Stelling (Fubini)
Guido Fubini (1879-1943) Laat f een continue functie zijn op D = [a, b] × [c, d].
Dan kan Z Z
D
f (x, y) dA geschreven worden als een herhaalde integraal.
Z Z
D
f (x, y) dA = Z b
a
Z d c
f (x, y) dy
dx Z Z
D
f (x, y) dA = Z d
c
Z b a
f (x, y) dx
dy
May 7, 2010 1
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
Gevolg
Is f (x, y) = g(x)h(y) waarbij g een continue functie is op [a, b]
en h op [c, d] dan geeft toepassing van de stelling van Fubini dat Z Z
D
f (x, y) dA =
Z b a
g(x) dx
Z d c
h(y) dy
Uitbreiding tot niet-rechthoekige gebieden
Laat D ⊂ R2 een begrensd gebied zijn en laat R ⊂ R2 een rechthoek zijn zodat D ⊂ R. Laat verder f op D een continue functie zijn.
Definieer de functie ˜f op R door : f (x, y) =˜
( f (x, y) als (x, y) ∈ D 0 als (x, y) ∈ R\D .
Bestaat Z Z
R
f (x, y) dA dan heet f Riemann-integreerbaar˜ over D en de Riemannintegraal van f over D wordt hierdoor gedefinieerd.
May 7, 2010 3
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
We gebruiken de voor de hand liggende notatie Z Z
D
f (x, y) dA en er geldt dus
Z Z
D
f (x, y) dA = Z Z
R
f (x, y) dA˜
Een gebied D ⊂ R2 heet van hetType Ials er continue functies g1, g2 op [a, b] bestaan zodat
D = {(x, y) | a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x)}
Een gebied D ⊂ R2 heet van hetType IIals er continue functies h1, h2 op [c, d] bestaan zodat
D = {(x, y) | c ≤ y ≤ d, h1(y) ≤ x ≤ h2(y)}
May 7, 2010 5
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
Stelling
Als f continu is op een gebied van Type I en/of Type II dan is f Riemannintegreerbaar over D.
Gevolgen
Als D een gebied is van Type I zoals hiervoor beschreven en f is continu op D dan geeft de stelling van Fubini dat
Z Z
D
f (x, y) dA = Z b
a
(Z g2(x) g1(x)
f (x, y) dy )
dx
Als D een gebied is van Type II zoals hiervoor beschreven en f is continu op D dan geeft de stelling van Fubini dat
Z Z
D
f (x, y) dA = Z d
c
(Z h2(y) h1(y)
f (x, y) dx )
dy
May 7, 2010 7
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
