Complexe getallen Uitwerkingen VWO B Deel 3 Keuzeonderwerp

Complexe getallen

Uitwerkingen VWO B

Deel 3

Keuzeonderwerp

2

Opgave 1.1 a)   6 4i b)   20 c)    6i d)  1  5 10i e)   8 24i f) 1 i









 Opgave 2.1

a)  1  6 24i 9 7 24i b)  1  0 21i 10 20 21i c)   81 72i 16 65 72i d) 49 4 53

   

   

   

  Opgave 2.2

a)

8 6

25 25

8 6 16 9

i i

  



b)

5 14

17 17

3 2 4 12 5 2 14 5

4 4 16 1 17

i i i i

i i i

    

    

  

c)

2 2

3 3

5 2 5 2

3 3 1

i i i

i i i

 

    



d)

8 6

25 25

2 3 4 6 8

3 4 3 4 9 16

i i i

i i i

 

   

  

e)

1 1 1 2 1 2

1 1 2 2

i i i i

i i i

   

   

 

Opgave 2.3

a) z² 6z 9  2  (z 3)²  2  z 3   2 dus

3 2 3 2

z    of z   

b) z² 2z 2 0 z² 2z    1 1 (z 1)²   1 i dus²

1 1 1

z    i z  i of z   i

c) z² 8z 17   8 z² 8z16   9 (z4)² (3 )i ² dus

4 3 4 3

z    i of z    i

d)

z

²

 5 z   7

¹⁴

 z

²

 5 z  6

¹⁴

   1 ( z  2 )

^{12 2}

 i dus

²

1 1

2 2

2 2

z   i of z   i

e)

z

²

 2 3 z   19  z

²

 2 3 z    3 16  ( z  3)

²

 (4 ) i

²

dus

3 4 3 4

z   i of z   i

f) 4z² 12z  13  4z² 12z   9 4 (2z3)² (2 )i ² dus

1 1

2 2

2 z  3   2 i  z  1  i of z  1  i

Opgave 2.4

a)

z

¹

 z

²

 ( a bi x yi  )(  )  ax  ayi bxi byi  

²

 ax by   ( ay  bx i )

b)

1 2

2 2 2

2

z a bi a bi x yi ax ayi bxi byi

z x yi x yi x yi x y i

     

    

   

2 2 2 2 2 2

( ) ( )

ax by bx ay i ax by bx ay i

x y x y x y

     

  

  

Opgave 3.1

Teken de getallen 2 – 4i (A) , -2i (B) , 5 (C), 2 i 3

(D), 1+i (E) en -54i (F) .

Opgave 3.2 a) Alle getallen van de vorm

4 b i  

liggen op de verticale lijn door 4.

Opgave 3.2 b) Alle punten met Re z = 4 liggen op de verticale lijn door 4. (Zie opg a)).

Opgave 3.2 c) Alle punten met Im z = -3 liggen op de horizontale lijn door -3i.

Opgave 3.2 d) Alle punten met Re z = 2 liggen op de verticale lijn door 2.

Opgave 3.3

a) Als z=x+yi dan betekent Re z = Im z dat x = y, ofwel y = x. Dit levert alle punten van lijn l.

b) Im z = 3  Re z betekent: y = 3x, dus dat geeft lijn m.

4

1 2 3 4 5 6

-1 O -3 -2

-4 -5

i 5i

4i 3i 2i

-i

-3i -2i

-4i

1 2 3 4 5 6

-1 O -3 -2

-4 -5

i 5i

4i 3i 2i

-i

-3i -2i

-4i

A B

C

D E

F

c) Re z = Im z – 3 betekent x = y – 3 ofwel y = x + 3, dus dat geeft lijn n.

d) (Re z)² + (Im z)² = 25 betekent

x

²

 y

²

 25

, en dit geeft een cirkel met middelpunt Oorsprong en straal 5.

1 2 3 4 5 6

-1 O -3 -2

-4 -5

i 5i

4i 3i 2i

-i

-3i -2i

-4i

l m

n

Opgave 3.4 a)

De geconjugeerde is aangegeven met een *:

* * * * *

5 2 ( i A en A ), 1 3 (  i B en B ),  3 4 (i C en C ), 5 (i D en D ), 4 (E en E )

b) Als twee getallen elkaars geconjugeerde zijn liggen ze symmetrisch t.o.v. de reële as.

Opgave 4.1 a) Bij de optelling is de staart van z2 aan de kop van z1 gelegd.

Bij de aftrekking is de staart van –z2 (z2 over 180 graden draaien) aan de kop van z1 gelegd.

Je ziet:

1 2 2 4

z z    i en

6

126543O-1-2-3-4-5 i 5i4i3i2i

-i-3i -2i

-4i E

A E*=E A* B

C D

B*

D* C*

1 2 3 4 5 6

-1 O -3 -2

-4 -5

i 5i

4i 3i 2i

-i

-3i -2i

-4i Z1-Z2

Z1

Z2 Z1+Z2

Z2

-Z2

1 2 4 2 z z    i

Opgave 4.1 b) Je ziet:

1 2 2

z z   i en

1 2 4 5

z z    i

Opgave 4.1 c)

Je ziet:

1 2 6

z z   i en

1 2 2 5

z z    i

Z1

1 2 3 4 5 6

-1 O -3 -2

-4 -5

i 5i

4i 3i 2i

-i

-3i -2i

Z1-Z2 -4i

Z2

Z1+Z2 Z2

-Z2

1 2 3 4 5 6

-1 O -3 -2

-4 -5

i 5i

4i 3i 2i

-i

-3i -2i

Z1-Z2 -4i Z1

Z2 Z1+Z2

Z2

-Z2

Opgave 4.2 a)

Alle punten liggen op afstand 5 van het getal 2, dus vormen samen de cirkel met middelpunt 2 en straal 5.

Opgave 4.2 b)

Omdat :

4 3 ( 4 3 )

z   i     z i

liggen alle punten op afstand 2 van het getal -4-3i, dus dat is het middelpunt van de cirkel met straal 2.

8

1 2 3 4 5 6

-1 O -3 -2

-4 -5

i 5i

4i 3i 2i

-i

-3i -2i

-4i

1 2 3 4 5 6

-1 O -3 -2

-4 -5

i 5i

4i 3i 2i

-i

-3i -2i

-4i

Opgave 4.2 c)

Voor alle punten moet nu de afstand tot het getal 1+i kleiner dan of gelijk zijn aan 4, dus dat zijn alle punten óp of binnen de cirkel met middelpunt 1+i en straal 4.

Opgave 4.2 c) De punten moeten nu binnen of op de cirkel met middelpunt 2-2i liggen, maar óók buiten of op de cirkel met mid- delpunt O en straal 4.

Dus het zijn alle punten die binnen of op het lichtgekleurde 'maantje' liggen rechtsonder.

10

1 2 3 4 5 6

-1 O -3 -2

-4 -5

i 5i

4i 3i 2i

-i

-3i -2i

-4i

1 2 3 4 5 6

-1 O -3 -2

-4 -5

i 5i

4i 3i 2i

-i

-3i -2i

-4i

Opgave 4.3

2 2 2 2 2 1 2 2 ( 2 2 2) 2

( )( )

z z

 x yi x yi    x

y i 

x

y  

 x

y 

x

y  z Opgave 4.4

2 2

1 2 ( )( ) ( ) ( ) ( )

z z  a bi c di  ac bd  ad bc i  ac bd  ad bc 

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

a c  abcd b d a d  abcdb c  a c a d b c b d _.

Ook geldt:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 2 ( ) ( )

z  z  a bi  c di  a b  c d  a c  a d b c b d , dus inderdaad geldt: z¹z²  z¹  z²

. Opgave 4.5

a)

2 2

3 3 3 3 18 3 2

z   i    

en

3 3

14

tan( )



  1  Arg z( ) 







. b) z  13i 13

en tan( ) bestaat niet! Arg z( )    ¹²



. Kijk in de tekening!

c)

3 32 1 2

z   i  

en

1 1

3 6

tan( )

1

( )

3 3

^{Arg z}







 







d)

2 2

1 1 1 1 1 1 1 1

4 4 2 2 2 2 2 2

cos( ) sin( ) 2 2 ( 2) ( 2) 1

z    i     i    

en

12 1

1 4 2

tan( )

2

1 ( )

2

^{Arg z}



   







. e)

2 2

3 3 1 1 1 1 1 1

4 4 2 2 2 2 2 2

4(cos( ) sin( )) 4 2 2 4 ( 2) ( 2) 4 4

z    i      i      

en

12 3

1 4 2

tan( )

2

1 ( )

2

^{Arg z}



    









. Kijk in de tekening waarom niet

geldt dat



 ¹⁴



!! (Je ziet die ³⁴



ook al in de opgave terug!) f) z  11 11

en Arg z ( ) 0 Kijk in de tekening!

Opgave 4.6

a) Het

lijkt er veel op dat als je de argumenten van z¹ _en z₂ optelt je het argument van z¹z² krijgt! Uiteraard weet je dat niet zeker, want je hebt je maken met afrondingen in de GR. Maar het is te bewijzen dat het inderdaad zo is, zie het vervolg van de tekst in §5.

( )1

Arg z Arg z( )₂ z₁ z₂ Arg z( ₁z₂)

a) 1.107148718 0.463647609 10i 1.570796327

b) -0.3217505544 -1.373400767 -2-16i -1.695151321

c) 0.99827937232 -1.030376827 21-i -0.0475831033

Opgave 5.1

a)

2 2

7 7 i  7 7 7 2

. Er geldt

tan( ) 7 1



 ^7  

, dus Arg(7 7 ) i 



 ¹⁴



_. Dus 7 7 i 7 2(cos(¹⁴



) isin(¹⁴



))_{, ofwel:} 7 2(cos(¹₄



)isin(¹₄



))_.

b) (3 2 ) i ²  5 12i_. 5 12 i  5² 12² 13 en

tan( ) 12 2, 4



 5 

, dus (3 2 )2 1,18

Arg  i 



 _{, dus} (2 3 ) i ² 13(cos(1,18)isin(1,18))_. c)

2 2

3 4 i  3 4 5

. ^{Arg 3 4i}



^



^{ 0, 93} (met GR!) dus 3 4 i 5(cos( 0, 93) isin( 0, 93)) _.

d) 123i 123

en Arg(123 )i 



 ¹²



_dus 123i 123(cos(¹₂



)isin(¹₂



))_.

e)

1 1 1 1

2 2 2 2

7 5 7 5 1

3 2 3 2

2 2 2

i i

i i i i i

        

Dus

1 1 1

2 2 2

7 5 2 3 18 4.30

2

i i

i

    

en Arg(2¹² 3 )¹²i  0.95_{. Dus}

1 1

2 2

7 5 2 3 4.30 (cos( 0.95) sin( 0.95)) 2

i i i

i

        

. Opgave 5.2

a) 4(cos 60 isin60 ) 4(¹²  i ¹² 3)  2 2 3i b) 10(cos30 isin30 ) 5 3 5 i

c)



(cos120 isin120 )  ¹²



 ¹²



3i

d) 7 cos(⁵⁶



) i 7 sin(⁵⁶



)  7  ¹² 3  7   ¹² i ¹² 21 ¹² 7i e) (cos(¹²



)isin(¹²



))  i

Opgave 5.3

N.B. Op de vertikale as staat alleen de coëfficiënt van i steeds aangegeven!

b) a)

De getallen vormen een kwart cirkel.

12

c) d)

Opgave 5.4

a) (cos(¹⁶)isin(¹⁶))⁵  cos(⁵⁶)isin(⁵⁶) b)

4 1 1 4

4 4

(1i) ( 2 (cos( 



) i sin(



))) 4(cos(



)  i sin(



)) c) Arg(3 4 ) i  0.9272..._dus

6 6

(3 4 ) i (5 (cos(0.9272...) isin(0.9272...)) 15625 (cos(5.6)  i sin(5.6)) N.B. Niet in tussenstappen afronden!!

d) Arg( 4 3 )  i 2.4980... _dus

1 1

2 2

( 4 3 )  i (5(cos(2.4980...)isin(2.4980...))  5 (cos(1.25) isin(1.25)) e) Arg( 2 2 )  i  ³⁴



_dus

7 3 3 7 7 21 21

4 4 4 4

( 2 2 )  i (2 2(cos(



) isin(



))) (2 2) (cos(



) sin(



)) 

1 1

4 4

1024 2 (cos(1



) isin(1



))_{. ( of:} 1024 2 (cos( ³₄



) isin(³₄



)) f) (cos(1¹⁶) isin(1¹⁶))^4 1^4 (cos( 4 ⁴⁶) isin( 4 ⁴⁶)) cos(²³) isin(²³) g) ¹² 3 ¹²i cos(¹⁶



)isin(¹⁶



) _dus

11 11 11

1 1 1 1 11 11

2 2 6 6 6 6

( 3 i) (cos(



)isin(



)) 1 (cos(



) isin(



)) 

11 11 1 1

6 6 6 6

cos(



)isin(



) cos(



) isin(



)) Opgave 5.5

a) Arg z ( ) 120 _en z 1 dus

1(cos(120 ) sin(120 )) cos(120 ) sin(120 )

z   i    i  . Dus dan is

3 (cos(120 ) sin(120 ))3 cos(3 120 ) sin(3 120 )

z   i      i   

cos(360 ) isin(360 )    1 i 0 1_.

N.B. z cos(120 ) isin(120 )   ^{12 12} 3i_. b) Er geldt:

1cos(360 ) isin(360 )  cos(720 ) isin(720 ) cos(1080 ) isin(1080 )  etc. Voor het hoofdargument moet dus gelden (volgens de formule van De Moivre)

dat als dat vermenigvuldigd wordt met 3 je op 360 of een veelvoud daarvan uit moet komen. Dat is zo bij hoofdargument gelijk aan 0 _(ofwel: z 1_{) en}

bij 240_.

Nu geldt: z cos(240 ) isin(240 )   ^{12 12} 3i_.

c) Nu moet het argument vermenigvuldigd met 5 360 of een veelvoud daarvan opleveren. Dat lukt bij 360 / 5 72   en dan ook bij 2 * 72 144 _{en bij} 3 * 72 216 _{en bij} 288 _{en bij} 0_.

Opgave 5.6

Als z een eenheidswortel is geldt per definitie dat z ⁿ 1 voor een of andere (hele) waarde van n. Dan moet ook gelden: z ⁿ 1

. Dus dan ook: zⁿ  zⁿ 1

. Omdat de modulus van z gelijk is aan 1 ligt z dus op de eenheidscirkel.

Opgave 5.7

Opm: maak steeds een schetsje, dan kan je modulus en argument snel vinden.

a) z² 9i 9(cos(90 )  i sin(90 ) 9(cos(450 )  i sin(450 ) . Dan geldt:

3(cos(45 ) sin(45 )

z    i  _{en ook} z 3(cos(225 )  i sin(225 ) _. Dus z 3(¹² 2 i ¹² 2) 1 ¹² 2 i 1¹² 2 _en

1 1 1 1

2 2 2 2

3( 2 2) 1 2 1 2

z    i    i _.

b) z³    8 8(cos(0 ) isin(0 ))  8(cos(360 ) isin(360 ))  8(cos(720 ) isin(720 ))

    Dus dan is z  2(cos(0 ) isin(0 )) _{en ook} 2(cos(120 ) sin(120 ))

z    i  _{en ook} z  2(cos(240 ) isin(240 )) _{, ofwel} 2

z   _en z     2( ¹² i ¹² 3) 1 i 3 _en z     2( ¹₂ i ¹₂ 3) 1 i 3_. c) We kunnen z⁴ schrijven als 3 (cos( )⁴ x isin( ))x met voor x de waarden 0, 360,

720 en 1080. Dus dan is z 3(cos(0 )  i sin(0 )  3 _en 3(cos(90 ) sin(90 ) 3

z    i   i _en z 3(cos(180 )  i sin(180 )  3 _{en ook} 3(cos(270) sin(270 ) 3

z   i    i_.

We kunnen dit natuurlijk ook als volgt doen:

4 81 2 9 2 9 3 3

z   z  of z    z   of z   i_. d)

4 cos( 90 ) sin( 90 ) cos(270 ) sin(270 ) cos(630 ) sin(630 )

z   i   i      i     i  

cos(990 ) isin(990 ) _{. Dus} z cos( 22 ¹₂ ) isin( 22 ¹₂) _en

1 1

2 2

cos(67 ) sin(67 )

z   i  _en z cos(157¹₂ ) isin(157¹₂) _en

1 1

2 2

cos(247 ) sin(247 )

z   i  _.

e) z²    1 i 2(cos(225 )  isin(225 ))  2(cos(585 )  isin(585 )) _{dus dan} is z  ⁴2(cos(112 )¹² isin(112 ))¹² _en z  ⁴2(cos(292 )¹₂ isin(292¹₂))_. Opgave 5.8

14

a) 4 3i heeft modulus 5 en argument  _met tan



 ³_{4, dus}   36.869... (Nog niet afronden!). Dus ook  323.130...._{. Dan is}

5(cos( 18.43... ) sin( 18.43... )) 2.12 0.71

z    i     i _en

5(cos(161.56... ) sin(161.56... )) 2.12 0.71

z   i     i ofwel het

tegengestelde van de andere oplossing!

b) 3i heeft modulus 3 en argument 90_{, dus ook} 450 _en 810_{. Dus}

3 16 13

2 2

3(cos(30 ) sin(30 )) 3 3 1.25 0.72

z i   i      i _en

3 16 1

2 2

3(cos(150 ) sin(150 )) 3 1.25 0.72

z i   i       i  i _en

33(cos(270 ) sin(270 )) 0 33 1.44

z i  i    i   i_.

Dus z 1.25 1.72 i_en z  1.25 1.72 i _en z  0.44i_. c) Nu geldt z    4 i 3i _dus z 4 i 3i  4 ( 3 1)  i _en

4 3 4 ( 3 1)

z   i i    i

d) Herleid de vergelijking tot z² 4 4 i. De modulus van 4 4i _is 4 2 _{en een} argument is 45. (plaatje!) De modulus van de oplossingen is dus

4 2  2 24  2.3784.... en de argumenten 22¹² _en 157 ¹_{2 .}

Dus z 2 2(cos( 22 )⁴  ¹² isin( 22 )) ¹² 2.20 0.91 i en de andere oplossing is het tegengestelde hiervan: z  2.20 0.91 i_.

e) 5 2 5 2i heeft modulus 10 en argument 225 _of 135. De modulus van de oplossingen is dus 10 en de argumenten 112 ¹² _en 67¹₂. Dus dan vind je:

1 1

2 2

3z2i  10(cos(112  ) isin(112   )) 1.21 2.92 i _en 3z2i   ( 1.21 2.92) 1.21 2.92 i_.

Dus z  ( 1.21 2.92 i  2 ) / 3 ~i  0.40 1.64 i _en z  0.40 1.64 i_. Opgave 6.1

We moeten bewijzen: (cos



isin )



ⁿ  cosn



isinn



. Volgens Euler kunnen we cos isin schrijven als e^i, dus dan geldt:

(cos



isin )



ⁿ (e^i)ⁿ  e^{i n}  cosn



isinn



, waarmee deze formule bewezen is.

Opgave 6.2

a) ^{16 16 12 12}

16 i

cos( ) isin( ) 3 i

e

^ 







 

b) ^{56 56 12 12}

56 3(cos( ) sin( )) 1 3 1

3 e

^{ i  }

^

^{i }

^

^{   i}

c) ^{14 14}

14

5 2

e

1 ^i 5 2 (cos(1



)isin(1



))   5 5i

d) ^{34 34}

34 123456

2 2(cos(123456 ) sin(123456 ))

2

^

e

^{i }

2 ^

^i

^

^

3 3

4 4

2(cos( ) sin( )) 2 2

2 

i



   i

e) e^i cos( )



isin( )



  1 0  1_.