CONTINUE WISKUNDE 1, 2020 7e college: Differenti¨eren Jan-Hendrik Evertse

CONTINUE WISKUNDE 1, 2020 7e college: Differenti¨ eren

Jan-Hendrik Evertse

Universiteit Leiden

evertse@math.leidenuniv.nl

Deel 1: Definities

3/40

Vergelijking van een lijn

Gegeven is de lijn door de punten (a, b) en (c, d ).

Neem een willekeurig punt (x , y ) op de lijn.

Dan is

y − b

x − a =d − b

c − a = tan α.

Dit geeft y − b = ^{d −b}_c−a· (x − a) ofwel

y = b +^{d −b}_c−a· (x − a) (de vergelijking van de lijn).

We noemen ^{d −b}

c−a de richtingsco¨effici¨ent van de lijn.

Deze is gelijk aan de tangens van de hellingshoek α.

De afgeleide

Laat f een functie zijn. Neem een punt (a, f (a)) op de grafiek van f , en een ander punt (a + h, f (a + h)) in de buurt van (a, f (a)). Het getal h mag ook negatief zijn.

Dan heeft de lijn door (a, f (a)) en (a + h, f (a + h)) vergelijking y = f (a) +f (a+h)−f (a)

h · (x − a).

Wanneer we h naar 0 laten naderen (van rechts of van links) dan nadert

f (a+h)−f (a)

5/40

De afgeleide

Laat f een functie zijn. Neem aan dat f gedefinieerd is in x = a en in een interval rondom x = a.

We zeggen dat f differentieerbaar is in x = a als lim

h→0

f (a + h) − f (a) h bestaat.

We noemen deze limiet de afgeleide van f in a, notatie f⁰(a) of df dx(a) of dy

dx(a) als y = f (x ).

Raaklijn, lineaire benadering

Laat f een functie zijn die differentieerbaar is in x = a.

Dan heeft de grafiek van f een raaklijn in het punt (a, f (a)). De vergelijking daarvan is

y = f (a) + f⁰(a)(x − a).

Dus de afgeleide f⁰(a) is de richtingsco¨effici¨ent van de raaklijn.

f (a) + f⁰(a)(x − a) is een redelijke benadering van f (x ) wanneer x dichtbij a ligt (de lineaire benadering).

Wanneer x verder van a vandaan ligt is dit geen goede benadering meer.

7/40

Raaklijn, lineaire benadering

Laat f een functie zijn die differentieerbaar is in x = a.

Dan heeft de grafiek van f een raaklijn in het punt (a, f (a)). De vergelijking daarvan is

y = f (a) + f⁰(a)(x − a).

Dus de afgeleide f⁰(a) is de richtingsco¨effici¨ent van de raaklijn.

f (a) + f⁰(a)(x − a) is een redelijke benadering van f (x ) wanneer x dichtbij a ligt (de lineaire benadering).

Wanneer x verder van a vandaan ligt is dit geen goede benadering meer.

Relatie tussen continu¨ıteit en differentieerbaarheid

Ruwgezegd is een functie f continu in x = a als de grafiek van f in het punt (a, f (a)) geen gat heeft, en differentieerbaar in x = a als de grafiek van f in (a, f (a)) geen gat en geen knik heeft

(dit is natuurlijk geen goede wiskundige formulering maar het geeft het idee).

Dus differentieerbaarheid is sterker dan continu¨ıteit.

De functie in het plaatje is wel continu (geen gat) maar niet differentieerbaar (wel een knik) in x = a.

9/40

Differentieerbaarheid in randpunten

Als a een linker randpunt is van het domein van f dan zeggen we dat f differentieerbaar is in x = a als lim

h↓0

f (a + h) − f (a)

h bestaat;

als a een rechter randpunt is van het domein van f dan zeggen we dat f differentieerbaar is in x = a als lim

h↑0

f (a + h) − f (a)

h bestaat.

De functie in het plaatje is gedefinieerd op [a, b]. Deze functie is differentieerbaar in de randpunten x = a en x = b en in alle punten daartussen.

Verticale raaklijnen

Als lim

h↓0

f (a + h) − f (a)

h = ±∞ en/of lim

h↑0

f (a + h) − f (a)

h = ±∞ dan

heeft de grafiek van f een verticale raaklijn in (a, f (a)).

Voorbeeld. Laat f (x ) =√³

x . Dan geldt

lim

h↓0

f (h) − f (0)

h = lim

h↓0

h^1/3 h = lim

h↓0h^−2/3= ∞, lim

h↑0

f (h) − f (0) h

u=−h= lim

u↓0

(−u)^1/3

−u = lim

u↓0

u^1/3 u = ∞. Dus de grafiek van f heeft een verticale raaklijn in (0, 0).

11/40

Verticale raaklijnen

Als lim

h↓0

f (a + h) − f (a)

h = ±∞ en/of lim

h↑0

f (a + h) − f (a)

h = ±∞ dan

heeft de grafiek van f een verticale raaklijn in (a, f (a)).

Voorbeeld. Laat f (x ) =√³

x . Dan geldt

lim

h↓0

f (h) − f (0)

h = lim

h↓0

h^1/3 h = lim

h↓0h^−2/3= ∞, lim

h↑0

f (h) − f (0) h

u=−h= lim

u↓0

(−u)^1/3

−u = lim

u↓0

u^1/3 u = ∞.

Dus de grafiek van f heeft een verticale raaklijn in (0, 0).

De afgeleide functie

We zeggen dat een functie f : D → R differentieerbaar is als f

differentieerbaar is in elk punt van D, dat wil zeggen f⁰(x ) bestaat voor elke x ∈ D. Dit definieert de afgeleide functie van f .

Voorbeeld. Bepaal de afgeleide van f (x ) =√

x , direct uit de definitie van afgeleide.

We gebruiken de worteltruc. Voor x > 0 geldt f⁰(x ) = lim

h→0

√x + h −√ x

h = lim

h→0

(√

x + h −√ x )(√

x + h +√ x ) h(√

x + h +√ x )

= lim

h→0

x + h − x h(√

x + h +√

x ) = lim

h→0

h h(√

x + h +√ x )

= lim

h→0

√ 1

x + h +√ x = 1

2√ x.

13/40

De afgeleide functie

We zeggen dat een functie f : D → R differentieerbaar is als f

differentieerbaar is in elk punt van D, dat wil zeggen f⁰(x ) bestaat voor elke x ∈ D. Dit definieert de afgeleide functie van f .

Voorbeeld. Bepaal de afgeleide van f (x ) =√

x , direct uit de definitie van afgeleide.

We gebruiken de worteltruc. Voor x > 0 geldt f⁰(x ) = lim

h→0

√x + h −√ x

h = lim

h→0

(√

x + h −√ x )(√

x + h +√ x ) h(√

x + h +√ x )

= lim

h→0

x + h − x h(√

x + h +√

x ) = lim

h→0

h h(√

x + h +√ x )

= lim

h→0

√ 1

x + h +√ x = 1

2√ x.

De afgeleide functie

We zeggen dat een functie f : D → R differentieerbaar is als f

differentieerbaar is in elk punt van D, dat wil zeggen f⁰(x ) bestaat voor elke x ∈ D. Dit definieert de afgeleide functie van f .

Voorbeeld. Bepaal de afgeleide van f (x ) =√

x , direct uit de definitie van afgeleide.

We gebruiken de worteltruc. Voor x > 0 geldt f⁰(x ) = lim

h→0

√x + h −√ x

h = lim

h→0

(√

x + h −√ x )(√

x + h +√ x ) h(√

x + h +√ x )

= lim

h→0

x + h − x h(√

x + h +√

x ) = lim

h→0

h h(√

x + h +√ x )

= lim

h→0

√ 1

x + h +√ x = 1

2√ x.

15/40

Deel 2: Berekenen van afgeleiden

Rekenregels voor som, verschil, product, quoti¨ ent

We geven zonder bewijs enkele regels.

Zijn f , g : D → R differentieerbare functies. Dan zijn cf (constante maal f ), f + g , f − g , fg differentieerbaar op D en f /g is differentieerbaar voor alle x ∈ D met g (x ) 6= 0. Verder geldt voor hun afgeleiden

(cf )⁰ = cf⁰, (f + g )⁰ = f⁰+ g⁰, (f − g )⁰= f⁰− g⁰, (fg )⁰= f⁰g + fg⁰, (f /g )⁰ =gf⁰− fg⁰

g² .

17/40

De kettingregel

De samengestelde functie g (f (x )) (of g ◦ f ) krijg je door in de uitdrukking voor g (x ), overal x te vervangen door f (x ). Als f en g differentieerbaar zijn dan is g ◦ f dat ook.

Zijn, f , g differentieerbare functies, waarbij het bereik van f bevat is in het domein van g . Dan geldt:

(g (f (x ))⁰= g⁰(f (x ))f⁰(x ),

dat wil zeggen we moeten in de uitdrukking voor g⁰(x ) overal x vervangen door f (x ) en daarna met f (x ) vermenigvuldigen.

Schrijf y = f (x ), z = g (y ). Dan is z = g (f (x )). We kunnen de afgeleiden van deze functies noteren als

f⁰(x ) = dy

dx, g⁰(y ) = dz

dy, g (f (x ))⁰ = dz dx. Dan kunnen we de kettingregel schrijven als dz

dx = dz dy · dy

dx.

Een basislijstje van afgeleiden

We geven zonder bewijs een lijstje afgeleiden van enkele belangrijke functies (een bewijs heeft nogal wat voeten in aarde).

f (x ) = c (constante functie) ⇒ f⁰(x ) = 0 (x^α)⁰= αx^α−1

sin⁰x = cos x cos⁰x = − sin x (e^x)⁰= e^x ln⁰x = _x¹.

We kunnen van allerlei functies de afgeleiden berekenen met behulp van dit lijstje en de rekenregels van de vorige dia’s.

19/40

Voorbeeld

Wat is de afgeleide van tan x ?

Volgens de quoti¨entregel is tan⁰x = sin x

cos x

0

= cos x · sin⁰x − sin x · cos⁰x cos²x

= cos x · cos x − sin x (− sin x )

cos²x =cos²x + sin²x cos²x

= 1

cos²x.

Een andere uitdrukking voor tan⁰x is cos²x

cos²x + sin²x

cos²x = 1 + tan²x .

Voorbeeld

Wat is de afgeleide van tan x ? Volgens de quoti¨entregel is

tan⁰x = sin x cos x

0

= cos x · sin⁰x − sin x · cos⁰x cos²x

= cos x · cos x − sin x (− sin x )

cos²x =cos²x + sin²x cos²x

= 1

cos²x.

Een andere uitdrukking voor tan⁰x is cos²x

cos²x + sin²x

cos²x = 1 + tan²x .

21/40

Voorbeeld

Wat is de afgeleide van tan x ? Volgens de quoti¨entregel is

tan⁰x = sin x cos x

0

= cos x · sin⁰x − sin x · cos⁰x cos²x

= cos x · cos x − sin x (− sin x )

cos²x =cos²x + sin²x cos²x

= 1

cos²x.

Een andere uitdrukking voor tan⁰x is cos²x

cos²x + sin²x

cos²x = 1 + tan²x .

Een toepassing van de kettingregel

Gegeven is een differentieerbare functie f . Druk de afgeleide van g (x ) = f (x²+ x + 1) uit in de afgeleide van f .

g⁰(x ) = f⁰(x²+ x + 1) · (x²+ x + 1)⁰ = f⁰(x²+ x + 1) · (2x + 1).

23/40

Een toepassing van de kettingregel

Gegeven is een differentieerbare functie f . Druk de afgeleide van g (x ) = f (x²+ x + 1) uit in de afgeleide van f .

g⁰(x ) = f⁰(x²+ x + 1) · (x²+ x + 1)⁰ = f⁰(x²+ x + 1) · (2x + 1).

Herhaaldelijke toepassing van de kettingregel

1) Bepaal de afgeleide van f (x ) = e^sin(3

√x ).

2) Bepaal de raaklijn aan de grafiek van f in het punt (π³, f (π³)).

f⁰(x ) = e^sin(3

√x )(sin(√³

x ))⁰= e^sin(3

√x )sin⁰(√³ x )(√³

x )⁰

= e^sin(3

√x )cos(√³

x )(x^1/3)⁰

= e^sin(3

√x )cos(√³

x ) ·¹₃x^−2/3.

De vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van f in (a, f (a)) is y = f (a) + f⁰(a)(x − a).

In ons geval is a = π³, f (π³) = e^{sin π}= e⁰= 1 en

f⁰(π³) = e^{sin π}cos π ·¹₃(π³)^−2/3= e⁰(−1) · ¹₃π⁻²= −¹₃π⁻². Dus de vergelijking van de raaklijn is y = 1 −¹₃π⁻²(x − π³) (dit hoef je niet verder uit te werken).

25/40

Herhaaldelijke toepassing van de kettingregel

1) Bepaal de afgeleide van f (x ) = e^sin(3

√x ).

2) Bepaal de raaklijn aan de grafiek van f in het punt (π³, f (π³)).

f⁰(x ) = e^sin(3

√x )(sin(√³

x ))⁰= e^sin(3

√x )sin⁰(√³ x )(√³

x )⁰

= e^sin(3

√x )cos(√³

x )(x^1/3)⁰

= e^sin(3

√x )cos(√³

x ) ·¹₃x^−2/3.

De vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van f in (a, f (a)) is y = f (a) + f⁰(a)(x − a).

In ons geval is a = π³, f (π³) = e^{sin π}= e⁰= 1 en

f⁰(π³) = e^{sin π}cos π ·¹₃(π³)^−2/3= e⁰(−1) · ¹₃π⁻²= −¹₃π⁻². Dus de vergelijking van de raaklijn is y = 1 −¹₃π⁻²(x − π³) (dit hoef je niet verder uit te werken).

Herhaaldelijke toepassing van de kettingregel

1) Bepaal de afgeleide van f (x ) = e^sin(3

√x ).

2) Bepaal de raaklijn aan de grafiek van f in het punt (π³, f (π³)).

f⁰(x ) = e^sin(3

√x )(sin(√³

x ))⁰= e^sin(3

√x )sin⁰(√³ x )(√³

x )⁰

= e^sin(3

√x )cos(√³

x )(x^1/3)⁰

= e^sin(3

√x )cos(√³

x ) ·¹₃x^−2/3.

De vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van f in (a, f (a)) is y = f (a) + f⁰(a)(x − a).

In ons geval is a = π³, f (π³) = e^{sin π}= e⁰= 1 en

f⁰(π³) = e^{sin π}cos π ·¹₃(π³)^−2/3= e⁰(−1) · ¹₃π⁻²= −¹₃π⁻². Dus de vergelijking van de raaklijn is y = 1 −¹₃π⁻²(x − π³) (dit hoef je niet verder uit te werken).

27/40

Een ingewikkelder voorbeeld

Bepaal de afgeleide van f (x ) = lnx²+ 1 x⁴+ 1

 .

Wegens de kettingregel is f⁰(x ) = ln⁰x²+ 1

x⁴+ 1

·x²+ 1 x⁴+ 1

⁰

=x²+ 1 x⁴+ 1

⁻¹

·x²+ 1 x⁴+ 1

⁰

= x⁴+ 1

x²+ 1 ·x²+ 1 x⁴+ 1

0

. Volgens de quoti¨entregel is

x²+ 1 x⁴+ 1

0

= (x⁴+ 1)(x²+ 1)⁰− (x²+ 1)(x⁴+ 1)⁰ (x⁴+ 1)²

= 2x⁵+ 2x − 4x⁵− 4x³

(x⁴+ 1)² = −2x⁵− 4x³+ 2x (x⁴+ 1)² . Dus

f⁰(x ) = x⁴+ 1

x²+ 1· −2x⁵− 4x³+ 2x

(x⁴+ 1)² =−2x⁵− 4x³+ 2x (x²+ 1)(x⁴+ 1).

Een ingewikkelder voorbeeld

Bepaal de afgeleide van f (x ) = lnx²+ 1 x⁴+ 1

 . Wegens de kettingregel is

f⁰(x ) = ln⁰x²+ 1 x⁴+ 1

·x²+ 1 x⁴+ 1

⁰

=x²+ 1 x⁴+ 1

⁻¹

·x²+ 1 x⁴+ 1

⁰

= x⁴+ 1

x²+ 1 ·x²+ 1 x⁴+ 1

0

.

Volgens de quoti¨entregel is

x²+ 1 x⁴+ 1

0

= (x⁴+ 1)(x²+ 1)⁰− (x²+ 1)(x⁴+ 1)⁰ (x⁴+ 1)²

= 2x⁵+ 2x − 4x⁵− 4x³

(x⁴+ 1)² = −2x⁵− 4x³+ 2x (x⁴+ 1)² . Dus

f⁰(x ) = x⁴+ 1

x²+ 1· −2x⁵− 4x³+ 2x

(x⁴+ 1)² =−2x⁵− 4x³+ 2x (x²+ 1)(x⁴+ 1).

29/40

Een ingewikkelder voorbeeld

Bepaal de afgeleide van f (x ) = lnx²+ 1 x⁴+ 1

 . Wegens de kettingregel is

f⁰(x ) = ln⁰x²+ 1 x⁴+ 1

·x²+ 1 x⁴+ 1

⁰

=x²+ 1 x⁴+ 1

⁻¹

·x²+ 1 x⁴+ 1

⁰

= x⁴+ 1

x²+ 1 ·x²+ 1 x⁴+ 1

0

. Volgens de quoti¨entregel is

x²+ 1 x⁴+ 1

0

= (x⁴+ 1)(x²+ 1)⁰− (x²+ 1)(x⁴+ 1)⁰ (x⁴+ 1)²

= 2x⁵+ 2x − 4x⁵− 4x³

(x⁴+ 1)² = −2x⁵− 4x³+ 2x (x⁴+ 1)² .

Dus

f⁰(x ) = x⁴+ 1

x²+ 1· −2x⁵− 4x³+ 2x

(x⁴+ 1)² =−2x⁵− 4x³+ 2x (x²+ 1)(x⁴+ 1).

Een ingewikkelder voorbeeld

Bepaal de afgeleide van f (x ) = lnx²+ 1 x⁴+ 1

 . Wegens de kettingregel is

f⁰(x ) = ln⁰x²+ 1 x⁴+ 1

·x²+ 1 x⁴+ 1

⁰

=x²+ 1 x⁴+ 1

⁻¹

·x²+ 1 x⁴+ 1

⁰

= x⁴+ 1

x²+ 1 ·x²+ 1 x⁴+ 1

0

. Volgens de quoti¨entregel is

x²+ 1 x⁴+ 1

0

= (x⁴+ 1)(x²+ 1)⁰− (x²+ 1)(x⁴+ 1)⁰ (x⁴+ 1)²

= 2x⁵+ 2x − 4x⁵− 4x³

(x⁴+ 1)² = −2x⁵− 4x³+ 2x (x⁴+ 1)² . Dus

31/40

Differentiatie van functies van de vorm f (x )

We schrijven f (x )^{g (x )}= (e^{ln f (x )})^{g (x )}= eg (x ) ln f (x ) en differenti¨eren dit met behulp van de kettingregel.

Voorbeeld. Bepaal de afgeleide van f (x ) = x^x. We schrijven f (x ) = e^{x ln x}. Dit geeft

f⁰(x ) = (e^{x ln x})⁰= e^{x ln x}· (x ln x)⁰ = e^{x ln x}· (x ln⁰x + x⁰ln x )

= e^{x ln x}· (x ·1

x + 1 · ln x )

= x^x(1 + ln x ).

Differentiatie van functies van de vorm f (x )

We schrijven f (x )^{g (x )}= (e^{ln f (x )})^{g (x )}= eg (x ) ln f (x ) en differenti¨eren dit met behulp van de kettingregel.

Voorbeeld. Bepaal de afgeleide van f (x ) = x^x.

We schrijven f (x ) = e^{x ln x}. Dit geeft

f⁰(x ) = (e^{x ln x})⁰= e^{x ln x}· (x ln x)⁰ = e^{x ln x}· (x ln⁰x + x⁰ln x )

= e^{x ln x}· (x ·1

x + 1 · ln x )

= x^x(1 + ln x ).

33/40

Differentiatie van functies van de vorm f (x )

We schrijven f (x )^{g (x )}= (e^{ln f (x )})^{g (x )}= eg (x ) ln f (x ) en differenti¨eren dit met behulp van de kettingregel.

Voorbeeld. Bepaal de afgeleide van f (x ) = x^x. We schrijven f (x ) = e^{x ln x}. Dit geeft

f⁰(x ) = (e^{x ln x})⁰= e^{x ln x}· (x ln x)⁰ = e^{x ln x}· (x ln⁰x + x⁰ln x )

= e^{x ln x}· (x ·1

x + 1 · ln x )

= x^x(1 + ln x ).

Differenti¨ eren van inverse functies

Laat f een differentieerbare functie zijn met domain D en bereik B. Dan is f⁻¹ook differentieerbaar met domein B en bereik D, en er geldt

(f⁻¹)⁰(x ) = 1 f⁰(f⁻¹(x )).

Bewijs. Schrijf y = f⁻¹(x ). Dan is x = f (y ), dus x = f (f⁻¹(x )). Passen we hierop de kettingregel toe dan vinden we

x⁰= f⁰(f⁻¹(x )) · (f⁻¹)⁰(x ), dus 1 = f⁰(f⁻¹(x )) · (f⁻¹)⁰(x ) dus (f⁻¹)⁰(x ) = 1

f⁰(f⁻¹(x )).

35/40

Differenti¨ eren van inverse functies

Laat f een differentieerbare functie zijn met domain D en bereik B. Dan is f⁻¹ook differentieerbaar met domein B en bereik D, en er geldt

(f⁻¹)⁰(x ) = 1 f⁰(f⁻¹(x )).

Bewijs. Schrijf y = f⁻¹(x ). Dan is x = f (y ), dus x = f (f⁻¹(x )).

Passen we hierop de kettingregel toe dan vinden we

x⁰ = f⁰(f⁻¹(x )) · (f⁻¹)⁰(x ), dus 1 = f⁰(f⁻¹(x )) · (f⁻¹)⁰(x ) dus (f⁻¹)⁰(x ) = 1

f⁰(f⁻¹(x )).

Afgeleide van arcsin x

We bekijken sin x op [−¹₂π,¹₂π].

Op dit domein is sin x stijgend, dus inverteerbaar. Het bereik van sin x is [−1, 1].

De inverse van sin x op [−¹₂π,¹₂π] noemen we arcsin x . Dus sin(arcsin x ) = x .

De functie arcsin x heeft domein [−1, 1] en bereik [−¹₂π,¹₂π]. Er geldt

arcsin⁰x = 1

√1 − x².

37/40

Afgeleide van arcsin x

arcsin⁰x = 1

√1 − x².

Bewijs. Uit de formule voor de afgeleide van de inverse volgt arcsin⁰x = 1

sin⁰(arcsin x ) = 1 cos(arcsin x ).

We kunnen dit vereenvoudigen. Schrijf y = arcsin x . Dan is sin y = x ,

−¹₂π ≤ y ≤ ¹₂π.

Er geldt cos y ≥ 0, cos²y + sin²y = 1, cos²y = 1 − sin²y , dus cos y =p

1 − sin²y .

Dit geeft tenslotte cos(arcsin x ) =p

1 − sin²y =√ 1 − x². Hieruit volgt arcsin⁰x = 1

√1 − x².

Afgeleide van arctan x

We bekijken tan x op (−¹₂π,¹₂π).

Op dit domein is tan x stijgend, dus inverteerbaar. Het bereik van tan x is (−∞, ∞) = R.

De inverse van tan x op (−¹₂π,¹₂π) noemen we arctan x . Dus tan(arctan x ) = x .

De functie arctan x heeft domein R en bereik (−¹2π,¹₂π). Er geldt

arctan⁰x = 1 1 + x².

Bewijs. We weten dat tan⁰x = 1 + tan²x .

Door dit in de formule voor de afgeleide van de inverse in te vullen volgt arctan⁰x = 1

tan⁰(arctan x ) = 1

1 + tan²(arctan x ) = 1 1 + x².

39/40

Afgeleide van arctan x

We bekijken tan x op (−¹₂π,¹₂π).

Op dit domein is tan x stijgend, dus inverteerbaar. Het bereik van tan x is (−∞, ∞) = R.

De inverse van tan x op (−¹₂π,¹₂π) noemen we arctan x . Dus tan(arctan x ) = x .

De functie arctan x heeft domein R en bereik (−¹2π,¹₂π). Er geldt

arctan⁰x = 1 1 + x².

Bewijs. We weten dat tan⁰x = 1 + tan²x .

Door dit in de formule voor de afgeleide van de inverse in te vullen volgt arctan⁰x = 1

tan⁰(arctan x ) = 1

1 + tan²(arctan x ) = 1 1 + x².

Einde van het college