Wiskunde A voor 4/5 havo

(1)

Wiskunde A

voor 4/5 havo

Deel 2, Antwoordenboek

Versie 2013

Samensteller

(2)

Het auteursrecht op dit lesmateriaal berust bij Stichting Math4All. Math4All is derhalve de rechtheb- bende zoals bedoeld in de hieronder vermelde creative commons licentie.

Het lesmateriaal is met zorg samengesteld en getest. Stichting Math4All aanvaart geen enkele aansprakelijkheid voor onjuistheden en/of onvolledigheden in de module. Ook aanvaarden ze geen enkele aansprakelijkheid voor enige schade, voortkomend uit (het gebruik van) dit lesmateriaal

Voor deze module geldt een Creative Commons Naamsvermelding-Niet-commercieel 3.0 Nederland Licentie. (zie http://creativecommons.org/licenses/by/3.0).

Dit lesmateriaal is open, gratis en vrij toegankelijk lesmateriaal afkomstig van www.math4all.nl en is speciaal ontwikkeld voor het vak wiskunde in het voortgezet onderwijs. Het lesmateriaal op de website www.math4all.nl is afgestemd op kerndoelen wiskunde, tussendoelen wiskunde en eindtermen voor de vakken wiskunde A, B en C. Dit lesmateriaal is mediumneutraal ontwikkeld en op diverse manieren te bekijken en te gebruiken. Voor informatie en vragen kunt u contact opnemen via info@math4all.nl.

Ook houden we ons altijd aanbevolen voor suggesties, verbeteringen en/of aanvullingen.

(3)

Inhoud

1 Tellen 2

1.1 Mogelijkheden 2 1.2 Herhaling of niet 4 1.3 Combinaties 5

1.4 De driehoek van Pascal 7 1.5 Totaalbeeld 8

2 Kansen 10

2.1 Experimenteren 10 2.2 Kansen beredeneren 13 2.3 Kansbomen 14

2.4 Kansverdelingen 16 2.5 Totaalbeeld 18

3 Statistiek 20

3.1 Statistisch onderzoek 20 3.2 Verzamelen en ordenen 22 3.3 Diagrammen gebruiken 27 3.4 Gegevens samenvatten 31 3.5 Uitspraken doen 39 3.6 Totaalbeeld 42

4 Normale verdeling 45 4.1 Normaalkromme 45 4.2 Normale kansen 48

4.3 Standaard normaalkromme 49 4.4 Normaal of niet? 51

4.5 Totaalbeeld 54

5 Kansmodellen 55 5.1 Ja/nee kansen 55

5.2 Binomiale kansverdeling 58 5.3 Niet-binomiaal 60

5.4 Kansmodellen 62 5.5 Totaalbeeld 63

(4)

1 ^Tellen

1.1 Mogelijkheden

a

1 Je hebt vier verschillende munten.

b 16 c 6 a

2 In een wegendiagram wordt alleen aangegeven hoeveel wegen er tussen twee punten zijn.

In een boomdiagram zie je ook de afzonderlijke routes.

b Je krijgt alle afzonderlijke mogelijkheden in beeld.

3 Er zijn 4 × 3 × 2 × 1 = 24 mogelijkheden.

a

4 Zie ﬁguur.

4 × 4 × 4 = 64 mogelijkheden.

(5)

WISKUNDE A TWEEDE FASE HAVO > STATISTIEK EN KANSBEREKENING > TELLEN

STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 3

b Bij de rode dobbelsteen is er maar één mogelijkheid, bij de andere twee dobbelstenen zijn er steeds drie mogelijkheden. Totaal 1 × 3 × 3 = 9.

c 9 + 9 = 18 d 9 + 9 + 9 = 27

a

5 Je kunt dan de derde dobbelsteen niet kwijt.

b 10

c 6-2-1 in 6 volgordes, 5-3-1 in 6 volgordes, 5-2-2 in 3 volgordes, 4-4-1 in 3 volgordes en 4-3-2 in 6 volordes.

Totaal 24 volgordes.

a

6 Doen.

b Teken ook een boomdiagram.

c 2 van de 12 a

7 3 × 2 = 6 b 2 × 1 = 2 c 6 + 2 = 8

d Je gaat van C naar A EN van A naar D OF van C naar B EN van B naar D.

a

8 Bij elke keuze voor een cijfer zijn er 10 mogelijkheden, dus 10 wegen. In totaal 10×10×10×10 = 10000 mogelijkheden.

b 9000 c 96 a

9 -

b 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 4096 c 4 × 4 = 16

d 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 64 a

10 100

b 24 a

11 -

b Te veel (216) verschillende takken.

c 25 × 3 = 75 d 5 × 3 = 15

e 1 f 16 g 215 a

12 3 × 2 × 12 = 72 b 144

c 3 × 2 × 7 = 42 a

13 20 ⋅ 20 ⋅ 20 = 8000 b 1 ⋅ 2 ⋅ 1 = 2

(6)

WISKUNDE A TWEEDE FASE HAVO > STATISTIEK EN KANSBEREKENING > TELLEN

c 2 ⋅ 8 ⋅ 4 = 64

d 0

e Er zijn 1 ⋅ 2 ⋅ 1 + 8 ⋅ 1 ⋅ 7 + 2 ⋅ 7 ⋅ 3 + 2 ⋅ 8 ⋅ 4 = 164 winstmogelijkheden (als je tenminste gratis kunt spelen).

ba

14 Zie ﬁguur 2 ⋅ 6 ⋅ 4 ⋅ 5 = 240 manieren

c 4 ⋅ 5 = 20 manieren

15 729

ba

16 Zie ﬁguur 24

c 8

1.2 Herhaling of niet

a 1 10⁷

b 9 ⋅ 10⁶

c Zie de ?Uitleg?.

a

2 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 = 6⁶= 46656 b 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 720 a

3 26 ⋅ 26 ⋅ 26 ⋅ 26 ⋅ 26 ⋅ 26 = 26⁶= 308915776 b 26 ⋅ 25 ⋅ 24 ⋅ 23 ⋅ 22 ⋅ 21 = 165765600 4 23⁴⋅ 10²= 27984100

5 23 ⋅ 22 ⋅ 21 ⋅ 20 ⋅ 10 ⋅ 9 = 19126800 6 40 ⋅ 39 ⋅ 38 = 59280

a

7 10! = 3628800 b 10 ⋅ 9 ⋅ 8 = 720

c 100 ⋅ 99 ⋅ 98 ⋅ 97 ⋅ 96 = 9034502400 a

8 5⁵= 3125

(7)

WISKUNDE A TWEEDE FASE HAVO > STATISTIEK EN KANSREKENING > TELLEN

b 5! = 120 c 5³= 125 d 5 ⋅ 4 ⋅ 3 = 60

e 5³+ 3 ⋅ 5³+ 2 ⋅ 5⁴= 1750

f 3 ⋅ 2 ⋅ 1 + 3 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 + 2 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 156 9 26⁴⋅ 10²= 45697600

10 2³⁵

11 15 ⋅ 14 ⋅ 13 = 2730 a

12 8! = 40320 mogelijkheden

b Zet eerst deze persoon neer, er zijn twee plaatsen voor. De overige zeven kunnen willekeurig worden neergezet: 2 ⋅ 7! = 10080 mogelijkheden.

c Dit paar kan op 7 plekken zitten. Voor de overigen zijn er dan nog 6 plaatsen over. Maar het paartje kan onderling ook nog van plek verwisselen! Dus 2⋅7⋅6! =10080 mogelijkheden.

13 5

a

14 10⁵= 100000 b 9 ⋅ 10⁴= 90000 c 9 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 = 27216

d Getallen die beginnen met de cijfers 4 en 3: 8 ⋅ 7 ⋅ 6.

Getallen die beginnen met een 4: 5 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6.

Getallen die beginnen met 5 of hoger: 5 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6.

Totaal: 17136.

a

15 Elke vraag zijn er vier mogelijkheden, in totaal 4³⁰≈ 1,15 ⋅ 10¹⁸. b 4⁶= 4096

a

16 41 ⋅ 40 ⋅ 39 ⋅ 38 ⋅ 37 ⋅ 36 = 3237399360

b Als er eenmaal zes ballen zijn getrokken, dan kun je die op 6! = 720 manieren verwisselen.

1.3 Combinaties

a

1 8 × 7 × 6 = 336 b 56.

Zie de ?Uitleg?.

a

2 In de voorrondes hoef je alleen bij de eerste drie te zijn om door te gaan. Of je eerste, tweede of derde bent maakt dan geen verschil, in de ﬁnale natuurlijk wel.

b Omdat de 3! volgordes binnen de eerste drie dan als 1 volgorde tellen.

c 56

d Zie practicum.

e 161700 a

3 (20

5) = 15504

b 20 ⋅ 19 ⋅ 18 ⋅ 17 ⋅ 16 = 1860480 a

4 Akkoord

b ( (8) , (3)) ⋅ ( (12) , (2)) = 3696

(8)

c ( (8) , (3)) ⋅ ( (12) , (2)) + ( (8) , (2)) ⋅ ( (12) , (3)) + ( (8) , (1)) ⋅ ( (12) , (4)) + ( (8) , (0)) ⋅ ( (12) , (5)) = 14608

a

5 1

b 7

c 21

d Als er 3 aan zijn, dan zijn er 4 uit. Het aantal manieren daarvoor is gelijk aan het aantal manieren om er 4 aan te zetten, zodat er 3 uit zijn.

a

6 30

b 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ 27 = 657720 manieren.

c 4! = 24

d ⁶⁵⁷⁷²⁰₂₄ = 27405

e Op ( (30) , (6)) = 593775 manieren.

a 7 (65

10) ≈ 1,79 ⋅ 10¹¹

b ( (40) , (10))+( (40) , (9))⋅( (15) , (1))+( (40) , (8))⋅( (15) , (2))+( (40) , (7))⋅( (15) , (3)) ≈ 2,15⋅10¹⁰ a

8 ( (10) , (3)) = 120 b ( (10) , (9)) = 10 c 2¹⁰= 1024 a

9 De uitkomst is 0, 1, 2, 3, 4 of 5 keer kop. Er zijn dus 6 mogelijkheden.

b ( (5) , (2)) = 10

c ( (50) , (20)) ≈ 4,71 ⋅ 10¹³

10 Elke wedstrijd is een greep van twee spelers uit de 24 waarbij de volgorde niet van belang is. Er zijn dus ( (24) , (2)) = 276 wedstrijden te spelen.

a

11 ( (14) , (4)) = 1001

b ( (14) , (2)) ⋅ ( (12) , (2)) = 6006 a

12 8! = 40320 b 5! ⋅ 3! = 720 c 6! ⋅ 2 = 1440

d ( (8) , (3)) ⋅ 5! = 6720 a

13 6 ⋅ 6 ⋅ 6 = 216 b 19

a

14 ( (18) , (4)) = 3060

b ( (9) , (2)) ⋅ ( (9) , (2)) = 1296 c 18 ⋅ 17 ⋅ 16 ⋅ 15 = 73440 a

15 ( (12) , (6)) = 924 b 6! = 720

a

16 26! = 4,0329... ⋅ 10²⁶

b 26 ⋅ 25 ⋅ 24 ⋅ 23 ⋅ 22 = 7893600 c ( (26) , (5)) = 65780

d Twee meisjes kies je op ( (10) , (2)) = 45 manieren.

Drie jongens kies je op ( (16) , (3)) = 560 manieren.

Totaal 45 ⋅ 560 = 25200 manieren.

(9)

1.4 De driehoek van Pascal

1 Antwoord.

a

2 (8

2) = 28 b (6

1) = 6

3 (8

2) × (8

3) = 1568 a

4 (16

9) = 11440 b (10

5) en (6 4) c (10

5) × (6

4) = 3780 a

5 Teken een rooster van 7 bij 7.

b 1

c 7 d 21

e (4 2) = 6

6 Je kunt nu eigenlijk alleen maar het aantal routes uittellen met behulp van het telsysteem van de driehoek van Pascal. Je komt op 2428 mogelijkheden.

7 Zie ?Voorbeeld?.

a

8 01001101 b (8

4) = 70 c (8

5) + (8 6) + (8

7) + (8 8) = 93

d 2⁸= 256 (als je 00000000 ook meerekent) a

9 (10

3) = 120 b 2¹⁰= 1024 c (10

8) + (10

9) + (10 10) = 56 d 1024 − [(10

9) + (10

10)] = 1013 a

10 Teken rooster.

b (5 2) = 10 c 32 a

11 (14

4) = 1001

(10)

b (10 2) = 45 a

12 1 - 0, 2 - 0, 2 - 1, 3 - 1, 4 - 1, 4 - 2, 4 - 3, 5 - 3, 6 - 3, 6 - 4.

b 210 c 40 13 11 routes.

a

14 2⁵= 32 b 30

c Er zijn dan precies (5

2) = 10 mogelijkheden:

1: - - − − − 2: - − - − − 3: - − − - − 4: - − − − - 5: − - - − − 6: − - − - − 7: − - − − - 8: − − - - − 9: − − - − - 0: − − − - -

15 (12

6) = 924 a

16 (6 2) = 15 b (6

3) = 20 c 2⁶− 1 = 63

d 3

17 80

1.5 Totaalbeeld

a

1 18 ⋅ 17 = 306 b 34 ⋅ 3 = 102 c 3¹³= 1594323 d (13

2) = 78 e (13

2) + (13

1) + (13 0) = 92 a

2 2 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 3 = 36 b 2 ⋅ 1 ⋅ 2 = 4 a

3 Tekenen.

b 7 ⋅ 7 = 49

(11)

c 3 ⋅ 4 + 4 ⋅ 3 = 24

d Nu is het totaal 7 ⋅ 6 = 42 en het aantal mogelijkheden voor een wit en een rood balletje weer 24.

a

4 Tekenen.

b (7 3) = 35 c 2⁷− 1 = 127

5 Winst voor speler A stel je bijvoorbeeld voor door een A en winst voor speler B door een B. A kan nu op de volgende manieren winnen: AAA, AABA, ABAA, BAAA, AABBA, ABABA, BAABA, ABBAA, BABAA, BBAAA. Zo heeft A precies 10 manieren om de wedstrijd te winnen en B natuurlijk ook. Dus zijn er 20 wedstrijdverlopen mogelijk.

a 6 (22

5) = 26334

b 22 ⋅ 21 ⋅ 20 ⋅ 19 ⋅ 18 = 3160080 c (14

2) × (8

3) = 5096 d (14

1) × (8

4) + (14 2) × (8

3) + (14 3) × (8

2) + (14 4) × (8

1) + (14 5) × (8

0) = 26278 e 8 × (21

4) = 47880 a

7 Die getallen zijn (10

0) = 1 , (10

1) = 10 , (10

2) = 45 , etc.

b Door steeds twee naast elkaar gelegen getallen op de tiende rij op te tellen.

a

8 2⁷= 128 b (7

3) = 35 c 8

d 10⁸= 100000000

9 648

a

10 ( (9) , (3)) = 84 b ¹₂⋅ 9 ⋅ 4 = 18

c Totaal aantal mogelijkheden: 2⁹− 1 = 511. Dus het kan.

a

11 Voor elke streep zijn er 4 mogelijkheden 2. Met vier strepen zijn er 4⁴= 256 mogelijkheden.

b (4 2) × (4

2) = 36

c De laatste drie symbolen kunnen een getal vormen, een huisnummer van 3 cijfers. Er zijn daarvoor 900 getallen mogelijk, namelijk 100 tot en met 999. Het kan ook cijfer + X + toevoeging zijn. Daarvoor zijn 9 × 1 × 36 = 324 mogelijkheden. In totaal zijn er 900 + 324 = 1224 mogelijkheden.

(12)

2 ^Kansen

2.1 Experimenteren

a

1 Hier kun je alle kansen beredeneren (als het tenminste over eerlijke dobbelstenen gaat). Maar je kunt ook experimenteren: vaak met twee dobbelstenen gooien en bijhouden wat er gebeurt.

b Hier valt waarschijnlijk weinig over te zeggen. Je zou per speler kunnen gaan bijhouden hoeveel procent van de strafschoppen hij doorgaans mist. Maar dan speelt ook de keeper nog een rol, en de omstan- digheden...

c Geen idee wat daarop de kans is...

d Deze kans kun je in principe beredeneren: je moet gewoon de kans bedenken dat je de 6 goede balletjes uit de 41 trekt.

a

2 10 ogen kun je op drie manieren krijgen, bij 5-5, 6-4 en 4-6

7 ogen kun je op wel zes manieren krijgen, bij 1-6, 6-1, 2-5, 5-2, 3-4 en 4-3

(13)

WISKUNDE A TWEEDE FASE HAVO > STATISTIEK EN KANSREKENING > KANSEN

b Dat kan alleen als je beschikt over een statistiek met zijn ziekteverleden.

c Door daarvan statistieken te zoeken of zelf bij te houden.

d Op een gewone dobbelsteen zitten evenveel kant met een even aantal ogen als met een oneven aantal ogen. Je moet er wel van uit gaan dat de dobbelsteen eerlijk is.

e Moet je ook baseren op statistieken over voorgaande duels van dezelfde teams en zelfs dan is dit uiterst onbetrouwbaar!

f ¹⁸₃₇vakjes zijn rood en elk vakje heeft (als alles eerlijk toe gaat) een even grote waarschijnlijkheid.

a 3 ₆₀₀⁹⁸

b ₆₀₀₀⁹⁹⁷

c Ja, het lijkt er op dat alle kansen op de lange duur richting de¹₆ gaan.

a

4 Gewoon proberen...

b Eigen antwoord c Vaker proberen.

a

5 Eigen antwoord.

b Eigen antwoord.

c Eigen antwoord.

d De kans op 7 ogen zou na heel veel keren gooien in de buurt van₃₆⁶ moeten komen en die op 10 in de buurt van₃₆³.

a

6 0, 1, 2, 3, 4 en 5.

b Er 1 bij op tellen.

c Randomgetallen genereren van 6*X+1.

d Doen.

e Je zou in de buurt van¹₆ moeten uitkomen.

f Je zou in de buurt van¹₉ moeten uitkomen.

a

7 0,731

b 0,111 c 0,5%

a

8 Totaal 5280, gunstig 432. De gevraagde kans is₅₂₈₀⁴³² ≈ 8%

b ₁₀₀₀₀⁴³² ≈ 4,3%. Er zijn 432 kleurenblinde mannen op de 10000 personen (mannen en vrouwen). Bij a ging het alleen om de kleurenblinde mannen, dus op de 5280 mannen.

a

9 Ja, kan bij eerlijke dobbelsteen.

b Kan niet, want deze dobbelsteen is oneerlijk.

c Kan bij eerlijke dobbelsteen.

10 Simulatie met toevalsgetallen 1 t/m 4. Dat kan op verschillende manieren:

- er zijn 16 mogelijke tweetallen, dus simulatie met toevalsgetallen 1 t/m 16;

- twee ‘losse’loss dobbelstenen, eerste worpen (bijv. 20) als eerste lijst, tweede worpen (ook 20) als tweede lijst.

De kans is ¹₄. a

11 Er zijn 9 mogelijke paren, die allemaal even waarschijnlijk zijn (als ze tenminste niet volgens een bepaalde strategie spelen). Elk van die mogelijkheden geef je een nummer, 1 t/m 9. De nummers 2, 4, 6, 8 zijn winst voor A, de rest voor B.

b Zie ﬁguur.

(14)

c Nee, B heeft meer kans.

a

12 300

b Zie ﬁguur.

c ₃₀₀³² ≈ 11%.

d ₃₀₀⁷⁰ ≈ 23%.

e Dat is een levensduur van minder dan 1350 en meer dan 1650 uur. Dus ongeveer₃₀₀⁶⁸ +₃₀₀⁷⁰ ≈ 46%.

a 13 ₁₈⁷

b ₁₀₀²⁹ a

14 Heel vaak met één van die dobbelstenen gooien en bijhouden hoe vaak elk vlakje boven komt. En daarna zou je dit ook nog met de andere dobbelsteen moeten doen.

b Omdat bij zo’n simulatie wordt uitgegaan van gelijke kansen voor elk vlakje.

c Eigen antwoord.

d Je zou in de buurt van de₁₆³ moeten uitkomen.

a

15 Ongeveer 42,1%.

b M: 50,3% en L: 12,6%

c 127 stuks S; 151 stuks M; 38 stuks L a

16 0,118 b ^21,4₂₀₀ = 0,107

(15)

2.2 Kansen beredeneren

1 3 ogen kun je maar op 2 manieren krijgen: 1-2 en 2-1.

7 ogen kun je op wel 6 manieren krijgen.

De kans op 3 ogen is₃₆² en de kans op 7 ogen is ₃₆⁶. a

2 P (𝑋 = 6) =¹₆

b P (𝑋 = 5) =¹₆ en P (𝑋 > 4) =²₆ =¹₃ a

3 ⁴₆= ²₃ b ¹₂ c ⁵₆

4 Er zijn meer witte dan rode balletjes, dus de kans op een wit balletje is groter dan die op een rood balletje.

De kans op een wit balletje is 0,6, die op een rood balletje 0,4.

a

5 36

b 4

c ₃₆⁴ =¹₉ d ₃₆⁶ =¹₆

e Ρ(𝑋 + 𝑌 > 9) =₃₆⁶ =¹₆ a

6 ¹³₅₂

b Er zitten 16 plaatjes in het spel¹⁶₅₂ c ₅₂¹

a

7 Kun je niet door redeneren bepalen.

b ¹₄

c ¹₂ (Eigenlijk moet je deze kans ook door statistieken bepalen.)

d ¹₂ (Dezelfde kans als bij c als het tenminste om dezelfde bevolking(sgroep) gaat.) e Kun je niet door redeneren bepalen.

f ¹₂ a 8 ₁₀³

b ¹₅ c ₁₀¹ d ²₅

a

9 0,001

b 0,001 als ze maar één lot heeft.

c 0,5

d Bij b is alleen het nummer van je vriendin goed, bij c is ieder even nummer goed.

e ₉₉₉¹ f ⁵⁰⁰₉₉₉ a

10 ₃₆⁶ =¹₆ b ²¹₃₆=₁₂⁷ c ₃₆¹ d ¹₂

a 11 ¹₂

(16)

b ₁₆¹ c ₁₆⁴ 12 ³₈

a 13 ¹₄

b ₁₃¹ c ₅₂¹ 14 ₃₆⁶

a

15 Daarmee dekt de eigenaar van het casino zijn kosten en maakt hij winst.

b ₃₇¹

c Niet als je twee ﬁches op hetzelfde nummer zet. Wel als je twee ﬁches op verschillende nummers zet, dan verdubbelt de kans.

d ¹⁸₃₇ e ¹⁸₃₇

f Nog steeds¹⁸₃₇

2.3 Kansbomen

a

1 0,25 ⋅ 0,25 = 0,0625

b Hij kan nu één keer scoren of twee keer scoren, die kansen moet je optellen. Je vindt dan 0,4375.

c Per vier doelpogingen één score (gemiddeld).

a

2 Doen.

b 0,15 ⋅ 0,85 ⋅ 2 = 0,255 c 0,0225

d 0,2475 a

3 0,15²⋅ 0,85 ⋅ 3 = 0,57375

b 0,15²⋅ 0,85 ⋅ 3 + 0,15 ⋅ 0,85²⋅ 3 + 0,85³= 0,996625 c 0,06075

a

4 Met terugleggen, de kans per schot blijft gelijk

b Na elk schot verandert het schotpercentage, het is een gemiddelde over alle schoten tot dat moment a

5 Doen.

b 𝑃 (u�u�) =²₆⋅⁴₆ =₃₆⁸ c P (rw) + P (wr) =¹⁶₃₆= ⁴₉ a

6 Doen.

b P(rw of wr) = ²₆⋅⁴₅ +⁴₆⋅²₅= ₁₅⁸ c P(rr of ww) = ₁₅⁷

a

7 (6

2)

b 8 van verschillende kleur en 7 van gelijke kleur c Doen.

a

8 Iemand kan meerdere taken uitvoeren b ³⁰⁰₇₁₉

c ₇₁₉⁶⁴

(17)

d ⁵⁹⁴₇₁₉ a

9 Niemand mag meerdere taken uitvoeren b ²⁴⁰₅₀₄

c ₅₀₄⁴⁸ d ⁴⁴⁴₅₀₄

a

10 0,04

b 0,63 c 0,96 a 11 ³₈

b ³₈ c ₁₄⁵ d ¹₈

e ₆₄³ f Ja, nu²⁵₆₄ a

12 Doen.

b ₁₈⁵ a

13 0,04

b 0,08 c ₉₀⁴ d ₉₀⁸

e Doen.

f Bij MT: ²¹₅₀ Bij ZT: ²¹₄₅

g Als je er een rood (groen) balletje uit haalt, wordt daarna de kans op een groen (rood) balletje iets groter.

a 14 ₅₄¹

b ₃₆¹ c ₂₇²

d 5 rode (geen zes) met 1 wit balletje; drie keer trekking 𝑀𝑇 a

15 Doen.

b ₃₃₇₅⁶⁴ c ₃₃₇₅⁵²⁸ d ¹³²⁰₃₃₇₅

a

16 Doen.

b ₂₇₃₀²⁴ c ₂₇₃₀³⁹⁶ d ₂₇₃₀⁷²⁰

a

17 Eigen antwoord.

b Ja, die kans is 0,0625.

c in het eerste geval: ₂₉₁₂²¹⁰ >₃₁₂₀²¹⁰ a

18 Doen.

b ₂₀₇₃₆⁷²⁶

(18)

2.4 Kansverdelingen

a

1 0, 1, 2, of 3.

b P(𝑋 = 0) = 0,75³= 0,421875

P(𝑋 = 1) = 0,75²⋅ 0,25 ⋅ 3 = 0,421875 P(𝑋 = 2) = 0,75 ⋅ 0,25²⋅ 3 = 0,140625 P(𝑋 = 3) = 0,25³= 0,015625

c Per vier doelpogingen één score (gemiddeld).

a

2 Zie tabel:

u� 0 1 2 3 4

P (𝑋 = u�) 0,3164 0,4219 0,2109 0,0469 0,0039

b 1

a

3 Zie tabel.

u� 0 1 2 3

𝑃 (𝑋 = u�) ¹²⁵₂₁₆ ₂₁₆⁷⁵ ₂₁₆¹⁵ ₂₁₆¹ b 0,5

c Als je heel vaak met drie dobbelstenen gooit, mag je per 2 keer gooien een zes verwachten.

a

4 Eigen antwoord.

b ³⁰⁴₇₂₉ c ⁴²⁵₇₂₉ a

5 De verwachting van de mannen was 1¹₃ en er zijn 3 taken uit te voeren.

b Eigen antwoord.

a

6 Zie tabel:

aantal zaden 3 4 5 6 7 8 9 10 11

frequentie 0,0056 0,0112 0,0449 0,0730 0,1236 0,2528 0,3539 0,1292 0,0056 b 0,4887 dus ongeveer 49%.

c 0,0168 d 8,15

a

7 Zie tabel:

u� 0 1 2 3 4

𝑃 (𝐽 = u�) ₁₆¹ ₁₆⁴ ₁₆⁶ ₁₆⁴ ₁₆¹ b Verwachtingswaarde is 2 c 300

a

8 Zie tabel:

u� 0 1 2 3 4

P (𝑋 = u�) 0,6830 0,2732 0,0410 0,0027 0,0001 b Zie tabel:

(19)

u� 0 1 2 3

P (𝑌 = u�) 0,6697 0,2977 0,0319 0,0007 a

9 0, 1, 2, 3, 4.

b Zie tabel:

u� 0 1 2 3 4

P (𝑀 = u�) 0,0242 0,1719 0,3868 0,3283 0,0889 c Ongeveer 1,3

a

10 Zie tabel:

u� 1 2 3 4 5 6 8 9 10 12 15 16 18 20 24 25 30 36

P (𝑍 = u�) ₃₆¹ ₃₆² ₃₆² ₃₆³ ₃₆² ₃₆⁴ ₃₆² ₃₆¹ ₃₆² ₃₆⁴ ₃₆² ₃₆¹ ₃₆² ₃₆² ₃₆² ₃₆¹ ₃₆² ₃₆¹

b De verwachtingswaarde is 12,25, dus 12,00 per spel inzetten levert gemiddeld winst op. De winstkans bij n spel is ¹³₃₆.

a

11 P (𝑆 = 3) = 0,25; P (𝑆 = 4) = 0,375 en P (𝑆 = 5) = 0,375. De verwachtingswaarde is 4,125 sets.

b 412 of 413 sets

c P (𝑆 = 3) ≈ 0,49; P (𝑆 = 4) ≈ 0,24 en P (𝑆 = 5) ≈ 0,27. De verwachtingswaarde is ongeveer 3,8 sets.

d P (𝑆 = 3) = 0,49; P (𝑆 = 4) = 0,273 en P (𝑆 = 5) = 0,237 e Ongeveer 3,75

a

12 Zie tabel:

u� 0 1 2 4 8 16 32

P (𝑌 = u�) 0,015625 0,5 0,25 0,125 0,0625 0,03125 0,015625 b 3 euro

c 0,046875 a

13 𝑃 (𝑀 = 0) ≈ 12,17% en 𝑃 (𝑀 = 1) ≈ 37,46%

b P (𝑀 = 2) ≈ 36,12%; P (𝑀 = 3) ≈ 12,84% en P (𝑀 = 4) ≈ 1,40%.

c P (𝑉 = 0) = P (𝑀 = 4) enzovoorts.

d 1,54 en 2,46 a

14 P (𝑍 = 0) = ₃₅¹; P (𝑍 = 1) = ¹²₃₅; P (𝑍 = 2) = ¹⁸₃₅en 𝑃 (𝑍 = 3) = ₃₅⁴. b ²²₃₅

c 1⁵₇ a

15 Zie tabel:

u� 0 1 2 3 4

P (𝐾 = u�) 0,0625 0,25 0,375 0,75 0,0625

b 2

c 50 keer.

a

16 0,4³= 0,064 dus 6,4%.

b In categorie I zit 6,4%.

In categorie II zit 28,8%.

In categorie III zit 43,2%.

(20)

In categorie IV zit 21,6%.

Dus de meeste in categorie III.

c 72

2.5 Totaalbeeld

a

1 40 rode, 40 witte en 20 blauwe balletjes, trekking met terugleggen; P(4 keer rode) = 0,0256.

b 10 rode en 15 witte balletjes, trekking zonder terugleggen; P(3 uit A) ≈ 0,0522.

c 6 verschillende balletjes en drie keer trekken met terugleggen; P(15 ogen) = ₂₁₆¹⁰.

d 10 verschillende balletjes en vier keer trekken met terugleggen; P(PINcode goed) = 0,0001.

a

2 Je antwoord zal in de buurt van het antwoord bij b liggen.

b ₁₆³ a

3 Doen.

b 0,19737 c 0,2193

d P(𝑅 = 0) ≈ 0,0833; P(𝑅 = 1) ≈ 0,4167; P(𝑅 = 2) ≈ 0,4167; P(𝑅 = 3) ≈ 0,0833.

De verwachtingswaarde is 1,5 a

4 ₁₂² =¹₆ b ¹₆ a

5 Eigen antwoord b ₂₈⁷ =¹₄

c ₂₈⁴ =¹₇ d ¹⁸₂₈=₁₄⁹

e ₂₈³

f Er zijn nog 21 stenen over, waarvan er vijf met aan één kant een 5 er op. De kans dat Petra geen steen met een vijf er op heeft, is(16⋅15⋅14⋅13⋅12⋅11⋅10)

(21⋅20⋅19⋅18⋅17⋅16⋅15) ≈ 0,1. De kans dat ze niet kan aanleggen is dus ongeveer 10%.

6 Noem de personen 1, 2, 3 en 4. Eerst trekt persoon 1, persoon 2, dan 3 en als laatste trekt persoon 4.

De 4 lootjes kunnen in 4! = 24 verschillende volgordes worden getrokken. In 15 van deze 24 gevallen heeft minstens één persoon zichzelf getrokken. (Maak een kansboom.) De kans daarop is dus¹⁵₂₄. a

7 ₄₁₅⁹³ = 0,2241 b ₄₁₅⁹¹ = 0,2193 c ²⁷⁸₄₁₅= 0,6699 d ₁₀₄² = 0,0192 e ¹⁶₇₃= 0,2192 a

8 Eigen antwoord.

b ₁₀₁₉₄⁹⁹⁹⁸ = 0,9808, dus ongeveer 98%.

(21)

a

9 Maak een kansboom. Zie tabel:

u� -1 0 1 9

P (𝑊 = u�) ¹²⁵₃₁₆ ₂₁₆⁷⁵ ₂₁₆¹⁵ ₂₁₆¹ b Ongeveer −0,56 per ingelegde euro.

c Meteen doen, het levert veel geld op!

a

10 0,30%

b 15,43%

c 0,7969 d 0,2031

e Bij elk levensjaar na zijn 50ste bereken je de kans dat hij dat jaar overleeft. Daarna elke kans met 1 jaar vermenigvuldigen en alles optellen geeft een verwachting dat die man nog ongeveer 32,4 jaar te leven heeft.

f De verzekeringsmaatschappij krijgt rente over je geld.

g Is afhankelijk van de rentestand, of je man of vrouw bent.

11 ₂₅⁵ ⋅₂₄⁴ ⋅₂₃⁵ ⋅ 3 =₄₆¹ a

12 0,9⁵≈ 0,59049

b Kans dat beide ketens uitvallen is 0,4 ⋅ 0,4 = 0,16, dus de kans dat het systeem blijft werken is 84%.

c De kans dat een deelsysteem blijft werken is 1 − 0,1 ⋅ 0,1 = 0,99, dus de kans dat het hele systeem blijft werken is 0,99⁵≈ 0,95 en dit is ongeveer 95%.

13 P(meisje links en ouders rechts)=₁₀₄⁷² en P(jongen links en ouders rechts)=₁₃₆⁹⁶. P(alle vier de ouders rechts)=₁₀₄⁷² ⋅₁₃₆⁹⁶ en dat is ongeveer 49%, dus niet uitzonderlijk

(22)

3 ^Statistiek

3.1 Statistisch onderzoek

1 Eigen antwoord.

2

> Twijfelachtig

> Representatief als de steekproef groot genoeg is.

(23)

WISKUNDE A TWEEDE FASE HAVO > STATISTIEK EN KANSREKENING > STATISTIEK

> Representatief

3 c en d zijn aselect (maar afhankelijk van wat je als populatie beschouwd).

b is alleen maar aselect als je echt geen idee hebt welke provincies waar op de kaart van NL zitten.

4 b en c (met dit middel bereik je jongeren het snelst, maar het is waarschijnlijk niet representatief voor de populatie jongeren)

a

5 discreet kwantitatief b continu kwantitatief c kwalitatief

d kwalitatief

e continu kwantitatief f continu kwantitatief g discreet kwantitatief

6 Je krijgt een te hoge schatting, gezinnen zonder kinderen zitten nu niet in je steekproef.

a

7 vragen 1, 4, 11, 13, 17, 18, 19 b vragen 3, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 14, 15 c vraag 2

a

8 GR: random(1, 1200, 20)

Excel: =AFRONDEN(ASELECT()*1200;0) en dat 20 keer getrokken nummer is testexemplaar

b Er worden willekeurige groepen gemaakt van 100 Nederlanders (via selectie uit verzameling BurgerSer- vicenummers) en genummerd van 1 t/m 100. Er wordt een toevalsgetal van 1 tot en met 100 gegene- reerd.

Dit toevalsgetal is het nummer van de persoon die in de steekproef valt; en dit 1200 keer (groepen van 100 Nederlanders).

c Eigen antwoord.

9 Doen.

a

10 Een kleine steekproef en alleen maar onder voetbalsupporters bij een voetbalclub uit een andere stad, is niet representatief. Dus mag je geen conclusies uit trekken voor alle Rotterdammers en Amsterdam- mers.

b Eigen antwoord.

c Eigen antwoord.

a

11 Allemaal oneven met tuin op het noorden.

b Het zijn allemaal hoekwoningen, en die verbruiken meer energie.

c Neem 5 huizen aselect met tuin op noorden, waarvan 2 hoekwoningen, neem ook 5 huizen aselect met tuin op zuiden waarvan 2 hoekwoningen.

a

12 Erg veel groepen met weinig deelnemers.

b Een erg kleine steekproef.

c De gegevens uit het onderzoek zijn niet representatief voor de bevolking van de twee landen.

d Je mag nooit dergelijke conclusies trekken bij zo’n kleine steekproef.

a

13 Het is gebaseerd op vrijwilligheid en daardoor niet representatief.

b Nee.

c De lezers van “Men’s Health” zijn niet representatief voor alle Nederlandse mannen.

(24)

d Mensen vertellen vaak niet de waarheid, en maken het mooier dan het is, of durven er niet goed over te praten en doen niet mee. Conclusies zijn niet betrouwbaar en mogen niet veralgemeend worden.

a

14 Te weinig mogelijkheden om uit te kiezen.

b Je wilt vragen naar een mening, maar je vraagt naar een feit, waarvan allang wetenschappelijk bekend is wat gezonder is.

c Het is een open vraag. Je krijgt heel veel verschillende antwoorden en dat is weer moeilijker verwerken en vergelijken.

d Er staat niet bij wat je gegeten hebt, of als je niet ontbeten hebt kun je het niet beantwoorden.

e Eigen invulling...

a

15 Lichaamslengte, tijdbesteding: continu kwantitatief.

Leukste vak, ontbijtgewoonte, favoriete popster of popgroep: kwalitatief.

Zakgeld, bijverdienste: discreet kwantitatief.

b Continu kwantitatief: Hoe lang... (met categorieën, waaruit je kunt kiezen)

Kwalitatief: Welk(e)... (met categorieën, waaruit je kunt kiezen, plus een open antwoordmogelijkheid, anders n.l. ...)

Discreet kwantitatief: Hoeveel...(met categorieën, waaruit je kunt kiezen) c Niet naar mening of naar toekomst vragen maar naar feiten.

Bijvoorbeeld: “Hoeveel kilometer woon je van school?”

Of “Hoeveel broers en zusters heb je?” Of “Heb je gescheiden ouders?”

a

16 Dit is maar één beroepsgroep. Je moet ook zeker managers en leraren in de steekproef hebben. Een gelaagde steekproef met personen (mannen én vrouwen) uit verschillende beroepsgroepen is beter.

b Om te voorkomen dat het weten dat je wel of geen medicijn slikt, van invloed is op het onderzoek.

c ≈ 0,77%.

d Dat is maar hoe je het bekijkt: ₂₂₀₀₀¹⁰⁴ ≈ 0,0047 en ₂₂₀₀₀¹⁸⁹ ≈ 0,0086.

Je vergelijkt dus 0,47% met 0,86%.

De verlaging van het percentage is 0,39%.

De procentuele verlaging van het percentage is 45%.

3.2 Verzamelen en ordenen

1 Eigen antwoord.

a

2 Spitse boog, Dubbele lus, Lus met kring, Combinatie.

b ₂₅⁸, dus 32%.

c Bij een relatieve frequentie weet je hoe het aantal zich verhoudt ten opzichte van het totaal.

d Eigen invulling.

a

3 Zie tabel:

(25)

b Eigen antwoord.

c Eigen antwoord.

a

4 Zie tabel:

b Eigen antwoord.

c Zie tabel:

Eén getal verandert.

d Negen getallen veranderen.

e Zeven getallen veranderen.

(26)

a

5 Zie tabel:

Eén getal verandert.

b Eén getal verandert.

c Eén getal verandert.

a

6 Zie tabel: 33

b 11

c Eigen antwoord.

a

7 0 en 9

b De klasse 30 - 59 heeft naar schatting een frequentie van 7000 (in duizendtallen).

c De onderverdeling binnen een klasse is niet bekend.

a

8 Onjuist, een fractie kan ook een breuk zijn.

b Juist.

c Soms kan het door afronden iets minder of iets meer dan 100 zijn.

d Onjuist.

e Juist.

a

9 €1000

b €900 c €750

d Ondergrens: €900 ; bovengrens: €1000.

e 100 a

10 Zie tabel:

(27)

b Doen, deel alle frequenties door 40.

a

11 Eigen antwoord.

b Eigen antwoord.

c Eigen antwoord.

d Elk getal 5%.

a

12 De leerlingen havo en vwo die in de jaren 2006 t/m 2008 examen deden.

b aantal examenkandidaten: kwantitatief aantal geslaagden: kwantitatief

percentage geslaagden: kwantitatief onderwijssoort: kwalitatief

c Absolute frequenties onder ‘aantal examenkandidaten’ en ‘aantal geslaagden’, relatieve frequenties onder ‘percentage geslaagden’.

d 41371 van de 46313 is 89,3% dus klopt.

e N-proﬁel: 29% (of 29,4%); M-proﬁel: 32679.

f Ja, maar niet zo eenvoudig en niet nauwkeurig want de percentages voor de M- en N-proﬁelen zijn al afgerond: voor 2008/2009 bijvoorbeeld (90 × 13634 + 89 × 32679) /(13634 + 32679) ≈ 89,2 . g Achtereenvolgens 27,9% - 28,4% - 29,4%; dus ja.

h Zouden vaak de betere leerlingen een dubbelproﬁel hebben?

13 Gegevens van klein naar groot op grond van 𝑅𝐺 = getal voor mate van racisme. Vervolgens is het mogelijk een klassenbreedte te kiezen, bijvoorbeeld

klassenbreedte = (eindwaarde - beginwaarde)/(aantal klassen) =¹⁸³⁻⁰₉ . Neem klassenbreedte 20. Zie verder de ﬁguur hieronder.

(28)

a

14 Zie tabel:

(29)

b Zie a.

c 67,7% heeft een schoenmaat van 40 of minder (zie cumulatieve tabel).

Dus 100 − 67,7 = 32,3% heeft een schoenmaat boven de 40.

a

15 populatie: de slakken op een stuk grond variabele: aantal slakken per m²; kwalitatief b 48 m²

c 12 leerlingen d 172 slakken

e 3,6

3.3 Diagrammen gebruiken

1 Eigen antwoord.

a

2 Zie tabel:

b Zie tabel.

c Zie tabel.

d Sectorhoek is relatieve frequentie maal 360, dus ^26,7₁₀₀ ⋅ 360 = 96^∘etc.

e Je kunt dan beter groepen vergelijken (zonder rekening te hoeven houden met de verschillende groeps- groottes).

f Eigen invulling.

(30)

a

3 10 cm

b Markeringspunten zijn de middens van de staven. Dus onder deze punten een staaf tekenen zodat het punt op het midden van de bovenkant van de staaf ligt.

c Voorgaande staven plus de staaf van de huidige klasse opstapelen.

d Eigen antwoord.

e Eigen antwoord.

a

4 Eigen antwoord b Eigen antwoord c De vertrektijden.

d Aantal ritten per heel uur.

e Hangt van de hoeveelheid gegevens af, en wat je wilt laten zien.

a

5 De variabele bij een histogram is altijd een kwantitatieve variabele die van laag naar hoog loopt, de variabele bij een staafdiagram mag ook kwalitatief zijn.

b Je kunt er een frequentieploygoon van maken en het verloop vergelijken.

c Er zit ruimte tussen de staven en dat is niet de bedoeling.

d Een frequentiepolygoon hoort bij een histogram, een lijndiagram hoort bij een staafdiagram. In een lijndiagram zijn de variabelen op de horizontale as verwisselbaar en hierdoor mag je geen conclusies trekken uit het verloop van de lijn. Bij een frequentiepolygoon mag je wel conclusies trekken over het verloop.

6 Laat bij twijfel je antwoord controleren. Zie antwoord voorbeeld 2.

7 Laat bij twijfel je antwoord controleren. Zie antwoord voorbeeld 3.

a

8 48,76%, 35,67%, 13,17%, 2,39%.

b Bereken eerst de sectorhoeken, zie antwoord bij 1d.

c Doen. Gebruik Excel en teken met passer en geodriehoek.

d Relatieve afname van steenkool- en aardgaswinning, rest neemt relatief toe.

a

9 Zie tabel:

b Gebruik de GR.

c Gebruik de GR.

d Zie tabel:

(31)

e Gebruik de GR.

f Maak eerst een nieuwe frequentietabel.

a

10 Zie tabel:

b Doen, gebruik je GR of Excel.

c Doen, gebruik je GR of Excel.

d 80%

a

11 Gebruik je graﬁsche rekenmachine.

b Zie ﬁguur.

c Zie b.

d In een steelblad diagram kun je alle oorspronkelijke gegevens weer terugvinden, maar ook snel zien hoeveel cijfers er tussen bijvoorbeeld de 5 en de 6 in zitten en nauwkeurig het gemiddelde berekenen.

Heb je echter veel gegevens dan wordt ook zo’n steelblad diagram onoverzichtelijk.

a

12 3%

b Zie ﬁguur.

(32)

c Bijna 60% van de prijs is accijns en BTW en gaat naar de staat.

a

13 Lijndiagram en gestapeld staafdiagram.

b geboorteoverschot = geboorten minus sterfgevallen

buitenlands migratiesaldo = aantal immigranten minus emigranten (dus vertrekken naar een ander land of komen van een ander land naar A’dam)

binnenlands saldo = mensen die binnen Nederland verhuizen (dus aantal gekomen naar A’dam minus aantal vertrekkers uit A’dam)

c Ongeveer 4650 + 850 − 1500 = 4000.

d Migratiesaldo positief: er komen meer mensen bij in A’dam dan er uit vertrekken. Negatief saldo: dan juist andersom.

e geboorteoverschot ≈ 4750; binnenlands saldo ≈ 1850; buitenlands migratiesaldo ≈ −800; dus de toename is 4750 + 1850–800 ≈ 5800.

a

14 Het aantal behaalde medailles van elke ‘kleur’.

b Omdat er drie gegevens (variabelen) tegelijk worden weergegeven; land, medaillekleur, aantal.

c China (51) d V.S. (38)

e V.S. (110)

f Zelf doen: de staven op elkaar stapelen. Voordeel is dat je de totalen gemakkelijker kunt vergelijken.

Nadeel is dat je de aantal medailles per ‘kleur’ weer moeilijker kunt vergelijken.

g Bijvoorbeeld een staafdiagram met per land drie staafjes naast elkaar op één as.

a

15 Nederland haalt zelf voor 2281 ⋅ 10¹⁵joule aan energie uit de grond.

b 301 ⋅ 10¹⁵joule.

c Het lijntje ‘overig energie’ naar het blokje ‘centrales; alternatieve energie bijvoorbeeld windenergie en zonne-energie’.

d 3353 ⋅ 10¹⁵joule e 8856 ⋅ 10¹⁵joule

f 83 ⋅ 10¹⁵joule

g Aardgas is de hoofdader van de energiebalans: het verzorgt een groot deel van het verbruik aan energie en is tevens belangrijk uitvoerproduct.

h Linksboven het blokje ‘Onttrekking uit voorraden’ en linksonder opslag in ‘Bunkers’.

(33)

a

16 Eigen antwoord

b Maanden 8 t/m 12, dus augustus t/m december.

c Er wordt dan winst gemaakt.

d €65000 winst.

a

17 Kwalitatieve variabele op de horizontale as.

b Je kunt dan gemakkelijker vergelijken.

c De percentages zijn: N-Am 4,2; Z-Am 4,1; Eur 3,2; vSU 32,2; M-Oo 40,8; Afr 7,8; A&A 7,6. De bijbehorende sectorhoeken vind je door deze getallen met 3,6 te vermenigvuldigen.

d Een staafdiagram.

3.4 Gegevens samenvatten

1 Eigen antwoord.

a

2 Het modale cijfer is het cijfer dat het vaakst voorkomt. Hier zegt het niet veel, want misschien komt alleen 6,7 twee keer voor en zijn alle andere cijfers veel hoger of lager, maar wel onderling verschillend.

b klas A: 6,2 en klas B:6,5

c De mediaan (middelste cijfer) zegt niet veel, hoewel je dan zeker weet dat de helft van de cijfers zeker hoger of gelijk aan 6,2 of 6,5 is (en de andere helft is lager).

d klas A: 6,0 en klas B: 6,5

e Klas B is beter, het gemiddelde is behoorlijk hoger, en de mediaan is ook hoger.

a

3 A: 6,1;

B: 6,1;

C: 7,4;

D: 6,1 b A:6,2;

B:6,0;

C:6,9;

D:6,0

c De cijfers van A liggen meer gespreid dan die van B.

d Het gemiddelde van C is behoorlijk hoger, de cijfers van C liggen meer naar rechts op de getallenlijn.

e Nee, eigenlijk niet. De cijfers van D liggen vaak toch dichter bij het gemiddelde cijfer.

f Het gemiddelde is 0,0. Verbazend is dat niet: het gemiddelde is het evenwichtspunt van de verdeling.

g Het gemiddelde van de kwadraten wordt 3,0.

Om een goede spreidingsmaat te zijn zouden de cijfers van A tussen 6,1 − 3,0 = 3,1 en 6,1 + 3,0 = 9,1 moeten liggen. Aan de linkerkant klopt dat wel zo’n beetje, maar aan de rechterkant is de 9,1 veel te hoog. Dat komt door het kwadrateren.

h Inderdaad is √3,00 ≈ 1,73.

i Voor B is de standaardafwijking ongeveer √0,62 ≈ 0,79.

j Voor D is de standaardafwijking ongeveer √0,58 ≈ 0,76. De standaardafwijking van D is iets kleiner dan die van B. Dat verwacht je ook: de cijfers van D liggen meestal dichter bij het gemiddelde dan de cijfers van B.

4 Zie ﬁguur.

(34)

Klas A: mediaan = 6,2 en kwartielafstand = 2,5 Klas B: mediaan = 6,5 en kwartielafstand = 2,4 Voor de boxplots:

Klas A: laagste = 3,4 en hoogste = 8,5 Klas B: laagste = 3,9 en hoogste = 9,4

Zie ﬁguur.

5 Geen van deze uitspraken.

Modus = 65 Mediaan = 68 Gemiddelde ≈ 66,16

6 Het gemiddelde is groter dan de mediaan.

Modus = 63 Mediaan = 65 Gemiddelde ≈ 65,73

De modus is kleiner dan het gemiddelde.

Modus = 63

(35)

Mediaan = 65 Gemiddelde ≈ 65,73 a

7 De som van de waarnemingsgetallen delen door het aantal.

b hoogste − laagste waarneming c derde kwartiel − eerste kwartiel d Eigen antwoord.

e Zie ﬁguur.

f Van elk waarnemingsgetal verschil van het gemiddelde berekenen en dit kwadrateren.

De som van al die kwadraten delen door het aantal waarnemingsgetallen, je krijgt dan de variantie.

Tenslotte de wortel trekken uit de variantie levert de standaardafwijking op.

g 5 cm

h Vanuit de klassenmiddens.

i Opnieuw vanuit de klassenmiddens. Zowel het gemiddelde als de standaardafwijking kunnen afwijken van de werkelijke waarden. Dit komt omdat nu alleen nog de klassenmiddens worden gebruikt en dat zijn niet de werkelijke waarnemingen.

j Het klassenmidden ligt nu aan het einde van een levensjaar, bij je verjaardag.

a

8 Zie tabel.

b Zie tabel.

(36)

c Zie hierboven.

d Je controle is dat de gevonden waarden voor gemiddelde en standaardafwijking niet veel verschillen van die bij a en b.

a

9 ziekenhuis A: gemiddelde = 166 cm en mediaan = 160 cm.

ziekenhuis B: gemiddelde = 166 cm en mediaan = 160 cm.

b Nee, bij ziekenhuis B liggen de getallen verder uit elkaar.

a

10 plaats A: gemiddelde = 60 mm, mediaan = 60 mm plaats B: gemiddelde = 60 mm, mediaan = 60 mm

b A

c De variatiebreedte in A is 80 mm, de variatiebreedte in B is 20 mm, dus ja.

11 Zie ﬁguur.

a

12 Zie ﬁguur.

(37)

b Doen.

c Doen.

d Doen.

e Doen.

f De boxplot (a,b en c) blijft dezelfde vorm houden en de afstanden tussen de kengetallen (maximum, minimum, eerste en derde kwartiel, mediaan) blijven gelijk. De boxplot verschuift in zijn geheel langs de as.

g De afstanden tussen de kengetallen worden vergroot of verkleind met het vermenigvuldigingsgetal. Dit betekent dat de boxplot (d,e) vergroot of verkleind wordt.

a

13 Tot op de millimeter nauwkeurig. De lengte 3,0 hoort bij de tweede klasse.

b De klasse 12,0− < 15,0, die bevat het grootste aantal wormen.

c Doen.

d In de klasse 9,0− < 12,0.

Je kunt de mediaan niet bepalen, want de losse waarnemingen zijn niet bewaard. M.b.v. de cumulatieve frequentiepolygoon kun je de mediaan schatten: ongeveer 11,8

e gemiddelde ≈ 11,79, standaardafwijking ≈ 4,92 a

14 De linker tabel:

De gemiddelde besteding per klant is ongeveer 112,50.

De modale klasse is 100− < 150.

Mediaan is ongeveer 125 en 𝑄1≈ 75, 𝑄3≈ 125.

De rechter tabel:

De gemiddelde tijd per klant is ongeveer 2,25 minuten.

De modale klasse is 1− < 2.

De mediaan is ongeveer 2,5 en 𝑄1≈ 1,5, 𝑄3≈ 2,5.

b Bij de linker verdeling is de standaardafwijking ongeveer 56,1 en bij de rechter is de standaardafwijking ongeveer 1,17.

c Eigen antwoord

(38)

d Er zijn gemiddeld ¹⁵⁰⁰⁰⁰_112,50 ≈ 1333 klanten per week. (Omzet delen door gemiddelde besteding per klant). Elke klant heeft een gemiddelde 2,25 minuten tijd. Er is in totaal 2,25 maal 1333 minuten aan kassawerk. Dit is 3000 minuten. Met een overcapaciteit van 25% moet je dit getal vermenigvuldigen met 1,25 om te weten hoeveel tijd de supermarkt aan caissières nodig heeft. Dit is^1,25⋅3000₆₀ = 62,5 uur aan kassawerk. Er zijn dus 1,64 caissières nodig.

a

15 Zie ﬁguur.

b Zie ﬁguur.

(39)

c a.m.: gemiddelde ≈ 17,0^∘C en standaarddeviatie ≈ 2,1^∘C.

p.m.: gemiddelde ≈ 20,0^∘C en standaarddeviatie ≈ 2,2^∘C.

d dag: gemiddelde ≈ 18,6^∘C en standaarddeviatie ≈ 2,6^∘C.

e ’s Morgens is het gemiddeld kouder dan ’s middags en ’s avonds. Het gemiddelde over de gehele dag is het gemiddelde van beide gemiddelden per dagdeel (evenveel metingen per dagdeel).

De temperaturen van p.m. liggen kennelijk wat meer gespreid dan die van a.m.

a

16 Gemiddelde lengte ongeveer 171 cm.

Mannen zijn gemiddeld 176 cm en vrouwen gemiddeld 164 cm.

b 198 cm, bezwaar: onnodig hoge kosten aan materiaal en er kan toch wel een langere man ooit moeten worden opgenomen.

c 50% van 278 is 139. Bedlengte 171 cm.

d 145 mannen: voor de helft bedden van 176 cm en de 50% grootste mannen bedden van b.v. 200 cm.

133 vrouwen: voor de helft bedden van 165 cm en voor de 50% grootste vrouwen bedden van b.v. 185 cm.

(40)

a

17 Eigen antwoord.

b gemiddelde temperatuur in 2006: 11,2 graden gemiddelde temperatuur in 1986: 9,0 graden 2006 was dus warmer dan 1986.

c gemiddelde wintertemperatuur in 1988: 5,0 graden gemiddelde wintertemperatuur in 2003: 2,4 graden de winter van 1988 was dus warmer.

18 ^53+u�₇ = 9 geeft u� = 10.

a

19 De aantallen in beide klassen zijn verschillend.

b Eigen antwoord.

c 20⋅6,6+u�⋅8,1

20+u� = 7,5 geeft u� = 30. Dus 30 leerlingen in H4B.

d _(20−u�)^u�⋅6,4+ = 6,6 geeft u� = 12. Dus 12 leerlingen in H4A.

20 (melk zwartbont + melk roodbont)

(aantal zwartbont + aantal roodbont)= 22 L/dag Dit geeft:24⋅u�+21,55⋅(120−u�

120 = 22 en daaruit vind je u� = 22.

a

21 Niet alle klassen zijn even goed. Zit je in een goede klas, dan is je score lager dan wanneer je in een minder goede klas zit. En dit terwijl je prestatie dezelfde is.

b Zie a.

c De mediaan.

d Ja, dan zitten de meer dan 80% van de leerlingen die zwakker scoorden op andere scholen.

e Bij 0% hoort een Citoscore van 500 en bij 100% hoort een Citoscore van 550.

Bij 537 hoort dus een percentielcore van³⁷₅₀ = 74%.

a

22 Zie ﬁguur.

Het gemiddelde aantal personen per huishouden is ¹⁴¹₅₈ ≈ 2,4.

b (26⋅1+14⋅2+6⋅3)⋅26+(25⋅1+16⋅2+4⋅3)⋅18,2

141 ≈ 22,2

c (18⋅26+u�+u�+5)

20 = 27 geeft u� = 33,5.

De één is 33,5 en de ander 38,5 jaar.

d kleinste: 10 huishoudens van 1 persoon weg dus¹³¹₄₈ ≈ 2,7.

grootste: 1 huishouden van 6, 2 van 5 en 7 van 4 weg dus (141–6–10–28) 48 ≈ 2,0.

a

23 Leeftijd: mediaan.

Lengte, gewicht en zakgeld: gemiddelde.

Favoriete drankje en vervoermiddel: modus.

b Leeftijd: kwartielafstand en spreidingsbreedte.

Lengte, gewicht en zakgeld: standaarddeviatie.

Favoriete drankje en vervoermiddel: geen.

c Doorsnee feetsganger is 16 - 17 jaar, 181 cm lang, drinkt cola, weegt 71 kg, heeft €22,13 zakgeld en komt met de ﬁets.

a

24 Het modale salaris is ongeveer €30.000 per jaar.

b De mediaan is groter dan de modus want rechts van 3€30.000 per jaar zit een groter gebied onder de graﬁek dan links ervan. De mediaan moet zo zitten dat links en rechts een even groot gebied (50% van

(41)

de werknemers) zit.

a

25 Het gemiddelde is ongeveer 26,1 seconden, de mediaan is 25 en de modus is 21.

b De spreidingsbreedte is 42 − 18 = 24 en de standaardafwijking is ongeveer 6,0.

c Minimum is 18, maximum is 42. De kwartielen zijn 𝑄₁= 21 en 𝑄₃= 30.

d Doen.

e Het gemiddelde is ongeveer 27,0 seconden en de standaardafwijking is ongeveer 6,2 seconden.

f De mediaan wordt (aﬂezen bij 50%) ongeveer 27 seconden.

3.5 Uitspraken doen

1 Eigen antwoord.

a

2 Doen.

b ¯𝐿 ≈ 169 en 𝜎𝐿≈ 8,86.

c Doen, het zal niet precies kloppen natuurlijk.

d Doen.

e Redelijk, natuurlijk niet precies.

a

3 ¹⁰⁰⁻⁶⁸₂ = 16%.

b ¹⁰⁰⁻⁹⁵₂ = 2,5%.

a

4 Relatief is het misschien wel lager, maar absoluut kan het evenveel of zelfs meer zijn.

b Het aantal automobilisten dat zonder alcohol op rijdt is veel en veel hoger, dus je moet het in verhou- ding zien tot het aantal automobilisten dat met of zonder alcohol op rijdt.

c 20% witter dan wit, wat is dat?

d Het slagingspercentage is vooral afhankelijk van de capaciteiten van de leerlingen die aan het examen deelnemen. Zorg je er als school voor dat alleen heel goede leerlingen in de examenklas komen dan slagen er dan waarschijnlijk veel, maar komen waarschijnlijk ook veel leerlingen helemaal niet in de examenklas.

5 ¯𝐿 ≈ 180,7 en 𝜎𝐿≈ 7,73.

Je kunt de vuistregels het makkelijkst controleren door aﬂezen in een cumulatief frequentiepolygoon.

Daarin geef je ¯𝐿 + 𝜎𝐿en ¯𝐿 − 𝜎𝐿aan en kijk je of er ongeveer 68% van de waarnemingen binnen valt. En op dezelfde manier controleer je ook de andere vuistregel.

a

6 waar

b waar, 104 minuten of meer c niet waar

d waar a

7 waar

b niet waar, 2,5%

c waar d niet waar

e waar

8 Eigen antwoord.

a

9 Vraag 1: Horen allochtonen dan niet tot de Nederlanders?

Vraag 2: Zijn het vooral allochtonen die racistisch zijn?

(42)

b 1020, waarbij 150 mensen de vragenlijst niet afgemaakt hebben.

c 3450 zijn verstuurd en 870 formulieren zijn volledig ingevuld.

d ‘In geval van ontslag zouden allochtonen als eerste ontslagen moeten worden’, ‘Nederlanders moeten zich niet mengen met een andere nationaliteit’ en ‘Nederlanders zijn intelligenter dan allochtonen’.

e Veel allochtonen hebben ook Nederlandse nationaliteit en zijn dus Nederlander. Het begrip Nederlan- der is niet duidelijk en het begrip allochtoon ook niet.

f Negatieve aspecten worden benadrukt.

a

10 Het gemiddelde weekloon is ongeveer €557 met een standaardafwijking van ongeveer €89.

b Doen.

c Aﬂezen bij 50%.

d Aﬂezen bij 84% geeft gemiddelde + standaardafwijking. Daarmee kun je de standaardafwijking bepalen.

e Aﬂezen hoeveel procent er tussen 379 en 735 euro zit.

Vervolgens trek je dit percentage van de 100% af.

a

11 Eigen antwoord.

b De modale lengte is 161 cm, de gemiddelde lengte is ongeveer 162,1 cm.

c Gebruik een cumulatief frequentiepolygoon voor aﬂezen. Lees mediaan af bij 50%: 161,5 cm. Lees eerste kwartiel af bij 25%: 157,5 cm. Lees derde kwartiel af bij 75%: 166 cm.

d Ja, wordt redelijk klokvormig.

e Zie graﬁek.

Lees mediaan af bij 50%: 161 cm. Lees eerste kwartiel af bij 25%: 157 cm. Lees derde kwartiel af bij 75%:

166 cm. Nee, wijkt nauwelijks af.

f Zonder klassenindeling is de gemiddelde lengte ongeveer 162,1 cm en de standaardafwijking ongeveer 6,5 cm. Het gaat dus om de lengtes van minder dan 156,6 en meer dan 168,6 cm. Dat is ¹⁷⁸³₅₀₀₁ ≈ 36%

van de vrouwen.

g Het gaat nu om de lengtes van minder dan 149,6 en meer dan 175,1 cm. Dat is ₅₀₀₁²⁶³ ≈ 5% van de vrouwen.

h Ze komen aardig overeen.

a

12 Zie ﬁguur. De laagstbetaalde werknemers krijgen 3% meer (tussen €48 en €60).

(43)

WISKUNDE A TWEEDE FASE VWO > STATISTIEK EN KANSREKENING > STATISTIEK

b Zie ﬁguur. De laagstbetaalde werknemers krijgen €200 meer.

c Zie ﬁguur. De laagstbetaalde werknemers krijgen er niets bij.

13 De geboortelengte is gemiddeld ongeveer 50,6 cm met een standaardafwijking van 2,6 cm.

(Klassenmiddens: 44,5; 46,5; 48,5; ...; 56,5 cm)

Het geboortegewicht is gemiddeld ongeveer 3477 gram met een standaardafwijking van ongeveer 607 gram.

(Klassenmiddens: 1250, 1750, 2250, ..., 4750)

Uitspraken over de geboortelengte: 68% van de pasgeborenen heeft een lengte tussen 48,0 en 53,2 cm en 95% heeft een lengte tussen 45,4 en 55,8 cm.

Uitspraken over de geboortelengte: 68% van de pasgeborenen heeft een gewicht tussen 2870 en 4084 gram en 95% heeft een gewicht tussen 2263 en 4691 gram.

a

14 Gemiddelde lengte ongeveer 171 cm.

Mannen zijn gemiddeld 176 cm met een standaarddeviatie van 7 cm en vrouwen gemiddeld 164 cm met een standaarddeviatie van 6 cm.

Mannen zijn gemiddeld langer dan vrouwen.

b Dat is inderdaad zo: de 50% langste mannen zijn minstens 176 cm, de 84% kortste vrouwen zijn hoog- tens 164 + 6 = 170 cm.

a

15 De 25% kortste mannen hebben lengtes vanaf 150 tot 168,4 cm.

b De 25% langste mannen hebben lengtes vanaf 176,8 tot 194,6 cm.

c 266 a

16 Gebruik als klassenmiddens voor de leeftijden: 27,5; 32,5; 37,5; ...; 62,5.

De gemiddelde leeftijden zijn dan achtereenvolgens: 39,2; 40,5; 42,35; 45,85; 48,1.

De standaarddeviaties zijn achtereenvolgens: 9,7; 8,8; 8,4; 8,3; 9,3.

b Eigen antwoord

c De gemiddelde leeftijd wordt gestaag hoger en de standaardafwijking verandert weinig.

d Ze lijken goed te passen: de gemiddelde leeftijden nemen toe. Waarom die toename sterker is dan in de eerste drie jaren zal men uit onderzoek hebben afgeleid.

a

17 Doen.

b Doen.

c In de jaren tot 1900 is de gemiddelde julitemperatuur 16,8°C met een standaarddeviatie van 1,4°C.

In de jaren vanaf 1900 is de gemiddelde julitemperatuur 17,0°C met een standaarddeviatie van 1,4°C.

De gemiddelde julitemperatuur is bijna 1 standaarddeviatie hoger geworden.

(44)

3.6 Totaalbeeld

a

1 Doen. Denk om het omrekenen van percentages naar graden.

b De oppervlakte van de cirkel moet twee keer zo groot worden, dus de straal moet √(2) keer zo groot worden. Dat is 3 ⋅ √2 ≈ 4,2 cm.

c Doen.

d ₃₀₀₀¹⁴⁷ ≈ 4,9%

a

2 ²¹⁰⁰⁰⁰₃₀₀ = 700 euro b ³⁶⁹⁰⁰⁰₈₀₀₀₀₀= 46%

c Zie ﬁguur en tabel.

categorie bedrag % sectorhoek

grond 210000 26 95

bouwkosten 369000 46 165

BTW 119100 15 54

overige 101900 13 46 totaal 800000 100 360

d Niet over alle posten moet BTW worden betaald.

a

3 De Verenigde Staten.

b Koeweit.

c De V.S. heeft veel meer inwoners dan Koeweit.

d Bepaal eerst het totaal van de reserves (≈ 531 mld barrels) en de hoeveelheid die bij de OPEC-landen zit.

298

531≈ 56% van de reserves zit bij de OPEC.

e Bepaal eerst het totaal van de productie (≈ 54,2 mln barrels/dag) en de hoeveelheid die bij OPEC-landen zit.

28,5

54,2≈ 52,5% van de productie zit bij de OPEC.

f Doen.

a

4 Totaal 1044 bedrijven.

b 101 − 110

c Denk om het werken met de rechter klassengrenzen!

d Mediaan ongeveer 105,5; 𝑄1≈ 75,5 en 𝑄3≈ 125,5.

e Gemiddelde ongeveer 100,0 en standaarddeviatie ongeveer 35,5.

(45)

f Redelijk.

g Interval [64,5; 135,5].

Daarbinnen zit ₁₀⁶ ⋅ 69 + 75 + 108 + 120 + 123 + 101 + 85 +₁₀⁵ ⋅ 79 ≈ 692,9 van de 1044 bedrijven.

Dat is ongeveer 66,4%.

h Het gaat om de 26 gemengde bedrijven met de meeste kippen.

Die hebben zeker meer dan 160 kippen per bedrijf.

a

5 Waar.

b Niet waar.

c Waar.

d Niet waar.

e Niet waar.

a

6 Afrika: in totaal (als je de categorie ‘Noord-Afrika/Midden-Oosten’ voor de helft meerekent) zo’n 25,5 miljoen besmettingen.

b Spanje: 61028.

c Nee, want het aantal inwoners van Luxemburg is ook heel klein.

d De aantallen inwoners van deze landen.

e 18000

f 6000 + 8000 + 11000 + 12000 + 14000 + 16000 + 18000 = 85000 g Zie ﬁguur.

a

7 1,11 ⋅ 150000 = 166500, dus in 2008 was dat €166500.

1,06 ⋅ 150000 = 159000, dus in 2000 was dat €159000.

b De eerste conclusie is juist, want 2007 is het basisjaar. De tweede conclusie is onjuist,want 2008 is niet het basisjaar. Het tweede percentage moet zijn 4,5%.

c Totaal €475000, dat is €158000 per jaar gemiddeld.

d In 2007 werd 0,95 ⋅ 150000 = 142500 euro uitgegeven en in 2008 werd 0,88 ⋅ 166500 = 146520 euro uitgegeven. Dus in 2008 gaf dit bedrijf ₁₄₂₅₀₀⁴⁰²⁰ ≈ 2,8% meer uit aan reclame in de dagbladen.

e Aan dagbladen werd in 2008 146520 euro uitgegeven en aan gedrukte reclame werd in 2009 0,90 · 159000 = 143100 euro uitgegeven. Dus beide conclusies zijn onjuist.

a

8 Deze opgave zou je moeten doen met gegevens van de eigen school!

b Eigen antwoord.

c Eigen antwoord.

d Eigen antwoord.

e Eigen antwoord.

f Eigen antwoord.

g Eigen antwoord.

h Eigen antwoord.

i Eigen antwoord.