UvA-DARE is a service provided by the library of the University of Amsterdam (https://dare.uva.nl)
E.W. Beth als logicus
van Ulsen, P.
Publication date
2000
Link to publication
Citation for published version (APA):
van Ulsen, P. (2000). E.W. Beth als logicus. ILLC dissertation series 2000-04.
General rights
It is not permitted to download or to forward/distribute the text or part of it without the consent of the author(s)
and/or copyright holder(s), other than for strictly personal, individual use, unless the work is under an open
content license (like Creative Commons).
Disclaimer/Complaints regulations
If you believe that digital publication of certain material infringes any of your rights or (privacy) interests, please
let the Library know, stating your reasons. In case of a legitimate complaint, the Library will make the material
inaccessible and/or remove it from the website. Please Ask the Library: https://uba.uva.nl/en/contact, or a letter
to: Library of the University of Amsterdam, Secretariat, Singel 425, 1012 WP Amsterdam, The Netherlands. You
will be contacted as soon as possible.
Dee logische m a c h i n e
"Wetenschap"Wetenschap zoekt naar redeneer machine, droom die werkelijkheid kan worden, titanenwerktitanenwerk dat altijd vruchten afwerpt." l
7.11 Tableaus en bewijsmachines
7.1.11 B e t h s k e n n i s m a k i n g met mechanisch bewijzen
E e nn e e r s t e a a n l o o p
Hett onderzoek n a a r de relaties tussen logica en bewijsmachines b e s t o n d al lang voorr Beths bemoeienissen niet dit onderwerp. B e t h h a d evenwel het voor-deel,, dat in zijn tijd Post en Turing ideële machines ontwikkeld h a d d e n en err bovendien echte machines geconstrueerd werden, waarop men p r o g r a m m a ' s konn draaien. Al in 1955 kon B e t h in de krant lezen, d a t men niet alleen in de Verenigdee S t a t e n m e t dergelijke projecten bezig was, m a a r ook in het Neder-landsee Delft: 2
"Tott de superwerken behoort voorts de constructie van een logica-machine, een au-tomatischh werkende machine, die problemen uit de oordeelslogica oplost. De machine kann problemen oplossen waarin vijf oordelen en zeven logische operaties voorkomen. Allee mogelijke oplossingen van een bepaald probleem worden achtereenvolgens gepro-beerd.. De oplossingen die voldoen worden op de geautomatiseerde telmachine uit-getypt.. Er is thans een dergelijke machine met een capaciteit van 15 oordelen en 24
1
Kopp van een stukje door Beth in De Volkskrant, van 25 maart 1961. Dit stukje behelsde dee mogelijkheden van Beths komende Euratom-contract. Het is niet met zekerheid te zeggen off Beth zelf de kop bedacht heeft of dat dit door een redacteur gebeurd is. De afsluiting van dee werkgroep werd opnieuw door een artikel in de Volkskrant {van 30 oktober 1964) gesierd; ditt was van de hand van K.L. de Bouvère, en had als kop 'Denkmachine, een dom kind' mett als inhoud automatisering en het belang van de Amsterdamse Euratom-groep (uit het kwartt aal rapport van A. Heyting over de periode van 1 oktober 1964 tot 31 december 1964).
gg van Delfts Hogeschoolfonds. Het Handelsblad. 25 oktober 1955. De construc-teurr Verhagen stelde voor in Amsterdam een demonstratie te komen geven (Brief Beth Delftss Hogeschoolfonds, 25 oktober 1955. Brief C.J.D.M. Verhagen Beth. 21 m a a r t 1956. Brieff Beth C.J.D.M. Verhagen, 12 oktober 1956.).
logischee operaties in bewerking."
Eenn volgende s t a p b e s t a a t er uit om niet alleen n a a r een combinatie tussen ' a u t o m a t i s c hh werkende machines1 en logica t e zoeken, m a a r ook om aan prak-tischee toepassingen te werken: a u t o m a t i s c h e ge ge vens-be werking, vertaalarbeid, enn — om in de terminologie van Beth te blijven — de ' d e n k m a c h i n e s ' . En ook hiervoorr h a d B e t h , zij het van verre, belangstelling. Dit u i t t e zich in deelname a a nn het E u r a t o n i - p r o j e c t . Er waren wel kapers op de k u s t . Zo was daar de ontwikkelingg van de denkende smulpan met pootjes: 3 "De d e n k e n d e smulpan iss in de winkels verschenen. E n de iiaani zegt het al: het is een electrische pan, w a a rr m e n lekker in kan koken en die p a n d e n k t voor u. H e t is een plat model vann Engels fabricaat (Morphy-Richards) op pootjes." D e z e prioriteitenbedrei-girigg o n t l o k t e a a n Beth — in de marge van het krantenknipsel — h e t benauwde c o m m e n t a a r :: "Zijn ze ons toch een slag vóór?" Voor alle duidelijkheid zij er hierr vernield, d a t Beth niet echt tot doel had om practischc industrieële toepas-singenn t e leveren. Met betrekking tot zijn E u r a t o m - p r o j e c t m e l d d e Beth: 4 "De bepalingenn t e r z a k e van octrooien, licenties e.d. zijn weliswaar tamelijk onereus, m a a rr dit weegt voor rnij niet zwaar, want de bijzondere a a r d van mijn onderzoek doett o p k o r t e termijn geen economisch of industrieëel e x p l o i t e e r b a r c uitkomsten verwachten." "
B e t hh b r a c h t twee zaken bij elkaar: zijn tableaus en beslisbare elementair-logischee theorieën. Hasenjaeger had al de mogelijkheid g e o p p e r d van een ma-c h i n e - p r o g r a m m aa voor een bewijs-mama-chine, die gekoppeld is a a n de tableau-m e t h o d e .55 B e t h h a d hier ook al a a n gedacht: 6 "Der G e d a n k e einer 'Beweis-machine11 ist m i r natürlich auch nicht fremd. Eigentlich h a b e n wir jetzt schon eincc solche Machine, wenn sie auch mit Handkraft a r b e i t e t . " Afgezien van dit grapjee m e r k t e hij al in B e t h (19556) o p : "As these formal derivations have beenn c o n s t r u c t e d , so to speak, in a purely mechanical m a n n e r (we have indeed comee a l a r m i n g l y near t h e realisation of t h e 'ideal1 of a 'calculus ratiocinator1, a
'logicall m a c h i n e ' ) . "
Tochh zag B e t h wel de beperkingen op, j a zelfs de onmogelijkheid van, een algemenee logische machine in. Hierop was hij volgens een brief a a n Hasenjaeger gestotenn bij het hanteren van zijn t a b l e a u - m e t h o d e . B e t h s a r g u m e n t verliep doorr middel van bomen niet knopen, die een r e p r e s e n t a t i e v a n t a b l e a u s kunnen vormen.. Volgens Beth waren er de nodige bedenkingen: 7
"" Ich bin da auf eine sehr einfache Uberlegung zur Begriindung der Unmöglichkeit
^Denkendee smulpan, in 'Nieuws over nieuwigheden1, in de krant?? [bewaarplaats Beth Archief]. .
4Brieff Beth E.A.C, Meijlink (Ministerie van Onderwijs, Kunsten en Wetenschappen.).
88 oktober 1960, De contracten gaven in het begin moeilijkheden d a a r er tot Beth slechts driee directe contracten door E u r a t o m met Nederlandse instellingen waren afgesloten. Voor de anderee contracten, zie brief E.A.C. Meijlink Beth, 27 september 1960, ('s Gravenhage): TNO voorr medisch-biologisch onderzoek, KEMA voor de constructie van een suspens ie-reactor, TH Eindhovenn voor onderzoek naar warmt e-overdracht.
5
Brieff G. Hasenjaeger Beth, 4 februari 1955, (Munster).
ö
Brieff Beth G. Hasenjaeger, 8 februari 1955.
einerr logischen Maschine gestossen. Wenn das Tableau sich ins Unendliche verliert, istt natürlich ein Kompaktizitatsschluss nötig. Den liefere ich in der Weise. dass ich erstt das Tableau durch einen binaren Baum ersetze, und dann beweise. dass jeder solcherr Baum, wenn er unendlich viele Punkte enthalt, auch einen unendlichen Zweig enthalt.. Wenn man einen binaren Baum punktweise konstruiert (wie es eine logische Maschinee tun würde), so kommt niemals ein Moment, wo man weiss, der Baum enthalt unendlichh viele Punkte. Denn wenn k eine natürlkhe Zahl ist. und B ein Baum mit unendlichh vielen Punkten, so gibt es auch ein Baum B* der genau aus den k ersten Punktenn von B besteht."
Voorr dit laatste ontwikkelde Beth als gedachtenexperiment een 'redeneer-m a c h i n e '' 'redeneer-met lichtjes: 8 oranje, rood en groen. M e n stelt de machine in op premissenn A | , A 2 , - . . , A f c en de gewenste conclusie B. De machine g a a t nu werkenn (om wellicht A i , A 2 , . . . , Ak met B te verbinden):
1.. Op een gegeven m o m e n t zijn de verdere toepassingen van de reductie-regels voorr semantische t a b l e a u s niet meer mogelijk zonder d a t er een afsluiting is opgetreden:: een eindig tegenvoorbeeld, B is niet logisch afleidbaar uit A\, A o , . . . , Ak-E rr g a a t een oranje lichtje branden.
2.. Een geval van afsluiting, geen tegenvoorbeeld mogelijk, een rood lichtje: B afleidbaarr uit A i , A 2 , . . . , A*.
3.. De machine b e l a n d t in een regressus a d infinitum, er g a a t een groen lichtje b r a n d e n . .
N a a s tt het uiterlijk is er ook een innerlijk: voor r o o d en oranje verwacht m e n dee constructie van t a b l e a u en boom. Het l a a t s t e geval (groen) levert d a n moei-lijkhedenn op: een puntsgewijze constructie van zo een boom is niet mogelijk, zoalss B e t h al tegen Hasenjaeger opmerkte.9
N a a rr analogie van C h u r c h (1935), Church (19366) is de constructie van b o -v e n s t a a n d ee logische (rood-oranje-groen) machine niet mogelijk. Een b e p e r k t e (rood-oranje)) machine g a a t volgens Beth wel.
B e t h ss m e d e o n d e r z o e k e r s
E rr waren in de vijftiger j a r e n ook anderen die zich bezig hielden m e t snel enn a u t o m a t i s c h bewijzen: H. Wang, A. Robinson, de Zweedse groep r o n d S.. K a n g e r met leerlingen D . Prawitz en N. Voghera, B e t h s leerling P.C. Gilmore, K.. Schutte en H.L. G e l e r n t e r .1 0 Door een deel van deze onderzoekers werd
8M s .. E.W. Beth, De formele logica en het uneindiyheidsbegrip (ongepubl.), maar ook (Beth
19556). .
9Hoee Beth met deze denkbeelden al die jaren ontsnapt is aa.11 het aanstormende
Amster-damsee blik blijft opmerkelijk.
1 0
Eenn algemene indruk over het onderzoek wordt gegeven in Beths Observation sur un
pro-jetjet de recherche (een in de tekst vermelde datum geeft 1961 aan). Met dit manuscript kan
menn een verdere aanvullen geven: M. Davis en H. P u t n a m (in 1959), B. Dunham, R. Fridshal, G.L.. Sward (in 1959), N. Rochester (in 1958), T. More (in 1956), A. Newell, H.A. Simon en J . C .. Shaw, Aan de afdeling recursie en abstracte automaten zal gezien de dan onafzienbare lijstt maar niet begonnen worden. Een aantal van deze mensen kon men beluisteren tijdens eenn IBM-colloquium 'Nonnumerical data processing symposium' in het IBM World Trade Europeann Education Centre te Blaricum (24- 28 april 1961), waaraan ook door Beth met zijn
gebruikk g e m a a k t ran Skolem-functies met aansluitend Herbrand-universa en a n d e r ee comprimerings- of vereenvoudigings-middelen. Ook de m e t h o d e n van G e n t z e nn werden in dit kader gebruikt. S. K a n g e r gebruikte al resolutie-methoden enn middelen om een zoekpad niet verder (tevergeefs of zonder einde) af te ho-evenn lopen. H.A. Simon legde de prioriteit van het gebruik v a n o p tableaus gebaseerdee bewijs-maehines niet bij B e t h m a a r bij T . More: n "Incidentally, I
t h i n kk t h e first person to suggest using something like your tableaus in a theorem-provingg m a c h i n e was Trenchard More, who h a d this idea in 1956, a n d wrote a M a s t e r ' ss thesis on it u n d e r Shannon at M.I.T. His work on this wras simultaneous with,, a n d i n d e p e n d e n t of our [Newell en Simon1"] first machine p r o g r a m . "
B e t hh zelf was al enige tijd bezig na te denken over een mechanisering van het bewijzen.. Volgens hem waren bepaalde bewijs-methoden, die lijken o p semantis-chee t a b l e a u s en afleidingen, al te vinden bij Aristoteles (384-322), Lullus (1232-1316),, D e s c a r t e s (1596-1650), Locke (1632-1704), Berkeley (1685-1753), Hume (1711-1776)) en K a n t ( 1 7 2 4 - 1 8 0 4 ) .u Al in een drietal artikelen van B e t h1 4 kwamm een 'logische m a c h i n e ' ter sprake zonder d a t hij al werkelijk — "I a m not primarilyy interested in technological m a t t e r s " . , 5 — a a n een realisatie hiervan dacht.. Het bezoek a a n h e t 'Summer I n s t i t u t e for Symbolic Logic', Cornell Uni-versityy 1957 was in dit opzicht stimulerend voor B e t h . Hier h o o r d e hij Gelernter mett Theorem proving by machine, m a a r ook A. Robinson m e t Proving a
the-oremorem (as done by man, logician, or machine) (Robinson 1957a). Hier vernam
B e t h ,, d u s al voor het bericht van Simon, van het b e s t a a n van T . M o r e met zijn 'bewijs-machine'.1 66 Dit alles droeg bij tot het schrijven van On machines which
proveprove theorems (Beth 19586).1 7
7.1.22 Tableaus en Gentzens m e t h o d e n
H e u r i s t i e k :: v o o r s e n t e g e n s
Bijj m e c h a n i s a t i e van bewijzen kan men m e t of zonder heuristiek t e werk gaan. H.A.. Simon m a a k t e volgens de aloude t r a d i t i e een onderscheid tussen heuris-tischh en niet-heuristisch. Hij hield zich vooral bezig met de b e s t u d e r i n g van
Euu rat om-groep werd deelgenomen. Ook waren aanwezig M.P. Scliützenb erger en N. Chom-skyy met hun algebraïsch-taalkundig onderzoek. Het werk van Chomsky werd door een deel vann de Euratom-groep bestudeerd. (Avram Noam Chomsky, *18928). "Uitgegeven bundel i.v.m.. IBM-dagen in Blaricum: Computer programming and formal systems (ed. P. Braffort, D.. Hirschberg), Amsterdam (North Holland), 1963; waarin ook Beth (1961e). P. Braffort wras
hett hoofd Euratom-reken centrum te Ispra, D. Hirschberg was werkzaam bij IBM-Brussel.
n
B r i e ff H.A. Simon Beth, 11 september 1959, (Pittsburgh. (Carnegie Institute of Tech-nology)). .
1 2
A .. Newell en H.A. Simon hebben samen en afzonderlijk diverse artikelen geschreven over mechanisatie,, ook rn.b.t. logica, o.a, Newell & Simon (1956).
1 3Ziee Beth (19636) voor een historisch overzicht. De Catatlaanse dichter en wijsgeer
Ray-mondd Lull f—Raimundus Lullus, Lully], zie ook Dumitriu (1977), Vol. II.
1 4
{Bethh 19556), (Beth 1956e) (meetkundig bewijs), (Beth 1957c).
1 5Brieff Beth H.A. Simon, 20 september 1959 1 6
Trenchardd More, Deductive logic for automata, 1958 {aanwezig in Archief E.W. Beth.). Ziee ook brief Beth - H.A. Simon, 20 september 1959.
1 7
hett menselijke denken en niet zozeer m e t het ontwerpen van bewijsmachines; Simon:: 18
"II would just say two things about heuristic versus nonheuristic techniques for finding proofs.. First, a great deal of the motivation of our work stems from an interest in understandingg human thinking, rather than in designing machines to prove theorems efficiently.. Second, insofar as we are interested in the latter, it is in areas where there aree no decision procedures or where the available algorithms are hopelessly inefficient (e.g.,, chess or Euclidean geometry).1'
B e t hh was daarentegen van mening, d a t m e n niet zo een sterk onderscheid kan m a k e nn tussen heuristische en niet-heuristische m e t h o d e n : 1 9 "The m e t h o d of semanticc tableaux r a t h e r suggests a striking analogy between 'natural t h o u g h t ' a n dd c e r t a i n m e t h o d s of formal derivation, an analogy which based on t h e fact t h a tt b o t h procedures a r e m o t i v a t e d by an underlying semantics." En meer nog, tegenn Gelernter: 2 0
"Logicc itself can be considered as a system of heuristics. It has both the advantages and thee disadvantages of being a complete system of heuristics. But Gentzen's subformula
principleprinciple implies that even in this respect it is not as bad as it seems. In my opinion,
thee best way to obtain a practical system of heuristics would be to start from a suitable versionn of logic and then to give the machine certain additional instructions, to be used iff its capacity is exhausted."
H.L.. Gelernter was bezig heuristiek t e onderzoeken door middel van het beschouwenn van meetkundige intuïtie en m e t behulp van de t r a c t a t e n van Polya. B e t hh liet zich niet onverdeeld gunstig over deze basis van Gelernter uit en vond, d a tt de uiteindelijke grondslag geleverd zou kunnen worden door het werk van Gentzen:: 2 1
"[T]hatt the procedures obtained from these sources usually suggest theorems rather thann proofs of theorems. If they help us in finding proofs it is in many cases be-causee they suggest theorems which can be used as lemmas. [... ] We know at present thousandss of mathematical theorems and for each theorem one or more proofs. Pre-sumablyy each theorem and each proof has been suggested by some heuristic procedure. Inn some cases, these heuristic procedures are known, in most cases they are not. Those heuristicc procedures which I have come across seem to have a very restricted range of application.. It follows apparently that the number of heuristic procedures, known or unknown,, but actually applied in at least one case, must be extremely large. If we tryy to reduce these numerous procedures to relatively few underlying principles, these principless will be either so vague or so abstract that their heuristic value will be rather slight.. If we continue the reduction of heuristic principles, rejecting those which are tooo vague to be used, then I have a very strong suspicion that very soon nothing will bee left except something like the rules of inference of Gentzen:s system NK.;'
D ee l a a t s t e uitspraak van B e t h in het oog houdend is het niet vreemd te zien, d a tt n a a s t de al opgesomde vereenvoudigingsmethoden het vooral de m e t h o d e n
1 8
Brieff H.A. Simon Beth, 11 september 1959, (Pittsburgh). Zie verder ook ().
19
Brief.. Beth H.A. Simon, 20 september 1959.
2 0Brieff Beth H.L. Gelernter, 19 januari 1958. Cursief: Beths onderstreping. 3 1
vann Gentzen met hun varianten zullen zijn, die een hoofdrol g a a n spelen bij dee diverse pogingen t o t bewijs-mechanisatie. Dit was ook zo voor de Zweedse groep,, b e s t a a n d e uit S. Kanger, D. P r a w i t z , H, P r a w i t z en N. Voghera. K a n g e r wass al langer bezig m e t het werken aan bewijs theorie. Zijn m e t h o d e geleek s t e r k opp die van Beth: n " T h e r e is indeed a striking similarity between your work o n Provabilityy a n d mine on Semantic Entailment.1' 2 3 D e groep o m K a n g e r heen hieldd zich in die periode bezig met het ontwikkelen van een m a c h i n e - p r o g r a m m a voorr deductie binnen predicaat-logica: 24 "Two of my [Kangers] pupils t h e r e (II wish to mention mr D a g Prawitz in particular) have recently c o m p l e t e d a machinee p r o g r a m for deduction in the predicate logic. It is based p r i m a r i l y on yourr Semantic entailment . . . a n d ray Provability in logic." Als volgt omschreef K a n g e rr deze werkzaamheden: 2 5
"Thee program proved successful, although it requires too much time for being of any practicall use. Now simpler methods are in progress: right now for instance, I am issueingg a mimeographed memorandum (in Swedish) suggesting a proof method for thee predicate logic with identity and functional symbols. The method is built up of partiall procedures. One of these covers identity (so to speak). The other one covers truthh functions and a fragment of quantifier theory. It contains a separate procedure forr excluding unfruitful substitutions for the quantified variables. The final procedure yieldss an iteration of the second one in order to complete the method. The method seemss promising, in particular it has some virtues as a partial decision method: we mayy rather easily discover various kinds of regularities in the iteration process which mightt yield a negative decision of provability. But it remains to see to what extent thee method fits for machine computation."
Hierr kon Beth o p d a t moment nog niet tegen op: 2 6 "I a m pleased t o see t h a tt your s t u d e n t s have actually gone into t h e practical realisation of proof proceduress by m e a n s of electronic c o m p u t e r s . This would hardly possible for me,, b u t I hope to find some people here who are able and willing t o work o n thiss problem." B e t h s h o o p zou eerder in vervulling g a a n d a n hij o p d a t m o m e n t besefte. .
Inn deze beginperiode zag alles er n o g niet zo florissant uit: 2
"D'autree part, dans les recherches de D. Prawitz. H. Prawitz & N. Voghera. la capacité duu computeur utilise (Ie Facit EDB des AB Atvidabergs Industrier, Stockholm), s'est avereee relativement faible. En effet, voici la deduction de la these: VxVt/V2((i4(x,y) A
A(y,z))A(y,z)) -» A{x,z)) -+ (Vx^A(x,x) -» VxVy(A(x,y) - - . ^ ( y , x ) ) . [. .. ]2 0 Pour cette
2 2Brieff Beth S. Kanger, 17 januari 1959. 2 3
Provability:: (Kanger 1957). Entailment: (Beth 1955fr).
2 4
Brieff S. Kanger - Beth, 16 oktober 1958, (Uppsala).
2 5Brieff S. Kanger Beth, 16 oktober 1958, (Uppsala). 2 6
Brieff Beth - S. Kanger. 17 januari 1959
2 7C i t a a tt uit Beth, Observations sur un projet de recherche. Voor 'hardware'-opsomming,
ziee ook het latere Beth (1962a), p. 120. Beth p u t t e uit Prawitz, Prawitz & Voghera (I960); dit hadd hij toegezonden gekregen zoals blijkt uit de begeleidende brief D. Prawitz Beth, 9 juni 1959,, (Stockholm). N. Voghera verzorgde de programmering, zoals beschreven in Prawitz et al.. (1960). Wie geïnteresseerd is naar de hardware van de Facit, e t c , zie dit artikel op p. 119; menn ziet daar de geheugen trommels aan het werk.
2 8
deductionn simple, la machine demanda déja 12 secondes. Bien que, en soi. ce résultat estt déja remarquable, il est évident que, pour arriver a des deductions inédites il faut quee nous disposions d;une capacité beaucoup plus considerable."
Naastt het omvangrijke P r a w i t z et al. (1960), waarin men de details in.b.t. de programmeringg kan vinden, was er ook een soort ' a b s t r a c t ' , d a t door D . P r a w i t z naarr B e t h gestuurd was: uit dit a b s t r a c t citerend: 2 9
"Inn its present form, this language includes a (rather liberal) maximum limit on the lengthh of the individual formulas. Further there are some methodological restrictions posedd by the present program: the number of different individual constants available forr substitution of variables is limited to 15, and the number of branching points on anyy single full deduction branch is limited to 40. For any problem expressible within thee required language the machine will continue the construction and the writing out off the full proof (provided there is a proof) until it is completed or stopped by reaching anyy of the methodological limits mentioned above or the limits of available memory space." "
Inn Kanger (1963) koint m e n n a a s t de uitleg van zijn d u m m y - m e t h o d e o p p.. 90 ook kritiek op P r a w i t z et al. (1960) tegen:
"Thee main difficulty is this: Suppose we have reached a sequent at a certain level inn a branch of the tree. Then it frequently happens that we may continue the branch inn more than one way. And it may happen that some of these ways are more favorable thann others from the viewpoint of simplicity. Thus our routine ought to involve some devicess for choosing the favorable ways of continuing the branches. Without good devicess of this sort the proof method will be much time-consuming. The lack of such devicess was the source of trouble with the Prawitz-Voghera program."
Tott o p zekere hoogte lopen de m e t h o d e n van Beth en K a n g e r gelijk op. Bijj de mechanische equivalent van 'heuristiek' — voorzover m e n d a a r van iets dergelijkss kan spreken — h o u d t dit o p . Er zijn goede en slechte m e t h o d e n o m te pogenn een bewijs te leveren, ook m o e t de bewijsniachine de mogelijkheid hebben omm bij een doodlopend (eindeloos) lopend pad, op zijn schreden te kunnen terugkeren.. Ook bij een niet eindeloos p a d kan men door onjuiste keuzen er somss lang over doen, zoals de British Museum-methode leert.3 0
Bethh wenste zich hiertoe van de uitkomsten van statistische m e t h o d e n te bedienenn en deze als een heuristiek te gebruiken. Kanger (1957) hield zich a a n mechanischee procedures, waarbij hij bij quantor-afbraak gebruik m a a k t e van hett inzetten van 'dummies1.3 1 Met d u m m i e s worden bedoeld vrije variabelen, diee voor willekeurige constanten s t a a n . Waar precies de twee m e t h o d e n uit
D.. Prawitz. H. Prawitz, N. Voghera. Electronic computer realization of an effective proof
procedureprocedure for the predicate calculus of first order, 3 pp.. dagtekening Stockholm, October
1958;; zie ook de begeleidende brief D. Prawitz - Beth, oktober 1958, (Stockholm). Bedoeld voorr JSL volgens brief Beth D. Prawitz, 17 januari 1959.
3 0Alss men maar over genoeg schrijfmachines, tijd en Zweden beschikt, dan üal men
uitein-delijkk over alle boeken van bet British Museum kunnen beschikken. Prawitz werkte overigens lieverr met apen dan rnet Zweden, zie hiertoe Prawitz (I960), p. 102, noot 3. De andere ver-siee is, dat men voor de oplossing van een probleem alle mogelijkheden afloopt en geen enkel boekjee overslaat: een onvoordelig algorithme.
3 1
elkaarr gaan lopen valt goed te zien aan de hand van P r a w i t z (1960). P r a w i t z g a a tt daarbij in p a r a g r a a f twee, p . 109 c.v., uit van h e t in B e t h (19586), p- 56, gehanteerdee voorbeeld 'is VxVy{A(x)vB(y)) -> {VxA(x) W t / f % ) ) een stelling?' Doorr onjuiste keuzen bij de invoer van nieuwe individuele symbolen komt m e n t e s t a a nn voor de volgende moeilijkheid: 3 2 "Nevertheless, a mechanical application off t h e m e t h o d of s e m a n t i c tableaux will naturally lead t o the introduction of individualss which d o n o t contribute to t h e closure of t h e tableau, and t h u s t o a p r e m a t u r ee e x h a u s t i o n of t h e capacity of t h e machine."
All m e t al heeft m e n drie problemen op te lossen:
—— 1. Controle of d e loop van een gegeven bewijs wel a a n v a a r d b a a r is. —-- 2. Laten zien of een formule A wel een stelling is.
—— 3 . P r o d u c e r e n v a n stellingen. P r o b l e e mm 2 kwelt h e t meest: 3 3
"[W]ee have hardly any sound basis for an estimate of n(A) and, if we simply make aa guess as to its value, we still have to select those operations which are most likely too be successful;34 in other words, we have to provide the machine with certain —
heuristicc — devices. In this connection. I should like to offer the following suggestion. Theree are a number of solvable cases of the decision problem; this means, essentially, thatt for certain classes of formulas A a number n(A) can be effectively computed. Now runn a large number of formulas A through the machine, and make a statistical analysis off those operations which prove successful and those which are not. Then provide the machinee with such instructions as to give preference to the more successful operations. Thiss might considerably enhance the efficiency of the machine."
Bijj probleem 3 zal m e n , als probleem 2 statistisch opgelost is, natuurlijk m o e t e n o p p a s s e nn voor eindeloze hoeveelheden te verkrijgen trivialiteiten.3 5 Later kreeg
vann Westrhenen in h e t kader van het Euratom-project van B e t h de o p d r a c h t o m o pp dit spoor verder t e g a a n : controle of formules stellingen zijn en het genereren vann stellingen.
E e nn volgende door B e t h gestelde vraag hierbij is of m e n een a p p a r a a t kan con-s t r u e r e n ,, d a t h i e r m e e een leerprocecon-s ondergaat en er preferentiecon-s op na kan g a a nn houden. De h i e r o p volgende kwestie is of een m a c h i n e tot een o p t i m a a l uitvoerenn van een bewijs gebracht kan worden.
M e nn kan zich bij dit alles ironisch met G. Kreisel afvragen: 3 6 "One gen-erall reaction t o t h e development of m a t h e m a t i c a l logic is to regard M a n as a calculatingg m a c h i n e w i t h a built-in r a n d o m element. Is this what you m e a n by t h ee 'dignity of m a n a s a rational b e i n g ' ? " Bewijzen ten voor- of ten nadele h a d B e t hh indertijd niet in h a n d e n . Wetenschappelijk h a d het derhalve weinig zin hierr een antwoord o p te geven. M a a r dit bedoelde B e t h ook niet, het was een
3 2B e t hh (19586), p. 57. 3 3( B e t hh 19586), p. 58.
3-17i(A)== liet aantal individuen, dat ingevoerd moet worden om een afleiding van een formule
AA te verkrijgen; liet is een soort maat voor de ingewikkeldheid van het bewijs,
3 5{Bethh 19586), p . 58.
onderdeell van een ouder en dieper zeer: 3 7
"Ass to the conception of Man as a calculating machine with a built in random element. II certainly do not believe that it lends a strong support to the 'dignity of Man as a rationall Being1, but I do not think this is a valid objection to my exposition. My
objectionn to «rationalism is, that many quite essential activities of men are left out of consideration,, thus creating a one-sided picture of man. and weakening his inclination too look at things rationally."
Q u a n t o r - e l i m i n a t i e e
Dee moeilijkheden m e t t a b l e a u s worden groter bij het verlaten van de proposi-tionelee logica. Dit o n d e r k e n d e Beth ook. Hij gaf d a a r voorbeelden van, twee karakteristiekee zullen hier worden aangehaald.
Alss eerste een t a b l e a u , d a t na zekere tijd afsluit, m a a r door 'onjuiste' con-structiess halverwege wel eens heel veel rekentijd zou k u n n e n gaan vergen.3 8
true e false e VxVy{A{x)VxVy{A{x) V 5 ( y ) ) -+ ( VxA(x)VVyB(y) VxA(x)VVyB(y) VxA(x) VxA(x) VyB(y) VyB(y) A(a) A(a) B(b) B(b) V x A ( x ) W y £ ( ( y))y)) i 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 2.. VxVy(A(x)V B(y)) 8.. Vy(A{a)vB(y)) 9.. A(a)vB{a) 10.. A(a)VB(b) 11.. Vy(A(fc)VB(y)) 12.. A(b) V B(a) 13.. A(b) V B{b)
Nuu is dit tableau in één keer af te sluiten door de formule onder 10. n a a r voren t ee halen en d a a r m e e t e splitsen;
10.. A(a)vB(b) A(a)A(a) 6. B(b)B(b) 7. A(a)A(a) | [.4(a) uit 6.] B(b)\ [B(b) uit 7.]
sluitt sluit
Mett een a n d e r e keuze d a n onder 10 loopt het tableau o p zeer veel splitsingen uitt voor uien tot een afsluiting van het tableau kan komen. De moeilijkheid is,, d a t men o p de j u i s t e p l a a t s de juiste keuze niet m a c h i n a a l kan b e p a l e n , alleenn de handigheid v a n een Beth kan dit.3 9 Nu een tweede voorbeeld.4 0 Men vertrektt vanuit de s e q u e n t ók^xz)y^zA{x,y,z) => C . Het g a a t hier o m de formulee "ix3yizA{x, y, z). Men heeft te maken m e t het t a b l e a u
37
Brieff Beth G. Kreisel, 27 februari 1958. Beth had al veel langer een hekel aan filosofen, diee over dit onderwerp speculeerden zonder bewijzen. Beth zag er een gevaar voor mens en maatschappijj in. Hij werd niet moe hij kende zijn verantwoordelijkheid dit in boeken, artikelenn en voordrachten naar voren te brengen.
38Voorbeelüü uit Beth (19586), pp. 56 57. 3 9
Bethh had in de eerste instantie zijn reductie-systeem zo opgezet, dat er geen voorkeurskeu zee mogelijk was.
1. . 2. . 4. . 5. . 6. . 7. . 8. . 9. . 10. . 11. . 12. . 13. . 14. . 15. . A A Vx3yVzA(x,y,Vx3yVzA(x,y, z) 3yVxA(a,y,3yVxA(a,y, z) VzA(a,VzA(a, b, z) A(a.b.a) A(a.b.a) A(a,bjb) A(a,bjb) 3yVzA(b,y,z) 3yVzA(b,y,z) VzA(b,c,z) VzA(b,c,z) A(a.b.c) A(a.b.c) A(6,, c, a) .4(6,, c, 6) i4(6,, c, c) 3yV.zA(c,, y. 2) VsAfc.. d, z) CC 3.
Opp het eerste gezicht weet m e n niet hoe dit tableau af te sluiten. Men kan zelfs oneindigee regressie krijgen.
Zijnn er oplossingen voor deze problemen t e vinden? Misschien voor proble-menn van h e t eerste soort, de toekomstperspectieven voor het tweede voorbeeld zienn er heel w a t zorgelijker uit.
M o g e l i j k ee o p l o s s i n g e n . Een eerste gedachte zou zijn om de wijze waarop
B e t hh zijn c o n s t a n t e n inzet t e verbeteren. Volgens P.C. Gilmore heeft m e n bij B e t hh t e m a k e n m e t d e ' m u l t i - n a m e ' method.4 1 D e interpretaties k u n n e n gebruik makenn van verschillende n a m e n voor hetzelfde individu. Gilmore stelde een 'name'' m e t h o d e voor m e t de mogelijkheid een multi-name in een single-n a m ee o m t e z e t t e single-n : voor T(3xP(x)) 4 2 voegt m e n toe T(P{a\) V - - V P(a,k) V P{6)),, en voor F(3xP(x)) geeft men F ( P ( f l i ) A A P(ak) A P ( 6 ) ) , waarbij
a ] , . .. . , ajt al eerder zijn ingevoerd en b nieuw is.
Hett gevolg dient zich al meteen aan in een t o e n a m e van de s u b t a b l e a u s . Bethh parafraserend m o e t hier in de eerste p l a a t s aan worden toegevoegd T(b ^
a,\a,\ A Ad 7^ OitAd ^ b) om zeker te stellen, d a t b nieuw is.4 3 Hierdoor verkrijgt m e nn een afsluiten van een a a n t a l van de geforceerde s u b t a b l e a u s . Bovendien is all binnen B e t h s systeem hetzelfde resultaat verkrijgbaar door de toevoeging
T(bT(b — a\ V V h = a;t V (b ^ ai A A b ^ ajfc)). Als m e n ergens T(b = ai) heeft,, vervang d a n alle k-optredens door a, (schrap b). Volgens B e t h levert Gilmoree geen verbetering op. Men kan in dit v e r b a n d ook de d u m m y - m e t h o d e vann K a n g e r , die ook gebruik m a a k t e van t a b l e a u s , aanvoeren. In l a t e r tijd zijn tall van m e t h o d e n a a n g a a n d e deze problemen verschenen. Helaas zijn deze van naa Beths overlijden en vallen daarmee buiten ons bestek.
1 11
Brief P.C. Gilmore Beth, 19 januari 1959, (Yorktown Heights, New York); n.a.v. Beth (1955ft).. Zie ook Gilmore (I960).
**22T(A):T(A): A staat op waar, aan de linkerzijde in een tabelau. 4 3
7.22 Euratom-project
7.2.11 Bestuurlijke achtergronden
S a m e n h a n gg v a n d e p r o j e c t e n .
O pp 14 april I960 kreeg B e t h bezoek van A. Gazzano van E u r a t o m .4 4 Deze deeldee B e t h mee, d a t m e n bij E u r a t o m van plan was diverse soorten onderzoek, enn dit verdeeld over verschillende landen, t e gaan financieren. Voor Nederland h a dd m e n d a a r t o e de logica en in het bijzonder Beth op het oog. Dit stond B e t h well a a n , en p e r 14 april 1960 zond hij al een brief met onderzoeksvoorstellen naarr G a z z a n o . Gazzano ging d a a r m e e accoord en voegde m e t instemming van B e t hh hier nog het een en a n d e r aan t o e .4 5
B e t hh was binnen E u r a t o m niet als een eenling bezig, m a a r als een onderdeel vann een veel groter project. De overkoepelende organen z a t e n in Brussel. B e t h h a dd echter ook te m a k e n m e t de wetenschappelijke staf van het reactor-centrum tee Ispra. Niet alleen viel hij hieronder, m a a r meer nog: d a a r was rekenappa-r a t u u rekenappa-r ,, w a a rekenappa-r men gebrekenappa-ruik van kon maken. In toenemende m a t e van onderekenappa-r- onder-horigheidd h a d men:
E u r a t o mm — Directie Onderzoek — C C R — Ispra — C E T I S (Centre d u T r a i t e m e n tt d'Inforrnaton Scientifique) — Service Linguistique — GRISA — G r o u p ee de M a t h é m a t i q u e et Logique — B e t h .4 6
D a tt m e n bij Beth t e r e c h t kwam met een plan om onderzoek te doen n a a r onderr a n d e r e beslissingsprocedures was gezien een deel van het door E u r a t o m u i t b e s t e d ee werk zo v r e e m d nog niet.
H e tt was een tijd, w a a r i n de bruikbaarheid van r e k e n a p p a r a t u u r , gekoppeld aann n a t u u r k u n d i g werk, s t e e d s groter werd. De ontwikkeling van goede p r o -g r a m m a t u u rr en p r o -g r a m m e e r t a l e n zette steeds meer door. B e t h s bezi-gheden warenn wel meer theoretisch van aard, m a a r sloten goed a a n bij andere door E u r a t o mm o n d e r h o u d e n g r o e p e n , die zich bezighielden met de relatie tussen na-tuurlijkee t a l e n en w i s k u n d e .4 7 Aldaar werd de ontwikkeling van vertaalmachines inn navolging van diverse p r o j e c t e n in de Verenigde Staten ter h a n d genomen.
Voorr een wetenschappelijk gezelschap, d a t in meerdere talen het woord t o t
4 44 A. Gazzano: Directie Onderzoek Euratom. Bezoek Gazzano: uit de brief Beth
Praesid-iumm van de UvA, 28 mei I960.
4 5
Gazzanoo accoord: brief A. Gazzano (CETIS, Euratom) - Beth, 25 mei I960, (Bruxelles). Onderzoekscontractt tussen de Europese gemeenschap voor atoomenergie (Euratom) en de Universiteitt van Amsterdam, dd. 14 december I960 (Contractno. 010 GO 12 DOH). De loop-tijdd was twee j a a r te rekenen vanaf 15 december 1960. De UvA werd vertegenwoordigd door dee directeur van het Instituut voor Grondslagenonderzoek (Beth) krachtens een hem door de rectorr magnifcus van de UvA (J. Kok) op 15 juli 1960 verleende machtiging.
4 ö
Hiérarchiee Euratom: zie overzicht Braffort tijdens de contract-besprekingen van 17 18 oktoberr 1960 (Archief Beth).
4 7
Ziee voor vertaal-project en Hutchins (1986), waarin Euratom-vertaal-machine (Cap. 5.6, Researchh in Belgium (1961 1964), pp. 130-131). en Georgetown (Cap. 4.3, Georgetown Universityy (1952 1963), pp. 70-77). Voor het vervolg hiervan, zie eveneens Hutchins (1986).. hifdst. 11 Other indirect systems. 1967 1975, subhoofdst. 11.1 Euratom, European Scientificc D a t a Processing Centre (CETIS). Ispra (Italy) (1967 75), pp. 201 202.
elkaarr richt, is het automatisch in eikaars talen kunnen overzetten van
docu-mentenn erg prettig. Maar niet alleen in het Europese wetenschappelijke centrum
Ispraa kon men daar profijt van hebben, ook het ambtelijke apparaat in Brussel
zouu ermee gediend zijn.
Hett lichtende voorbeeld was het Georgetown-project, dat later vooral
be-kendd is geworden door de manier waarop men de diverse overheidsdiensten in
Washingtonn geld afhandig wist te maken. Dit gebeurde in de eerste plaats door
middell van het wekken van de suggestie niet ver af te zijn van het omzetten
vann de taal van de de vrije wereld bedreigende en spoetniks lancerende
bolsje-wistischee vijand naar het Engels. Zoals men in Georgetown — zij het op een
volstrektt onbeholpen wijze, het woord oplichterij is wellicht net iets te sterk —
eenn vertaalproccdure van het Russisch naar het Engels probeerde op te zetten,
trachttee men in Brussel dit, zij het met andere middelen, vanuit het Russisch
naarr het Frans te doen. Ook deze poging zou stuk lopen.
Vanuitt Brussel probeerde men Beth te interesseren voor samenwerking met
dezee door L, Hirschberg geleide groep aan de Vrije Universiteit te Brussel. Ook
hett onderzoeksproject van Beth zou later een linguïstisch georiënteerde
deel-groepp omvatten. Deze hield zich vooral met het Chomskiaanse erfgoed bezig en
niett zozeer met een statistische analyse zoals Hirschberg voorstond.
Daarnaastt had men binnen Euratom vanwege het enorme papier-aanbod
ookk belangstelling voor het automatiseren van opslag en verwerking van
docu-menten.
499Ook dit zou voor het Brusselse administratieve apparaat van belang
kunnenn zijn. Verder had men natuurlijk ook werkzaamheden op het gebied van
toepassingenn van de wiskunde, numerieke wiskunde en op rekentuig toegesneden
wiskunde.. Deze onderdelen hadden niets van doen met Beths onderzoek, maar
zoudenn in een later stadium het geld van Euratom opeisen.
Opp 16 en 17 oktober 1960 werd in Amsterdam een vergadering voor een
contractt belegd. Van de kant van Euratom gaven P. Braffort, A. Gazzano,
F.. van Scheepen, D. Hirschberg en J. Larisse op deze 'reunion de travail' acte
dee presence.
50Volgens Braffort waren de docuinentatie-machine en de
vertaal-niachinee de wenkende toekomst-perspectieven.
'I 8L.. Hirschberg heeft hierover een lezing in Amsterdam gehouden. Opvallend zijn de grote verwachtingen,, die men had van de statistische taal-analyse. Zie hiertoe ook de brieven L.. Hirschberg Beth, 15 februari 1963, (Bruxelles); brief Beth L. Hirschberg, 11 m a a r t 1963. .
1 9D ee Bouvère kwam er tijdens het laatste contract toe om te kijken in hoeverre toepassingen
vann de logica van belang konden zijn bij automatische documentatie. Dit onderzoek is indertijd niett doorgezet. Bij E u r a t o m - C E T I S zelfwaren vrij veel mensen werkzaam met onderzoek naar documentatie-systemen. .
5 0
Vaakk zaten de mensen, waar Beth organisatorisch mee te maken had, zelf in onderzoeks-projecten.. K.H. Meyer-Uhlenried bij het machinaal verwerken van documentatie, J. Larisse bijj toepassingen van de wiskunde, P. Braffort bij mathematische linguïstiek. Ook A. Gaz-zanoo zat in deze hoek. Y. Lecerf was tenslotte (mede)opsteller van talrijke rapporten over mathematischee linguïstiek.
C o n t r a c t e n n
Dee moeilijkheden met de c o n t r a c t e n waren legio. Elk j a a r was er weer een nieuwee contract-verlenging. Telkens weer had Beth voor zijn geld t e vechten. Zelfss in het begin verliep het niet p r e t t i g . Voor alles werden beslissingen in Brussell vereist. Die werden altijd veel te laat genomen. De continuering van dee aanstellingen werd hierdoor bemoeilijkt. Beth bracht er bij de voornoemde besprekingg van 16 en 17 oktober 1960 daii ook verontwaardigd uit; 51 "Dit is
geenn kwestie van vertrouwen [van B e t h in E u r a t o m ] ; het heeft niets m e t het kontraktt te maken. Als het tegen h e t einde van de week niet geregeld is, d a n komtt er helemaal geen k o n t r a k t . " B e t h dacht hiermee de zaak t e bespoedigen. Nietss was minder waar, de Brusselse en Isprische b u r e a u c r a t e n zouden in de loopp der tijden h a r d terugslaan. M a a r zelfs zij hadden niet alles in de h a n d , er wass een nog andere groep die voor een nog grotere ellende kan zorgen, namelijk diee der politici. Dit alles zal de bewerker de lezer hier besparen o m hem niet van hett geloof in de onschuld van de wereld af t e trekken. Een bespreking van de doelenn van d e contracten zal echter niet verwaarloosd worden. Het is leerzaam t ee zien, wat m e n , en meer in h e t bijzonder Beth, in die tijd h a a l b a a r a c h t t e .
Mett betrekking tot de onderzoeksdoelen waren er telkens weer verschuivin-gen.. Deze waren niet groot, m a a r soms noodzakelijk vanwege het klaarkomen vann onderzoek of het kappen van d o o d l o p e n d onderzoek. De eerste voorstellen vann B e t h hielden in — met als belangrijkste p u n t 1: s'2
1.. "La base théorique de la c o n s t r u c t i o n d'une 'machine a raisonner', y com-priss 1'étude des conditions spéciales a un computeur électronique c a p a b l e dee réaliser les operations nécessaires d'une maniere efficiënte"
2.. De door von N e u m a n n in 1929 [?]5 3 geïntroduceerde quantum-logica. 3.. Definitie-theorie voor klassieke en intuïtionistische logica.
4.. Onderzoek naar de intuïtionistische logica en d a a r n a a s t onderzoek n a a r recursievee functies.
5.. Beslisbaarheidsproblemen voor a d e q u a t e axiomatisaties.
Menn h a d in Brussel belangstelling voor de punten 1, 3 en 5. D a a r n a a s t h a d m e n ditt ook voor probabilistische eigenschappen van logische systemen en m a t h e m a -tischee linguïstiek. Men zag graag h e t werk van A.A. Markov en zijn school erbij betrokken.. D e taakstelling in h e t uiteindelijke eerste contract o m v a t t e : 5 4
a.. De m e t h o d e n van H c r b r a n d en Gentzen in relatie tot de semantische tableaus. .
5 1
Notulenboekk Euratom (Archief Beth).
5 2
Brieff Beth A. Gazzano (Directie Onderzoek, Euratom), 14 april I960. Reactie Gazzano: brieff A. Gazzano Beth, 25 mei 1960, (Bruxelles).
5;iMisschierii dacht Beth aan diens Operatoreiiiiiechanik uit 1932. 5 4
Programmaa van wetenschappelijk onderzoek, bijlage I uit het Onderzoekscontract tussen
dee Europese gemeenschap voor Atoomenergie (Euratom) en de Universiteit van Amsterdam, dd.. 14 december I960 (Archief Beth).
b .. De semantische t a b l e a u s en pseudo-valuaties.5 5
c.. Ontwikkelen van een m a t h e m a t i s c h e heuristiek, m a t h e m a t i s c h e generali-satiee en de d e n k m a c h i n e zoals bij Beth en Kanger.
d.. Het verder ontwikkelen van modale logica.
Inn het tweede c o n t r a c t werd taalkundig onderzoek toegevoegd.5 6 O p de eerstee plaats uitbreiding en verbetering van de klassificaties van Chomsky en een uitbreidingg van een semantisch woordenboek voor d e logica in verband m e t h e t r o e m r u c h t ee Georgetown-vertaalproject. Verder een onderzoek naar de definitie-theoriee in logica van hogere o r d e , de pseudo-defuiieerbaarheid en compatibiliteit. Voorzoverr mogelijk wenste m e n de intuïtionistische varianten erbij te b e t r e k k e n . E e nn a a n t a l van deze zaken werd als volgt in het tweede c o n t r a c t opgenomen: 5 7
a.. Opnieuw de semantische tableau-methode, rnaar nu met statistische en waarschijnlijkheidstheoretischee toepassingen voor de schatting van t a b l e a u -lengten. .
b .. Heuristische m e t h o d e n voor het oplossen van combinatorische problemen (bewijsvoering,, spelen).
c.. Definitie-theorie, ook in verband m e t a u t o m a t i s c h formeren van theorieën. d.. Relaties, bijvoorbeeld de reductie van hogere-orde relaties tot binaire. e.. Toepasingen v a n de logica in de m a t h e m a t i s c h e linguïstiek (Chomsky).
f.. Het begrip van m o d e l , de axiomatiek van getal-theorie en van verzame-lingenleer,, en d e m o d a l e
logica-H e tt derde c o n t r a c t was zoals het tweede, m a a r m e t enkele aanvullingen. D i t wass het laatste c o n t r a c t en bedoeld o m het werk af t e ronden: 5 8
add b . Vergroting van h e t vermogen tot interne aanpassing (adaptabiliteit) v a n r e k e n - a u t o m a t e nn a a n de a a r d van de met die a p p a r a t e n te b e h a n d e l e n problemen. .
add c. Definitietheorie gerelateerd aan synonymie, interpreteerbaarheid, v e r t a a l baarheid,, dubbelzinnigheid en analogie. Dit h a d betrekking op de a u t o m a -tiseringg van redeneer- en vertaal-methode.
S 5
Hiermeee hoopte men een rechtstreeks verband te leggen tussen bewijs-theorie en model-theorie.. Dit vormde een aanvulling op de methoden van Gentzen en Herbrand. Onder dit puntt vielen ook de ontwikkeling van semantische tableaus voor de intensionele logica, zekere denkbeeldenn van G. Kreisel {in het contract Keisier geheten), en de uitwerking van de op definitie-theoriee betrekking hebbende noties van primitief begrip en essentiële definitie.
J ÜF .. van Scheepen (CETIS-werkgroep voor logica). Memorandum aangaande besprekingen
metmet prof.dr. E. W. Beth, dd. 19 juni 1962. Beth, Concept prxigramma t/ari onderzoek. K.L, de
Bouvère,, Suggesties t.a.v. het nieuwe contract.
5 7
Bijlagee I van de Overeenkomst tussen de Europese Gemeenschap voor Atoomenergie en dee Universiteit van Amsterdam, dd. 15 mei 1963, te Brussel.
5 8Brieff Beth Cie. v.d. Europese gemeenschap voor Atoomenergie, programmaleiding.
Di-rectoraatt Onderzoek, 15 september 1963, Onderzoeksvoorstel bijlage I, 1. Onderzoek
betref-fendefende toepassingen van de mathematische logica.. Brief K,L. de Bouvère - Beth, 30 september
add e. Afsluiting van het onderzoek n a a r woord-volgorde in het Nederlands, en uitbreidingg d a a r v a n naar a n d e r e E u r a t o m - t a l e n en het Russisch. Ontwik-kelingg van een generatieve en relationele grammatica voor het Nederlands enn andere talen als grondslag voor h e t vertaal-probleem.
7.2.22 Loop van het o n d e r z o e k
G e l dd e n v e r a n t w o o r d i n g
Hoee is al dit beoogde onderzoek verlopen? Dit is ook interessant m . b . t . de totalee uitgave door E u r a t o m van f. 390.791,82, waarvan f. 357.390,83 louter pcroneclskosteri.5 99 Voor die tijd een heel bedrag.
Menn kan c o n s t a t e r e n , d a t er teveel hooi op de vork was genomen. Gezien dee verwachtingen, die spreken uit de onderzoeksvoorstellen en c o n t r a c t e n , valt hett resultaat nogal mager uit: geen logische machine, geen d e n k m a c h i n e , geen v e r t a a l a u t o m a a t .. Dit voor wat betreft d e grote lijnen, maar met het detailwerk wass het niet anders gesteld. E e n a a n t a l onderzoeksdoelen werd niet of tenauwer-noodd aangeroerd. De meeste echter wel, zij het dat er niet veel is afgerond. Vele zijnn in een rudimentair s t a d i u m blijven steken. In dit werk is er derhalve voor gekozenn vooral Beth a a n het w o o r d t e l a t e n , de rest doet er binnen deze context minderr toe. Wel is er vanuit h e t onderzoek een zekere inspiratie uitgegaan. E rr kwamen mensen uit den v r e e m d e , die kruisverbanden legden m e t verwant onderzoek.. E e n voorbeeld h i e r v a n is R . M . Montague. In het l a a t s t e kwartaal vann 1962 was liij gast van de w e r k g r o e p .6 0
Menn h a d geld en de o r g a n i s a t i e o m mensen vanuit A m s t e r d a m op p a d te s t u r e n .. Vanwege de samenwerking m e t de rekenafdeling te I s p r a werd door dezee of gene of groepsgewijs (1962) een bezoek a a n die stad g e b r a c h t . M a a r ookk het feit, d a t de directe directie a l d a a r zetelde gaf aanleiding t o t dergelijke reisjes.. D a a r n a a s t boden congressen en symposia gelegenheid om m e n s e n daar n a a rr toe te sturen.
Buitenn het al gememoreerde I B M - s y m p o s i u m was een deel van d e groep mett Beth in mei 1962 aanwezig bij h e t symposium Mens en R o b o t , d a t geor-ganiseerdd werd door het S t u d i e c e n t r u m voor Administratieve A u t o m a t i s e r i n g enn de Internationale School voor Wijsbegeerte te Amersfoort. B e t h gaf hier de lezingg Over de zogenaamde 'denkmachine'. Buiten Beth waren ook als sprek-erss P.C. Gilmore en P. Braffort aanwezig. Voor de werkgroep ging B e t h in septemberr 1961 voor een lezing n a a r N a m e n voor het I n t e r n a t i o n a l e Congres voorr Cybernetica.6 1
Eenn bijkomend voordeel was, d a t jongelieden zoals J.A.W. K a m p , D . H . J . de
5 9
Ziee de 'lange noten1 op liet einde van dit hoofdstuk.
6 0Montaguee leverde naast lezingen over Gödela second theorem, A paradox regained en
In-terpretabilityterpretability of models in dit kader het volgende rapport af: Interpretability in terms of
models.. Indayationes Matherriaticae 27. (1965), pp. 467 476. Dat rapport werd naast Eu-ratomm ten dele betaald door de US National Science Foundation. Verslag van door Montague verrichtee arbeid: brief Beth Presidium UvA, 6 december 1962 (uitbetaling Montague).
6 11
J o n g hh en de geshanghaaide A . S . Troelstra de kansen kregen zich wetenschap-pelijkk t e profileren.62
H e tt geven van een eind-oordeel wordt bemoeilijkt door het ontbreken van d e contractueell verplichte e i n d r a p p o r t e n , Beth volstond over de hele periode m e t niett meer d a n k w a r t a a l r a p p o r t e n .6 3 De hem als projectleider opgevolgde Hey-tingg heeft alleen over 1963 een e i n d r a p p o r t gegeven. Een afsluitend e i n d r a p p o r t overr h e t gehele project is nooit opgesteld.6 4 Heyting m a a k t e in 1964 als volgt dee b a l a n s op: 6 5
"Hett onderzoek gedurende deze periode stond onder leiding van wijlen prof.dr. E.W. Beth,, die als enige het werk geheel overzag. Zijn ziekte en overlijden onmiddellijk naa de verslagperiode hebben een leemte veroorzaakt, die wellicht ook in dit overzicht merkbaarr is. Het is mogelijk, dat op sommige punten de toelichting ontbreekt, die alleenn hij had kunnen geven."
D ee n k m a c h i n e
M e e t k u n d e .. Het project 'De denkmachine' bestond uit diverse onderdelen,
zoalss probleem-oplossing, leren en be wijsverloop. Een a a n t a l onderdelen valt bijeenn t e brengen onder h e t hoofd van de m e e t k u n d e . Hieronder valt in dit geval a u t o m a t i s e r i n gg van bewijzen, patroonherkenning en h e t vinden van heuristieken t ee brengen. Belangstelling voor het l a a t s t g e n o e m d e hing bij B e t h nauw s a m e n m e tt zijn belangstelling voor menselijk leren en probleemoplossen. Hiertoe b e -zochtt hij af en toe de door ,1. Piaget in Genève georganiseerde colloquia.6 6 M e n kann in dit kader verwijzen n a a r eerdere artikelen van B e t h over het wiskunde-onderwijss en zijn deelname a a n werkgroepen hierover.
B e t hh werd in zijn enthousiasme voor a u t o m a t i s e r i n g m e t behulp van ele-m e n t a i r ee logica gesterkt door Tarski (1948a) ele-met de beslisbaarheid van d e el-e m el-e n t a i r el-eel-e algel-ebra el-en, als gel-evolg daarvan, del-e el-elel-emel-entairel-e m el-e el-e t k u n d el-e .6 7 B e t h
zagg daarbij wel moeilijkheden over het hoofd m e t b e t r e k k i n g tot de p r a c t i -schee beslisbaarheid ofwel berekenbaarheid van theorieën geformuleerd in ele-m e n t a i r ee logica. De tegenvallers op dit gebied kwaele-men vooral n a zijn tijd. B e t h m e e n d e :: 6 8
6 2
T o tt Troelstra's verbazing werd een door hem vervaardigd artikel-i n-spe plotseling als eenn onder Euratom vallend artikel uitgegeven, terwijl hij niet eens lid van de werkgroep was.. Troelstra was niet de eerste aan wie zo iets overkwam. Om zijn logica-serie bij Noord-Hollandd vanaf het begin aanzien te geven had Beth eerder al prestigieuze 'medewerkers' zonder hunn medeweten op een lijst gezet en aan onderwerpen gekoppeld. Bovendien was hij zo onverstandigg hier ruchtbaarheid aan te geven. A. Church stelde dit niet op prijs.
6 3
D e z ee geven voldoende informatie over het verloop van het project.
6 4v a nn Scheepen (1968) levert een kort overzicht.
ö 5Brieff Heyting - Carpetitier, 16 september 1964, Ontwerp eindrapportage. Ook in het
Heyting-archieff (Bibliotheek Mathematisch Instituut, UvA.) is geen verdere rapportage te bekennen.. In totaal heeft de werkgroep ongeveer vijftig onderzoeksrapporten opgeleverd: brieff A. Heyting J.C. Eeckhout (Euratom), 24 mei 1965.
6 6
D ee denkbeelden van Piaget heeft hij getracht een plaats in zijn onderzoek te geven, zij hett niet direct in dat van hemzelf. Resultaten zijn daar niet uit voortgekomen.
6 7
(Tarskii 1948a), (Tarski 1959).
6 8
"Opp grond van de door Tarski gegeven oplossing van het decisie-probleem voor de ele-mentairee meetkunde staat de mogelijkheid van een meetkundige 'redeneermachine" die eenn gefundeerd antwoord geeft op elke in aanmerking komende vraag vast. Tevens is dee grondslag gegeven voor een discussie over de mogelijke constructie van een practisch bruikbaree machine."
Err is bij het vervolg van het citaat een tweede belangrijk p u n t : e<J " O p grond vann de door Tarski gegeven decisie-procedure m o e t het mogelijk zijn voor elke inn aanmerking k o m e n d e u i t s p r a a k de 'bewijslengte' vrij exact te s c h a t t e n . Op grondd van deze s c h a t t i n g zal het mogelijk zijn, iets t e zeggen over de constructie vann een machine die geen gebruik m a a k t van heuristiek."
Laterr onderzoek viel minder positief uit d a n B e t h op dat m o m e n t dacht. Dee theorie van Tarski bleek vanwege het elementair-logische k a r a k t e r een te hardee noot om in zijn geheel te kraken. Elf j a a r n a het overlijden van Beth werdd in Collins (1975) voor het eerst de volgende afschatting gegeven voor de bovengrenss b(A) van een formule A uit Tarski's theorie:
b(A)b(A) = 2n22r+*-m2r+*.<ii-a
Hierbijj is r het a a n t a l variabelen in A, m het a a n t a l polynomen in A, n de maximalee graad van elk polynoom in elke variabele, d de maximale lengte van dee coëfficiënten (gehelen) van elk polynoom, en a het a a n t a l a t o m a i r e formules inn A.7 0 De afschatting is alleen afhankelijk van de syntactische o p b o u w ran de formule. .
Bethh zag wel in, d a t het niet mogelijk is o m in één slag een ingewikkelde meetkundigee theorie a a n t e pakken. Het moest in brokjes gebeuren. Hij voorzag echterr niet, dat de h a n t e e r b a a r h e i d van de brokjes niet afhangt van de gebruikte groepenn van a x i o m a ' s , m a a r wel van de syntactische vorm, die de formules kunnenn a a n n e m e n .
"Construktiee van een machine die, gebruik makend van een zekere heuristiek, proble-menn behandelt die betrekking hebben op een driehoek. In deze machine zou een vaste 'willekeurige'' driehoek ingebouwd kunnen zijn, met de bijbehorende 'merkwaardige' punten,, rechten en cirkels. Bovendien zou de machine in staat moeten zijn, bepaalde 'nieuwe'' punten, rechten en cirkels in te voeren. Tenslotte zou de machine in staat moetenn zijn tot bepaalde 'constateringen', bijvoorbeeld van het samenvallen van een nieuww punt met een eerder geconstrueerd punt, van het liggen van een (nieuw) punt opp een (nieuwe) rechte of op een (nieuwe) cirkel, e.d."
Hiermeee was B e t h niet de eerste. Al in Hilbert (1899) T1 komt m e n een proceduree tegen bij het formuleren van de lincaal- en ijklat-rneetkunde. Hoc kann men met werktuigen in geformaliseerde vorm in een zo gering mogelijk
bijj de brief Beth Th. Bruyn, 17 augustus 19C1. Het ms. was ook een bijlage bij Beth voorstel voorr een werkplan.
ö 9
Uitt nis. E.W, Beth, Opmerkingen over een meetkundige 'redeneermachine'.
7 0
Ziee de Lange noten op het einde van dit hoofdstuk.
7 1Uitt ras. E.W. Beth. Opmerkingen over een meetkundige 'redeneermachine'. 7 3
a a n t a ll s t a p p e n bij een einddoel (stelling) belanden? In de tijd direct na Beth zouu m e n k u n n e n vragen n a a r d e hoeveelheid s t a p p e n die noodzakelijk is om het gesteldee doel t e bereiken.7 3 B e t h zelf n a m ook Hilbert als voorbeeld, en wel de
p r o c e d u r ee in Hilbert (1899) 7 4 die betrekking heeft op de snijpuntstelling voor rechten. .
Dee voor dit onderzoek a a n g e s t e l d e T h . B r u y n ging uit van C a r t o n (1960). C a r t o nn formuleerde een projectieve meetkunde met p u n t , lijn en snijpunt als basisbegrippen.. Carton m e e n d e vanuit zijn axiomastelsel, waaronder de stelling vann P a p p o s , de stelling van D e s a r g u e s t e kunnen bewijzen.7 5 Er kwam hier ook eenn rneer technisch deel voor, d e belangstelling voor de p e r c e p t r o n .7 6 Voor het aflezenn en verwerken van m e e t k u n d i g e constellaties zou er door B r u y n in 1961 ookk contact worden gezocht m e t de T H Eindhoven.7 7 Daar was m e n evenals in Parijss bezig m e t een perceptron-onderzoek.7 8
Helemaall zonder zicht o p d e moeilijkheden was Beth niet. In Beth (1961e) wordtt er in secties 2 en 3 i n g e g a a n op de moeilijkheden die kuneii o n t s t a a n bijj rekenwerk d a t zich o p e n b a a r t bij de beschouwing van in een theorie gefor-muleerdee functies. In dit geval een theorie niet optelling, vermenigvuldiging enn e x p o n e n t m e t als domein d e natuurlijke getallen. Beths voorbeeld betreft dee functie f{\) = 1, f(m + 1) = ( m + 1) f(m) [dus f(m) = ml]. Beth laat zien,, d a t VmVn(f (m) = n <- 3NA(N, m,n) [ofwel 3NA(N, m,n) definieert dee functie f(m) = n]. N is een natuurlijk getal, als volgt. Te beginnen met
mm = 1, m = 2 , . . . heeft m e n de u i t k o m s t e n b\, ï»2< In B e t h s voorbeeld wordt ditt b\ = 1 , . . . , b{+) = (i + 1) bi,.... Voor eindige m heeft m e n t e m a k e n met
eenn eindig rijtje natuurlijke getallen bi,...,bm. L a a t de codering voor de bi
achtereenvolgenss 3.5 ] , 32. 5f c 2, . . . , 3m. 5b" ' zijn. Zij vormen een eindige verza-melingg natuurlijke getallen M = { b j , . . . ,bm}> Laat N — 2**1 + b , n, dus
NN = 23-5 J + h 23*"-5 m, de karakterisering van M zijn.
Nuu over n a a r 3NA(N,rn,n). Dit geeft binnen een gehanteerde theorie de preciezee formulering van de functie ƒ, in dit geval van f(m) = ml. Beth for-muleerdee dit in zijn algemene v o r m als volgt: 3Ar(VuVï;Vu,'Vfc((Ar = 2" (2 v +
l)+wAw<2l)+wAw<2uuAuAu = 3-ó) —V fc = a i ) A . . . —^ k = a->A...). En voor ons
bijzon-deree geval van f(m) = ml: 3Ar(VuVvVtüVJfc((A'' = 2U -(2-v+l) + wAw < 2" Au =
3-5f c)) -> jfc = 1) A(VuVi;Vw;VA:((Ar = 2" (2 v+ 1) +w A w <2uAu = 32-ök) -»
fcfc = 2) A(V«VvVwVfc((Ar = 2 " - (2 - v + 1)14- w A w < 2 " A u = 33 5fc) -+ k = 6)
7 3Ditt is een vraag naar de ondergrens naar tijd, niet naar ruimte. Zie Preparata & Shamos
(1985),, p . 3.
7 4
19568:: pp. 111 114.
75Stelliiigg van Desargues, Stelling van Pappos; zie Heyting (1963), i.h.b. p. 64 voor de
stellingg van Hessenberg: Desargues uit Pappos.
7 66 Een perceptron is te beschouwen als een parallelle computer. Deze heeft een aantal
koppen,, die simultaan en onafhankelijk van elkaar een bepaald gebied (geometrische patronen) kunnenn aflezen om vervolgens de gegevens te verwerken en uitspraken over het patroon te kunnenn doen.
7 7Brieff Beth J . F . Schouten (TH Eindhoven), 31 mei 1961. 7 8
Parïjsee perceptron-onderzoek: Notulenboek [van het Euratorn-project) 1961 1963 op 2 meii 1961 (Archief Beth).
AA . . . A(VuViA/u>VAr((A7 = 2 " (2 v + 1) + w A w < 2 " A u = 3m 5fc) -J- fc = n ) [enn in ons voorbeeld n = m ! ] .
N.a.v.. bovengenoemd geval kwam B e t h er t o e enkele gedachten over haal-baarheidd t e poneren. Bij de gekozen zeer eenvoudige formule heeft men binnen dee formele theorie al een ingewikkeld p a t r o o n , zelfs bij een kleine getalwaarde. Bethh gebruikt d a a r t o e ro = 6 in f(m) — m ! d u s n = 720. Voor N komt hij echterr tot de afschatting 103"10 . B e t h d o e t hierover de uitspraak: "I won-derr how many micro-seconds one of t h e m o r e powerful computers would need t oo provide us with a precise value of N. At a n y r a t e , one should remember t h a tt we have taken a fairly small a r g u m e n t value." En met betrekking t o t recursie-theoriee (waarmee hier alles geformuleerd wordt) voegde Beth er nog a a nn toe: "and in particular the theory of recursive functions, are not primar-ilyy concerned with t h e construction of p r a c t i c a l m e t h o d s of computation, b u t r a t h e rr with t h e problem of characterizing t h o s e function which arc, or are not, effectivelyy c o m p u t a b l e in principle. [... ] W i t h respect t o the functions which hee [the programmer] has t o handle t h e q u e s t i o n of their computability in prin-ciplee will hardly ever arise. In most cases h e will b e exclusively concerned with t h ee problem of p r o g r a m m i n g their c o m p u t a t i o n in t h e most efficient manner." Voorr Beth stonden twee wegen open n a a r w a t hij noemde: a. theorem-proving heuristics,, b . theorem-finding heuristics. Deze b e g r i p p e n bespreekt hij, als zo vaak,, a a n de h a n d van h e t al uitgesponnen voorbeeld. Hij gaat daarbij uit van VmVn.(/(m)) = n *+ 3NA{N,m,n)) in d e t h e o r i e . Welke strategie moet m e n kiezenn om bijvoorbeeld / ( 6 ) = 720 in die t h e o r i e t e bewijzen.
a.. Uitgaande van de wil om een a u t o m a a t t e c o n s t r u e r e n die in staat is om stellingenn te bewijzen o p basis van een formeel systeem komt Beth tot 'theorem-provingg heuristics'. Dit komt volgens h e m t e p a s bij bijvoorbeeld de keuze tussen dee numerieke waarde van A7 (in bovenvermeld voorbeeld) uit te rekenen (en d a t levertt computationele moeilijkheden op) of N t e karakteriseren als 23"5-t-2J *5 +
2233 *5 + . .. + 23 5 , en n a a r de 'syntactische' eigenschappen daarvoor te kijken. Theorem-provingg heuristics levert de instructies voor het doenlijke.
b .. Men kan zich ook een andere v r a a g stellen, namelijk f(m) = ? ? , en vindt nuu de passende getalwaarde. Dit is de weg voor 'Theorem-finding heuristics'. Inn ons geval bijvoorbeeld uitgevoerd door in successie / ( l ) . / ( 2 ) . . . . f(m — 1) uitt te rekenen: / ( m ) = n is de t e bewijzen formule, en f(l) = 1, ƒ (2) = 2 , . . . ,, f(rn — 1) = {m — 1)! fungeren als l e m m a ' s .
B e w i j s v e r k o r t i n gg e n b e w i j s l e n g t e . Bij d e mechanische constructie van
be-wijzenn en bewijsherkenning is het gezien d e rekentijd van belang of men een bewijss kan vereenvoudigen of minimaliseren. Ook hier komen diverse lijnen vann onderzoek binnen Beths E u r a t o m - p r o j e c t s a m e n . A. Ghose kreeg de op-drachtt voor de bewijsverkorting aansluiting t e zoeken bij het werk van Gödel en Mostowskii a a n g a a n d e het beschouwen van bewijslengte vanuit een hoger s t a n d -p u n t .. Hoe kan men bewijslengte be-perken m e t een beroe-p o-p een logica van hogeree orde? Het gelukte Ghose de door Gödel indertijd niet bewezen veron-derstellingenn van Gödel (1936) hierover van een bewijs te voorzien. Hiermee
wass hij overigens niet de enige.7 9
Voorr een directe a a n p a k van het probleem werd S.C. van W e s t r h e n e n aange-steld.8 00 Van hem werd verwacht, d a t hij m e t behulp van een numeriek onderzoek
dee verdeling van bewijslengte b i n n e n beslisbare klassen van elementair-logische formuless zou bekijken. D a a r n a a s t h a d hij afleidingen binnen de logica te pro-grammeren.. Hieronder viel ook de lengte van de tableaus. W a t zijn de minste rekentijdd vergende tableaus voor een zeker probleem. Kan m e n t a b l e a u s ook mechanischh reduceren? Dit is overigens een vraag, die al eerder door Both opgeroepenn was. Het gebruik van Markov-ketens werd, gezien h e t statistische onderzoekk van van Westrhenen, eveneens bij hem ondergeschoven. In de tweede contract-periodee deed men voor dit p r o g r a m m a een steeds groter b e r o e p op diverss Europees rekentuig. Voor h e t p r o g r a m m e r e n had m e n H. Fangmeyer aangesteld.. Men kon nu in de IBM-7090 propositionele formules s t o p p e n en d a a rr bewijzen voor terugkrijgen. Verder werd er door van Westrhene n een pro-g r a m m aa voor deze machine o n t w o r p e n , d a t diende als ;r a n d o m generator1 van propositionelee formules.8'
Opp het eind van het E u r a t o m - p r o j e c t probeerde Van Westrhenen zijn statis-tischee en waarschijnlijkhcidstheoretische m e t h o d e n ook nog op de leer van de definitiess t o e t e passen.8 2
M o d a l ee l o g i c a , i n t u ï t i o n i s m e e n m o d e l - t h e o r i e
Hett onderzoek in deze richting v o r m d e een cluster. Men kan hier m o d e l m a t i g werk,, intuitionisme, axiomatieken en m o d a l e logica o n d e r b r e n g e n .8 3 B e t h vond dee modale logica van belang voor h e t onderzoek van natuurlijke t a l e n , d u s ook voorr de vertaalmachine.
Tijdenss de o p s t a r t - p e r i o d e verschenen er r a p p o r t e n van G. Kreisel over ab-soluutt vrije keuze-rijen en s e m a n t i e k van de intuïtionistische logica, volledig-heidsstellingenn en interpolatie. Dit l a a t s t e was van belang voor het beschouwen vann de plaats van de definitie-stelling. O p het p u n t van de a b s o l u u t vrije keuze-rijenn werd A. Ghose ingezet. De a b s o l u u t vrije keuze-rijen speelden een belan-grijkee rol bij de verbeteringen van B e t h s semantiek door Kreisel (later zal op de absoluutt vrije keuze-rijen nader w o r d e n ingegaan).
Doorr Beth werd in deze periode het onderzoek van de pseudo- en I(inplicatie-ve)-valuatiess voortgezet. Hieraan n a m ook D.H.,7. de Jongh deel. In dit verband heeftt in een later s t a d i u m A.S. T r o e l s t r a nog een bijdrage a a n intermediaire
log-7 9
(Ghosee 1961). Amitabha Ghose, *1933.
8 0
Sophiuss Christia.au van Westrhenen, *1928
8 1I nn de laatste periode kwam de Zweedse 'concurrent1 S. Kanger uit Uppsala naar
Ams-terdamm om 6 oktober 1964 de lezing Equivalence of theories te geven. Brief A. Heyting Groenewoudd (UvA, financin). 6 oktober 1964. Volgens het [Euratom] Notulenboek 196'J
--19641964 (Archief Beth), op de dagtekening van 6 oktober 1964 was het echter een lezing met de
titell Logical analysis of the notion of 'a right'.
8 22
Van Westrhenen zette later zijn resultaten uit het Eur atom-project om in zijn dissertatie vann Westrhenen (1969).
8 3Mett de axiomatieken is het niets geworden. Men maakte gebruik van de expertise van B.
ica'ss geleverd.8 4 Beth en J . J . F . Nieland b e s t u d e e r d e n de modale systemen S4 en
S55 m e t behulp van tableau-methoden en werelden-semaiitiek.8 5 Zij betrokken hierbijj de int unionistische logica en de afgrenzing d a a r v a n . Beth verwachtte vann de algebraïsch-topologische m e t h o d e (direct als vertaling toegepast o p de m o d a l ee begrippen in de vorm van in- en uitwendige) minder dan van de seman-tischee (modelmatige) a a n p a k .8 6 Andere m o d a l e systemen en hun samenhang s t o n d e nn op het programma van P.H. Krijgsman.
H e tt onderzoek naar afzwakkingen van de theorie van de natuurlijke getallen (zoalss het werken met alleen ' + ' of '-1) h a d met m o d a l e logica te maken.
Inte-ressantt is in zo een geval bij het balanceren op h e t randje van onbeslisbaarheid d ee v r a a g n a a r de notie 'bewijsbaar1 en de mogelijke vertalingen van deze notie inn een geschikt modaal systeem. Dit was n a a s t het behandelen van relatieve consistentiee een project voor W . A . van der M o o r e .
D ee Bouvère was verantwoordelijk voor de model-theoretische aspecten. Zijn onderzoekk moest zich in het defmitoirischc v e r b a n d ook bezighouden m e t am-biguïteitt en synonymie. Dit kon van belang zijn bij het ontwikkelen van pro-g r a m m e e r t a l e n ,, het beschouwen van natuurlijke t a l e n en vertaalprocedures.8 7
T a a i - o n d e r z o e k k
B e t hh zelf was al langer in de toepassingen van logica o p t a a l k u n d e geïnteresseerd. Zijnn belangstelling werd gevoed door twee e x p o n e n t e n in de logica.
oo H e t formele redeneren zoals beoefend in d e wiskunde met als afgeleide d a a r v a nn het informele redeneren zoals in de o m g a n g s t a a l en binnen een so-cialee context. Zijn vroegere belangstelling voor significa en het redeneren binnenn ethiek en rechtssystemen zijn hier voorbeelden van.
oo De constructie van een formeel systeem m e t als afgeleide de constructie vann een grammatica.
Ditt blijkt niet alleen uit publicaties en briefwisselingen. Ook in de serie ' S t u d i e ss in Logic' wenste Beth t a a l k u n d i g m a t e r i a a l , in casu Chomsky, uit t e g a a nn geven. Beth interpreteerde het werkterrein van deze serie nogal breed: niet alleenn logica sec, maar ook toepassingen. Hij was er van overtuigd, d a t dergelijke toepassingenn ook de logica verder zouden kunmieri helpen. Dit h a d eveirwel niet
8 4{Troelstraa 1965).
8 5J o h a n n e ss Jambus Fransiscus Nieland, *1927. S.A. Kripke sprak als gast op 20 augustus
19633 over intuïtionistische logica. Zie Notutenboek Euratom 1961/63. op de dag 20 augustus 1963.. En de brief Betli Presidium UvA, 23 augustus 1963. Kripke zat eerst al in Oxford voorr het Logic Colloquium (zie Notulenboek, 30 juli 1963).
8fiBrieff Beth P.H. Krijgsman, 11 januari 1962.
8 7H e tt laatste resultaat tijdens het derde contract van de Bouvère was, dat als theorieën
synoniemm zijn, hun corresponderende Li ndenbaum-algebra's isomorf zijn. Twee bezoekjes van D .. Scott (UC, Berkeley) kan men bij het semantische onderzoek onderbrengen.In 1962 gaf hïjj een lezing over Well-ordering and definability, (zie NotuleTi stafcolloquia 1961 - 1963, dagg 5 september 1962,), en in het vroege voorjaar 1964 de lezing On the logic of tenses, (zie
