H6: Toegepaste analyse

Hoofdstuk 6:

Toegepaste analyse.

V_1. a. 2 3 '( ) 3 sin cos f x  x  x x  x b. '( ) 1 cos sin 2 k x x x x x     c. _{l x}'( )_ex_ln 2 2_ x d. _{m x}'( ) x 1x ₂lnx 1 ln₂ x x x      V_2. a. 1 2 '( ) 2 cos f x   x b. kettingregel: '( ) 2_{2 2} 2 3 3 x x k x x x     c. 1 ln 1 1 ln 2 ln 2 2 2 x x x x x x x x x        d. 2 2 (1 ) 2 2 2 '( ) (1 ) (1 ) x x x x x x x e e e e e m x e e         V_3. a. 3 1 2 '( ) 4 f x  x  b. f x'( ) 0 3 1 2 3 1 8 1 2 3 1 2 16 4 ( ) x x x f      c. 1 2 '(3) 107 f  d. 2 2 2 ( 2) 2 (2 2) 1 (2 4) (2 2) 6 '( ) ( 2) ( 2) ( 2) x x x x g x x x x               

De afgeleide wordt nooit 0. De afgeleide is voor alle x-waarden negatief. Functie g is een dalende functie. '(3) 6 g   V_4. a. _{f x'( ) 5 x}4_4x3 b. 4 3 3 3 4 5 5 4 (5 4) 0 0 5 4 0 0 x x x x x x x x            c. 4 5 (0) 0 ( ) 0, 08 f  en f  

V_5. a. 1 3 1 112 3 3 ( ) (2 ) F x  x  x b. g x( ) x 4 2 x    dan is 1 2 2 ( ) 4 2ln G x  x  x x c. 1 1 3 2 ( ) cos 3 sin 2 H x   x x d. 1 2 2 2 ( ) x K x _ e  e. 1 1 1 4 1 2 ln 3 ln 3 4 2 ( ) 3x 3 x 1 L x       x  x f. 1 2 ( ) ln(2 4) M x   x V_6. a.





4 4 1 1 2 2ln 2ln 4 dx x x  



b.





0 0

2sin(2 x dx) 2cos(2 x) 2cos(2 ) 2cos 2

        



c. 1 2 5 ₅ 2 7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 ln 2 4 ₂ ln 2 32 4 ln 2 4 ln 2 32 4 2 (( )x_{ x dx}) _ _( )x_{ x}  _( _{ }6 ) (_  _{  }1) _{ }5  



V_7. a. _x3_8x2_{12x x x (} 2_{8x12) x x( 2)(x 6) 0} 0 2 6 x  x  x

b. De grafiek ligt tussen x2 en x6 onder de x-as. De integraal is dan negatief. c. 2 6 2 3 2 3 2 1 4 2 3 2 4 3 ₀ 0 2 ( 8 12 ) ( 8 12 ) 2 6 Opp



x  x  x dx  



x x  x dx_ x  x  x _  6 4 3 2 1 2 2 2 1 4x 23x 6x ₂ 63 423 493    _   _    V_8. a. _{f x'( ) 3 x}2_6x2 '(0) 2 f  b. f x'( ) 0 c. f '(3) 11 2 1 1 3 3 1 2 1 2 3 9 3 9 3 6 2 0 1 3 1 3 (1 3) 3 (1 3) 3 ABC formule x x x x f f                11 6 11 3 33 27 11 27 y x b b b b y x           

(controleren met PLOT 2nd _PRGM

(DRAW) optie 5 (tangent) en x3 d. y0 5 11 3 3 4 3 2 5 6 7 27 1 1 1 11 27 2 ( ) (3 2 ) 6 3 2 1 x x Opp f x dx x x x     

_

    _   _     

1.

a. De x-coördinaat van het hoogste punt is ongeveer 2,11373 b. _{f x}'( ) 3 ln 2 2_{  } x 3 ln 2 2 3 ln 2 '( ) 0 ln 2 2 3 2 log 2,11373 x x f x x      

c. De vergelijking f x'( ) 0 heeft slechts één oplossing.

2. a. _{f x'( ) 3 x e}2_{  }x _{x e}3 x _(3x2_x3_)ex 2 3 2 '( ) 0 (3 ) 0 (3 ) 0 0 0 3 x x f x x x e x x e x x              b. In (0, 0) en _{( 3, 27  e}3_{) is de raaklijn horizontaal.}

In het laatste punt is er een minimum.

3. a. b. 1 2 3 3 3 2 2 ( ) ( ) f x  x  x x 13 1 3 3 2 2 2 3 ₃ 3 '( ) _x x f x  x   Voor x0 wordt de noemer 0, dus f '(0) bestaat niet.

0 ( ) 0 x voor x g x x x voor x    _{ }   

Voor positieve waarden van x is de helling 1 en voor negatieve waarde is de helling -1. De helling in x0 bestaat niet.

c. Zowel f als g heeft een minimum 0 voor x0.

4.

a. In 2 situaties is er sprake van een overgang van stijgend naar dalend of andersom.

b. _{f x}'( ) 2_{ x}ln 2 2_ x

c. De grafieken zijn hiernaast getekend. Er zijn twee snijpunten, dus daar is 2_xln 2 2_ x_{, en is}

'( ) 0 f x  d. (0,485; -1,164) en (3,212; 1,051) e. Voer in: 2 1 ( 2 ) x y abs x  Minima: (-0,77; 0) (2, 0) en (4, 0) Maxima: (0,485; 1,164) en (3,212; 1,1051) x y 1 2 3 4 5 -1 -2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -1 -2

y 2x



x

y ln2 2





x y 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 -2 -3 1 2 3 4 5 -1 g(x) f(x)

5.

a. _{f x'( ) (4 x 3) e}x_(2x2_{3 )x e}x _{ ( 2x}2_{  x 3) e}x

b. Als x , dan f x'( )0 (de helling wordt na verloop van tijd bijna nul). Als x , dan f x'( )  (de grafiek gaat steeds steiler lopen).

Een exponentiële functie groeit veel harder dan een machtsfunctie. c. f x'( ) 0 2 1 2 2 3 0 0 ( 2 3)( 1) 0 1 1 x x x e x x x x               

Het minimum van f is f( 1)  e en het maximum 1 112 2 (1 ) 9 f  e . d. _{f x"( ) ( 4   x 1) e}x_{ ( 2x}2_{  x 3) e}x _(2x2_{5x 2) e}x 2 2 1 1 1 1 4 4 4 4 (2 5 2) 0 2 5 2 0 0 1 41 1 41 x x ABC formule x x e x x e x x                  

e. Voor deze waarden van x heeft de helling een uiterste waarde. f. De helling is maximaal 1 1 4 4 '(1 41) 3, 41 f   6. a. Df : 0, en Dg: 0,



 2 ' 1 '( ) 2 ln 2 ln : 0, f f x x x x x x x x D       _' 1 '( ) 2 : 0, g g x x D   b. f x"( ) 2lnx 2x 1 1 2lnx 3 x       1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 1 1 2 1 1 3 2 "( ) 0 ln 1 ( ) ( ) ln 1 f x x x e f e e e e              Buigpunt: 112 1 3 2 (e , 1_ e )

c. Als x naar 0 nadert wordt de helling van f ook vrijwel 0, de grafiek van f loopt dan horizontaal.

De grafiek van g loopt in (0, 0) vertikaal. (de helling wordt heel erg groot als x naar 0 nadert).

7. In de linker figuur heeft de grafiek in het punt

1 2

(1 , 2) een horizontale raaklijn ( 1 2

'(1 ) 0

f  ),

maar heeft daar geen uiterste waarde. Bovendien geldt ook nog: 1

2

"(1 ) 0

f  .

In de rechterfiguur geldt: f '(2) 0 en "(2) 0

f  (de helling neemt toe).

x y 1 2 3 4 1 2 3 4 5 -1 -2 x y 1 2 3 4 -1 1 2 3 4 5 -1 -2 -3

8. a/b/c. d. PR PQ 3 en 1 1 2 3 3 42 PQR Opp     e. PR PQ x  en 1 1 2 2 2 PQR Opp    x x x 9. a. 1 2 1 2 1 2 1 2 2 9 2 8 ... 2 2 2 1 142,5 I           De inhoud is groter dan 142,5 b. 10 10 2 3 3 1 1 1 2 2 6 ₀ 6 3 0 10 166 x dx_ x _   



c. 1 1 1 2 3 3 ( 10 10) 10 1662 3 I       G h   10. a. VABT ~VPQT 10 2 15 3 2 2 2 4 3 3 9 15 10 PQRS PQ a PQ a a QR Opp a a a         

b. De inhoud van de piramide is de som van een aantal balkjes met grondvlak 2 2 4 2

3 9 ( a)  a en hoogte Va. Dus 4 2 . 9 ABCD T I 



a Va.

Door Va steeds kleiner te nemen gaat deze uitdrukking over in

15 2 4 9 0 a da



c. 15 15 2 3 4 4 9 27 ₀ 0 500 a da_ a _ 



11. a. 10 10 40 r h   1 4 1 4 10 40( 10) 10 10 h r r h r h       b. 40 40 40 2 2 2 3 1 1 1 1 4 16 2 48 ₀ 0 0 (10 h dh) (100 5h h dh) (100h 2 h h )       _   _ 





3 1 3 9333  29321cm 29,3    liter. AB=10 MT=15 PQ NT=a

12. a. ₂2 _r2 _52 _{b. x}2_r2 _52 2 2 21 21 ( 21) 21 r r Opp        2 2 2 2 2 2 25 25 ( 25 ) (25 ) r x r x Opp  x  x          c. 5 5 2 1 3 1 3 ₀ 3 0 (25 ) 25 83 halve bol I 

_

 x dx_ x x _   d. 4 3 2 1 3   5 1663  2 833 . Klopt. 13. a. Oppcirkel   r2   h b. 4 4 2 1 2 ₀ 0 8 25 I 



h dh_ h _    _cm3_. 14.

a./b. Deze vragen behoeven geen uitleg: een beetje 6 vwo-leerling …

c. _{I  2 (f(0, 2) 0, 2}2_{ f(0, 4) 0, 2}2_{  f(0,6) 0, 2}2_{  f(0,8) 0, 2) 2, 72}2_{ }

d. Als Vx heel klein wordt gaat de Riemann-som over in de integraal. e. _(1x2 2_{) (1 2 x}2_x4₎ 1 1 4 2 1 5 2 3 8 8 1 5 3 ₁ 15 15 15 1 ( 2 1) ( ) 1 I  x x dx  x x x        



   _   _      15. a. f x( ) 0 2 1 1 3 3 (3 ) 0 0 3 x x x x x x        b. 3 3 3 2 2 4 3 2 5 4 3 1 1 2 1 1 1 3 9 3 45 6 3 ₀ 0 0 ( ) ( ) 0,9 I  



x x dx 



x  x x dx  _ x  x  x _   16. a. 2 0 sin I x dx    

_

b. _{cos 2x 1 2sin}2_x 2 2 1 1 2 2 2sin 1 cos 2 sin cos 2 x x x x     c. 1 1



1 1



1 2 2 2 2 4 0 2 0 ( cos 2 ) sin 2 I x dx x x       

_

    

17.

a. x3y (bij spiegeling in de lijn y x wordt de rol van x en y verwisseld.)

1 3

y x

b. Het spiegelpunt van (0, 12) is (12, 0) bij spiegeling in de lijn y x c. 12 12 2 3 1 1 9 27 ₀ 0 64 I  



x dx  _ x _   18. a. ( ) x 1 g x e  b. Van f(0) 0 tot 2. c. 2 2 2 2 2 1 2 2 ₀ 0 0 ( x 1) ( x 2 x 1) x 2 x I  



e  dx 



e  e  dx  _ e  e x_  1 4 2 1 1 4 2 1 2 2 2 2 ( e 2e 2 2) ( e 2e 3 )         19. a. x y1 2 2 2 2 2 2 2 4 2 1 5 2 3 11 5 3 ₀ 15 0 0 1 1 ( 1) ( 2 1) 13 y x y x I  x dx  x x dx  x x x         



  



   _   _  b. xlny 1 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 2 2 ₀ 2 2 2 0 ( ) ( ) ( 1) x x x y e I e e dx e x e e e e    



 _  _       20. a. _{OA AB BC CD    1}2_{ 1}2 ₁2_32 _{ 1}2_52 _{ 1}2_72 _{ 2 10 26 50 16, 75}

b. Meer. De gebogen stukjes zijn langer dan de rechte lijnstukjes.

21. a. f x( x) f x( ) f x'( ) x V  _ V ( ) ( ) '( ) QR f xVx  f x  f x Vx x +1

ln

_f(x) g(x) - 1

e

 _x

b. Pas de stelling van Pythagoras toe: 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( '( ) ) ( ) (1 '( )) 1 '( ) ( ) 1 '( ) PQ x f x x f x x f x x x f x f x x f x x                  V V V V V V V c./d. 4 4 2 2 0 0 1 (2 ) 1 4 16,82 OD L 

_

 x dx

_

 x dx 22. a. 1 8 1 1 '( ) 2 2 8 f x x x x x      2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ( '( )) 1 (2 ) 1 4 4 (2 ) 8 64 64 8 f x x x x x x x x x              b. 2 2 2 2 2 4 4 3 1 1 1 1 8 8 8 ₁ 4 4 1 1 (2 ) (2 ) ln 1 e e e x x L



x dx



x dx_x  x_ e   e  23.

a. Met de stelling van Pythagoras kun je de lengte van de kromme tussen A en B benaderen:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) (( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( '( )) ( '( )) ( ) ( ) i i t L x y x y x y t t t x y t x m y m t t t                 V V V V V V V V V V V V _{V V} V V b.

 

2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0

( sin ) (cos ) sin cos 1 1 2

L t t dt t t dt dt dt t       



  



 







  24. a/b/c. 1 1 1 1 2 2 2 2 4 2 2 2 2 0 0 0 0 (6 ) (6 ) 36 36 36 (1 ) 36 1 L

_

t  t dt

_

t  t dt

_

t t dt

_

t t dt  12 1 ₁ 1 2 2 0 0 6 (1t t )dt 2(1 t )  4 2 2 



 _  _   25.

a. met de x-as: met de y-as:

0 sin 0 0 sin 0 0 (1, 0) ( , 0) t t e t e t t t P en P e              1 2 1 2 1 2 cos 0 0 cos 0 (0, ) t t e t e t t P_ e          

b./c. 2 2

0

( t sin t cos ) ( t cos t sin ) L



e  t e  t  e  t e  t dt 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 2 0 0 0 0

( sin 2 sin cos cos cos 2 sin cos sin

(2 (sin cos ) 2 2 2 2 ( 1) t t t t t t t t t t e t e t t e t e t e t t e t dt e t t dt e dt e dt e e      _                       _{ }   









… paragraaf 6.5 … 29. ₁ 1 1 ( ) ln ln p p A p dx x p x 



 _  _ en ₂ 1 1 1 1 1 ( ) ( 1) p p I p dx x x p       _ _     



Als p heel erg groot wordt, wordt de oppervlakte A(p) onder de grafiek ook heel groot. De inhoud I(p) komt dan steeds dichter in de buurt van  .

30. a. _{( )}2 _{( )} 2 _{( ) (} 2 _{2 ( ) )}2 _{( )} 2 _{( )} x i i i i I  xVx  f x x  f x  x  x xV  Vx  f x x  f x  (2x xV (Vx) )2  f x( )i   Vx(2xVx f x) ( )i   f x( ) (2i  xVx)Vx b. 2 2 2 2 3 3 4 4 2 5 1 5 ₀ 5 0 0 (2 ) 2 (4 2 ) 3 I 



x x  x dx



x  x dx_x  x _   31.

a. De oppervlakte onder de grafiek van f(x) op het interval



a b,



is: ( )

b

a

f x dx



En de oppervlakte onder de grafiek van g(x) op het interval



a b,



is: (b a c ) b. Op het interval

 

0,1 : 1 1 2 1 3 1 3 ₀ 3 0 x dx_ x _ 



De gemiddelde functiewaarde is 1 3. Op het interval

 

0,3 : 3 3 2 1 3 3 ₀ 0 9 x dx_ x _ 



De gemiddelde functiewaarde is 1 3 9 3. c. Op het interval



0,p



: 2 1 3 1 3 3 ₀ 3 0 p p x dx_ x _  p



De gemiddelde functiewaarde is 1 1 3 3 12 p p  . 2 1 3 2 12 36 6 6 p p p p      

32. a. 1 ln ( ) x f x x  b. f x_k( ) lnkx x  1 1 2 2 1 1 ln 1 ln '( ) 0 ln 1 ( ) x e x x x f x x x x x e f e          1 2 2 ln 1 ln '( ) 0 ln 1 x k e k x kx kx f x x x kx kx e x          Top: _{( , )}1 e e _{( )} 1 e k e k k k e f   _{Top: ( , )}e k k e 1 1 e top k k top e x y    c. f x2( ) 0 d. f xk( ) 0 1 2 ln 2 0 2 1 x x x    1 ln 0 1 k kx kx x    e. 3 2 1 ln 3 '( ) x f x x   1 2 1 3 2 ₁ 3 4 4 4 3 1 2 1 3 1 ₉ 1 3 3 2 (1 ln 3 ) 2 2 2 ln 3 3 2 ln 3 3 2 ln 3 "( ) 0 2ln 3 3 ln 3 1 3 ( ) x e e e e x x x x x x x x x x x f x x x x x x x x e e x e e f e e                        f. 1 2 ln '( ) 2ln( ) ( ) k k k kx F x kx f x kx x      g. 1 2 1 2 6 6 2 2 1 1 1 2 2 2 ln 2 (ln 2 ) (ln12) e e x dx x x     



33. a. d 10, dus h r 5.

b. Stel: de halve diagonaal van het vierkant op hoogte h is x. Met de stelling van Pythagoras kun je schrijven: _{x 25h}2

2 2 2 2 2(25 ) 50 2 Opp x  h   h c. 5 5 2 2 3 2 3 ₀ 3 0 (50 2 ) 50 166 I 

_

 h dh_ h h _ 

T_1.

a. 12 2 12 1 1 2 12

2 2

'( ) 2 x x 1 (2 ) x 1

f x  x e x e    x x e 

b. De grafiek van f’ ligt geheel boven de x-as (snijdt de x-as dus niet), dus f heeft geen uiterste waarden. De grafiek van f’ heeft twee uiterste waarden, dus f heeft twee buigpunten.

c. 12 1 2 12 1 1 2 12 2 2 4 "( ) (2 ) x (2 ) x ( 2 2) x f x   x e  x x e   x  x e 1 2 2 1 4 "( ) 0 2 2 0 0 4 2 2 4 2 2 x ABC formule f x x x e x x               

d. Als x heel groot negatief wordt, gaat 1 2

2 x

x e naar 0 omdat 1 2x

e sterk naar 0 daalt. De grafiek

van f nadert dan de scheve asymptoot y x .

T_2.

a. Maak gebruik van gelijkvormige driehoeken (in VACT) en een verhoudingstabel:

1 1 12 12 (12 ) 12 d h d h       Zo ook in VBDT : 12d2  6 (12h) en dus d2  12 (12h) 6 12h. b. 1 1 1 2 1 2 2 (12 ) (6 2 ) (6 2 ) 4 6 36 Opp    h h   h  h  h c. 12 12 2 3 2 1 1 4 12 ₀ 0 ( 6 36) 3 36 144 I 

_

h  h dh_ h  h  h_  T_3. a. 23 53 8 8 ₈ 2 3 2 3 5 2 2 2 (2 ( ) ) (4 ) 4 21,06 I 



 x dx



x dx _ x x _  b. Bepaal de inverse functie van 1

3 y x : 1 3 1 1 3 3 ₁ 3 3 2 2 2 2 3 2 6 1 7 7 ₀ 0 0 (2 ( ) ) (4 ) 4 13,57 x y y x I  x dx  x dx  x x     

_

 

_

  _  _  T_4. a. 1 1 2 12 1 2 2 6 2 '( ) 1 ( 4) 2 4 f x   x   x x x  b. 3 3 2 2 4 2 1 1 4 4 0 0 1 ( 4) 1 L

_

 x x  dx

_

 x x dx c. 3 3 3 3 4 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 4 4 4 2 0 0 0 0 1 (( ) 4 4) ( 2) ( 2) L



 x x dx



x  x  dx



x  dx



x  dx 3 12 d1 12 12-h

T_5. a. _{f t}'( )_{ e}t _et _{en g t'( ) 2} 2 2 2 2 2 2 2 2 ( '( ))_{f t }( '( ))_{g t }(_et_et) _{ }( 2) _e t_2_{e e}t_ t_e t_{ }4 _e t_{ }2 _et _{ e}2t_{2e e}t_ t_e2t _(et_et₎2 b. 1 1 1 2 1 0 0 0 ( t t) ( t t) t t L_ e _e dt_ e _e dt_e _e _{  }e e  





T_6.

a. Er ligt nog 10 x meter op de grond. Dus elk stukje kabel dat al opgetild is moet nog 10 x meter omhoog. De kracht die je op het eerstvolgende stukje moet uitoefenen is 15 (10 x)

15 (10 ) W  F x   x x V V V b. 10 10 2 1 2 ₀ 0 15(10x dx) _150x7 x _ 750



c. Het bovenste deel van de kabel wordt 10 m omhoog getrokken, terwijl het onderste stukje 0 m omhoog gaat.

T_7.

a. Voor alle gevallen kan de grafiek er van f” er zo uit zien: b. De afgeleide heeft in alle gevallen een maximum, dus de grafiek

van f heeft in alle gevallen ook een buigpunt.

c. Alleen in het eerste geval heeft de grafiek van f (twee) uiterste waarden. d. T_8. a./c.





2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 4 2 0 0 0

cos ( cos 2 ) sin 2

I x dx x dx x x        

_



_

    b. _{cos 2x2 cos}2_x1 2 2 1 1 2 2 2cos cos 2 1 cos cos 2 x x x x     T_9. a./b. 0,05 0,05 2 0 0 8500 4250 10,625 W 



u du_ u _  c. 0,10 0,10 2 0,05 0,05 8500 4250 31,875 W 

_

u du_ u _  d. Het kost meer kracht om de veer nog verder in te drukken.