∫(dus de oppervlakte van

(1)

Gelijke oppervlakte

1 maximumscore 4 • ( ) 3 1 2 f ' x x = − 1 • 3 1 0 2 x − = geeft 3 2 x = 1 • Dit geeft 1 4 2 x= 1 • 1 1 1 1 4 4 4 4 (2 ) ( 3 2 2 ) 2

f = − = (dus de coördinaten van T zijn

(

2 , 21₄ 1₄

)

) 1

2 maximumscore 6

• De oppervlakte van V is 9

(

)

0

3 x−x dx

∫

1

• Een primitieve van 3 x x− is 1 2 2 2x x− x 1 • De oppervlakte van V is 1 2 9 1 2 ₀ 2 2x x x 13  ₋  ₌   1

• De richtingscoëfficiënt van de lijn door A en T is 1 3

− 1

• De y-coördinaat van B is 3 1

• De oppervlakte van driehoek OAB is 1 1

2⋅ ⋅ =9 3 132 (dus de oppervlakte

van V en de oppervlakte van driehoek OAB zijn gelijk ) 1 of

• De oppervlakte van V is 9

(

)

0

3 x−x dx

∫

1

• Een primitieve van 3 x x− is 1 2 2 2x x− x 1 • De oppervlakte van V is 1 2 9 1 2 ₀ 2 2x x x 13  ₋  ₌   1

• De richtingscoëfficiënt van de lijn door A en T is 1 3

− 1

• Een vergelijking van de lijn door A en T is 1

3 3

y= − x+ 1

• De oppervlakte van driehoek OAB is

(

)

9 9 2 1 1 1 3 6 ₀ 2 0 3 d 3 =13 x x  x x − + = −_ + _

∫

(dus de oppervlakte van V en de oppervlakte van driehoek OAB zijn

(2)

Het uiteinde van een wip

3 maximumscore 3 • 5 2 3 π 5 π 2π ( ) 1 2 sin 1 2 sin 5 3 5 15 h = + _ ⋅ − _= + _ _     1 • 2 5 3 3 3π 5 6π 5 31π ( ) 1 2 sin 10 3 5 3 30 h = + _− ⋅ _{ } + ⋅ − _     1 • Dit geeft 5 3 3 2π ( ) 1 2 sin 15 h = + _ _

  (dus de hoogtes zijn gelijk) 1

4 maximumscore 4 • 2 1 3π π 3π ( ) 2 cos 2 10 6 10 h ' t = _ t − _⋅ ⋅ t   2 • 1 1 3 3π π 3π 2 π π 2π ( ) 2 cos 2 cos 90 6 10 3 30 6 10 h ' = _ − _⋅ ⋅ = _ − _⋅     1 • Dus 1 1 3 2π 2π 2π 2π ( )= cos cos 5 15 5 15 h ' _− _= _ _

    (dus de hellingen zijn gelijk) 1

5 maximumscore 4 • 2 π π π (1 ) 1 2 sin (1 ) 1 2 sin 5 5 5 h −a = + _ − −a _= + _− a_     (voor 2 3 0< < ) a 1 • 2 π π (1 ) 1 2 sin 1 2 sin 5 5 h −a = + _− a_= − _ a_     1 • 2 π π π (1 ) 1 2 sin (1 ) 1 2 sin 5 5 5 h +a = + _ + −a _= + _ a_     1 • 2 2 π π (1 ) (1 ) 1 2 sin 1 2 sin 2 5 5 h − +a h +a = − _ a_+ + _ a_=     (, dus 2(1 ) 2(1 ) 1 2 h − +a h +a = ) 1 of

(3)

Cirkel en lijnstuk

• ME is bissectrice van ∠AMB ; bissectrices driehoek 1

• Dus ∠AME = ∠BME (; bissectrice) 1

• CM =DM (; straal cirkel) (en ME =ME) 1

• ∆CME≅ ∆DME; ZHZ 1

• Hieruit volgt dat de lijnstukken CE en DE even lang zijn 1

Gespiegelde punten

• De x-coördinaat van het snijpunt van de grafiek van f met de x-as is 1 1

• x_P = −1 a 1

• De y-coördinaat van het punt op de grafiek van f met x-coördinaat a

is 2 ln a⋅ 1

• y_Q = ⋅2 lna 1

• 2 ln⋅ a= − −(1 a) (of een gelijkwaardige uitdrukking) 1

• Beschrijven hoe deze vergelijking met de GR kan worden opgelost 1 • (a=1 voldoet niet, dus) het antwoord is 3,51 1 of

• g x( )= ⋅2 ln(x+a) 1

• x is de oplossing van P 2 ln(⋅ x+a)=0 1

• x_P = −1 a 1

• y_Q = ⋅2 lna 1

• 2 ln⋅ a= − −(1 a) (of een gelijkwaardige uitdrukking) 1

(4)

Ankerketting

8 maximumscore 6 •

(

)

1 1 2 2 1 ( ) e e e e 2 ax ax ax ax f ' x a a a − − = ⋅ ⋅ − ⋅ = − 2 •

(

1 1

)

2 1 2 1 1 1 2 2e 2e 4e 2 2e 2e 4e ax₋ −ax ₌ ax_{− ⋅} ax_⋅ −ax ₊ − ax 1 •

(

1 1

)

2 1 2 1 1 1 2 2e 2e 4e 2 2e 2e 4e ax₊ −ax ₌ ax_{+ ⋅} ax_⋅ −ax ₊ − ax 1 •

(

1 1

)

2 1 2 1 1 2 2e 2e 4e 2 4e ax₋ −ax ₌ ax_{− +} − ax en

(

)

2 ₂ ₂ 1 1 1 1 1 2e 2e 4e 2 4e ax₊ −ax ₌ ax_{+ +} − ax 1 •

(

)

2 1 2 1 1 2 4 2 4 1+ f ' x( ) = +1 e ax− + e− ax =

(

)

2 2 2 1 1 1 1 1 4e 2 4e 2e 2e ax_{+ +} − ax ₌ ax ₊ −ax

(dus geldt de gelijkheid) 1

• De waterdiepte is f(96)≈34 (meter) (of nauwkeuriger) 1 • De lengte van de ankerketting is 96 2

0

1 (+ f ' x( )) dx

∫

1

• Beschrijven hoe deze integraal met de GR kan worden berekend 1 • De lengte van de ankerketting is ongeveer 104 meter (of nauwkeuriger) 1

• (104> ⋅3 34, dus) de ankerketting voldoet aan de vuistregel 1

of

• De waterdiepte is (96) 34f ≈ (meter) (of nauwkeuriger) 1 • De lengte van de ankerketting is 96 2

0 1 (+ f ' x( )) dx

∫

1 •

(

1 1

)

140 140 96 96 2 1 1 2 2 0 0 1 (+ f ' x( )) dx= e ⋅x+ e− ⋅x dx

∫

1

• Een primitieve van 1 1

140 140 1 1 2e 2e x x ⋅ ₊ − ⋅ is _70e1401⋅x −_70e− ⋅1401 x_; 96 96 140 140

(5)

Acht keer zo groot

• De oppervlakte van het rechterdeel is

3 2 3 (3 ) d p p px −x x

∫

1

3 px −x is 3 1 4

4

px − x 2

• De oppervlakte van het rechterdeel is 4

6 p 1

• De oppervlakte van het rechterdeel is ₃ 4₄

4

6 8

p

p = keer zo groot als die van

het linkerdeel 1 of • De oppervlakte van V is 3 2 3 0 (3 ) d p px −x x

∫

1

3 px −x is 3 1 4 4 px − x 2 • De oppervlakte van V is 3 4 4 6 p 1

• De oppervlakte van het rechterdeel is 3 4 3 4 4

4 4 (6 p − p =) 6p en dat is 4 4 3 4 6 8 p

p = keer zo groot als de oppervlakte van het linkerdeel (of: de

oppervlakte van V is 4 3 4 4 3 4 6 9 p

p = keer zo groot als die van het linkerdeel,

dus is de oppervlakte van het rechterdeel 8 keer zo groot als die van het

linkerdeel) 1

• De lengte van BO is gelijk aan 2 6

4

p + p 1

• De vergelijking 2 6

4 3

p + p = p moet worden opgelost 1 • Herleiden tot 6 2

4p =8p 1

• Het antwoord: 4

2

(6)

• _{( ) 6} ₃ 2 p

f ' x = px− x 1

• De richtingscoëfficiënt van de buigraaklijn is f ' p_p ( ) 3= p2 1 • Een vergelijking van de buigraaklijn is _y₌₃_{p x p}2 ₋ 3 ₁

• De buigraaklijn snijdt de x -as in C 1 3 ( , 0)p 1 • 23 1 3 2 8 p CA

OC = p = (en dus is de lengte van CA acht keer zo groot als de

lengte van OC) 1

Tussen twee bewegende punten

• De lengte van A'B' is x_A−x_B 1

• Beschrijven hoe het maximum van cos(3 ) cost − t gevonden kan

worden 1

• Per rondgang zijn er 4 maxima die even groot zijn 1

• Het antwoord: 1,54 1

of

• Het verschil tussen de x-coördinaat van A' en de x-coördinaat van B'

is x_A−x_B 1

• Beschrijven hoe het maximum en het minimum van cos(3 ) cost − t

gevonden kunnen worden 1

• Per rondgang zijn er 2 maxima en 2 minima die in absolute waarde even

groot zijn 1

• Het antwoord: 1,54 1

Opmerking

Als alleen het maximum van x_A−x_B ofwel x_B−x_A wordt beschouwd, voor deze vraag maximaal 2 scorepunten toekennen.

(7)

• cos(2 ) 1 sin(2 )

t t

− = − geeft cos(2 )t =sin(2 )t 1

• 1

2

sin(2 )t =cos(2t− π , dus ) cos(2 )t =cos(2t− π₂1 ) 1

• 1

2

2t= − π + ⋅ π (met k geheel) (welke geen oplossingen heeft) of 2t k 2

1 2

2t= − + π + ⋅ π (met k geheel) 2t k 2 1

• 1

2

4t= π + ⋅ π , dus k 2 t = π + ⋅ π (met k geheel) 1₈ k 1₂ 1 • Het antwoord: 1 8π t= of t=5₈π of t=1₈1π of t=15₈π 1 of • cos(2 ) 1 sin(2 ) t t

− = − geeft cos(2 )t =sin(2 )t 1 • (Een redenering met eenheidscirkel of grafieken waaruit volgt dat)

(8)

Diagonalen en gelijke hoeken

• ∠BAC= ∠BDC; constante hoek 1

• ∠BCA= ∠BDA; constante hoek 1

• Omdat ∠BDC= ∠BDA volgt: ∠BAC= ∠BCA 1

• Dus AB BC= ; gelijkbenige driehoek 1

of

• ∠AMB= ⋅∠2 ADB en ∠BMC= ⋅∠2 BDC, waarbij M het middelpunt

van de cirkel is; omtrekshoek 1

• Omdat ∠ADB= ∠BDC volgt: ∠AMB= ∠BMC 1 • Dit betekent: kleinste boog AB = kleinste boog BC 1

• Dit geeft AB BC= _{; boog en koorde} 1

of

• ∠AMB= ⋅∠2 ADB en ∠BMC= ⋅∠2 BDC, waarbij M het middelpunt

van de cirkel is; omtrekshoek 1

• Omdat ∠ADB= ∠BDC volgt: ∠AMB= ∠BMC 1 • Ook geldt AM = BM = CM (; cirkel), dus ∆AMB≅ ∆BMC; ZHZ 1

• Dit geeft AB BC= 1

• MA MC= (; straal cirkel) en BA BC= (resultaat vorige vraag), dus BM is middelloodlijn van lijnstuk AC (; middelloodlijn) 2 • AC verdeelt ∠BAD in twee gelijke hoeken, dus BC CD= (resultaat

vorige vraag) 1

• MB MD= (; straal cirkel) en CB CD= , dus CM is middelloodlijn van

lijnstuk BD (; middelloodlijn) 1

• ∠EFM = ∠EGM =90°; middelloodlijn 1 • ∠EFM+ ∠EGM =180°, dus vierhoek EFMG is een koordenvierhoek

(; koordenvierhoek) (, dus E, F, M en G liggen op een cirkel) 1 of

• ∠BDA= ∠BDC= ∠BAC= ∠CAD=α; constante hoek 1

• ∠AED=180 2° − α; hoekensom driehoek 1