8AHCAEECA L= ?EHAI A EA

Vergelijkingen van cirkels en lijnen

Rechthoekig co¨ordinatenstelsel !

Ren´e Descartes (1596-1650) Van hem is de uitspraak:

‘Ik denk, dus ik besta!’

Vergelijkingen van lijnen

𝑚 = tan 𝛼 = 𝑦 − 𝑏 𝑥 − 𝑎

voor alle punten (𝑥, 𝑦) op de lijn.

𝑦 − 𝑏 = 𝑚 ⋅ (𝑥 − 𝑎) is dus een vergelijking van de lijn .

𝑚 heet dehellingvan deze lijn.

September 12, 2009 2

Twee lijnen heten parallel of evenwijdig als ze dezelfde helling hebben.

Maar twee vertikale lijnen zijn natuurlijk ook evenwijdig.

Twee lijnen met vergelijkingen { 𝑦 − 𝑏 = 𝑚₁ ⋅ (𝑥 − 𝑎)

𝑦 − 𝑏 = 𝑚₂ ⋅ (𝑥 − 𝑎) snijden elkaar loodrecht (

onder een hoek 𝜋 2 )

als 𝑚1 ⋅ 𝑚₂ = −1

Maar horizontale-en verticale lijnen snijden elkaar natuurlijk ook loodrecht.

Vergelijkingen van cirkels

(𝑥 − 𝑎)² + (𝑦 − 𝑏)² = 𝑟² is dus een vergelijking van de cirkel.

September 12, 2009 4

Vergelijking van een ellips

Een ellips is de verzameling punten met de eigenschap dat de som van de afstanden tot twee verschillende punten 𝐹₁ en 𝐹₂ (de brandpunten) constant is (2𝑎).

Als 𝐹₁ en 𝐹₂ als co¨ordinaten (−𝑐, 0) en (𝑐, 0) hebben dan heeft de ellips twee snijpunten 𝐴₁ en 𝐴₂ met de 𝑥-as met als co¨oordinaten (−𝑎, 0) en (𝑎, 0).

Is 𝑏² = 𝑎² − 𝑐² (𝑏 > 0) dan heeft de ellips als vergelijking 𝑥²

+ 𝑦²

= 1.

Vergelijking van een hyperbool

Een hyperbool is de verzameling punten met de eigenschap dat de absolute waarde van het verschil van de afstanden tot twee verschillende punten 𝐹₁ en 𝐹₂ (de brandpunten) constant is (2𝑎).

Als 𝐹₁ en 𝐹₂ als co¨ordinaten (−𝑐, 0) en (𝑐, 0) hebben

dan heeft de hyperbool twee snijpunten 𝐴₁ en 𝐴₂ met de 𝑥-as met als co¨oordinaten (−𝑎, 0) en (𝑎, 0).

Is 𝑏² = 𝑐² − 𝑎² dan heeft de hyperbool als vergelijking 𝑥²

𝑎² − 𝑦² 𝑏² = 1.

September 12, 2009 6

Vergelijking van een parabool

Een parabool is de verzameling punten met de eigenschap dat de afstand tot een gegeven punt 𝐹 (het brandpunt) gelijk is aan de afstand tot

een gegeven lijn (de richtlijn).

Als 𝐴 en 𝐹 als co¨ordinaten (−𝑝

2, 0) en (𝑝

2, 0) hebben

dan heeft de parabool als vergelijking 𝑦² = 2𝑝 𝑥.

De hyperbool heeft als asymptoten 𝑦 = ±𝑏 𝑎𝑥.

Deexcentriciteit𝑒 is gelijk aan de afstand van 𝐹𝑖 tot 𝑂 gedeeld door de afstand van 𝐴_𝑖 tot 𝑂.

(De index 𝑖 is hierbij afwezig of gelijk aan 1 of 2.) Er geldt dus

0 < 𝑒 < 1 voor de ellips,

𝑒 > 1 voor de hyperbool en 𝑒 = 1 voor de parabool.

September 12, 2009 8

De hyperbool heeft als asymptoten 𝑦 = ±𝑏 𝑎𝑥.

Deexcentriciteit𝑒 is gelijk aan de afstand van 𝐹𝑖 tot 𝑂 gedeeld door de afstand van 𝐴_𝑖 tot 𝑂.

(De index 𝑖 is hierbij afwezig of gelijk aan 1 of 2.) Er geldt dus

0 < 𝑒 < 1 voor de ellips, 𝑒 > 1 voor de hyperbool en 𝑒 = 1 voor de parabool.

Als niet (0, 0) maar (ℎ, 𝑘) de top is van de parabool en het centrum van de ellips en de hyperbool dan worden hun vergelijkingen

(𝑦 − 𝑘)² = 2𝑝 (𝑥 − ℎ) (𝑥 − ℎ)²

𝑎² + (𝑦 − 𝑘)² 𝑏² = 1 (𝑥 − ℎ)²

𝑎² − (𝑦 − 𝑘)² 𝑏² = 1

September 12, 2009 9

Functies

𝐴, 𝐵 zijn verzamelingen.

Een functie van 𝐴 naar 𝐵 voegt aan elk element van 𝐴 precies

´e´en element van 𝐵 toe.

Zo’n functie wordt meestal gegeven door eenvoorschrift𝑓 .

𝐴 heet hetdomein, 𝐵 heet hetcodomein,

{𝑓 (𝑥) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} ⊂ 𝐵 heet hetbereiken

{(𝑥, 𝑓 (𝑥)) ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} heet degrafiekvan de functie.

Manieren om een functie te representeren

Verbaal (d.m.v. woorden) Numeriek (d.m.v. een tabel)

Visueel (d.m.v. een diagram of een tekening van de grafiek) Algebra¨ısch (d.m.v. een functievoorschrift)

September 16, 2009 2

Vertikale lijntest

Een kromme in het platte vlak is de grafiek van een functie als elke vertikale lijn deze grafiek ten hoogste ´e´en keer snijdt.

Een functie 𝑓 heet stuksgewijs gedefinieerd als een voorschrift op disjuncte delen van het domein van 𝑓 verschillend is.

Even en oneven functies

Laat het domein van een functie 𝑓 een symmetrisch interval 𝐼 rond 0 zijn.

Dan heet 𝑓

{ even als 𝑓 (−𝑥) = 𝑓 (𝑥)

oneven als 𝑓 (−𝑥) = −𝑓 (𝑥) voor alle 𝑥 ∈ 𝐼.

September 16, 2009 4

Stijgende en dalende functies

Laat 𝐼 het domein van een functie 𝑓 zijn.

𝑓 heet

⎧





⎨





⎩

stijgend als 𝑓 (𝑥1) ≤ 𝑓 (𝑥2) strikt stijgend als 𝑓 (𝑥₁) < 𝑓 (𝑥₂) dalend als 𝑓 (𝑥₁) ≥ 𝑓 (𝑥₂) strikt dalend als 𝑓 (𝑥1) > 𝑓 (𝑥2) voor alle 𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐼 met 𝑥₁ < 𝑥2.

Verschillende typen functies

Machtsfuncties Polynomiale functies Rationale functies Algebra¨ısche functies Trigoniometrische functies Exponenti¨ele functies Logaritmische functies Transcedente functies

(Alle functies die niet algebra¨ısch zijn.)

September 16, 2009 6

Transformaties van standaardfuncties

Als een functie 𝑓 bekend is dan kan hiermee een nieuwe functie 𝑔 worden verkregen door de grafiek van 𝑓 teverschuivenin de richting van de 𝑥-as of de 𝑦-as.

Verder kan een nieuwe functie 𝑔 worden verkregen door de grafiek van 𝑓 tevermenigvuldigen met een factorin de richting van de 𝑥-as of de 𝑦-as.

Verschuiven

𝑓 (𝑥) = 𝑥², −1 ≤ 𝑥 ≤ 1 𝑔(𝑥) = 𝑓 (𝑥 + 1), −2 ≤ 𝑥 ≤ 0 ℎ(𝑥) = 𝑔(𝑥) + 2

= 𝑓 (𝑥 + 1) + 2, −2 ≤ 𝑥 ≤ 0

September 16, 2009 8

Vermenigvuldigen met een factor

𝑓 (𝑥) = sin 𝑥, −𝜋

2 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋 2 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥

2 )

, −𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋 ℎ(𝑥) = −3 𝑔(𝑥), −𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋

Combinaties van functies

Laat 𝑓 : 𝐴 → ℝ en laat 𝑔 : 𝐵 → ℝ.

Laat verder ter afkorting : 𝐶 = 𝐴 ∩ 𝐵.

Dan worden de functies 𝑓 ± 𝑔, 𝑓 ⋅ 𝑔 en 𝑓

𝑔 gedefinieerd door:

(𝑓 ± 𝑔)(𝑥) = 𝑓 (𝑥) ± 𝑔(𝑥) voor alle 𝑥 ∈ 𝐶 (𝑓 ⋅ 𝑔)(𝑥) = 𝑓 (𝑥) ⋅ 𝑔(𝑥) voor alle 𝑥 ∈ 𝐶 ( 𝑓

𝑔 )

(𝑥) = 𝑓 (𝑥)

𝑔(𝑥) voor alle 𝑥 ∈ 𝐶 met 𝑔(𝑥) ∕= 0

September 16, 2009 10

De samenstelling van functies

Laat 𝑓 een functie zijn met domein 𝐴𝑓 en laat 𝑔 een functie zijn met domein 𝐴𝑔.

Dan is desamengestelde functie ℎ van 𝑓 en 𝑔 gedefinieerd op 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝐴𝑔∣𝑔(𝑥) ∈ 𝐴_𝑓} en ℎ(𝑥) = 𝑓 (𝑔(𝑥)).

Notatie 𝑓 ∘ 𝑔 = ℎ(𝑥).

Dus (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓 (𝑔(𝑥)) voor 𝑥 ∈ 𝐴

Eigenschappen van exponenten

Laten 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ⁺

𝑎^𝑥+𝑦 = 𝑎^𝑥 ⋅ 𝑎^𝑦 voor alle 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ.

𝑎^𝑥−𝑦 = 𝑎^𝑥

𝑎^𝑦 voor alle 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ.

(𝑎^𝑥)^𝑦 = 𝑎^𝑥𝑦 voor alle 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ.

(𝑎𝑏)^𝑥 = 𝑎^𝑥 ⋅ 𝑏^𝑥 voor alle 𝑥 ∈ ℝ.

September 16, 2009 7

Exponenti¨ ele functies

Laat 𝑎 ∈ ℝ⁺.

De functie 𝑓 die gegeven wordt door 𝑓 (𝑥) = 𝑎^𝑥 heetexponenti¨ele functie met grondtal 𝑎.

𝑓 (𝑥) = 1^𝑥 𝑔1(𝑥) = 2^𝑥 𝑔2(𝑥) = (₁

2

)𝑥

= 2^−𝑥 = 𝑔1(−𝑥) ℎ1(𝑥) = 3^𝑥

ℎ₂(𝑥) = (₁

3

)𝑥

= 3^−𝑥 = ℎ₁(−𝑥) 𝑘₁(𝑥) = 4^𝑥

𝑘₂(𝑥) = (₁

4

)𝑥

= 4^−𝑥 = 𝑘₁(−𝑥)

Exponenti¨ ele functies

𝑔(𝑥) = 2^𝑥 ℎ(𝑥) = 3^𝑥 𝑘(𝑥) = 𝑎^𝑥

Het grondtal 𝑎 is zo gekozen dat de helling van de raaklijn aan de grafiek van 𝑘 gelijk is aan 1.

𝑎 = 𝑒

September 16, 2009 9

Injectiviteit/surjectiviteit

Een functie 𝑓 : 𝐴 → 𝐵 heet´e´en-´e´en duidigof injectief als 𝑓 (𝑥1) ∕= 𝑓 (𝑥2) voor alle 𝑥1 ∕= 𝑥₂, 𝑥1, 𝑥2∈ 𝐴

Een functie 𝑓 : 𝐴 → 𝐵 heetop of surjectiefals 𝐵 het bereik van 𝑓 is.

Een functie die zowel injectief als surjectief is heetbijectief.

Inverse functies

Horizontale lijntest

Een functie is injectief als als elkehorizontalelijn haar grafiek ten hoogste ´e´en keer snijdt.

Als 𝑓 : 𝐴 → 𝐵 een bijectieve functie is dan bestaat er een functie 𝑔 : 𝐵 → 𝐴 met de eigenschap dat

𝑓 (𝑥) = 𝑦 ⇐⇒ 𝑔(𝑦) = 𝑥.

De functie 𝑔 wordt de inverse van 𝑓 genoemd en genoteerd als 𝑓⁻¹. Dus

𝑓 (𝑥) = 𝑦 ⇐⇒ 𝑓⁻¹(𝑦) = 𝑥.

September 16, 2009 11