Opgaven over limieten In een aantal opgaven gebruiken we de notatie [x ].
Voor x ∈ R is dit het grootste gehele getal ≤ x.
1. Bereken de volgende limieten.
(a) lim
x→−1
x2+ 3x + 2 x2− 2x − 3 (b) lim
x→0
x +√
√ x x (c) lim
x→−12
2x + 1 4x2− 1
(d) lim
x→3
x2+ 3x + 2 x2− 2x − 3 (e) lim
x→2
x3 x3− 2 (f) lim
x→3
x − 3
(x) −√ 3
2. (a) lim
x→−2
x2− 4
√x + 2 (b) lim
x→−1
√x + 5 − 2 x + 1 (c) lim
x→1
√x − 1
√x − 1
(d) lim
x→−1
x2+ 2
√x + 1 (e) lim
x→1
x2− 2x + 1
√2x − 1 − 1 (f) lim
x→1
√x x −√
x 3. (a) lim
x→0
32x− 1 3x− 1 (b) lim
x→−2
√2− x − 2 x + 2
(c) lim
x→1
4x− 4 42x− 16 (d) lim
x→12
2x − 1
√6x + 1 − 2
4. Bereken lim
x→0
2x− 1 2x+1− 2 5. Bereken zo mogelijk:
(a) lim
x→−1−[x ] (b) lim
x→−1+[x ]
(c) lim
x→0−
x + |x|
x − |x|
(d) lim
x→0+
x + |x|
x − |x|
(e) lim
x→−1−
x + |x + 1|
x2− 1 (f) lim
x→−1+
x + |x + 1|
x2− 1 6. Gegeven is de functief : R → R, f(x) = x · [ x ].
Teken de grafiek vanf op het interval [ −2, 2 ].
Bereken:
(a) lim
x→−2+f(x) (b) lim
x→2−f(x)
(c) lim
x→0+f(x) (d) lim
x→0−f(x)
(e) lim
x→1+f(x) (f) lim
x→1−f(x) 7. De functief : R → R wordt gegeven door
f(x) =
x2− 4 voor x < 3 ax2+ 2 voorx ≥ 3
Voor welke waarde vana ∈ R bestaat lim
x→3f(x) ? 8. De functief : R → R wordt gegeven door
f(x) =
√x2− a2voorx ∈ R\(−a, a) ax2− 8 voor x ∈ (−a, a)
Voor welke waarde vana ∈ R+ bestaan lim
x→−af(x) en lim
x→af(x) ?
1
9. (a) lim
x→0
tanx x (b) lim
x→0
x2 1− cos 4x (c) lim
x→0
tan 2x sin 3x
(d) lim
x→0
sin 2x x sin x (e) lim
x→0
x + cos x sinx − 1 (f) lim
x→π
sinx sinx − π 10. (a) lim
x→0
x sinx (b) lim
x→0
sinx tan 2x
(c) lim
x→0
tan 6x tan 3x (d) lim
x→0
1− cos x sinx 11. (a) lim
x→π2
1− sin x cosx (b) lim
x→π2
1− sin x sinx
(c) lim
x→a
sin (x − a) x − a (d) lim
x→4
x2− 2x − 8 x3− 2x2− 3x − 20 12. De functief : R → R wordt gegeven door
f(x) =
1− x voor x < 1 x + a voor x ≥ 1
Voor welke waarde vana ∈ R bestaat lim
x→1f(x) ? 13. De functief : R → R wordt gegeven door
f(x) =
x2 voorx < 2 b voor x = 2
| a − x| voor x > 2 Verder is lim
x→2f(x) = b. Bereken a en b.
2
