SYSTEMEN MET 2 VRIJHEIDSGRADEN VOORBEELD 10

ConstructieMechanica 3

7-17 Stabiliteit van het evenwicht

• Inleiding

• Starre staaf (systeem met één vrijheidsgraad)

• Systemen met meer dan één vrijheidsgraad

• Buigzame staaf (oneindig veel vrijheidsgraden)

• Statisch bepaalde op druk belaste staaf

• Algemene aanpak met de D.V.

• Verend ingeklemde buigzame staven

• Gekoppelde systemen

• Knik en de EUROCODE 3

• 2^e orde effecten

• Naknikgedrag

• Initiële scheefstand, vergrotingsfactor

• Vergrotingsfactor voor buigzame staven

• Bezwijken door instabiliteit

SYSTEMEN MET 2 VRIJHEIDSGRADEN VOORBEELD 10

EVENWICHT ?

EI

star star

F F

u₁ u₂

l h

Merk op :

We maken met opzet nog even geen gebruik van het

“natuurlijke” gevoel dat de grootte van de

verplaatsingen vanwege symmetrie gelijk moeten zijn.

VRIJMAKEN EN EVENWICHTSVERGELIJKINGEN OPSTELLEN

Vrijgemaakt u₁

F

M_A

Vrijgemaakt A

θ_A

u₂

F

M_B

B θ_B

M_A

M_B Ligger A-B vormt een veer :

4 2 2 4

A A

B B

M EI

M l

θ θ

     

  =    

 

   

θ_A

θ_B

STEL MOMENTENEVENWICHT OP VOOR BEIDE DELEN

WAT STELT DIT VOOR ?

linker deel:

4 2

0 rechter deel:

2 4

0

A A A B

B B A B

EI EI

F.h. M F.h

l l

EI EI

F.h. M F.h

l l

θ θ θ

θ θ θ

 

= ⇒  −  + =

 

 

= ⇒ +  −  =

 

EIGENWAARDE PROBLEEM

• homogeen stelsel vergelijkingen (rechterlid is nul)

• alleen een niet-triviale oplossing indien de determinant van de matrix nul is.

• Door oplossen van het karakteristiek polynoom worden twee waarden gevonden voor de nog onbekende waarde λ

• Deze waarden noemen we de eigenwaarden (knikkracht)

• Bij iedere eigenwaarde hoort een eigenvector (uitbuigingsvorm)

• Deze wordt gevonden door de betreffende eigenwaarde in het stelsel te substitueren

( ^{K I} ) ^{u K u u}

v u k

k

k k

yy yx

xy

xx

0 λ . 0 . λ .

λ

λ  = ⇒ − = ⇒ =



 



 



 





−

−

UITWERKEN

: .

4 2

2 4 0

A B

stel EI

h l F

F

β

β β θ

θ

β β

=

−  

 

  =

 

 −   

( ) ( )

2 2

1 2

4 2

det 12 8 0

2 4

2 . 6 0 2 ; 6

F F F

F

F F F F

β β

β β

β β

β β β β

− = − + =

−

− − = ⇒ = =

laagste knikkracht is maatgevend

BEPALEN VAN DE UITBUIGINGSVORM, KNIKVORM (bepaal de eigenvectoren)

Substitueer per “mode” de eigenwaarde in het stelsel :

1

2

2

2 2 0

2 2 0 : 1

1 6

2 2 0

2 2 0 : 1

1

A B

A B A B

A B

A B A B

F

stel F

stel β

βθ βθ

βθ βθ θ µ θ µ θ µ

β

βθ βθ

βθ βθ θ λ θ λ θ λ

=

+ =

 

+ = = → = − ⇔ =  

− 

=

− + =

− = = → = ⇔ =   

 

RESULTAAT

Zie ook dictaat blz 104 voorbeeld 2.

star

EI star

F₁

u u

F₁

EI

star star

u u

F₂ F₂

Laagste kniklast = maatgevend

l h F_k EI

.

= 2

Merk op :

De uitbuigingsvorm is wel bekend, de uitbuiging zelf is onbekend !

BUIGZAME STAVEN

• Statisch bepaalde buigzame drukstaaf

• Statisch onbepaalde buigzame drukstaaf

w(x) ? EI

l

x

F

oneindig veel vrijheidsgraden

x, w

STATISCH BEPAALDE BUIGZAME DRUKSTAAF

EULER

2 2

k

k

l

F π EI

=

kniklast → knikvorm → kniklengte

w(x) ? EI

l

x

F

oneindig veel vrijheidsgraden

x, w

kniklengte

kniklengte

kniklengte

buigpunt

VOORBEELD 11

6,0 m

4,5 m 4,5 m

F

Tuien (7,5 m) : EA=2500 kNm

EI=2500 kNm²

KNIK EN DE VOORSCHRIFTEN (EUROCODE 3)

• TOETS DE DRUKKRACHT IN DE UITERSTE GRENSTOESTAND (BEZWIJKEN !!!)

• KNIK IS EEN (GEVAARLIJK=VEILIGHEID=BEZWIJKEN) FENOMEEN DAT GETOETST MOET WORDEN IN DE UITERSTE GRENSTOESTAND

• HOE KOMEN WE VAN EULER (KNIKKRACHT) OP

WERKELIJK TOETSBARE DRUKKRACHTEN ?

( )

2

Euler 2

cr

Euler b

2

b 2

cr

2 2

Euler

Spanning

Knikspanning met: ( )

F EI

L

F buckling A

I I

E i traagheidstraal

L A A

L

i E

π

σ

σ π

π

=

=

= =

VERLOOP VAN DE “KNIKSPANNING”

b y

2 2 y

2 1

y

GRENSWAARDE:

f

E f

E f σ

π λ

λ π

≤

≤

=

STAAL E=2.1×10⁵ N/mm²

Onderzoek verschillende staalsoorten

S355 vloeigrens fy= 355 N/mm² λ1=76,4 S235 vloeigrens f_y = 235 N/mm² λ₁=93,9

SPANNING ALS KNIKCURVE

σ [N/mm²]

S355 S235

λ₁ =93.9 λ λ₁ =76.4

235 355

2

b 2

π E

σ ⁼ λ

Euler

Werkelijkheid

KNIKCURVE EN DE NORM

assen dimensieloos maken door:

1 k y

y as

f x as

χ σ

λ λ

λ

 − =

 

  − =



b y

y b,Rd

M1

f

N A f

σ χ

χ γ

= ⋅

= ⋅ ⋅

Stap 3 : bepaal draagvermogen

draagvermogen van de op knik belaste staaf

b

fy

χ =σ

1

λ ⁼ λ λ

1,0 1,0

2

1

λ

Stap 1 : bepaal relatieve slankheid Stap 2 :

Bepaal

knikreductie-factor (formules)

Knikcurve is afhankelijk van het type doorsnede

Euler a₀

d

λ

χ

0

a b c d

rekenwaarde van de

N < N