Differentieerbaarheid
Definitie Als lim
h→0
f (a + h) − f (a)
h bestaat en gelijk is aan L
dan heet de functie f differentieerbaar in a en L deafgeleide van f in a.
Notatie f0(a) = L Dus f0(a) = lim
h→0
f (a + h) − f (a)
h .
Opmerking
Er geldt ook dat f0(a) = lim
x→a
f (x) − f (a) x − a .
Andere notaties
Als de functie f differentieerbaar is in a en y = f (x) dan kan f0(a) op vele manieren worden genoteerd. Zoals bijvoorbeeld df (a)
dx , dy
dx{x = a} , Df (a) , Dxf (a) .
Omdat de linker-en rechterlimiet zijn gedefinieerd kunnen ook de linker-en rechterafgeleide in a worden gedefinieerd.
Notaties fl0(a) en fr0(a) Dus
fl0(a) = lim
h→0−
f (a + h) − f (a) h
fr0(a) = lim
h→0+
f (a + h) − f (a) h
f is differentieerbaar in a dan en slechts dan als f zowel links-als rechts differentieerbaar is in a en fl0(a) = fr0(a).
f : A → R heet differentieerbaarop A als f differentieer- baar is in elkinwendigpunt van A en rechts- linksdifferen- tieerbaar in de eventuele randpunten.
Als f differentieerbaar is in a dan is f continu in a.
Een functie kan dus alleen differentieerbaar zijn in een punt als zij continu is in dit punt.
Eigenschappen
Laten de functies f en g differentieerbaar zijn op een open interval I. Dan zijn de functies f + g, c f , f · g ook differen- tieerbaar op I en voor alle x ∈ I geldt
(f + g)0(x) = f0(x) + g0(x).
(c f )0(x) = c · f0(x).
(f · g)0(x) = f0(x) · g(x) + f (x) · g0(x).
Verder is de functie f
g differentieerbaar op J = I\{x|g(x) 6= 0} en voor alle x ∈ J geldt
f g
0
(x) = f0(x) · g(x) − f (x) · g0(x)
{g(x)}2 .
De kettingregel
Als g differentieerbaar is in a en f is differentieerbaar in b = g(a) dan is de functie f ◦ g differentieerbaar in a en
(f ◦ g)0(a) = f0(b) · g0(a) = f0(g(a)) · g0(a)
Nogmaals de kettingregel
Als g differentieerbaar is in x ( y = g(x) ) en f is differentieer- baar in y ( z = f (y) ) dan
dz dx = dz
dy · dy dx
⇔ dz
dx = f0(y) · g0(x)
⇔ dz
dx = f0(g(x)) · g0(x) (f ◦ g)0(x) = f0(g(x)) · g0(x)
Impliciet differenti¨ eren
Gegeven is de cirkel met als vergelijking x2 + y2 = 1.
Wat is de vergelijking van de raaklijn aan de cirkel in
1 2,
√3 2
!
?
x2 + y2 = (2x2 + 2y2 − x)2 is de vergelijking van een cardio¨ıde.
Wat is de vergelijking van de raaklijn in
0,1
2
?
f (x) f0(x)
xn n xn−1 (n ∈ R) ex ex
sin x cos x cos x − sin x
tan x 1
(cos x)2
f (x) f0(x)
ln x 1
x
arcsin x 1
√ 1 − x2 arccos x − 1
√ 1 − x2 arctan x 1
1 + x2
f (x) f0(x)
sinh x cosh x cosh x sinh x
tanh x 1
(cosh x)2
De linearisering van f in a
x−as y−as
a f (a)
f is een functie die differentieerbaar is in a.
y − f (a) = f0(a)(x − a) en y = f (a) + f0(a)(x − a) zijn vergelijkingen van
de raaklijn aan f in (a, f (a)).
De linearisering van f in a
x−as dx−as
y−as dy−as
a f (a)
Ten opzichte van het
getekende, lokale assenstelsel wordt de vergelijking van de raaklijn dy = f0(a)dx.
We kunnen in elk punt van de grafiek zo’n lokaal assenstelsel aanleggen en vinden
dy = f0(x)dx
We zeggen dat ’de differentiaal van y is gelijk aan de afgeleide van f in x maal de differentiaal van x’.
Absolute en relatieve fouten
x−as dx−as
y−as dy−as
a a+h
f (a) f (a+h)
Als tengevolge van een meetfout a + h wordt gemeten in plaats van a wat is dan het effect
op de berekening van f (a) ?
∆y = f (a + h) − f (a) ≈ f0(a)h = f0(a)∆x.
Als dx = ∆x dan ∆y ≈ dy = f0(a) dx.
Als tengevolge van een meetfout a + h wordt gemeten
in plaats van a wat is dan het effect op de berekening van f (a) ?
|∆y| = |f (a + h) − f (a)| ≈ |f0(a)||h| = |f0(a)||∆x| heet deabsolute fout en
|∆y|
|f (a)| ≈ |f0(a)|
|f (a)||∆x| derelatieve fout in de berekening van f (a).
Polynomen
p(x) = bnxn + bn−1xn−1 + · · · + b1x + b0 waarbij b0, b1, · · · , bn−1, bn∈ R, bn6= 0
heet een polynoom van graad n met re¨ele co¨effici¨enten.
Merk op dat dit polynoom ook geschreven kan worden als p(x) = cn(x − a)n + cn−1(x − a)n−1 + · · · + c1(x − a) + c0
voor zekere c0, c1, · · · , cn−1, cn∈ R, cn = bn.
Taylorpolynomen
Laat f een functie zijn die minstens n maal differentieerbaar is in a. Het polynoom p met de eigenschap
p(k)(a) = f(k)(a) voor k = 0, 1, · · · , n heet het Taylorpolynoom van graad n rond a.
Dit polynoom wordt genoteerd als Tn en Tn(x) = f(n)(a)
n! (x − a)n + f(n−1)(a)
(n − 1)! (x − a)n−1 + · · ·
· · · + f(1)(a)
1! (x − a) + f (a).
Extrema
Gegeven is f : D → R .
f neemt eenabsoluut (globaal) maximum aan in c ∈ D als f (x) ≤ f (c) voor alle x ∈ D.
f neemt eenabsoluut (globaal) minimum aan in c ∈ D als f (x) ≥ f (c) voor alle x ∈ D.
f neemt eenrelatief (lokaal) maximum aan in c ∈ D als er een open interval I bestaat met c ∈ I zodat f (x) ≤ f (c)
f neemt eenrelatief (lokaal) minimum aan in c ∈ D als er een open interval I bestaat met c ∈ I zodat f (x) ≥ f (c)
voor alle x ∈ D ∩ I.
Stelling
Als f continu is op [a, b] dan neemt f op [a, b] een absoluut minimum en een absoluut maximum aan.
Stelling van Fermat
Als f een extremum aannneemt in c ∈ (a, b) en f is differen- tieerbaar in c dan f0(c) = 0.
Gevolg
Om extrema van een functie f : D → R te vinden moeten bekeken worden
de punten c ∈ D waarin f niet continu of niet differen- tieerbaar is.
de punten c ∈ D waarvoor f0(c) = 0.
de eventuele randpunten van D.
De stelling van Rolle
Als f : [a, b] → R, continu is op [a, b] en differentieerbaar op (a, b) en f (a) = f (b) dan is er een c ∈ (a, b) zodat f0(c) = 0.
De middelwaardestelling
Als f : [a, b] → R, continu is op [a, b] en differentieerbaar op (a, b) dan is er een c ∈ (a, b) zodat
f0(c) = f (b) − f (a) b − a
