Oefeningen Numerieke Analyse, reeks 2, February 8, 2002
.
1. a. Bepaal de oplossing van de recurrente betrekking
xk+2 := 2(xk+1+ xk) , x0 := 1, x1 := 1−√
3 . (1)
b. Bereken x0 t/m x50 (Schrijf een m-file) met behulp van de recursie (1) en schrijf deze uit tesamen met de exacte oplossing.
Verklaar wat er mis gaat. (Bereken de exacte oplossing met x1 := 1−√
3 + ε .) c. Ga na, dat voor de berekende waarde fl(xk) geldt (vermenigvuldigen met 2 is exact)
fl(xk+2) = 2(fl(xk+1) + fl(xk)) + εkfl(xk+2) , k≥ 2, met | εk| ≤ η . (2) Je kunt dus in recursie (1) tegelijk met xk een meelopende foutschatting berekenen met e(k + 2) = 2∗ (e(k + 1) + e(k)) + 2 abs(x(k + 2)) . (3) Herhaal (b) onder toevoeging van deze opdracht.
d. Bereken x0 t/m x50 ook met teruglopende recursie alsvolgt: kies z102 = 1 en z101 = 1 en bereken zk := 12 zk+2− zk+1 voor k = 100 : −1 : 0 en bereken tenslotte xk := zk/z0. Verklaar, waarom dit wel goed gaat.
2. Zelfde vragen voor de recursies
xk+2:= xk+1+ xk, x0 := 12 + 12√
5 , x1 := 1 . (4)
xk+2 := − 32xk+1+ xk, x0 :=√
2 , x1 :=
q1
2. (5)
xk+2 := 2 xk+1− 34xk, x0 :=√
2 , x1 :=
q1
2. (6)
Verklaar bij (5) en (6) het verschil met de startwaardenxe0 := 2 , xe1 := 1 3. Onderzoek de vragen van opgave 1 voor de recursie xk+2:= 2xk+1− xk. 4. Gegeven is de funktie f (x) := x3− x2+ x− 2.
a. Laat zien, dat f precies ´e´en re¨eel nulpunt heeft. Noem dit punt α.
b. Voor de bepaling van α kunnen we uit de vergelijking f (x) = 0 de volgende successieve- substitutieprocessen afleiden:
(a) xn+1:= 2 + x2n− x3n en (b) xn+1 := 1 + 1 x2n+ 1. Bewijs, dat (a) niet en (b) wel lokaal convergent is (naar α).
c. Bewijs, dat (b) voor iedere startwaarde x0 ∈ IR convergeert naar α (dus globaal conver- gent is).
5. Laat ϕ tweemaal continu differentieerbaar zijn en laat α een punt zijn met α = ϕ(α) en ϕ0(α) = 0. Bewijs dan dat het proces xn+1 := ϕ(xn) kwadratisch (van orde 2) convergeert in de buurt van α.
1
