§6.1 Partieel integreren
Laten f, g differentieerbaar op (a, b). Dan geldt:
Z
f (x)g0(x) dx = f (x)g(x) − Z
f0(x)g(x) dx of
Z
f (x) d g(x) = f (x)g(x) − Z
g(x) d f (x) of met U = f (x), V = g(x)
Z
U dV = U · V − Z
V dU .
Gevolg
Laten f, g continu zijn op [a, b] en differentieerbaar op (a, b).
Dan geldt:
Z b a
f0(x)g(x) dx = h
f (x)g(x)ib a −
Z b a
f (x)g0(x) dx.
§6.2 Breuksplitsen
Definitie
p(x) = anxn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0 waarbij a0, a1, · · · , an−1, an∈ R, an6= 0
heet een polynoom van graad n met re¨ele co¨effici¨enten.
We willen primitieven bepalen van functies f waarvan het voorschrift de vorm f (x) = p(x)
q(x) met p(x) en q(x) polynomen heeft.
Laat n = graad p(x) en m = graad q(x).
Als n ≥ m dan delen we p(x) door q(x) en schrijven f (x) als:
f (x) = s(x) + r(x)
q(x) waarbij graad s(x) = n − m.
We bekijken alleen de situatie dat de noemer q(x) geheel in lineaire factoren ontbonden kan worden die allemaal
verschillend zijn. Dat wil zeggen:
q(x) = c(x − α1)(x − α2) · · · (x − αm) waarbij αi 6= αj voor i 6= j (i, j = 1, 2 · · · m).
Met behulp van deze ontbinding van de noemer kan nu r(x) q(x) geschreven worden als:
r(x)
q(x) = A1
x − α1
+ A2
x − α2
+ · · · + Am
x − αm
voor zekere
re¨ele A1, A2, · · · , Am. (1).
A1, A2, · · · , Am kunnen worden bepaald door het rechterlid van (1) onder ´e´en noemer te brengen en te eisen dat de tellers van de breuken links-en rechts van het gelijkteken gelijk zijn voor alle re¨ele x.
Met deze ontbinding vinden we:
Z p(x)
q(x)dx = S(x) + A1ln |x − α1| + A2ln |x − α2| + · · · + Amln |x − αm|.
Hierbij is S een primitieve van s.
