Stijgende en dalende functies

Stijgende en dalende functies

Laat I het domein van een functie f zijn.

f heet















stijgend als f (x1) ≤ f (x2) strikt stijgend als f (x₁) < f (x₂) dalend als f (x₁) ≥ f (x₂) strikt dalend als f (x1) > f (x2) voor alle x1, x2 ∈ I met x₁ < x2.

Verschillende typen functies

Machtsfuncties Polynomiale functies Rationale functies Algebra¨ısche functies Trigoniometrische functies Exponenti¨ele functies Logaritmische functies Transcedente functies

(Alle functies die niet algebra¨ısch zijn.)

Transformaties van standaardfuncties

Als een functie f bekend is dan kan hiermee een nieuwe functie g worden verkregen door de grafiek van f teverschuivenin de richting van de x-as of de y-as.

Verder kan een nieuwe functie g worden verkregen door de grafiek van f tevermenigvuldigen met een factorin de richting van de x-as of de y-as.

Verschuiven

f (x) = x², −1 ≤ x ≤ 1 g(x) = f (x + 1), −2 ≤ x ≤ 0 h(x) = g(x) + 2

= f (x + 1) + 2, −2 ≤ x ≤ 0

Vermenigvuldigen met een factor

f (x) = sin x, −π

2 ≤ x ≤ π 2 g(x) = fx

2



, −π ≤ x ≤ π h(x) = −3 g(x), −π ≤ x ≤ π

Combinaties van functies

Laat f : A → R en laat g : B → R.

Laat verder ter afkorting : C = A ∩ B.

Dan worden de functies f ± g, f · g en f

g gedefinieerd door:

(f ± g)(x) = f (x) ± g(x) voor alle x ∈ C (f · g)(x) = f (x) · g(x) voor alle x ∈ C

 f g



(x) = f (x)

g(x) voor alle x ∈ C met g(x) 6= 0

De samenstelling van functies

Laat f een functie zijn met domein Af en laat g een functie zijn met domein Ag.

Dan is desamengestelde functie h van f en g gedefinieerd op A = {x ∈ Ag|g(x) ∈ A_f} en h(x) = f (g(x)).

Notatie f ◦ g = h(x).

Dus (f ◦ g)(x) = f (g(x)) voor x ∈ A

Eigenschappen van exponenten

Laten a, b ∈ R⁺

a^x+y = a^x · a^y voor alle x, y ∈ R.

a^x−y = a^x

a^y voor alle x, y ∈ R.

(a^x)^y = a^xy voor alle x, y ∈ R.

(ab)^x = a^x · b^x voor alle x ∈ R.

Exponenti¨ ele functies

Laat a ∈ R⁺.

De functie f die gegeven wordt door f (x) = a^x heetexponenti¨ele functie met grondtal a.

f (x) = 1^x g1(x) = 2^x g2(x) = ¹₂
x

= 2^−x = g1(−x) h1(x) = 3^x

h₂(x) = ¹₃
x

= 3^−x = h₁(−x) k₁(x) = 4^x

k (x) = ¹
x

= 4^−x = k (−x)

Exponenti¨ ele functies

g(x) = 2^x h(x) = 3^x k(x) = a^x

Het grondtal a is zo gekozen dat de helling van de raaklijn aan de grafiek van k gelijk is aan 1.

Exponenti¨ ele functies

g(x) = 2^x h(x) = 3^x k(x) = a^x

Het grondtal a is zo gekozen dat de helling van de raaklijn aan de grafiek van k gelijk is aan 1.

a = e