Hoofdstuk 2 Complexe functies

Hoofdstuk 2 Complexe functies

N.B. In de figuren in deze uitwerkingen is vaak op de imaginaire as alléén de coëfficiënt van i aangegeven!

Opgave 1.1

a) f (0)   3 _; f (2)   5 _; f i  ( ) 3 2  _; f (2 2 )  i   5 3 _. b)

c)

d) Zie de figuur hieronder.

e) De originelen zijn gearceerd en de beelden zijn donkerder gekleurd.

f) Een translatie (verschuiving) over de vector 3 i  _.

Opgave 1.2 a)

b) f ( 1   i )    3 3 _; f (2  i )  6 3  _; f (3 2 )  i   9 6 _.

c) Kies bijvoorbeeld A   ^{1 2} i dan wordt A '  f ( ^{1 2}  i ) 1  ^{1 2}  3 _en bijvoorbeeld B   1 1 ^{1 2} i dan wordt B '  f (1 1 )  ^{1 2} i   3 4 ^{1 2} _. de beelden liggen dus inderdaad op die driehoek.

Opgave 1.3

Dat is een vermenigvuldiging t.o.v. de Oorsprong met het getal -2.

Opgave 1.4

a) Noem Arg ( ^{1 2} 2  ^{1 2} 2 ) i   dan geldt

12 12

2

tan( )   2  1 , dus

1 1

2 2

( 2 2 ) 45

Arg  i    

b) Als je twee complexe getallen met elkaar moet vermenigvuldigen moet je de moduli vermenigvuldigen en de argumenten optellen. Omdat de modulus van

1 1

2 2  2 2i gelijk is aan 1 is de modulus van het beeld gelijk aan de modulus

van het origineel. Voor het argument van het beeld moet je bij het argument van

het origineel 45 optellen, ofwel het punt draaien over  45  . Het punt draait

dus met draaihoek 45 over een cirkelboog met als middelpunt de Oorsprong.

Opgave 1.5

a) f (4  i )   1 4 _; (6 3 ) 3 6 f  i   _;

(4 5 ) 5 4 f  i   _en

(2 3 ) 3 2

f  i   _.

b) Draaien om O over  90  _, want de modulus van  i is gelijk aan 1 en het argument van  i _is  90  _.

Opgave 1.6

a) Er geldt:

1   i 1 ( 1)   2  2

en arg(1  i )   45  (schets!).

Dus alle getallen worden t.o.v. de Oorsprong vermenigvuldigd met 2 én gedraaid over  45  _{. Zie} de tekening.

We hebben berekend:

ter controle:

(2 2 ) 0 4 4 f  i  i    _;

(4 2 ) 2 6 f  i   _;

(4 2 ) 6 2 f  i   _en

(2 2 ) 4 0 4

f     _.

Bijvoorbeeld. Berekening van A': A  2 2

en ( ) 45

Arg A    , dus ' 2 2 2 4

A   

en

' 4 A   i

( ') ( ) 45 90

Arg A  Arg A     

b) Als z  3

dan liggen alle z binnen of op de cirkel met middelpunt O en straal 3.

De tweede eis zorgt ervoor dat de getallen z tussen de lijnen y  x _en y   x liggen, bóven de x-as. (Deze lijnen zijn de bissectrices van de hoek tussen x-as en y-as en maken dus hoeken van 45 met de x-as.)

Door de functie f worden alle getallen z met 1 i  vermenigvuldigd, dus de modulus van z wordt vermenigvuldigd met 2 en bij het argument wordt  45  opgeteld.

M.a.w.: het getal z komt 2 keer zo ver van de Oorsprong te liggen én wordt om

O over een hoek van 45 in de negatieve richting gedraaid.

Opgave 1.7

a) Er geldt: 3   i 3 1   2 en arg( 3  i )  30  (schets!).

Dus alle getallen worden t.o.v.

de Oorsprong vermenigvuldigd met 2 én gedraaid over  30  _. Het beeld van de cirkel met middelpunt 5 i  en straal 2 wordt dus een cirkel met middelpunt

( 3 )(5 )

M   i  i 

5 3 1 (5    3)i _en

straal 2 2   4 _{. Zie de}

tekening.

b) Alle punten met Re(z)=-2 liggen op een verticale lijn l door het getal –2 (het punt (-2, 0)).

De draaivermenig-

vuldiging laat lijn l eerst 2 keer zo ver van de Oor- sprong terecht komen (dus wordt een verticale lijn m door (-4, 0)) en draait deze daarna over

 30  . Lijn b is dus het beeld van lijn l.

Opgave 1.8 a) f (0)  0 _;

(4 ) 9 15 f  i   _;

(4 ) 15 9

f  i   _.

Dus het bereik bestaat uit alle punten op of binnen de driehoek met deze hoekpunten.

Meetkundig hebben we een

draaivermenigvuldi- ging toegepast met factor 3 3  i  3 2

en draaihoek

arg( 3 3  i)  45  _.

b) z  3 _en 45   Arg z ( )  90  levert alle punten op een cirkelboog met middelpunt O en straal 3, die tussen of op de lijn y  x en de y-as liggen.

De functie f is een draaivermenigvuldiging met factor 3 ²  3 ²  3 2 _en

draaihoek gelijk aan Arg (3 3 )  i  45  _.

Opgave 1.9 a)

3 4 3 4 2

3 4 0 3 4 4 3

1

    

            



i i i i

iz i iz i z i

i i _.

b) f (3 ^{1 2}  ^{1 2} i )  (3 ^{1 2} i  ^{1 2} ) 3 4   i   i ^{1 2}  3 ^{1 2}  3 ^{1 2} i  ^{1 2}

Opgave 1.10

a) 5 z   3 4 i  z  4 z    3 4 i  z    ^{3 4} i

b)

1 1

2 2

5 1 5 5

5 ( 1) 5 2 2

1 1 2

i i

iz z i z z i

i i

   

           

  

c) (2 3 )  i z   3 4 i  z  (1 3 )  i z   3 4 i 

1 1

2 2

3 4 1 3 15 5 1 3 1 3 1 9 1

i i i

z i

i i

  

    

  

Opgave 2.1

Het domein bestaat uit alle getallen op de cirkel met middelpunt O en straal 1 ^{1 2} _. Het beeld bestaat uit alle getallen op de cirkel met middelpunt O en straal 2 ^{1 4} _.

Let op de plaats van de beelden van A en B!!

Waar zou het beeld van

1

( 1 , 0) 2

C  _komen?

N.B. Alle punten op de beeldcirkel

Opgave 2.2

Het domein bestaat uit alle punten op of tussen de positieve y-as en de halve lijn door O die een hoek van 60   ^{1 3}  rad maakt met de pos. X-as. Het beeld bestaat uit alle punten op of tussen de negatieve x-as en de halve lijn door O die een hoek van

2

120   3  rad maakt met de pos. X-as.

Opgave 2.3

Het domein is de lijn door O die een hoek van 45 maakt met de positieve x-as. Het beeld is de y-as.

Let op de plaats van punt A en zijn beeld!

Waar ligt het beeld van B?

Opgave 2.4

Het domein is de lijn door O en A(1, 2), ofwel de lijn y  2 x ; het beeld is de lijn door O en A'(-3, 4).

Opgave 2.5

We kiezen de lijn l door O en het punt (5, 7) (origineel). Zie de figuur hieronder.

a)

Het beeld van die lijn is de (doorgetrokken) lijn (beeld) die een twee keer zo grote hoek met de positieve x-as maakt. (Denk er aan dat er niet alleen een draaiing optreedt, maar dat de modulus van een getal op l ook gekwadrateerd wordt!) b) Dit levert twéé lijnen op, die hierboven gestreept zijn getekend.

Staan deze lijnen loodrecht op elkaar? Zo ja, waarom, zo nee, waarom niet? (Zie

ook opg 2.6.)

Opgave 2.6

Van alle getallen die een getal op de lijn l als beeld hebben, is hun hoek tov de pos. x-as (hun argument) verdubbeld en hun modulus gekwadrateerd. Deze getallen zijn dus te vinden door van de punten van l hun argument te halveren en uit hun modulus de wortel te trekken. Dus f z ( )  z halveert de argumenten en trekt de wortel uit de modulus.

Opgave 2.7

a) We kiezen 0.8 0.5i  . Hoe weet je dat dit getal binnen de eenheidscirkel ligt?

Het berekenen van de opvolgende beelden met de GR gaat het makkelijkst als volgt:

(Zet de GR in de mode a bi  _{) Typ in} 0.8 0.5i  gevolgd door ENTER. Druk op de knop x ² _en dan ENTER. Herhaal dit zolang als je nodig vindt.

We vinden dan:

0.8 0.5i   0.39+0.8i  -0.4879+0.624i  -0.1513....-0.6088...i 

0.3478.... 0.1842.... i 0.0870.... 0.1282.... i 0.0088.... 0.0223.... i

        _etc.

We zien dat zowel Re z als Im z steeds kleiner worden, dus het getal zal steeds dichter bij O komen liggen en uiteindelijk (na oneindig veel stappen!) op 0 uitkomen.

Verklaring: Van een getal binnen de eenheidscirkel is de modulus kleiner dan 1. Bij het kwadrateren van z wordt de modulus ook gekwadrateerd en het kwadraat van een getal dat kleiner is dan 1 is kleiner dan het oorspronkelijke getal. Het beeldpunt zal dus dichter bij 0 liggen dan het origineel. De modulus wordt dus in elke stap kleiner en zal zo dicht bij 0 komen als je wil, dus ook het punt zal zo dicht bij 0 komen te liggen als je wil.

b) Omdat de modulus van een getal buiten de eenheidscirkel groter is dan 1, zal bij het kwadrateren de modulus steeds groter worden. Dus het punt zal steeds verder weg komen te liggen van O.

c) Omdat de modulus van een getal óp de eenheidscirkel precies gelijk is aan 1 (per definitie!) is de modulus van zijn kwadraat ook weer 1. Het beeld zal dus weer op de eenheidscirkel liggen. De hele baan van zo'n punt ligt dus op deze cirkel.

Opgave 2.8

a) z ²   1 z  z ²  z  1  z ²    z ^{1 4} 1 ^{1 4}  ( z  ^{1 2} ) ²  ^{5 4} 

1 5 1 1 1 1 1

2 4 2 5 2 2 5 2 2 5

z       z   of z   . N.B. Dit had ook 'gewoon' met de abc-formule gekund!

b) z ²   1 z  z ²  z    1 z ²      z ^{1 4 3 4} ( z  ^{1 2} ) ²    ^{3 4}

2 3 2 3

1 1 1 1 1 1 1

2 4 2 4 2 2 2 2 2

( z  )   i  z       i 3   i z   3  i of z   3  i

c) z ²   ^{1 4 1 4} i  z  z ²  z    ^{1 4 1 4} i  z ²     z ^{1 4 1 4} i 

1 2 1 1

2 4 4

( z  )     i (cos( 90 )    i sin( 90 ))    (als argument kan ook 270 ₎