Overgenomen uit :
Basisboek Toegepaste Mechanica, J.W. Welleman, A. Dolfing en J.W. Hartman, Waltman, ISBN 90-212-9112-6, 2001
Knik en de Voorschriften
Bij het dimensioneren van een constructie op knik wordt veelal
uitgegaan van spanningen waarbij aangetoond moet worden dat de rekenwaarde van de spannning in de uiterste grenstoestand altijd kleiner is dan de rekenwaarde van de vloeispanning.
De vraag die zich nu opdringt is :
Kan het knikprobleem worden herschreven tot een dimensioneringsformule op basis van spanningen ?
In dit deel zal de Eulerse knikformule worden herschreven tot de gedaante zoals die wordt gebruikt in voorschriften voor staalconstructies.
Knikspanning en slankheid
In de voorschriften worden de begrippen Eulerse knikspanning en slankheid gebruikt.
Deze begrippen worden hier toegelicht waarbij gebruik wordt gemaakt van de eerder afgeleide theorie.
Voor de Euelerse knikkracht geldt :
Een spanning heeft als definitie :
De Eulerse knikspanning kan dan dus geschreven worden als :
In deze formule zijn de geometrische gegevens ( A, lk en I ) gescheiden van de materiaalparameter E. De factor I/A is een profielgrootheid. Hiervoor is het begrip traagheidsstraal, ook wel oppervlaktemomentarm i ingevoerd :
Hiermee kan de formule voor de Eulerse knikspanning worden herschreven tot :
De knikspanning wordt dus bepaald door de stijfheid van het materiaal, de
elasticiteitsmodulus en de verhouding van de kniklengte en de traagheidsstraal. Deze
2 2
k
K l
F π EI
=
A Fk
k = σ
2 2
k
k Al
E I π σ =
A i = I
2 2 2
k
k l
E i π σ =
Knikcurve
De Eulerse knikspanning moet altijd kleiner zijn dan de vloeispanning van het
materiaal. Voor een bepaalde staalkwaliteit kan dus worden afgeleid wat de minimale slankheid van de drukstaaf moet zijn opdat de knikspanning kleiner is dan de
vloeispanning.
Voor Fe510 (S355) met een E-modulus van 2.1×*105 N/mm2 en een vloeigrens van 355 N/mm2 geldt :
Voor Fe360 (S235) met een E-modulus van 2.1×105 N/mm2 en een vloeigrens van 235 N/mm2 geldt :
In feite houdt dit in dat bij kleine slankheden, dus gedrongen constructies, de
vloeispanning maatgevend is terwijl voor grote slankheden de Eulerse knikspanning maatgevend wordt. Dit is in de onderstaande grafiek van figuur 1 weergegeven.
y
y f
dus E f E
2 2
2 π
λ λ
π >
>
4 . 355 76
5 1 .
22
=
> π e λ
9 . 235 93
5 1 .
22
=
> π e λ
σ [N/mm2]
Fe510 Fe360
93.9 λ 76.4
235 355
2 2
λ σk =π E
Figuur 1 : Knikcurve met maatgevende spanning voor Fe510 en Fe360
Voorschriften
De werkwijze in de voorschriften voor staalconstructies is iets anders dan de
hierboven weergegeven theorie maar het principe van de Eulerse theorie zit er wel in verwerkt. In de voorschriften moet een constructie op druk worden getoetst met de volgende toetsingsregel :
Hierin is :
De knikfactor ωbuc is een factor die volgt uit een tabel. In feite kan deze toetsingsregel worden verkregen uit de formule voor de Eulerse knikspanning. Hieronder wordt dat verduidelijkt.
De Eulerse knikspanning kan geschreven worden als :
Er wordt nu een relatieve slankheid ingevoerd die gebaseerd is op de eerder geintroduceerde minimale slankheid :
Door dit in te vullen in de tweede formule van boven ontstaat :
In deze laatste relatie staat in feite de verhouding tussen de Eulerse knikspanning t.o.v. de vloeispanning, het gaat hier dus om de knikfactor ωbuc.
Naast deze theorie moet er in de praktijk ook rekening worden gehouden met allerlei afwijkingen die kunnen ontstaan door restspanningen, “size-effects” zoals grote of kleine plaatdikte en de inhomogeniteit van het materiaal. Het zal daarom niet
1
;
;
;
; ≤
d u c buc
d s c
N N ω
doorsnede gegeven
de voor drukkracht opneembare
uiterst de
van e rekenwaard de
is
belasting de
van gevolge ten
drukkracht de
van e rekenwaard de
is
;
;
;
; d u c
d s c
N N
2 1
2 2
2
=
⇔
= σ λ
π λ
σ π
k k
E E
y e
e
rel f
met λ π E λ
λ = λ =
2
2 2
2
2 2
1
1 1
met
y rel k k rel
y
k k
buc buc
y rel y rel
E f E f
f f
π λ
π σ
σ λ
σ σ
ω ω
λ λ
= ⇔ = ⇔
= = ⇒ =
De waarden voor αk en λo volgen uit de onderstaande tabel.
Tabel 1 : Profielconfiguraties
a b c d
αk 0.21 0.34 0.49 0.76
λo 0.2 0.2 0.2 0.2
Hierin zijn a, b, c en d de mogelijke instabiliteitskrommen waaruit gekozen kan worden. De te kiezen instabiliteitskromme is afhankelijk van het gebruikte profiel, zie tabel 23 NEN 6770.
Hoewel de formule er geheel anders uit is komen te zien, is de theoretische grondslag nog wel herkenbaar. De knikfactor is evenredig met de reciproque waarde van de relatieve slankheid in het kwadraat.
Grafische weergave
De voorgestelde formule kan ook grafisch worden weergegeven. In de figuur 2 zijn de instabiliteitskrommen a t/m d weergegeven.
De theoretische knikfactor is weergegeven met de gestippelde lijn.
Welke instabiliteitskromme gekozen moet worden kan voor eenvoudige profielconfiguraties uit figuur 3 op de volgende pagina worden afgeleid1.
1 De hier weergegeven figuren zijn overgenomen uit “Over spannend staal, construeren B” , een Figuur 2 : Instabiliteitskromme
volgens NEN 6770
Uiteraard kan er ook een tabel worden opgesteld met daarin de waarden voor de knikfactor voor een gegeven relatieve slankheid. De knikfactor is voor alle vier instabiliteitskrommen in tabel 2 hieronder gegeven.
Tabel 2 : Knikfactor
λrel Knikfactor ωbuc
a b c d
0.2 1.00 1.00 1.00 1.00
0.3 0.98 0.96 0.95 0.92
0.4 0.95 0.93 0.90 0.85
0.5 0.92 0.88 0.84 0.78
0.5 0.89 0.84 0.79 0.71
0.7 0.85 0.78 0.72 0.64
0.8 0.80 0.72 0.66 0.58
0.9 0.73 0.66 0.60 0.52
1.0 0.67 0.60 0.54 0.47
1.1 0.60 0.54 0.48 0.42
1.2 0.53 0.48 0.43 0.38
1.3 0.47 0.43 0.39 0.34
1.4 0.42 0.38 0.35 0.31
1.5 0.37 0.34 0.31 0.28
1.6 0.33 0.30 0.28 0.25
1.7 0.30 0.28 0.26 0.23
1.8 0.27 0.25 0.23 0.21
1.9 0.24 0.23 0.21 0.19
2.0 0.22 0.21 0.20 0.18
2.1 0.20 0.19 0.18 0.16
2.2 0.19 0.18 0.17 0.15
2.3 0.17 0.16 0.15 0.14
2.4 0.16 0.15 0.14 0.13
2.5 0.15 0.14 0.13 0.12
2.6 0.14 0.13 0.12 0.11
2.7 0.13 0.12 0.12 0.11
Figuur 3 : Profielconfiguraties volgens NEN 6770
