het kwadraat van een getal met modulus

2 en argument 30_{, dus van} 2(¹2 3 ¹2i) _ofwel ¹₂ 6  ¹₂ 2i_.

Dus z   ¹² (¹² 6  ¹² 2 )i . Het ene dekpunt is dusz  ^{12 12} 6  ¹² 2i en het andere is z  ^{12 12} 6  ¹² 2i_.

N.B. In



Opgave 2.8

Bereken de dekpunten van de functies a) f z( ) z² 1

b) f z( ) z² 1 c) f z( )  z²  ^{14 14}i