Limieten en differentieerbaarheid

Limieten en differentieerbaarheid

Differentieerbaarheid

Definitie Als lim

h→0

f (a + h) − f (a)

h bestaat en gelijk is aan L dan heet de functie f differentieerbaar in a en L afgeleide van f in a.

Notatie f⁰(a) = L Dus f⁰(a) = lim

h→0

f (a + h) − f (a)

h .

Opmerking

Er geldt ook dat f⁰(a) = lim

x →a

f (x ) − f (a) x − a .

I.A.M. Goddijn Faculteit EWI

8 september 2014 1

Andere notaties

Als de functie f differentieerbaar is in a en y = f (x ) dan kan f⁰(a) op vele manieren worden genoteerd. Zoals bijvoorbeeld

df (a) dx , dy

dx{x = a} , Df (a) , D_xf (a) .

Omdat de linker-en rechterlimiet zijn gedefinieerd kunnen ook de linker-en rechterafgeleide in a worden gedefinieerd.

Notaties f_l⁰(a) en f_r⁰(a)

Dus







f_l⁰(a) = lim

h→0⁻

f (a + h) − f (a) h f_r⁰(a) = lim

h→0⁺

f (a + h) − f (a) h Opmerking

f is differentieerbaar in a dan en slechts dan als f zowel links-als rechts differentieerbaar is in a en f_l⁰(a) = f_r⁰(a).

I.A.M. Goddijn Faculteit EWI

8 september 2014 3

f : A → R heet differentieerbaar ‘op’ A als f differentieerbaar is in elk inwendig punt van A en rechts- linksdifferentieerbaar in de eventuele randpunten.

Als f differentieerbaar is in a dan is f continu in a.

Een functie kan dus alleen differentieerbaar zijn in een punt als zij continu is in dit punt.

Eigenschappen

Laten de functies f en g differentieerbaar zijn op een open interval I . Dan zijn de functies f + g , c f , f · g ook differen- tieerbaar op I en voor alle x ∈ I geldt:

(f + g )⁰(x ) = f⁰(x ) + g⁰(x ).

(c f )⁰(x ) = c · f⁰(x ).

(f · g )⁰(x ) = f⁰(x ) · g (x ) + f (x ) · g⁰(x ).

Verder is de functie f

g differentieerbaar op J = {x ∈ I |g (x ) 6= 0} en voor alle x ∈ J geldt:

 f g

0

(x ) = f⁰(x ) · g (x ) − f (x ) · g⁰(x )

{g (x)}² .

I.A.M. Goddijn Faculteit EWI

8 september 2014 5

Definitie

Als f : B → R en g : A → B functies zijn dan heet de functie h : A → R die gegeven wordt door h(x) = f (g (x)) de samenstelling van de functies g en f .

h wordt genoteerd als: f ◦ g

Dus (f ◦ g )(x ) = f (g (x )) voor x ∈ A Eigenschap, de kettingregel

Als g differentieerbaar is in a en f is differentieerbaar in b = g (a) dan is de functie f ◦ g differentieerbaar in a en (f ◦ g )⁰(a) = f⁰(b) · g⁰(a) = f⁰(g (a)) · g⁰(a).

Verschillende schrijfwijzen voor de kettingregel Als g differentieerbaar is in x ( y = g (x ) ) en f is differentieerbaar in y ( z = f (y ) ) dan

dz dx = dz

dy · dy dx

⇔ dz

dx = f⁰(y ) · g⁰(x )

⇔ dz

dx = f⁰(g (x )) · g⁰(x ) (f ◦ g )⁰(x ) = f⁰(g (x )) · g⁰(x )

I.A.M. Goddijn Faculteit EWI

8 september 2014 7

De afgeleide van inverse functies

Er geldt: x = f (y ) en y = f⁻¹(x )

We differenti¨eren de eerste ge- lijkheid naar x .

Dit levert op:

1 = f⁰(y )dy dx met dy

dx = (f⁻¹)⁰(x ).

Hieruit volgt: (f⁻¹)⁰(x ) = 1

f⁰(y ) = 1 f⁰(f⁻¹(x ))

f (x ) f⁰(x )

xⁿ n xⁿ⁻¹ (n ∈ R) e^x e^x

sin x cos x cos x − sin x

tan x 1

(cos x )²

f (x ) f⁰(x )

ln x 1

x

arcsin x 1

√ 1 − x² arccos x − 1

√ 1 − x² arctan x 1

1 + x²

I.A.M. Goddijn Faculteit EWI

8 september 2014 9