Hoofdstuk 4: Gravitatie Paragraaf 1: De vrije val
1
2
3
a. In beide diagrammen zien we dat de snelheid op den duur constant wordt. Zonder wrijving zou de snelheid altijd blijven toenemen met 9,81 m/s2.
b. 0 m/s.
c. 9,81 m/s2. Het is hier niet eens nodig om een raaklijn te tekenen. Op t = 0 s heeft het voorwerp namelijk nog geen snelheid en is er dus geen luchtwrijvingskracht. Zonder
luchtwrijvingskracht hebben we te maken met een vrije val en is de versnelling op aarde dus altijd 9,81 m/s2.
4 gmaan = 1,6 m/s2
Stel we geven bijvoorbeeld de eerste 6 seconden weer. De snelheid is dan toegenomen van 0 m/s naar 1,6 x 6 = 9,6 m/s:
5
a) De wrijvingskracht is hier groter dan de luchtwrijvingskracht, want de snelheid neemt af bij het openen van de parachute. De snelheid is nog wel positief, dus de persoon blijft nog steeds omlaag gaan.
b) In beide gevallen is de snelheid constant. Volgens de eerste wet van Newton betekent dit dat de resulterende kracht nul moet zijn. Dit betekent dat:
Fz = Fw
Omdat de zwaartekracht in beide gevallen constant is, moet dit ook het geval zijn voor de wrijvingskracht.
c) Fw = 1/2 cw A v2
Bij het openen van de parachute wordt frontaal oppervlak A groter, maar gaat de snelheid naar beneden. Als gevolg kan de wrijvingskracht alsnog gelijk zijn.
6 In het laatste deel van de grafiek is de versnelling gelijk aan:
Δv / Δt = a 4 / 0,4 = 10 m/s2
Dit ligt zo dicht bij 9,81 m/s2 dat de wrijvingskracht zo goed als te verwaarlozen is
(waarschijnlijk als we de grafiek nauwkeuriger aflezen, komen we nog dichter bij 9,81 m/s2).
7 De snelheid is eerst positief. De persoon gaat dus eerst omhoog. Bij t = 1,5 s is de snelheid even 0 m/s. Dit is dus het hoogste punt.
Als de persoon een kracht van de koorden ondervindt, dan kunnen we niet meer spreken van een vrije val en is de versnelling niet meer 9,81 m/s2.
Het hoogste punt vindt plaats op tijdstip t = 1,5 s. De raaklijn wordt hier:
Δv / Δt = a 10 / 1,7 = 5.9 m/s2
Dit is niet gelijk aan de valversnelling (9,81 m/s2) en dus oefenen de koorden een kracht uit.
8
a. We verwachten zonder wrijvingskracht een lijn met een helling van 9,81 m/s2. Δv/Δt = 9,81 m/s2
Δv = 9,81 x Δt
opp driehoek = Δv x Δt / 2 110 = 9,81 x Δt2 / 2
Δt = √(110 x 2 / 9,81) =4,74 s.
De lijn stopt dus bij 4,74 s.
b. Gedurende de hele beweging. Zowel bij de beweging omhoog als bij de beweging naar beneden ervaart het voorwerp een vrije val en is er dus sprake van gewichtloosheid.
c. Hiervoor hebben we de snelheid nodig waarmee het voorwerp los komt van de katapult. Dit doen we met een raaklijn:
Δx/Δt = 120 / 2,7 = 44,4 m/s
Tijdens de versnelling van de katapult geldt dan:
a = Δv / Δt = 44,4 / 0,4 = 111,1 m/s2 Fres = ma = 1,5 x 111,1 = 166,7N Fres = Fkatapult – Fz
Fres + Fz = Fkatapult
166,7 + 1,5 x 9,81 = 1,8 x 102N
9 In het linker geval voel je jezelf zwaarder. Dit komt doordat de lift omhoog versnelt tegen de voeten van de persoon aan. Omdat de persoon versnelt hebben we te maken met een resulterende kracht omhoog. Dit vertelt ons dat de normaalkracht in dit geval groter moet zijn dan de zwaartekracht. De normaalkracht is gelijk aan het gewicht. We zouden dus een groter gewicht meten dan als de lift stil zou staan.
Als de lift naar beneden versnelt, dan voel je jezelf lichter. Nu werkt er een resulterende kracht naar beneden en moet de zwaartekracht dus groter zijn dan de normaalkracht. Omdat de zwaartekracht in beide situaties gelijk is, vinden we dat de normaalkracht kleiner moet zijn dan normaal. De normaalkracht is gelijk aan het gewicht. We zouden dus een kleiner gewicht meten dan als de lift stil zou staan.
10
a. Tot 3,0 s staat de lift stil. Daarna versnelt de lift tot aan t = 7,0 s. Dan gaat de lift een tijdje door met een constante snelheid tot t = 14,0 s. Dan vertraagt de persoon weer tot aan t = 18,0 s. Vanaf 18,0 s staat de lift weer stil.
b. Tot 3,0 s staat de lift stil en is de resulterende kracht dus nul.
Daarna versnelt de lift tot aan t = 7,0 s. Hier is de resulterende kracht gelijk aan:
Fres = ma = 75 x 1,25 = 94 N
Dan gaat de lift een tijdje door met een constante snelheid tot t = 14,0 s. Volgens de eerste wet van Newton is ook hier de resulterende kracht gelijk aan nul.
Dan vertraagt de persoon weer tot aan t = 18,0 s. Hier geldt:
Fres = ma = 75 x -1,25 = -94 N
Vanaf 18,0 s staat de lift weer stil. Hier is Fres weer nul.
c. Fz = m x g = 75 x 9,81 = 736 N
Tot 3,0 s staat de lift stil. Hier geeft de weegschaal dus gewoon 75 kg aan.
Daarna versnelt de lift tot aan t = 7,0 s. Hier is de resulterende kracht gelijk aan:
Fres = ma = 75 x 1,25 = 94 N
De gewichtkracht is hier gelijk aan 736 + 94 = 830 N De weegschaal geeft hier daarom aan: 789 / 9,81 = 85 kg.
Dan gaat de lift een tijdje door met een constante snelheid tot t = 14,0 s. Volgens de eerste wet van Newton is ook hier de resulterende kracht gelijk aan nul. Hier geeft de weegschaal dus gewoon 75 kg aan.
Dan vertraagt de persoon weer tot aan t = 18,0 s. Hier geldt:
Fres = ma = 75 x -1,25 = -94 N
De gewichtkracht is hier gelijk aan 736 - 94 = 642N De weegschaal geeft hier daarom aan: 642 / 9,81 = 65 kg.
Vanaf 18,0 s staat de lift weer stil. Hier is Fres weer nul. Hier geeft de weegschaal dus gewoon 75 kg aan.
Paragraaf 2: Cirkelbewegingen
1 2πr/T = v
2π x 2,0 / 0,50 = 25 m/s 2 2πr/T = v
2πr/v = T
2π x 5,29177211 x 10-11 / (2,1877 x 106) = 1,5198 x 10-16 s 3 Taarde-om-zon = 365,25 d
raarde-zon = 1,496 x 1011 m 2πr/T = v
2π x 1,496 x 1011 / (365,25 x 24 x 60 x 60) = 29,79 x 103 m/s 4 raarde = 6,371 x 106 m
Taarde = 24 h 2πr/T = v
2π x 6,371 x 106 / (24 x 60 x 60) = 4,6 x 102 m/s
5 Je gebruikt de straal van de aarde bij bewegingen om / op de aarde (dus met de aarde als middelpunt).
Je gebruikt de afstand aarde-zon als je kijkt naar de beweging van de aarde om de zon.
6
a. rstation = Raarde + h = 6,371 x 106 + 400 x 103 = 6,771 x 106 m v = 7,9 x 103 m/s
2πr/v = T
2π 6,771 x 106 / (7,9 x 103) = 5,39 x 103 s = 1,5 h b. De straal van de aarde moest nog in rekening worden
gebracht.
c. rstation = 6,371 x 106 + 400 x 103 = 6,771 x 106 m v = 7,9 x 103 m/s
2πr/v = T
2π 6,771 x 106 / (7,9 x 103) = 5,39 x 103 s = 0,0623 d
1 round 16 rounds
0,0623 d 1 d
16 rondjes per dag
7 rsatelliet = 6,371 x 106 + 35786 x 103 = 42157 x 103 m 2πr/T = v
2π x 42157 x 103 / (24 x 60 x 60) = 3066 m/s
8 In Amsterdam maakt men een kleiner rondje om de aarde dan op de evenaar. We willen de straal weten van dit rond (zie de r in de onderstaande afbeelding):
cos(52) = r / raarde
cos(52) x raarde = r
r = cos(52) x 6,371 x 106 = 3,922 x 106 m 2πr/T = v
v = 2π x 3,922 x 106 / (24 x 60 x 60) = 2,8 x 102 m/s 9
a. Dit is de foutmarge van de meting. Op basis van de nauwkeurigheid van de meting is bepaald tussen welke waarden de ‘echte’ waarde moet zitten.
b. Dit is de gemiddelde lijn gebaseerd op alle meetpunten.
c. 1 pc = 3,086 x 1016 meter 1 kpc = 3,086 x 1019 meter
De snelheid is op deze afstand ongeveer 225 km/s = 225 x 103 m/s.
2πr/v = T
2π x 3,086 x 1019 / (225 x 103) = 1,034 x 1016 s = 3,27 x 108 jaar 10 d/2 = r
50 / 2 = 25 cm = 0,25 m
1500 rounds 1 round
60 s 0,04 s
2πr/T = v
2π x 0,25 / 0,04 = 39 m/s 52 o
11
a. d / 2 = r
8 / 2 = 4 mm = 0,004 m
v = 35 m/min = 35 / 60 m/s = 0,583 m/s 2πr/v = T
2π x 0,004 / 0,583 = 0,043 s
1 round 1395 rounds
0,043 s 60 s
1 x 103 rpm
b. Je boort gemakkelijker door hout dan door staal. Het toerental (het aantal omwentelingen per minuut) zal dus toenemen in hout. Hoe sneller de boor draait, hoe korter de omlooptijd.
De omlooptijd zal dus afnemen.
12 2πr/v = T
2π x 5,29177211 x 10-11 / (2,1877 x 106) = 1,5198 x 10-16 s
1 round 3,9479 x 1017 rounds
1,5198 x 10-16 s 60 s
3,9479 x 1017 rpm
Paragraaf 3: De middelpuntzoekende kracht
1
a. Hier levert de spankracht in het touw de middelpuntzoekende kracht.
b. Hier levert de zwaartekracht / gravitatiekracht de middelpuntzoekende kracht.
c. Hier levert de wrijvingskracht de middelpuntzoekende kracht.
d. Hier levert de normaalkracht de middelpuntzoekende kracht.
e. Hier levert de elektrische kracht de middelpuntzoekende kracht.
2 De benodigde (waarde) van de middelpuntzoekende kracht moet geleverd worden door een reeds bestaande kracht (zie de voorbeelden in opgave 1).
3
a. Als er geen krachten op je zouden werken, dan zou je rechtdoor bewegen en zo uit de bocht schieten. De normaalkracht van de autodeur waar je tegenaan leunt en de wrijvingskracht van de stoel houden je echter in de bocht. Het is dus niet zo dat er krachten werken die jou uit de bocht proberen te duwen. Er zijn juist krachten die je in de bocht houden.
b.
4
5 Tmaan-om-aarde = 27,32 d raarde-maan = 384,4 x 106 mmaan = 7,342 x 1022 kg 2πr/T = v
2π x 384,4 x 106 / (27,32 x 24 x 60 x 60) = 1023 m/s mv2/r = Fmpz
7,342 x 1022 x 10232 / (384,4 x 106) = 1,999 x 1020 N 6 raarde = 6,371 x 106 m
Taarde = 24 h mpersoon = 80 kg 2πr/T = v
2π x 6,371 x 106 / (24 x 60 x 60) = 4,6 x 102 m/s mv2/r = Fmpz
80 x (4,6 x 102)2 / (6,371 x 106) = 2,6 N
7 rstation = 6,371 x 106 + 400 x 103 = 6,771 x 106 m v = √(Fmpzr/m)
v = √(3,9 x 106 x 6,771 x 106 / (4,2 x 105)) = 7,9 x 103 m/s
2πr/v = T
2π 6,771 x 106 / (7,9 x 103) = 5,39 x 103 = 1,5h
8 2πr/T = v
2π x 0,02 / 0,0127 = 9,89 m/s m = Fmpzr/ v2
m = 8,36 x 10-24 x 0,02 / v2 = 1,7 x 10-27 kg
(dit is volgens BINAS inderdaad de massa van het proton).
9 me = 9,109 x 10-31 kg r = Tv/(2π)
1,52 x 10-16 x 2,1877 x 106 /(2π) = 5,29 x 10-11 m Fmpz = mv2/r
9,109 x 10-31 x (2,1877 x 106)2 / (5,29 x 10-11) = 8,24 x 10-8 N 10
a. De normaalkracht heeft bij een schuine baan een component in de richting van het centrum van de bocht. Deze normaalkracht kan dus dienen als een middelpuntzoekende kracht. Als de bocht geen helling had, dan moest alle middelpuntzoekende kracht geleverd wordt door de wrijvingskracht van de banden. Als deze wrijvingskracht niet voldoende is, dan schiet de fietser uit zijn baan.
b. De normaalkracht werkt loodrecht op de helling. We kunnen deze kracht ontbinden in een component omhoog en een component richting het centrum van de bocht. De component is in evenwicht met de zwaartekracht. In de verticale richting staat de fietser immers stil. De component richting de centrum van de bocht is gelijk aan de middelpuntzoekende kracht.
Fz = m x g = 70 x 9,81 = 687N
Meet de pijl op en vind de schaal (noteer deze ook). Als het goed is vindt je dat de pijl van de middelpuntzoekende kracht een waarde heeft van 323N = 3,2 x 102 N.
11
a. Als het ruimteschip snel rond draait, dan moet er een middelpuntzoekende kracht werken om de personen in hun baan te houden. Deze kracht wordt geleverd door de normaalkracht van het schip. Als het ruimteschip precies genoeg snel draait, kan deze normaalkracht gelijk zijn aan de normaalkracht die we op aarde ervaren doordat de zwaartekracht ons tegen de grond drukt. Als gevolg lijkt het alsof er zwaartekracht is (als je bijvoorbeeld een balletjes los laat, dan valt deze naar de grond met a = 9,81 m/s2).
b. Het tweede plaatje is correct. Er werkt maar één kracht richting het centrum van het schip.
Dit is de middelpuntzoekende kracht en deze wordt geleverd door de normaalkracht.
12
a. De spankracht delen we op in twee componenten. De verticale component is in evenwicht met de zwaartekracht. De horizontale component is de middelpuntzoekende kracht.
tan(θ) = Fmpz / Fz
Fz tan(θ) = Fmpz
mg tan(θ) = mv2 / r v = √( gr tan(θ) )
b. r2 + h2 = L2
r = √(L2 – h2) = √(20,62 – 202) = 5 cm v = √( gr tan(θ) )
v = √( 9,81 x 0,05 x tan(12) ) = 0,32 m/s
13 Als het vliegtuig horizontaal vliegt, dan is de liftkracht even groot, maar tegengesteld aan de zwaartekracht. Als het vliegtuig kantelt, dan wijs dezelfde liftkracht een schuin omhoog.
Omdat de zwaartekracht nu groter is dan de verticale component van de liftkracht, zal het vliegtuig een beetje dalen.
Het vliegtuig zal ook een bocht maken. Dit komt omdat de liftkracht nu ook een horizontale component heeft en deze kracht is een middelpuntzoekende kracht die het vliegtuig in een bocht zal laten bewegen.
14
a. De snelheid is hier even nul. Als gevolg is de middelpuntzoekende kracht ook nul, want deze kracht is afhankelijk van de snelheid.
b. Omdat de massa in een cirkelbaan beweegt, moet er een middelpuntzoekende kracht werken naar het middelpunt van de cirkelbaan. De spankracht moet dus groter zijn dan de
zwaartekracht, zodat deze middelpuntzoekende kracht geleverd kan worden.
c. Fmpz = Fspan – Fz
Fmpz = mv2/r = 0,080 x 0,42 / 1 = 0,013 N Fz = mg = 0,080 x 9,81 = 0,78 N
Fspan = Fmpz + Fz = 0,013 + 0,78 = 0,80 N
Paragraaf 4: Gewichtloosheid II
1
a. De middelpuntzoekende kracht wordt hier volledig geleverd door de zwaartekracht. Beide krachten zijn dus even groot. Er is dus geen normaalkracht nodig om de personen in hun baan te houden.
b. De zwaartekracht is nu niet meer genoeg om de gehele middelpuntzoekende kracht te leveren. De zwaartekracht is hier dus kleiner dan de middelpuntzoekende kracht. De stoelen zullen dus ook een normaalkracht uit moeten oefenen om de personen in hun baan te houden. Deze kracht is naar beneden gericht (richting het midden van de cirkel).
2 Als de benodigde middelpuntzoekende kracht precies wordt geleverd door de zwaartekracht of gravitatiekracht, ervaar je gewichtloosheid.
3 Fz = m x g = 70 x 9,81 = 687 N
Zowel de zwaartekracht als de normaalkracht werken nu naar beneden. Samen leveren ze de middelpuntzoekende kracht:
Fmpz = Fz + FN = 687 + 200 = 887N v = √(Fmpzr/m)
v = √(887 x 20 / 70) = 16 m/s
4 Bij de minimale snelheid is de zwaartekracht gelijk aan de middelpuntzoekende kracht en is er geen extra normaalkracht aanwezig. Er geldt dan:
Fmpz = Fz
mv2/r = mg v2/r = g v = √(gr)
v = √(gr) = √(9,81 x 1,4) = 3,7 m/s 5
a. v = 2πr/T = 2π x 6,371 x 106 / (24x60x60) = 463 m/s Fmpz = mv2 / r = 80 x 4632 / (6,371 x 106) = 2,7 N b. Fz m x g = 80 x 9,81 = 784N
2,7N van deze zwaartekracht wordt gebruikt om de persoon in zijn baan te houden. De rest van de zwaartekracht (784 – 2,7 = 781N) wordt tegen de grond geduwd. Volgens de derde wet reageert de grond dan ook met een even grote normaalkracht van 781N = 7,8 x 102N.
c. De persoon wordt gewichtloos als de zwaartekracht de volledige middelpuntzoekende kracht levert. Er is in dat geval geen zwaartekracht meer over om tegen de grond te drukken en als gevolg ervaart de persoon dus gewichtloosheid. De middelpuntzoekende kracht moet dan dus gelijk worden aan 784N. Er geldt dan:
v = √(Fmpzr/m) = √(784 x 6,371 x 106/ 80) = 7,9 x 103 m/s
6
a. Door het snelle draaien van de planetoïde is er een middelpuntzoekende kracht nodig om de stenen in hun baan te houden. Een deel van de zwaartekracht zal dus gebruikt worden voor de middelpuntzoekende kracht. Als je de steen op deze planeet in je hand zou houden, dan zou dus maar een deel van de zwaartekracht overblijven om tegen je hand te duwen.
Vandaar dat de steen lichter aanvoelt dan het in werkelijkheid is.
b. Laten we bijvoorbeeld kijken naar een steen met een massa van 1,0 kg.
d / 2 = r
1500 / 2 = 750 m v = 2πr / T
v = 2π x 750 / (2,5 x 60 x60) = 0,52 m/s Fmpz = mv2/r = 1 x 0,522 / 750 = 3,6 x 10-4N Fz = m x g = 1 x 4,3 x 10-4 = 4,3 x 10-4 N Fmpz / Fz x 100 = 3,6 x 10-4 / (4,3 x 10-4 ) = 84%
c. De zwaartekracht is dan gelijk aan de middelpuntzoekende kracht, dus gelijk aan 4,3 x 10-4 N.
v = √(Fmpzr/m) = √(4,3 x 10-4 x 750 / 1) = 0,57 m/s 2πr / v = T 2π x 750 / 0,57 = 8267 s = 2,2 h
Paragraaf 6: De algemene gravitatiekracht
1 Fg = GMm/r2
[G] = [Fg][r2]/([M][m]) = Nm2kg-2
[G] = [Fg][r2]/([M][m]) = kgms-2 x m2 kg-2 = m3kg-1s-2 2 G = Fgr2/(Mm)
G = 1,5 x 10-7 x 0,2302 / (0,75 x 158) = 6,7 x 10-11 N m² kg-2 3 rstation = 6,371 x 106 + 400 x 103 = 6,771 x 106 m
Fg = GMm/r2
Fg = 6,67 x 10-11 x80 x 5,98 x 1024 /(6,771 x 106)2 = 7,0 x 102 N
4 De gravitatiekracht is in b-ij een baan om een hemellichaam gelijk aan de middelpuntzoekende kracht:
Fg = Fmpz
GMm/r2 = mv2/r GM/r = v2
Dit combineren we met v = 2πr / T tot:
GM/r = 4π2r2/T2 r3 / T2 = GM/ (4π2 )
5
a. (VWO) T = √(r3 x 4π2 / (GM))
T = √((149,6 x 109)3 x 4π2 / (6,67 x 10-11 x 1,99 x 1030)) = 3,15 x 107 s = 365 dagen (HAVO) Je vindt hetzelfde antwoord met de formules GM/r = v2 en v = 2πr / T b. Voor de gravitatiekracht van de zon geldt:
Fg = GMm/r2 = 6,67 x 10-11 x 840 x 1,989 x 1030 /(0,1511 x 1012)2 = 4,88N Voor de gravitatiekracht van de aarde geldt:
Fg = GMm/r2 = 6,67 x 10-11 x 840 x 5,976 x 1024 /(0,15 x 109)2 = 0,15N Samen is dit 4,88 + 0,15 = 5,0 N
Dit is gelijk aan de middelpuntzoekende kracht die de zon en de aarde samen op WMAP uitoefenen.
De straal van de cirkelbaan van WMAP loopt van de zon tot de satelliet:
r = 0,1496 x 1012 + 1,5 x 109 = 0,1511 x 1012 m De snelheid wordt:
v = √ (Fmpz x r / m) = √ (5,0 x 0,1511 x 1012 / 840 ) = 3,0 x 104
T = 2πr / v = 2π x 0,1511 x 1012 / (3,0 x 104) = 3,15 x 107 s = 365 dagen 6
a. METHODE VWO:
r = 1,737 x 106 + 682 x 103 = 2,4 x 106 m We gebruiken hiervoor de wet van Kepler:
r3 x 4π2 / (GT2)= M
(2,4 x 106)3 x 4π2 / (6,67 x 10-11 x (178 x 60)2) = 7,2 x 1022 kg
METHODE HAVO:
Hetzelfde antwoord is te vinden met: GM/r = v2 en v = 2πr / T
b. g = MG/r2 gr2/G = M
1,62 x (1,737 x 106)2 / (6,67 x 10-11) = 7,3 x 1022 kg 7 r = 3√(MGT2/(4π2))
r = 3√(5,972 x 1024 x 6,67 x 10-11 x (24 x 60 x 60)2/(4π2)) = 4,2 x 107 m
We willen echter niet r weten, maar de afstand van de satelliet boven de aarde:
4,2 x 107 - 6,371 x 106 = 3,6 x 107 m
8 METHODE VWO:
r3 x 4π2 / (GT2)= M
(5,826 x 108)3 x 4π2 / (6,67 x 10-11 x (13,5 x 24 x 60 x60)2) = 8,68 x 1025 kg METHODE HAVO:
Hetzelfde antwoord is te vinden met: GM/r = v2 en v = 2πr / T 9 Voor de satelliet geldt:
Fg = Fmpz
GMm/r2 = mv2/r GM/r = v2 v = √(GM/r)
Zoals je ziet vallen de massa’s m van de satelliet tegen elkaar weg. Het is daarom niet te achterhalen wat deze massa is.
10
a. Volgens T = √(r3 x 4π2 / (GM)) geldt dat als r kleiner wordt, dan T dan ook kleiner wordt. De deeltjes in de binnenste ringen maken dus in kortere tijd hun rondje af en halen dus telkens deeltjes in de buitenste ringen in.
b. In punt L is de gravitatiekracht iets groter, omdat dit deel dichter bij Saturnus is. Hier is de kracht dus groter dan de middelpuntzoekende kracht en dit deel wil dus naar Saturnus toe vallen. In punt N is de gravitatiekracht iets kleiner, omdat dit deel verder weg is van Saturnus.
Hier is de kracht dus kleiner dan de middelpuntzoekende kracht en dus niet genoeg om dit deel in zijn baan te houden. Dit deel wil dus wegvliegen van Saturnus. Dit verschil zorgt ervoor dat het deeltje uit elkaar getrokken wordt.
(Extra: Waarom kunnen we aannemen dat de middelpuntzoekende kracht overal gelijk is? Als het blok niet om zijn eigen as draait, maakt elk deeltje dezelfde cirkelbaan. Punt L zit iets links van het midden, maar daar zit punt L gedurende de gehele beweging.).
c. Hieronder zien we de gravitatiekracht werkende aan de boven en onderkant van de steen.
Zoals je ziet heeft de bovenste kracht een component naar beneden en de onderste kracht een component naar boven. Op deze manier wordt de steen dus verticaal in elkaar geduwd.
11
a. r = 6,371 x 106 + 485 x 103 = 6,86 x 106 m v = √(GM/r)
v = √(6,67 x 10-11 x5,972 x 1024/(6,86 x 106)) = 7,62 x 103 m/s T = 2πr / v
T = 2π x 6,86 x 106 / (7,62 x 103) = 5660 s = 1,57 h 24 / 1,57 = 15 rondjes.
(je kan ook gebruik maken van de derde wet van Kepler om op dit antwoord te komen).
b. A ondervindt eerder de extra gravitatiekracht van de berg, omdat deze satelliet de berg eerder benaderd. In afbeelding 1 wordt A daardoor meer versneld door de massa van de berg dan B. Hierdoor wordt de afstand tussen A en B groter. In afbeelding 2 gaat dit veranderen.
Nu wordt B nog steeds versnelt door de berg, maar A wordt nu juist afgeremd. Uiteindelijk hebben beide satellieten (na elkaar) dezelfde beweging afgelegd en zal de afstand dus weer gelijk zijn als aan het begin.
c. Voor satelliet B geldt Fres = Fg = GMm/r2. Omdat Fres = ma, kunnen we dit herschrijven tot:
aHIM = GM/r2
Voor de versnelling in de x-richting hebben we de x-component nodig van de versnelling:
cos(α) = ax / aHIM
ax = GM/r2 cos(α) Er geldt ook dat:
cos(α) = 1/2d / r We vinden dus:
ax = 1/2 GMd/r3
Satelliet A ondervindt dezelfde versnelling, maar dan naar links. De relatieve versnelling wordt dus:
ax,B + ax,B = 1/2 GMd/r3 + 1/2 GMd/r3= GMd/r3
d. r = √((1/2d)2+h2) = √((110 x 103)2+(485 x 102)2) = 4,97 x 105 m
Volgens de grafiek is de versnelling precies boven de Himalaya gelijk aan 4,6 x 10-7 m/s2. ax = GMd/r3
M = axr3/(Gd)
M = 4,6 x 10-7 x (4,97 x 105)3 / (6,67 x 10-11 x 220 x 103) = 3,8 x 1015 kg
