H6: Functies onderzoeken

2 september 2021 Hoofdstuk 6:

Functies onderzoeken

V-1.

a. _{f x'( ) 2 xsin( )x x}2_{cos( )x}

b. '( ) 1 cos( ) 1 sin( ) cos( ) sin( )

2 2 x k x x x x x x        c. _{l x'( ) 2 e}2x _{ln(2) 2} x d. 2 2 2 2 2 ( 1) 2ln( ) 1 2 2ln( ) 2 2 ln( ) 2 '( ) ( 1) ( 1) x( 1) x x x x x x x x m x x x x              

e. _{s x'( ) 3cos (4 )} 2 _{x  sin(4 ) 4x   12sin(4 ) cos (4 )x } 2 _x V-2. a. f x'( ) x cos( ) sin( )x₂ x x    b. 2 2 2 2 2 1 2 '( ) 2 4 2 2 2 4 2 4 4 x k x x x x x x x             c. _{l x'( ) 2 ln( )x x x}2 1 _{2 ln( )x x x} x        d. 2 2 2 2 2 (2 ) 2 2 4 2 2 4 '( ) (2 ) (2 ) (2 ) x x x x x x x x x x x e e e e e e e e m x e e e             e. 2 cos( ) '( ) sin ( ) x t x x   V-3. a. _{f x'( ) 5 x}4_8x3 _{c. (0, 0) en} 3 1942 5 3125 (1 , 2 ) b. f x'( ) 0 d. _{f x"( ) 20 x}3_24x2 _0 4 3 3 3 3 5 5 8 (5 8) 0 0 5 8 0 0 1 x x x x x x x x            2 1 5 4 (5 6) 0 0 1 x x x x      V-4. a. ( ) 2 2 2( 2) 6 2( 2) 6 2 6 2 2 2 2 2 x x x g x x x x x x                b. 2 6 '( ) ( 2) g x x    c. domein: x2 en bereik: , 2  2 ,

d. verticale asymptoot: x2 en horizontale asymptoot: y 2 e. g x'( ) 1 2 2 6 1 ( 2) ( 2) 6 2 6 2 6 2 6 2 6 x x x x x x  _{ }               In (2 6, 2 6) en (2 6, 2 6)

f. met de y-as: met de x-as: 1 2 1 2 (0) 1 en '(0) 1 1 1 g g y x        ( ) 0 2 2 0 g x x    2 3 2 2 3 3 '( 1) g y x       1 ( 1, 0) x    V-5. a. b. ( ) sin( ) voor 0 sin( ) voor 0 x x x f x x x x       _{ }  1 cos( ) voor 0 '( ) 1 cos( ) voor 0 x x f x x x       _{ } 

c. Als x0 dan gaat de afgeleide naar -2 en als 0

x dan nadert de afgeleide naar 0. De grafiek heeft dus een knik.

d.  1 cos( ) 0x  1 cos( ) 0 x  cos( ) 1 2 , 3 x x k x x              cos( ) 1 0 2 0, 2 x x k x x         e. ( , ) en ( 3 , 3 )   (0, 0) en (2 , 2 )  op de lijn: y  x op de lijn: y x V-6. a. _{'( ) 5} 4 ₃ 2 a f x  x  ax b. f_a'( )x x2(5x23 ) 0a  als _5x2_{3a0 want x}2 _0.

Voor a0 is _5x2_{3a0 en de grafiek dus stijgend.}

c. f_a"(3) 0 3 3 "( ) 20 6 "(3) 20 3 6 3 540 18 0 30 a a f x x ax f a a a           V-7.

a. de grafieken moeten een punt gemeenschappelijk hebben: f x( )px

de hellingen moeten in dat punt gelijk zijn: f x'( )p

b. p f x'( ) 1 x   1 1 1 ln( ) 1 en ( , 1) en e e x px x x x e p R e p        t h 2 4 6 8 10 12 -2 -4 -6 -8 -10 -12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -1 -2

2 september 2021 1. a. _{f x'( ) 3 x e}2_ x _{x e}3_ x _(3x2_x3_)ex 2 3 2 '( ) 0 (3 ) 0 (3 ) 0 0 0 3 x x f x x x e x x e x x              b. In (0, 0) en _{( 3, 27  e}3_{) is de raaklijn horizontaal.}

In het laatste punt is er een minimum.

2. a. b. 1 2 3 3 3 2 2 ( ) ( ) f x  x  x x 13 1 3 2 3 ₃ 2 2 '( ) 3 3 f x x x x    

Voor x 0 wordt de noemer 0, dus f'(0) bestaat niet. voor 0 ( ) | | voor 0 x x g x x x x     _{ }   1 voor 0 '( ) 1 voor 0 x g x x      _ 

Voor positieve waarden van x is de helling 1 en voor negatieve waarde is de helling -1. De helling in x0 bestaat niet.

1 '( ) 2 1 2 h x x x   _{ voor} x 0.

c. Zowel f als h heeft een randminimum 0 voor x0. En g heeft een minimum 0.

3.

a. In 2 situaties is er sprake van een overgang van stijgend naar dalend of andersom. b. _{f x}'( ) 2_{ x}ln(2) 2_ x

c. De grafieken zijn hiernaast getekend. Er zijn twee snijpunten, dus daar is 2_xln(2) 2_ x_,

en is f x'( ) 0 . d. (0,485; -1,164) en (3,212; 1,051) e. Voer in: 1 ( 2 2 ) x y abs x  Minima: (-0,77; 0) (2, 0) en (4, 0) Maxima: (0,485; 1,164) en (3,212; 1,1051) 4. a. _{4 3 x}2 _{0 d. f x'( ) 0} 2 2 1 3 2 2 3 3 3 4 1 3 3 x x x      2 2 2 2 2 4 3 6 4(4 3 ) 36 48 16 x x x x x      b. 2 1 3 x  c. '( ) 1 6 ₂ 2 4 3 x f x x    Uiterste waarde: y  31  3 1 31 3 En randminima: 2 3 3  en 2 3 3. x y 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 -2 -3 1 2 3 4 5 -1 g(x) f(x) h(x) x y 1 2 3 4 5 -1 -2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -1 -2 x y 1 2 -1 1 2 3 -1

5. a. b. 1 2 '( ) 3 1 0 f x   x  1 2 1 3 2 4 x x x   

De grafiek heeft een randminimum 0 (voor x0) en een maximum 4 (voor x4).

c. f x( ) 0 1 2 1 1 2 2 3 (3 ) 0 0 9 '(0) 3 en '(9) 1 3 en 1 13 x x x x x x x f f y x y x               d. 1 1 2 2 3x  1 x13 1 1 2 2 4 13 3 (3, 9) x x S   6. a. 4 voor 4 | 4 | ( ) 4 voor 4 x x x x f x x x _x x    _     _{ }   _  b. 1 2 1 ( 4) _{2 ( 4) 4} 4 : '( ) 2 2 x x x _{x x x} x f x x x x x x       _{     }     1 2 '(4) f   1 2 1 ( 4) _{2 ( 4) 4} 4 : '( ) 2 2 x x x _{x x x} x f x x x x x x     _{  }     1 2 '(4) f  1 1 2 2 4 4 lim '( ) lim '( )

x f x     x f x , dus de grafiek van f vertoont een knik. 7. a. b. f x'( ) 2 (1 ln( )x x 1) 2 ln( ) 1 1 ln( )x x x           c. f x'( ) 0 ln( ) 1x x e   De uiterste waarde is f e( ) 2 e e e  d. 2 ( ) 2 ln( ) (2 ln( )) 0 0 ln( ) 2 f x x x x x x x x x e          2 tan( ) '( ) 1 45 f e     

  o De grafiek snijdt de x-as onder een hoek van 45 o_. x y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -1 1 2 3 4 -1 -2 -3 x y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4

2 september 2021

8.

a. grafiek 1 en 4. b. 2: _{f x}( )_xn _met

1

n of een exponentiële functie met grondtal groter dan 1. 3: wortelfunctie of een logaritmische functie met grondtal groter dan 1. 5:

6: exponentiële functie met grondtal 0 g 1

c. 1 en 4: f x'( )c 2 en 3: f x'( ) 0 5 en 6: f x'( ) 0 d. f x"( ) 0 2 en 5: f x"( ) 0 3 en 6: f x"( ) 0

9.

a. Op het interval 4 , 0 is de grafiek afnemend stijgend b. Vanaf x0 is er sprake van een toenemende stijging. c. _{f x'( ) 3 x}2_{2 en f x"( ) 6 x}

d. f x'( ) 0 voor alle waarden van x.

e. Er geldt dan: f x"( ) 0 en wisselt van teken.

10. 1 2 2 '( ) x f x   x e 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 "( ) 1 ( 1) 0 1 0 1 1 x x x x f x e x e x e x e x x                     

De coördinaten van de buigpunten zijn: ( 1, 1_e) en (1, 1_e)

11.

a. _{f x'( ) (4 x 3) e}x _(2x2_{3 )x  e}x _{ ( 2x}2_{  x 3) e}x

b. Als x , dan f x'( )0 (de helling wordt na verloop van tijd bijna nul). Als x , dan f x'( )  (de grafiek gaat steeds steiler lopen).

Een exponentiële functie groeit veel harder dan een machtsfunctie. c. f x'( ) 0 2 1 2 2 3 0 0 ( 2 3)( 1) 0 1 1 x x x e x x x x                

Het minimum van f is f( 1)  e en het maximum 1 112

2 (1 ) 9 f  e . d. _{f x"( ) ( 4  x 1) e}x _{ ( 2x}2_{   x 3) e}x _(2x2_{5x 2) e}x 2 2 1 1 1 1 4 4 4 4 (2 5 2) 0 2 5 2 0 0 1 41 1 41 x x ABC formule x x e x x e x x                  

e. Voor deze waarden van x heeft de helling een uiterste waarde. f. (Exact: doe normaal!!); de helling is maximaal f'(11₄1₄ 41) 3,41

12. a. D_f : 0 , en D_g : 0 ,



 2 ' 1 '( ) 2 ln( ) 2 ln( ) : 0 , f f x x x x x x x x D       1 '( ) 2 : 0 , g g x x D   b. f x'( ) 0 1 2 1 (2ln( ) 1) 0 0 ln( ) e x x x x x        Top: ( ,1e 21e) c. f x"( ) 2ln( ) 2x x 1 1 2ln( ) 3x x       1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 1 1 2 1 1 3 2 "( ) 0 ln( ) 1 ( ) ( ) ln( ) 1 f x x x e f e e e e              Buigpunt: 112 1 3 2 (e , 1_ e )

c. Als x naar 0 nadert wordt de helling van f ook vrijwel 0, de grafiek van f loopt dan horizontaal.

De grafiek van g loopt in (0, 0) vertikaal. (de helling wordt heel erg groot als x naar 0 nadert).

13.

a. Voor grote positieve waarden van x wordt _ex _{heel erg groot. De noemer wordt dan}

heel erg groot waardoor de breuk naar 0 nadert.

b. Voor grote negatieve waarden van x nadert _ex _{naar 0. De functie komt dan in de}

buurt van -1. De andere horizontale asymptoot is: y  1. c. _ex _{ }1 0 1 0 x e x   d. B_f :   , 1 1, 14.

a. Voor x   of x  wordt de teller veel langzamer heel erg groot dan dat de noemer groot wordt. De functiewaarden worden steeds kleiner.

Horizontale asymptoot: y 0.

b. De verticale asymptoten van _{y ln(x}2_{4) en dus ook die van g(x) zijn:} 2 2 4 0 4 2 2 x x x x       

c. Het domein van g(x) is   , 2 2 ,

15.

a. _x2_{ 1 0 x}  _{1 x} _{1: verticale asymptoten.}

Als x  gaat _ex _{  }1 1 _{en x}2_{  1 : de functiewaarden naderen naar 0.}

0

2 september 2021 b. x 1 0 x 1: verticale asymptoot

Voor grote positieve en negatieve waarden van x is _x2_{ 1 x}2 _{| |x}

Als x : ( ) 1 1 x g x x      horizontale asymptoot: y  1 Als x : ( ) 1 1 x g x x    horizontale asymptoot: y 1 c. ( ) 2 2 ( 1) ( 1) 1 1 1 1 1 1 x x x x x l x x x x x             

De grafiek van l heeft een verticale asymptoot: x 1 en een scheve asymptoot: 1 y  x . d. _1e2x _0 2x ₁ e _{ } 

Als x , gaat _e2x _{naar 0. De functiewaarden naderen dan naar 2. Als x} _,

wordt _1e2x _{heel erg groot. De functiewaarden naderen naar 0.}

Horizontale asymptoten: y 0 en y 2. 16. a. b. '( ) 1₂ 2 1 ₂ 1 2 1 1 x f x x x x        c. f x'( ) 0 2 2 2 1 1 x x x x      '(0) 1

f   , dus f x'( ) 0 voor alle waarden van x. Met andere woorden: f is dalend. d. f x( ) 0,001 2 2 2 2 1 0,001 1 ( 0,001) 0,002 0,000001 0,002 0,999999 499,9995 x x x x x x x x            Dus voor x499,9995

e. Voor grote waarden van x is _x2_{ 1 x. De functiewaarden naderen dan naar 0.} 17.

a. Voor grote positieve waarden van x, wordt _ex _{veel groter dan x. De noemer wordt}

dus veel en veel groter dan de teller. De breuk wordt vrijwel gelijk aan 0. b. zie a. c. Te bewijzen: f a( ) f a( ) 1 1 2 2 ( 1) 2 ( 1) ( 1) ( ) 1 1 2( 1) 2( 1) 2 ( 1) a a a a a a a a a a a a a e a a e ae e f a a a e e e e e e                                  1 2 (1 ) ( 1) 2a ( 1) 2 ( ) 2(1 ) 2( 1) 2( 1) 2( 1) ( 1) a a a a a a a a a e a e a e a a a f a e e e e e                  x y 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 1 2 3 4 5 6 7 -1

d. Voor grote negatieve waarden van x gaat _ex _{naar 0.} 1 1 1 1 2 2 2 2 ( ) 1 1 x x x f x x x x x x e          

e. Omdat de teller dan ook 0 wordt. Er is dan een “0/0”-situatie. f. Dan komt de breuk steeds dichter bij 1.

18. a. ln( ) 1 0x   1 ln( ) 1 e x x    domein: _{0 ,} 1 1_, e  e  b. Als 1 e

x  wordt de teller -1 en de noemer 0. De grafiek heeft daar een verticale asymptoot. Als x0 worden zowel de teller als de noemer heel erg groot negatief. De breuk komt dan in de buurt van -1.

De grafiek heeft een asymptotisch punt: (0, -1)

c. Voor grote positieve waarden van x wordt de teller en de noemer groot positief. De breuk nadert tot 1. Horizontale asymptoot: y 1.

d./e. zie b. 19. a. b. 2 2 3 8 3 '( ) 0 2 4 x x g x x x     2 2 3 8 3 (8 3 ) 0 0 2 x x x x x x       

De uiterste waarden van g zijn: g(0) 0 en

13 2 3 27 (2 ) 9 3,08 g   c. d. _{h x'( ) 2(4 x}2_x3_{)(8x3 ) 0x}2 _ 2 3 2 2 2 3 4 0 8 3 0 (4 ) 0 (8 3 ) 0 0 4 2 x x x x x x x x x x x               

De uiterste waarden van h zijn: h(0) 0 , 2 655

3 729 (2 ) 89 h  en h(4) 0 . e. f. 2 2 3 2 (8 3 ) '( ) 0 (4 ) x x k x x x      2 3 2 x

De uiterste waarde van k is: 2 27

3 256 (2 ) k  . x y 1 2 3 4 5 -1 -2 1 2 3 4 5 6 7 -1 x y 1 2 3 4 5 -1 -2 10 20 30 40 50 60 70 80 90 -10 x y 1 2 3 4 5 -1 -2 2 4 6 8 10 -2 -4 -6 -8

2 september 2021 20. 21. a. 2 2 2 1 1 1 3 1 3 ( ) 3 x g x x x x x x    _{ }        ( ) 0 g x  1 3 1 3x 0 x    b. 1 1 (1) ( ) (1) g f f en 1 1 ( 1) ( ) ( 1) g  f _  f c. 2 2 1 3 3 x x x x  _{ } 2 2 4 3 4 3 1 3 ( 3 ) 3 3 3 1 0 x x x x x x x x x          d. _(x2_3x1)(x2_{ 1) x}4_x2_3x3_{3x x} 2_{ 1 x}4_3x3_3x1 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 3 1 0 1 0 1 1 5, 1 5, 1 1 ABC formule x x x x x x x x                 22.

a. 1 x 1: dus geen verticale asymptoot De verticale asymptoot van g is x 1

b. ( ) 2 2(1 ) 2 2 2 1 1 1 x x g x x x x          Voor x0 is 0 2 2 1 x    en is g x( ) 2 . c. D_f : 0 ,



 en B_f : 0 , 2



D_g :x  1 en B_g :y 2 d. 23. a. domein: 0 ,

b. g(1) 0 en als x0 dan komt g(x) in de buurt van 0

1 1 '( ) 1 ln( ) ln( ) 1 0 ln( ) 1 x e g x x x x x x          

De grafiek van g heeft een minimum _{( )}1 1

e e g   Dus voor 0 x 1 is 1 _{( ) 0} e g x    c. 0h x( ) _e12

d. De teller wordt nooit 0, dus heeft f(x) geen nulpunten.

x y 1 2 3 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 x y 1 2 3 -1 -2 -3 -4 1 2 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 x y 1 2 3 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 x y 1 2 3 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 x y 5 10 15 20 1 2

e. Voor grote waarden van x wordt g(x) ook heel erg groot. Daarmee wordt h(x) ook heel erg groot en f(x) nadert dan naar 0. Dus f heeft een horizontale asymptoot. f. De nulpunten van h zijn de verticale asymptoten van f.

Het nulpunt van g is tevens het nulpunt van h. g. De grafiek van f heeft een minimum _e2 _voor 1

e

x  .

0

x en x1 zijn verticale asymptoten.

24. a. f2( ) ln ( ) 2ln( )x  2 x  x 2 2ln( ) 2 2ln( ) 2 '( ) 0 2ln( ) 2 0 ln( ) 1 x x f x x x x x x x e          

De coördinaten van de top zijn: ( , 1)e 

b. _{f 2}"( )_x x 2x (2ln( ) 2)₂ x 4 2ln( )₂ x 0 x x         2 4 2ln( ) 0 ln( ) 2 x x x e    

De coördinaten van het buigpunt zijn: _{( , 0)e}2

c. _{ln ( )}2 _{x pln( ) 0x } ln( ) (ln( ) ) 0 ln( ) 0 ln( ) 1 p x x p x x p x x e          

Voor p0 heb je maar één oplossing x1. Voor elke andere waarde van p heb je twee verschillende oplossingen.

d. f_p'( )x 2ln( )x p 2ln( )x p 0 x x x      1 2 1 2 2ln( ) 0 ln( ) p x p x p x e     

De coördinaten van de toppen zijn: 12 1 2

4 (_e p,_{ p} ) 1 2 2 1 2 1 2 2 4 ( )_T ln ( p) ( ) _T g x   e    p   p y 25. a. 1 4 ( ) 0 f   1 1 1 1 1 4 4 2 2 2 1 2 1 2 cos( ) ( 1)sin( ) 2 ( 1) 2 2 2 0 2 2 p p p p p p p                b. 1 1 2 2 cos( ) ( 1)sin( ) 0 p   p   ( 1) 1 0 1 p p      Als 1 1 4  x 2, dan is    1 p 12

2 september 2021 26. a. 1 4 '( ) 0 en ( ) f x  f x   2 2 2 2 1 1 2 3 1 3

'( ) 3 sin ( ) cos( ) cos( ) 0 cos( ) (3 sin ( ) ) 0 cos( ) 0 3sin ( ) 0 sin ( ) sin( ) p f x x x p x x x p x x p x x p x p                    3 1 1 1 1 2 2 2 4 1 4 1 4 ( ) sin ( ) sin( ) 1 1 p f p p p              3 1 1 2 1 1 3 3 3 3 4 3 4 ( ) ( ) met GR p f x p p p p p p            Voor 1 4 1 p  is het maximum 1 4  .

b. f_p"( ) 6 sin( )cos ( ) 3 sin ( )x  x 2 x  3 x psin( )x

2 2

2 2

2

2 2 1

3 9

sin( ) (6cos ( ) 3sin ( ) ) 0

sin( ) 0 6(1 sin ( )) 3 sin ( ) 0 9 sin ( ) 6 0 sin ( ) x x x p x x x p x p x p                 

Deze vergelijking heeft tenminste één oplossing als 2 1

3 9

0  p1 ofwel   3 p 6. (blijkbaar doet p 3 niet mee: dit gaat m.i. wel wat ver voor 6 vwo)

27. a. '( ) 2( ) x ( )2 x ( 2 2(1 ) ( 2 2 )) x p f x  x p e   x p e  x  p x p  p e b. fp'(0) 0 2 0 ( 2 ) 0 ( 2) 0 0 2 p p e p p p p         c. fp'( ) 0x  2 2 2 2 2 2 2(1 ) 2 2(1 ) 2 2 2 2(1 ) ( 2 ) 0 0 4(1 ) 4( 2 ) 4(1 2 ) 4 8 4 2 x p p ABC formule x p x p p e D p p p p p p p x    p x    p                          Toppen: _{( 2 p e, 4}  2 p_{) en ( , 0)p} d. _{g( 2 p) 4 e} 2 p_:klopt ( ) 4 p 0 g p  e  : klopt niet. 28. (0) 4 sin(0) 4 2cos(0) 2 p p f p p     

De richtingscoëfficiënt van de lijn is:

4 2 ( 2) 4 ( 2) p p _{p p} p p p   _{ }  

2

( 2cos( )) cos( ) (4 sin( )) 2sin( ) '( ) ( 2cos( )) p p x p x p x x f x p x         2 2 2 ( 2) ( 2) 4 '(0) ( 2) 2 ( 2) ( 2) 4 ( 2) 4 2 4 2 4 2 p p p p p p f p p p p p p p p p p p p p p p                      29. a. _{d A O( , ) (x0)}2_{( 16x}2 _0)2 _{ x}2_{( 16x}2 2_{)  x}2_16x2 _{ 16 4} b. 2 2 1 2 2 2 1 2 2 4 ( , ) ( 16 0) ( ) 16 ( ) d P M  px x   x p  px x  x px p  1 2 4 16 p

  is constant voor elke waarde van p. c. _{16 6 x x} 2 _0 2 ( 6 16) ( 8)( 2) 0 2 8 x x x x x            d. 8 8 2 2 1 3 2 3 ₂ 3 2 (16 6 ) 16 3 166 I  x x dx  x x x      



   _   _  e. _{ (x 1)(x16) (x}2_{15x16) 16 15  x x} 2 15 p f. '( ) 1 ₂ ( 2 ) 2 ₂ 0 2 16 2 16 p p x f x p x px x px x           1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 4 2 2 0 16 ( ) 16 16 ( ) 16 p x x p y p p p p p x              30. a./c. b. _(x2_{4)(4x) 0} 4 x 0 en dus x4. d. _{f x( ) ( x}2_{4)(4x) x}3_4x2_4x16 2 2 2 '( ) 3 8 4 3 8 4 '( ) 2 ( 4)(4 ) f x x x x x g x x x           e. _3x2_{8x 4 0} 2 3 2 22 3 27 (3 2)( 2) 0 2 ( , 14 ) en (2, 16) x x x x       

f. Dat is voor dezelfde x-coördinaten: 2 22

3 27 ( , 14 ) en (2, 4) x y 1 2 3 4 5 -1 -2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 -2

2 september 2021 31. a. _{f x}'( ) x 1x (1 ln( )) 1₂ x 1 1 ln( )₂ x ln( ) 2x₂ 0 x x x              2 ln( ) 2 0 ln( ) 2 x x x e     De uiterste waarde is 2 2 1 ( ) e f e _  b. 1 1 1 1 ln( ) ( ) x ln( ) (ln(1) ln( )) ln( ) x x g x    x x  x x  x  x x x

c. Voor de grafiek van f:

Als x0 wordt de teller groot en de noemer bijna 0. De breuk wordt dan heel erg groot. Verticale asymptoot: x 0

Voor grote waarden van x, wordt de noemer veel groter dan de teller. De breuk nadert 0. Horizontale asymptoot: y 0

De grafiek van g heeft geen asymptoten.

d. _{f x g x( ) ( )} 1 ln( )x _{(x xln( ))x} (1 ln( ))x x (1 ln( ))x _{1 ln ( )}2 _x x x             2 3 4 2 1 4 1 1 2 2 1 1 ln ( ) ln ( ) ln( ) ln( ) e x x x x x x e           3 4 ( ) ( ) f x g x  voor _{0 ,} 1 _, e   e  32. a.

b. Als x1 gaat g x( ) . De functiewaarden van f naderen dan 0. Het punt (1, 0) is een

asymptotisch punt. Als x1 gaat g x( ) . De functiewaarden van f gaan dan ook naar . c. Voor grote waarden van x nadert g(x) naar 1.

Horizontale asymptoot van f: y e.

d. 1 1 2 2 ( 1) 1 1 1 '( ) ( 1) ( 1) x x x x x x f x e e x x              1 1 1 1 1 2 2 4 4 4 4 1 1 1 2( 1) 1 2 2 "( ) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 2 1 ( 1) x x x x x x x x x x x x f x e e e e x x x x x x e x                              e. f x"( ) 0 1 2 2 1 0 2 1 x x x    

De coördinaten van het buigpunt zijn: 1 1 2 ( , )_e . x y 1 2 3 4 5 -1 -2 2 4 6 8 10 -2

33. a. g xa( ) 2 ln(  x a4 ) 0 f_a(_e42 a) _e42   a a _e42  _e2 2 2 ) 4 2 1 4 4 ln(x a ) 2 x a e e e x a          2 e PQ b. Te bewijzen: f x_a( )g x_a( ) en f_a'( )x g_a'( )x 2 1 1 2 2 4( ) ( ) 0 4 4 x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a                  

 

4 4 4 2 ln kan niet 4 2 ln( ) 2 ln(1) 1 voor alle a a a a a a a a a              c. Raakpunt: (4a, 2)

De raakpunten liggen allemaal op de lijn y 2.

34. a. 1 1 1 4 2 4 ( ) sin( ) sin( ) 0 p f     p   b. 2 3 '( ) 0 p f   1 2 2 1 2 p p   2 2 1 3 3 2 2cos(2 ) cos( ) 1 0 2 p p p           c. 1 1 2 2 '( ) 2cos( ) cos( ) 2 p

f    p    voor alle waarden van p. Dus er is geen uiterste waarde voor 1

2

x  voor alle waarde van p. d. fp"(13) 0 1 1 1 3 3 2 4sin(2 ) sin( ) 2 2 2 0 4 p p p            35. a. 1 ln( ) ( ) x f x x  b. f x_k( ) ln( )kx x  1 1 2 2 ln( ) 1 ln( ) '( ) 0 ln( ) 1 x x x x f x x x x x e         1 2 2 1 ln( ) 1 ln( ) '( ) 0 ln( ) 1 x k k x kx kx f x x x kx x e         Top: _{( , )}1 e e Toppen: ₍1 _{, )}k ke e 1 1 1 T T k k y x  e  e  c. 2 ln(2 ) ( ) x 0 f x x   d. f x_k( ) ln( )kx 0 x   1 2 ln(2 ) 0 2 1 x x x    1 ln( ) 0 1 k kx kx x   

2 september 2021 e. 3 2 1 ln(3 ) '( ) x f x x   1 1 3 2 1 1 3 3 2 1 3 4 4 3 1 2 1 3 ln(3 ) 1 ₉ 2 (1 ln(3 )) 2 (2 2 ln(3 )) 3 2ln(3 ) "( ) 0 2ln(3 ) 3 ln(3 ) 1 x e e e e e e e e x x x x x x x x f x x x x x x x e e y                      f. 1 2 1 ln( ) '( ) 2ln( ) ( ) k k kx F x kx f x x x      g. 6 6 2 2 1 1 1 2 _0,5 2 2 0,5 ln(2 ) ln (2 ) ln (12) e e x dx x x    



T-1. a. '( ) 1 (_{2 2} ) ( ₂ 1)₂ 0 x x x x x xe e x e f x x e x e           ( 1) 0 1 x x e x      Het maximum is f( 1)  _{ 1}1_e1  e

b. g x'( ) (2 cos( ))  x  sin( ) sin( ) (1 cos( ))x  x   x 

2sin( ) sin(x)cos( ) sin( ) sin( )cos( ) 2sin( )cos( ) sin(x)x x x x x x x

       1 2 1 2 3 3 sin( ) (2cos( ) 1) 0 sin( ) 0 cos( ) 0 2 , 2 , 2 1 2 x x x x x k  x  k  x  k  x  k                    

Minima: 2 voor x   0 k 2 ; minima: 0 voor x    k 2; maxima: 1 4 2 voor 1 3 2 x    k  en maxima: 1 4 2 voor 2 3 1 2 x    k  c. 2 1 1 2 2 2 2 ₂ 4 5 2 2 1 2 1 2 4 5 2 _{2( 4 5) 2 ( 2) 4 10} '( ) 4 5 _{( 4 5) ( 4 5)} x x x x x x _{x x x x x} h x x x _{x x x x}        _{     }      _{   } 1 2 '( ) 0 4 10 2 h x x x     

h(x) heeft een minimum 1 2 5 5 2 5  _{ } voor 1 2 2 x   . d. ( ) (4 ) voor 0 4 ( 4) voor 4 x x x k x x x x           1 2 1 2 2 1 voor 0 4 '( ) 2 1 voor 4 x x x k x x x x  _{  }     _{ }  '( ) 0 k x  voor 1 3 1 x 

Randminimum 0 voor x0; maximum 7 9

1 3 voor 1 3

1

x en een minimum 0 voor 4 x . T-2. a. 21 2 1 12 1 2 12 2 2 '( ) 2 x x 1 (2 ) x 1 f x  x e x  e   x x e 

b. De grafiek van f’ ligt geheel boven de x-as (snijdt de x-as dus niet), dus f heeft geen uiterste waarden. De grafiek van f’ heeft twee uiterste waarden, dus f heeft twee buigpunten. c. 12 1 2 1 12 1 2 21 2 2 4 "( ) (2 ) x (2 ) x ( 2 2) x f x  x e  x x  e  x  x e 1 2 2 1 4 "( ) 0 2 2 0 0 4 2 2 4 2 2 x ABC formule f x x x e x x               

2 september 2021 T-3. a. Als x0, dan ( ) ln( ) ln( ) 1 4 ln( ) ln( ) x x f x x x       : asymptotisch punt: (0, -1) Als x , dan ( ) ln( ) ln( ) 1 4 ln( ) ln( ) x x f x x x       : horizontale asymptoot: y 0 verticale asymptoot: _{x e} 4 _{(noemer is 0 en teller niet)}

b. verticale asymptoot: xln(2) (noemer is 0 en teller niet) Als x : ( ) 4 4 0 2 x x g x e e      : horizontale asymptoot: y 0 Als x : ( ) 4 4 2 2 x 2 g x e     : horizontale asymptoot: y 2 c. verticale asymptoot: x 2 Als x , dan ( ) | 2 | 1 2 x x h x x x      : horizontale asymptoot: y 1 Als x , dan ( ) | 2 | 1 2 x x h x x x        : horizontale asymptoot: y  1 d. verticale asymptoot: x 1

Als x , dan ( ) sin( ) 1

1 1 x x x k x x x       : horizontale asymptoot: y 1 En dit geldt ook voor x .

e. Geen verticale asymptoten

Als x  dan ( ) 4 ₂ 4 4 ₂ 4 4 1 x x x l x x x x       : horizontale asymptoot: y 4 Als x  dan ( ) 4 ₂ 4 4 ₂ 4 4 1 x x x l x x x x         : horizontale asymptoot: y  4 f. 4 0 2 x x  0 en 2 x x  Als x  of x , dan ( ) 4 4 2 2 x x m x x x     : horizontale asymptoot: y 2 verticale asymptoot: x 2 T-4. T-5. a. (0) 0 a0 0 a

f  e   : alle grafieken gaan door (0, 0)

'( ) ( 1) '(0) 1 ax ax ax a a f x x ae e ax e f       

De helling in (0, 0) is 1 voor alle grafieken van fa. x y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -1 -2 1 2 3 4 5 6 7 -1 x y 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 -2 -3 1 2 3 4 5 6 7 -1 x y 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 -2 -3 2 4 6 8 10 12 14 16 -2 x y 1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 -5

b. f_a'( ) 0x  1 1 1 1 1 1 1 0 0 a ax a a a ae a e ax e x y e               

De toppen liggen op de lijn 1

e y  x T-6. a. ( ) | | ( 3) ( 3) voor 0 ( 3) voor x 0 x x x f x x x x x        _{ }    2 3 voor 0 '( ) 2 3 voor 0 x x f x x x       _{ }  1 2 '( ) 0 1 f x x  

De grafiek van f heeft een maximum 0 voor x0 en een minimum 1 4 2  voor 1 2 1 x .

b. (0, 0) is in ieder geval een gemeenschappelijk punt.

2 ₃ ( 3 ) 0 0 3 x x px x x p x x p            2 ₃ ( 3 ) 0 0 3 x x px x x p x x p         

Dit is een oplossing als 3 p 0 Nu moet gelden: 3 p 0; p 3 dus als p3.

Met andere woorden: er zijn twee oplossingen als   3 p 3. c. 4 0 4 0 4 2 2 1 3 1 2 1 3 1 2 3 2 ₂ 3 2 ₀ 2 2 0 ( ) ( 3 ) ( 3 ) 1 1 f x dx x x dx x x dx x x x x              _  _ _  _ 







2 2 1 3 3 3 8 2 11       T-7. a. b. T-8. a. 2 2

(2 cos( )) 2sin( ) (1 2cos( )) sin( ) '( ) (2 cos( )) x x x x f x x          2 2

4sin(x) 2sin( )cos( ) sin( ) 2sin( )cos( ) 5sin(x)

0 (2 cos( )) (2 cos( )) x x x x x x x         5 sin( ) 0x x k    

De uiterste waarden zijn: 1

2(0) 3 f   , f2( ) 1  en f2(2 )  13. x y  2 3 4 1 2 -1 -2 x y  2 3 4 0,5 x y  2 3 4 0,5 -0,5

2 september 2021 b. 1 2cos( ) cos( ) x c a x  _  1 2

1 2cos( ) ( cos( ) cos( ) c 2 en x c a x ca c x a           c. f_a'( ) 0 enx  f x_a( ) 1 2 2 2 2

( cos( )) 2sin( ) (1 2cos( )) sin( ) '( )

( cos( ))

2 sin(x) 2sin( )cos( ) sin( ) 2sin( )cos( ) (2a 1)sin(x) 0 ( cos( )) ( cos( )) a x x x x f x a x a x x x x x a x a x                   1 2 2a 1 0 sin( ) 0x a x k         1 1 (0) 1 2 a a f a       3 1 ( ) 1 4 a a f a   _   T-9.

a. Als p0 is _x2_{ p 0 voor alle waarden van x. De noemer px}2_{ 1 0 voor alle}

waarden van x. De breuk is dan altijd kleiner dan 0 en dus bestaat de functiewaarde niet.

b. Dit is niet leuk meer!

2 2 ₁ 0 x p px  _  2 2 2 2 1 1 1 0 en 1 0 , , p p p x p px x p x x p x p x x             of 2 2 2 2 1 1 1 0 en 1 0 p p p x p px x p x p x p x            

En nu moet je ook nog de gevallen onderscheiden: 0 p 1 en p1.

c. Leerlingpesterij!! d. 2 2 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 ( ) 1 1 ( ) ln ln ln ln ( ) 1 1 x x p x p p x x x px p p px f p p x              _{ }  _{ } _ _ _{ }     _  _     _{   } 2 2 2 2 2 2 ( ) ln(1) ln ln ln ( ) 1 ( 1) 1 p p x x p x p f x px px px             _{ }  _{ }  _{ }           