Wiskunde 1 voor kunstmatige intelligentie, 2005 Deel I. Lineaire Algebra
Opgaven voor Lineaire Algebra
Opgave 1.
Breng de volgende stelsels lineaire vergelijkingen op rijtrapvorm, concludeer of ze oplosbaar zijn en geef, zo ja, alle oplossingen aan.
(i)
2x1−x2+ 3x3 = 2 x1+ 2x2+ x3 = 1 3x1−4x2+ 5x3 = 3
(ii)
x1−x2+ 2x3−3x4 = 7 4x1+ 3x3+ x4 = 9 2x1−5x2+ x3 = −2 3x1−x2−x3+ 2x4 = −2
(iii)
x1+ 2x2−x3 = 0 2x1+ 5x2+ 2x3 = 0 x1+ 4x2+ 7x3 = 0 x1+ 3x2+ 3x3 = 0
(iv)
x1+ 2x2+ 3x3 = 1 4x1+ 5x2+ 6x3 = 2 7x1+ 8x2+ 9x3 = 3 5x1+ 7x2+ 9x3 = 4
(v)
x1+ 2x2−3x3+ 2x4 = 2 2x1+ 5x2−8x3+ 6x4 = 5 3x1+ 4x2−5x3+ 2x4 = 4
(vi)
x1+ 2x2+ x3+ x4+ x5 = 0
−x1−2x2−2x3+ 2x4+ x5 = 0 2x1+ 4x2+ 3x3−x4 = 0 x1+ 2x2+ 2x3−2x4−x5 = 0 Opgave 2.
Bepaal de waarden van de parameter a zo dat het stelsel lineaire vergelijkingen:
(a) een eenduidige oplossing heeft, (b) meerdere oplossingen heeft, (c) niet oplosbaar is:
(i)
x1+ x2−x3 = 1 2x1+ 3x2+ ax3 = 3 x1+ ax2+ 3x3 = 2
(ii)
x1+ x2+ ax3 = 2 3x1+ 4x2+ 2x3 = a 2x1+ 3x2−x3 = 1 Opgave 3.
Aan welke voorwaarden moeten a, b en c voldoen opdat het volgende stelsel lineaire vergelijkingen een oplossing heeft?
(i)
x1+ 2x2−3x3 = a 2x1+ 6x2−11x3 = b x1−2x2+ 7x3 = c
(ii)
x1+ 2x2−3x3 = a 3x1−x2+ 2x3 = b x1−5x2+ 8x3 = c Opgave 4.
Ga na of de volgende stelsels van vectoren lineair afhankelijk of onafhankelijk zijn:
(i)
1 3
−1
,
2 0 1
,
1
−1 1
(ii)
1 1
−1
,
2 1 0
,
−1 1 2
(iii)
1
−2 3 1
,
3 2 1
−2
,
1 6
−5
−4
(iv)
0 1
−1 2
,
1 2
−1
−1
,
−1 1 1
−1
57
Wiskunde 1 voor kunstmatige intelligentie, 2005 Deel I. Lineaire Algebra
Opgave 5.
Ga na of de volgende afbeeldingen lineair zijn en geef, zo ja, de matrix van de afbeelding met betrekking tot de standaardbases aan:
(i) f : R2→R : f (x, y) := xy (ii) f : R → R2 : f (x) := (2x, 3x) (iii) f : R2→R2 : f (x, y) := (2x − y, x) (iv) f : R2→R3 : f (x, y) := (x + 1, 2y, x + y)
(v) f : R2→R3 : f (x, y) := (x, 2y, x + y) (vi) f : R2→R3 : f (x, y) := (x2,2y, x + y) (vii) f : R3→R2 : f (x, y, z) := (z, x + y) (viii) f : R3→R2 : f (x, y, z) := (x + 1, y + z)
Opgave 6.
Bereken de volgende determinanten:
dett − 5 7
−1 t+ 3
, det
2 0 −1
3 0 2
4 −3 7
, det
3 2 −4 1 0 −2
−2 3 3
,
det
7 6 5
1 2 1
3 −2 1
, det
t+ 3 −1 1 5 t −3 1 6 −6 t+ 4
, det
a b c c a b b c a
,
det
2 5 −3 −2
−2 −3 2 −5
1 3 −2 2
−1 −6 4 3
,det
3 −2 −5 4
−5 2 8 −5
−2 4 7 −3
2 −3 −5 8
, det
1 2 2 3
1 0 −2 0
3 −1 1 −2
4 −3 0 2
Opgave 7.
Bepaal de eigenwaarden en eigenvectoren van de volgende matrices. Geef in elk geval aan of er een basis bestaat die alleen maar uit eigenvectoren bestaat.
A=1 4 2 3
, B = 0 1
−1 1
, C=
1 −3 3 3 −5 3 6 −6 4
, D=
−3 1 −1
−7 5 −1
−6 6 −2
,
E=
3 1 1 2 4 2 1 1 3
, F =
0 7 −6
−1 4 0 0 2 −2
, G=
2 −2 3 10 −4 5 5 −4 6
58
Wiskunde 1 voor kunstmatige intelligentie, 2005 Deel I. Lineaire Algebra
Opgave 8.
Bepaal een basis van de deelruimten die (met betrekking tot het standaardin- product) orthogonaal op de volgende vectoren staan:
(i)
1
−2 3 4
en
3
−5 7 8
∈R4 (ii)
1 2 3
−1 2
en
2 4 7 2
−1
∈R5
Opgave 9.
Laat zien dat de afbeelding f (x1
y1
,x2
y2
) := x1x2 −x1y2 −y1x2 + 3y1y2
een inproduct op R2 definieert (d.w.z. laat zien dat f een positief definiete, symmetrische bilineaire afbeelding is).
Opgave 10.
Laten v1 =x1
y1
en v2=x2
y2
vectoren in R2 zijn.
(i) Voor welke a ∈ R definieert de afbeelding
f(v1, v2) := x1x2−3x1y2−3y1x2+ ay1y2
een inproduct op R2?
(ii) Voor welke a, b, c, d ∈ R definieert de afbeelding
f(v1, v2) := ax1x2+ bx1y2+ cy1x2+ dy1y2
een inproduct op R2?
Opgave 11.
Bepaal een orthonormaalbasis (met betrekking tot het standaardinproduct)
voor de deelvectorruimte U ⊆ R4 die de vectoren
−3
−3 3 3
,
−5
−5 7 7
en
4
−2 0 6
bevat.
Opgave 12.
Geef de orthogonale projectie (met betrekking tot het standaardinproduct) van v=
1
−1 2
in de richting van w =
0 1 1
aan.
59
