Wiskunde B voor 4/5 havo

(1)

4/5 havo

Deel 1

Versie 2013

Samensteller

(2)

Het auteursrecht op dit lesmateriaal berust bij Stichting Math4All. Math4All is derhalve de rechtheb- bende zoals bedoeld in de hieronder vermelde creative commons licentie.

Het lesmateriaal is met zorg samengesteld en getest. Stichting Math4All aanvaart geen enkele aansprakelijkheid voor onjuistheden en/of onvolledigheden in de module. Ook aanvaarden ze geen enkele aansprakelijkheid voor enige schade, voortkomend uit (het gebruik van) dit lesmateriaal

Voor deze module geldt een Creative Commons Naamsvermelding-Niet-commercieel 3.0 Nederland Licentie. (zie http://creativecommons.org/licenses/by/3.0).

Dit lesmateriaal is open, gratis en vrij toegankelijk lesmateriaal afkomstig van www.math4all.nl en is speciaal ontwikkeld voor het vak wiskunde in het voortgezet onderwijs. Het lesmateriaal op de website www.math4all.nl is afgestemd op kerndoelen wiskunde, tussendoelen wiskunde en eindtermen voor de vakken wiskunde A, B en C. Dit lesmateriaal is mediumneutraal ontwikkeld en op diverse manieren te bekijken en te gebruiken. Voor informatie en vragen kunt u contact opnemen via info@math4all.nl.

Ook houden we ons altijd aanbevolen voor suggesties, verbeteringen en/of aanvullingen.

(3)

Voorwoord 3

1 Werken met formules 5 1.1 Formules gebruiken 6 1.2 Formules herschrijven 12

1.3 Formules en de graﬁsche rekenmachine 20 1.4 Vergelijkingen 26

1.5 Totaalbeeld 33

2 Functies en graﬁeken 37 2.1 Het begrip functie 38 2.2 Domein en bereik 47 2.3 Karakteristieken 56 2.4 Transformaties 63 2.5 Ongelijkheden 71 2.6 Totaalbeeld 77

3 Lineaire verbanden 83 3.1 Lineaire functies 84 3.2 Lineaire verbanden 91 3.3 Stelsels vergelijkingen 97 3.4 Lineaire modellen 103 3.5 Totaalbeeld 110

4 Exponentiële functies 117 4.1 Exponentiële groei 118 4.2 Reële exponenten 126 4.3 Exponenten en machten 133 4.4 Exponentiële functies 139 4.5 Meer exponentiële functies 145 4.6 Totaalbeeld 153

5 Logaritmische functies 161 5.1 Logaritmen 162

5.2 Eigenschappen van logaritmen 168 5.3 Logaritmische schalen 175

5.4 Logaritmische functies 182 5.5 Logaritmische vergelijkingen 188 5.6 Totaalbeeld 194

6 Machtsfuncties 201

6.1 Werken met machten 202

6.2 Eigenschappen van machtsfunties 210

6.3 Kwadratische functies als machtsfuncties 219

(4)

6.4 De abc-formule 227 6.5 Meer machtsfuncties 235 6.6 Totaalbeeld 242

Register 247

(5)

Het lesmateraal in dit boek is gebaseerd op het materiaal dat je kunt vinden op de website www.math4all.nl. In de tekst staan dan ook regelmatig verwijzingen naar die website. Waar je precies moet zijn op die website kun je zien in de kopregel van iedere pagina.

Bij bestudering van het lesmateriaal kom je in de tekst ook aanwijzingen tegen. Je ziet dan bijvoorbeeld in de tekst:

Bekijk eerst:

www.math4all.nl > 1/2 HAVO/VWO > Afstanden > Toepassen Je kunt met de muis elk deel van de wereld bekijken en er op inzoomen.

Als zo’n aanwijzing in een opgave staat, kun je die opgave waarschijnlijk alleen maar maken als je inderdaad op de website hebt gekeken.

Ieder hoofdstuk bestaat uit een aantal paragrafen en wordt steeds afgesloten met een paragraaf To- taalbeeld waar de leerstof wordt samengevat en/of herhaald. Iedere paragraaf is ingedeeld in vaste rubrieken die houvast geven bij de bestudering van het lesmateriaal.

> Verkennen

> Uitleg

> Theorie en Voorbeelden

> Verwerken

> Toepassen

Indien er in het lesmateriaal wordt verwezen naar werkbladen dan kun je deze terugvinden op de website.

(6)

(7)

1 Werken met formules

Formules gebruiken 6 Formules herschrijven 12

Formules en de graﬁsche rekenmachine 20 Vergelijkingen 26

Totaalbeeld 33

(8)

1.1 Formules gebruiken

Inleiding

“De oppervlakte van een rechthoek kun je uitrekenen door de lengte en de breedte met elkaar te vermenigvuldigen.” Dat is een zin die je kunt inkorten tot 𝐴 = u� ⋅ u� als je de oppervlakte van de rechthoek voorstelt door de letter 𝐴, de lengte door de letter u� en de breedte door de letter u�.

Zo’n ingekorte zin heet een formule. Formules zijn overzichtelijker dan lange zinnen, maar je moet wel goed onthouden (of opschrijven) wat al die letters voorstellen. En bij toepassingen moet je ook om de eenheden

denken: als lengte en breedte in meter zijn, dan moet oppervlakte in vierkante meter.

Je leert in dit onderwerp

> verschillende soorten formules herkennen;

> bij een formule die het verband tussen twee variabelen beschrijft graﬁeken tekenen;

> werken met grootheden en eenheden.

Voorkennis

> werken met variabelen (met ‘letters’);

> tabellen maken en graﬁeken tekenen.

Verkennen

Opgave 1

Iemand wil een stuk hei afgrenzen om er schapen te laten grazen met 360 meter gaas.

Het af te grenzen stuk moet rechthoekig worden met een oppervlakte van 0,5 hectare (dus 5000 m²).

De vraag is nu of dat kan en zo ja, wat dan de lengte en de breedte zijn van het af te zetten stuk hei.

a Om welke variabelen gaat het in dit probleem?

b Stel bij dit probleem één of meer passende formules op.

c Los het verder op, bijvoorbeeld met behulp van tabellen of graﬁeken.

(9)

Theorie en voorbeelden

Een formule is een zin waarin variabelen voorkomen. Vaak beschrijven formules een verband tussen die variabelen, maar niet altijd.

Formules hebben meestal de vorm van een vergelijking, dus een zin met een isgelijkteken.

Als een formule een verband beschrijft tussen twee variabelen, kun je er een graﬁek bij tekenen. Je maakt dan eerst een tabel. Vervolgens zet je de gevonden punten in een assenstelsel.

In de praktijk beschrijven formules vaak het verband tussen grootheden. Die grootheden worden voorgesteld door een variabele waarin de letter past bij de gebruikte grootheid.

Bij zo’n grootheid hoort weer een afgesproken eenheid waarin hij kan worden gemeten.

> De formule 𝐴 = u�²is een vergelijking die een verband tussen de variabelen 𝐴 en u� vastlegt. Je kunt er een tabel en een graﬁek bij tekenen.

> De formule 2u� + 40 = 300 geeft informatie over de onbekende u�. Deze vergelijking heeft als oplossing u� = 130, want 2 ⋅ 130 + 40 = 300.

> De formule (u� + 3)²= u�²+ 6u� + 9 is een rekenregel en geldt dus voor elke waarde van u�.

Voorbeeld 1

Als een formule een verband tussen twee variabelen beschrijft, kun je vaak een graﬁek tekenen.

Stel je voor dat iemand 30 m²graszoden heeft gekocht. Daarmee kun je verschillende rechthoekige grasveldjes leggen. Tussen lengte en breedte (in m) van deze veldjes bestaat dan dit verband:

lengte · breedte = 30

Bij deze formule kun je een tabel maken en een graﬁek tekenen. Je begint met een tabel en een "leeg" assenstelsel.

lengte 1 2 3 4 5 6 10 15 30

breedte

Als lengte = 1 dan is 1 · breedte = 30.

En dus is dan breedte = 30.

Dit komt in de tabel.

In het assenstelsel komt het punt (1, 30).

Als lengte = 2 dan is 2 · breedte = 30.

En dus is dan breedte = 30 /2 = 15 . Dit komt in de tabel.

In het assenstelsel komt het punt (2, 15).

En zo vul je de tabel verder in.

De bijbehorende punten komen in het assenstelsel.

Tenslotte teken je een (kromme) lijn door de getekende punten.

(10)

WISKUNDE B TWEEDE FASE HAVO > WERKEN MET FORMULES > WERKEN MET FORMULES

lengte 1 2 3 4 5 6 10 15 30

breedte 30 15 10 7,5 6 5 3 2 1

Opgave 2

Gebruik de formule: oppervlakte(rechthoek) = lengte × breedte.

a Stel dat gegeven is: lengte = 6 m. Vul dit in de formule in. Geef de formule die hierdoor ontstaat.

b Stel je voor dat: oppervlakte = 12 m². Schrijf op hoe de formule dan wordt.

c Van een rechthoek is bekend dat het een vierkant is. Schrijf de formule op die voor deze rechthoek het verband tussen oppervlakte en lengte beschrijft.

De volgende graﬁeken horen bij de formules uit a, uit b of c.

... ... ...

d Schrijf bij elke graﬁek de juiste formule, zet de juiste variabelen bij de assen en maak er een goede schaalverdeling bij.

Opgave 3

Voor een abonnement voor mobiele telefonie betaal je €24 per maand en nog eens 8 eurocent per belminuut. De totale kosten per maand hangen dus af van het aantal belminuten per maand.

Die totale kosten kun je omrekenen naar kosten per belminuut.

a Leg uit, dat er voor de kosten 𝐾 per belminuut geldt: 𝐾 = 0,08 +²⁴_u� waarin u� het aantal belminuten in een maand voorstelt.

b Teken een graﬁek bij deze formule. Neem aan dat 0 < u� ≤ 240. Bekijk eventueel Voorbeeld 1 op pagina 7.

c Bij hoeveel belminuten betaal je 12 eurocent per minuut?

(11)

Voorbeeld 2

Gooi je een steen met een beginsnelheid van 24,1 m/s, dan wordt de snelheid van de steen (zolang hij niet op de grond is gekomen) gegeven door:

u� = 24,1 − 9,8u�

waarin u� de tijd in seconden voorstelt. Hier zie je de bijbehorende graﬁek.

Je wilt weten op welk tijdstip de steen op zijn hoogste punt is. Hoe lees je dat uit deze graﬁek af?

Zolang de steen omhoog gaat is u� positief; zodra de steen daalt, is u� negatief.

Je kunt uit de graﬁek aﬂezen op welk tijdstip de snelheid van de steen 0 is.

Op dat moment is de steen op zijn hoogste punt.

Dat is ongeveer na 2,5 s.

Kun je dit antwoord ook nauwkeurig berekenen?

Opgave 4

Iemand gooit vanaf zijn balkon een tennisbal omhoog met een beginsnelheid van 5 m/s. In Voorbeeld 2 op pagina 9staat beschreven hoe bij een omhoog geworpen steen de snelheid van de tijd afhangt. De bal komt na 2 seconden op de begane grond.

a Pas de gegeven formule aan voor de gegevens van de tennisbal. Welke formule krijg je nu?

b Teken een graﬁek bij deze formule.

c In de graﬁek is de snelheid soms positief, soms negatief. Hoe komt dat?

d Na hoeveel seconden is de bal op zijn hoogste punt? (Geef je antwoord in duizendsten nauwkeurig.) e Met welke snelheid komt de bal op de grond? (Geef je antwoord in km per uur.)

Voorbeeld 3

Een formule zoals (u� + 4)²= u�²+ 8u� + 16 is een rekenregel.

Een formule zoals (u� + 4)²= u�²+ 16 is een vergelijking die je op kunt lossen.

Verklaar het verschil.

De bovenste formule geldt voor elke waarde van u�.

Dit kun je laten zien door aan de linkerkant van het isgelijkteken de haakjes uit te werken:

(u� + 4)²= (u� + 4)(u� + 4) = u�²+ 4u� + 4u� + 16 = u�²+ 8u� + 16 Bij de tweede formule kun je ditzelfde doen, maar dan komt er:

u�²+ 8u� + 16 = u�²+ 16

En dit geldt alleen als 8u� = 0 en dus als u� = 0

De eerste (bovenste) formule klopt voor elke waarde van u�, de tweede alleen als u� = 0.

Opgave 5

Bekijk Voorbeeld 3 op pagina 9. Welke van de volgende formules stelt een verband tussen twee variabelen voor? Teken in dat geval de graﬁek.

a inhoud = 3u�² b inhoud = u� ⋅ u� ⋅ ℎ c 4 (u� − u�) = 4u� − 4u�

(12)

d lengte = 200 – breedte e 2u� + 25 = 14 − 0,5u�

f u� ⋅ u� = 12

Opgave 6

Welke van de formules uit de vorige opgave stelt een rekenregel voor?

Verwerken

Opgave 7

Voor de inhoud van een cilindervormig blikje geldt: 𝑉 = 𝜋 ⋅ u�²⋅ ℎ.

Hierin is 𝑉 de inhoud (het volume), u� de straal in centimeter en ℎ de hoogte in centimeter.

a In welke eenheid moet 𝑉 worden uitgedrukt?

b Hoeveel bedraagt de inhoud van een blikje met een diameter van 80 milli- meter en een hoogte van 16 centimeter?

c Welke formule geeft het verband tussen 𝑉 en u� voor blikjes met een hoogte van 16 centimeter?

d Teken een graﬁek bij de formule die je in c hebt gevonden.

e Van andere blikjes ligt de inhoud vast: 𝑉 = 1 L. Welk verband is er nu tussen u� en ℎ? Teken er een graﬁek van.

Opgave 8

Welke van deze formules beschrijft een verband tussen twee variabelen? Teken er dan een graﬁek bij.

a (2 + u�) ⋅ u� = 2u� + u�u�

b inhoud(kubus) = u�³ c u� = 400 − 5u�² d u�²+ u�²= u�²

Opgave 9

Voor het gebruik van elektriciteit betaal je een vast bedrag per jaar en een bedrag per kWh (kiloWattuur) verbruik. De totale jaarlijkse kosten hangen daarom af van het aantal kWh dat er wordt verbruikt. Die totale kosten kun je omrekenen naar kosten per kWh. Er geldt de formule:

𝐾 = 0,12 +³²_u�

Hierin is u� het aantal verbruikte kWh en 𝐾 de kosten per kWh (in euro’s).

a Hoeveel bedraagt het vaste bedrag per jaar?

b Teken een graﬁek van 𝐾 afhankelijk van u�. Waarom moet 𝐾 op de verticale as komen?

c Voor welke waarde van u� bedragen de kosten per kWh 16 eurocent?

(13)

Opgave 10

Een elektrische weerstand wordt aangesloten op een spanning van 200 Volt. Met behulp van een ampèremeter kun je de stroomsterkte meten. Voor deze situatie geldt de wet van Ohm: 𝑈 = 𝐼 ⋅ 𝑅 waarin 𝑈 de spanning in V (volt), 𝐼 de stroomsterkte in A (ampère) en 𝑅 de weerstand in ? (ohm).

a Bij een spanning van 200 volt beschrijft de wet van Ohm het verband tussen 𝐼 en 𝑅. Welke formule hoort daar bij? En welke eenheden horen bij deze formule?

b Teken een graﬁek bij deze formule.

c Welke stroomsterkte wordt er gemeten als 𝑅 = 15 Ω?

Testen

Opgave 11

Welke van de volgende formules stellen een verband tussen twee variabelen voor? Maak er een bijpassende graﬁek bij.

a u� + u� = 8

b (u� + 5)²= u�²+ 10u� + 25 c 4u�²− 25 = 135

d 𝑅 = 50u� − 2u�²

Opgave 12

De Quetelet-index (𝑄𝐼) is een maat voor je gezondheid.

Je berekent de 𝑄𝐼 met de formule: 𝑄𝐼 =^𝐺_u�2.

Hierin is u� je lengte in meters en 𝐺 je gewicht in kilogram.

Een 𝑄𝐼 van tussen de 20 en de 25 betekent een gezond gewicht.

a Bereken de 𝑄𝐼 van iemand die 180 centimeter lang is en 78 kilogram weegt.

b Bij een 𝑄𝐼 van 20 kun je een graﬁek maken van iemands gewicht afhankelijk van zijn lengte. Teken die graﬁek.

c Teken in hetzelfde assenstelsel de graﬁek 𝑄𝐼 = 25.

d Stel je een persoon voor van 180 centimeter lengte. Geef in je ﬁguur aan welke gewichten voor deze persoon gezond zijn.

Zet de ondergrens en de bovengrens er in de graﬁek bij, in kilogram nauwkeurig.

(14)

1.2 Formules herschrijven

Inleiding

Formules kun je vaak op verschillende manieren schrijven.

Zo kun je de omtrek van een rechthoek uitleggen als

“Tel lengte en breedte en lengte en breedte bij elkaar op”, maar ook als

“Neem 2 keer de lengte en 2 keer de breedte en tel dat bij elkaar op”.

Dan zeg je verschillende dingen, maar die leveren het toch altijd dezelfde omtrek op. Het zijn gelijkwaardige formules (in woorden). Soms is de éne versie van de formule handiger, soms werk je liever met een andere…

> formules herschrijven;

> haakjes uitwerken;

> ontbinden in factoren;

> werken met breuken.

Voorkennis

> werken met variabelen (met ’letters’);

> eenvoudige algebraïsche technieken zoals terugrekenen, de balansmethode bij vergelijkingen en werken met haakjes.

Verkennen

Opgave 1

Iemand wil een stuk hei afgrenzen om er schapen te laten grazen met 360 meter gaas.

Het af te grenzen stuk moet rechthoekig worden met een oppervlakte van 0,5 hectare (dus 5000 m²).

De vraag is nu of dat kan en zo ja, wat dan de lengte en de breedte zijn van het af te zetten stuk hei.

Noem de lengte van de rechthoek u� en de breedte u�.

a Stel bij dit probleem een formule op passend bij de gegeven omtrek en één passend bij de gegeven oppervlakte.

b Schrijf beide formules in de vorm u� = ...

c Hoe kun je nu het probleem verder oplossen?

(15)

Theorie en voorbeelden

Formules zoals 2u� + 2u� = 60 en u� = 30 − u� beschrijven hetzelfde verband, ze zijn gelijkwaardig. Je kunt de formule 2u� + 2u� = 60 herleiden (of herschrijven):

2u� + 2u� = 60

beide zijden /2

u� + u� = 30

beide zijden −u�

u� = 30 − u�

Nu is u� uitgedrukt in u�. De nieuwe formule bevat minder tekens en is overzichtelijker.

Bij het herschrijven van formules maak je gebruik van:

> aan beide zijden van een isgelijkteken mag je hetzelfde optellen of aftrekken;

aan beide zijden van een isgelijkteken mag je met hetzelfde vermenigvuldigen of delen (behalve vermenigvuldigen of delen met 0);

> haakjes uitwerken:

u� ⋅ (u� + u�) = u� ⋅ u� + u� ⋅ u�

en

(u� + u�) ⋅ (u� + u�) = u� ⋅ u� + u� ⋅ u� + u� ⋅ u� + u� ⋅ u�

> ontbinden in factoren:

u� ⋅ u� + u� ⋅ u� = u� ⋅ (u� + u�) en

u�²+ u� ⋅ u� + u� = (u� + u�) ⋅ (u� + u�) met u� + u� = u� en u� ⋅ u� = u�

> breuken optellen/aftrekken en breuken vermenigvuldigen/delen:

u�

u�±û�_u�=û�⋅u�_u�⋅u�±û�⋅u�_u�⋅u�= u�⋅u�±u�⋅u�

u�⋅u�

en

u�

u�⋅^u�_u�=_u�⋅u�^u�⋅u�

en

u�

u�/_u�û� =û�⋅u�_u�⋅u�/_u�⋅u�û�⋅u� =û�⋅u�_u�⋅u�

als

u� ≠ 0, u� ≠ 0 (alleen bij de deling) en u� ≠ 0

Voorbeeld 1

Je wilt de formule 4u�²− 2u� = 0 herschrijven zo, dat u� is uitgedrukt in u�.

Laat zien hoe je dat kunt doen.

Dit gaat zo:

4u�²− 2u� = 0

beide zijden +2u�

4u�² = 2u�

beide zijden /4

u�² = ¹₂u�

terugrekenen (beide zijden worteltrekken)

u� = ±√¹2u�

Je vindt dus u� = √¹2u� ∨ u� = −√¹2u�

(16)

Je hebt nu de variabele u� uitgedrukt in u�.

Je ziet dat er twee mogelijkheden zijn: het teken ∨ tussen beide mogelijke formules betekent ‘en/of’.

Het gaat om een verband tussen u� en u� waarbij de éne formule en/of de andere formule hoort.

Opgave 2

In een rechthoekige driehoek geldt de stelling van Pythagoras.

In formulevorm: u�²+ u�²= u�². a Geef twee gelijkwaardige formules.

b Neem u� = 3u� en u� = 4u� en druk u� uit in u�.

Opgave 3

Schrijf de volgende formules zo eenvoudig mogelijk:

a 2 ⋅ u� + 3 ⋅ u� + 4 ⋅ u� − 6 ⋅ u� = 12 b 2 ⋅ u� ⋅ u� + u� ⋅ u� = 18

c 𝐴 = 2 ⋅ 𝜋u�²+ 2 ⋅ 𝜋u� ⋅¹⁰⁰⁰_𝜋u�2

d u� = 5u�⁶⋅^6u�_3u�⁴7

Opgave 4

Bekijk Voorbeeld 1 op pagina 13. Druk in deze formules u� uit in u�.

a 2u� − 4u� = 10 b u� ⋅ (u� + 2) = 6 c u� = 4u�² d u�²+ u�²= 25

Voorbeeld 2

Voorbeelden van haakjes uitwerken zijn:

> −2 ⋅ (u� − u�) = −2 ⋅ u� − −2 ⋅ u� = −2u� + 2u�

> u� ⋅ (3 − u�) = u� ⋅ 3 − u� ⋅ u� = 3u� − u�²

> 2 − (u� − 5) = 2 − u� − −5 = 2 − u� + 5 = 7 − u�

> (u� + 3)(u� − 5) = (u� + 3)(u� + −5) = u� ⋅ u� + u� ⋅ −5 + 3 ⋅ u� + 3 ⋅ −5 = u�²− 2u� − 15

> (u� − 5)²= (u� − 5)(u� − 5) = u�²− 5u� − 5u� + 25 = u�²− 10u� + 25

Let er wel op dat het uitwerken van haakjes geen blind automatische wordt. Soms kun je met een formule juist veel eenvoudiger werken als je de haakjes gewoon laat staan.

Denk ook steeds na of het uitwerken wel is toegestaan.

> Goed: ^u�+6₂ = (u� + 6) /2 = ^u�₂+⁶₂ =¹₂u� + 3

> Fout: _u�+2⁶ = 6 /(u� + 2) =⁶_u�+⁶₂ =⁶_u�+ 3

Opgave 5

Bekijk Voorbeeld 2 op pagina 14. Werk in de volgende uitdrukkingen de haakjes uit:

a 3u� ⋅ (u� − 2u�)

(17)

c 0,5u� ⋅ 100u� − u� ⋅ (20u� + 100) d −5u�³(u�²− 3u�³)

Opgave 6

Werk in de volgende uitdrukkingen de haakjes uit:

a (u� + 2) ⋅ (u� + 4) b 2 (u� + 4) (u� − 2) c (u� + 3) (¹_u�+ 6) d (5u� − 4)²

Voorbeeld 3

Voorbeelden van ontbinden in factoren zijn:

> 2u�²+ 6u�u� = 2u� ⋅ u� + 2u� ⋅ 3u� = 2u�(u� + 3u�)

> −u�²+ 4u� = −u� ⋅ u� − −u� ⋅ 4 = −u�(u� − 4)

> u�²+ 5u� + 6 = u�²+ 2u� + 3u� + 2 ⋅ 3 = (u� + 2)(u� + 3)

> u�²− 4u� − 12 = (u� + 2)(u� − 6)

> u�³− 4u� = u�(u�²− 4) = u�(u� − 2)(u� + 2)

Opgave 7

Bekijk Voorbeeld 3 op pagina 15. Ontbind in factoren:

a 2u�²+ 10u�

b u�²+ 5u� + 4 c u�²− 9u� + 8 d u�³+ 2u�²+ u�

e u�²− 17u� + 16 f u�³− u�⁵

Voorbeeld 4

Breuken optellen/aftrekken is gebaseerd op het gelijknamig maken:

u�

u�±û�_u�=û�⋅u�_u�⋅u�±û�⋅u�_u�⋅u�=u�⋅u�±u�⋅u�

u�⋅u�

Hier zie je een paar voorbeelden (ga er van uit dat je nooit door 0 deelt):

> ²_u�+⁵_u�=⁷_u�

> ²_u�−⁵_u�=⁻³_u� = −³_u�

> ²_u�−⁵_u�=^2u�_u�u�−^5u�_u�u�=^{2u�−5u�}_u�u�

> _3u�² +_u�⁵2= _3u�^2u�2+_3u�¹⁵2 =^2u�+15_3u�2

> ²_u�−_u�+3¹ = ^2(u�+3)_u�(u�+3)−_u�(u�+3)^u� =_u�(u�+3)^u�+6

(18)

Opgave 8

Bestudeer nog eens hoe je breuken optelt en aftrekt. Zie Voorbeeld 4 op pagina 15.

Schrijf als één breuk (neem aan dat je nooit door 0 deelt):

a ²₇+¹₇ b ²₇+¹₃ c ²_u�+¹_u�

d ²_u�+¹_u�

Voorbeeld 5

Breuken vermenigvuldigen en delen is gebaseerd op:

u�

u�⋅_u�û� =_u�⋅u�û�⋅u� en û�_u�/_u�û� =û�u�_u�u�/û�u�_u�u�= u�u� /u�u� =û�u�_u�u�

Hier zie je een paar voorbeelden (ga er van uit dat je nooit door 0 deelt):

> ²_u�⋅⁵_u�=¹⁰_u�2

> ²_u�/_u�⁵ =²₅

> ²_u�/_u�⁵ =^2u�_u�u�/^5u�_u�u�=^2u�_5u�

> ^2u�₃ ⋅_u�⁵2= ^10u�_3u�2 =¹⁰_3u�

> ^2u�₃ /_u�⁵2=^2u�_3u�³2/_3u�¹⁵2= ^2u�₁₅³= ₁₅²u�³

Opgave 9

Bestudeer nog eens hoe je breuken vermenigvuldigt en deelt. Zie Voorbeeld 5 op pagina 16.

a ²₇⋅¹₃ b ²₇/¹₃ c ²_u�⋅_u�¹ d ²_u�/¹_u�

Opgave 10

Nog even door elkaar. Schrijf als één breuk (neem aan dat je nooit door 0 deelt):

a ¹_u�+_u�² b ²_u�−_2u�¹ c _5u�³ /^2u�₅ d ²_u�+_u�+1¹

(19)

Verwerken

Opgave 11

Schrijf deze formules zo eenvoudig mogelijk:

a 4 ⋅ u� + 10 = 3 ⋅ u� − 2 ⋅ u�

b 2 ⋅ u� + 2 ⋅ u� ⋅ u� + 4 ⋅ u� = 6 ⋅ u�² c 4 ⋅ u� ⋅ ℎ + 2 ⋅ u�²= 100

d 𝑊 = u� ⋅ (650 − 2 ⋅ u�) − 20 ⋅ (650 − 2 ⋅ u�)

Opgave 12

Druk in deze formules u� uit in u�. Schrijf ze daarna zo eenvoudig mogelijk.

a u� − 2u� = 10 b (u� + 2) ⋅ u� = 6 c u� = 4 − u�² d u� ⋅ u�²= 4

e 0,5u� + 1,5u� = 12 f (u� + u�)³= 8 g u�²− u�²= 25 h 2u�²+ 4u�u� = 100

Opgave 13

Werk de haakjes uit:

a −2u� (u�²+ 6u�) b −2u� − (u�²+ 6u�) c (u� + 20) (u� − 5) d (u�²+ 1) (3u� − 2)

e (u� − 3) (u� + 3) f (6u� − 3)² g (u� −¹_u�)² h (u� − 2)³

Opgave 14

Ontbind in factoren:

a u�²− 4u�

b −2u�²+ 18u�

c u�²+ 5u� − 6 d 12 − 4u� − u�²

e 4u�²− 16

(20)

f 2u�³− 2u�²− 24u�

g 16 − u�² h u�²− 10u� + 9

Opgave 15

a ³_u�+⁵_u�

b _u�−2³ −²_u�

c ²_u�/³_u�

d 2u� −_2u�¹

Opgave 16

Een boer heeft een rechthoekig stuk land dat twee keer zo lang is als breed. Uit het oogpunt van landschapsbeheer haalt hij aan beide lange zijden een strook van 3 meter breed af en maakt daar een smalle boswal. Verder maakt hij een bredere boswal van 10 m breed aan één van beide korte zijden.

Zijn land wordt daarmee 2690 m²kleiner.

a Maak eerst een tekening van de situatie. Noem de oorspronkelijke breedte van het land u� (in meter).

Hoe groot is de oppervlakte van dit land?

b Hoe groot is de oppervlakte van het land na de aanleg van de boswal? (Denk om de haakjes!) c Bereken door uitwerken van de haakjes hoe groot de breedte van het rechthoekige stuk land is.

Testen

Opgave 17

Schrijf deze formules zo, dat u� is uitgedrukt in u�.

a u� ⋅ u� + 4 ⋅ u� = 8 ⋅ u�²− 4 ⋅ u�

b 2u� ⋅ u� = 0,4u� + 200 c u� − 4u�²= 2

Opgave 18

Werk eerst de haakjes uit en ontbind daarna in factoren:

a 2 (u� − 2) (u� + 3) − 12 b (u� + 3) (u� − 2) + 4u� − 8

Opgave 19

Goed of fout? Verbeter de foute uitwerkingen of ontbindingen. Laat bij de goede uitwerkingen zien waarom ze goed zijn.

a (u� + 3)²= u�²+ 9

b −u�²− 4u� + 12 = − (u� − 6) (u� + 2)

(21)

d _u�2^8u�+3u�=^5u�_u�2 =⁵_u�

Opgave 20

a ^u�₂+²_u�

b _4u�³ /_2u�⁵ c ²_u�−_2u�+5⁴ d ^u�+1_u� +_2u�¹

(22)

1.3 Formules en de graﬁsche rekenmachine

Inleiding

De grafische rekenmachine kan heel snel grafieken maken bij formules die een verband tussen twee variabelen weergeven. Maar dan moeten ze wel in de juiste vorm staan: hij kan alleen werken met formules waarbij duidelijk is voor welke variabele getallen worden ingevuld (de invoervariabele) en welke variabele dan moet worden uitgerekend. Ook mogen er natuurlijk niet meerdere uitkomsten mogelijk zijn. Verbanden die aan deze eisen voldoen noem je ‘functies’. Het begrip functie wordt verder in Functies en grafieken besproken.

> formules herschrijven tot ze de juiste vorm hebben voor de graﬁsche rekenmachine;

> het begrip ‘functie’ kennen;

> graﬁeken maken met de graﬁsche rekenmachine.

Voorkennis

> werken met variabelen (met ‘letters’);

Verkennen

Opgave 1

Als je nog nooit met een graﬁsche rekenmachine hebt gewerkt, doe je nu eerst het practicum ‘Basis- technieken’. Je vindt het bij: Practicum.

Theorie en voorbeelden

Bij een formule, die het verband tussen de variabelen u� en u� beschrijft, noem je u� een functie van u�, wanneer deze formule de vorm u� = ... heeft.

In de bijbehorende graﬁek komt u� dan altijd op de verticale as.

> In de formule u� = u�²+ 4 is u� een functie van u�.

> In de formule 𝑃 = 0,052u�³is 𝑃 een functie van u�.

> De formule u� + 2u� = 6 kun je op twee manieren schrijven:

> u� = 6 − 2u�, met u� als functie van u�.

> u� = 3 − 0,5u�, met u� als functie van u�.

Formules van de vorm u� = ... kun je in de graﬁsche rekenmachine invoeren.

(23)

Voorbeeld 1

De formule u� + 2u� = 12 beschrijft een verband tussen u� en u�.

Herschrijf de formule zo, dat u� is uitgedrukt in u� en teken dan met de graﬁsche rekenmachine de bijpassende graﬁek.

Dit gaat zo:

u� + 2u� = 12

2u� = 12 − u�

beide zijden /2

u� = 6 − 0,5u�

Je hebt de variabele u� geschreven als functie van u�. Nu kun je de formule in de graﬁsche rekenmachine invoeren.

Opgave 2

Bekijk Voorbeeld 1 op pagina 21.

Gegeven zijn de twee formules 2u� + u� = 6 en u�²+ 2u� = 12.

a Herschrijf beide formules tot u� een functie is van u�.

b Voer beide formules in je graﬁsche rekenmachine in.

c Bepaal met de graﬁsche rekenmachine de snijpunten van beide graﬁeken.

d Doe dit ook door de bijpassende vergelijking algebraïsch op te lossen.

Opgave 3

Bekijk Voorbeeld 1 op pagina 21. Druk in deze formules u� uit in u�.

a 2u� − 4u� = 10 b u� ⋅ (u� + 2) = 6 c u� = 4u�² d u�²+ u�²= 25

Voorbeeld 2

Als je 360 meter afrastering beschikbaar hebt voor een rechthoekig veld met een oppervlakte van 0,5 hectare dan geldt:

u� ⋅ u� = 5000 en 2u� + 2u� = 360 en voor de breedte (in m) de variabele u� kiest.

Zoek nu waarden voor u� en u� die aan beide formules voldoen.

Schrijf de formules als: u� =⁵⁰⁰⁰_u� en u� = 180 − u�.

(24)

Voer je ze in de graﬁsche rekenmachine in als Y1=5000/X en Y2=180-X.

Om een goede graﬁek te krijgen kies je verstandige grenzen van de waarden van X (de breedte) en Y (de lengte).

Je ziet dat de graﬁeken twee snijpunten hebben. Om die snijpunten gaat het. Je berekent ze met je graﬁsche rekenmachine.

Opgave 4

Bepaal met je graﬁsche rekenmachine het snijpunt van de graﬁeken u�+u� = 9 en u� = u�³in één decimaal nauwkeurig. Schrijf een duidelijke uitwerking op.

Voorbeeld 3

Stel je voor dat iemand een rechthoekig stuk land van 200 m²wil omheinen. De kosten voor de omheining moeten zo laag mogelijk worden. Hij moet de lengte en de breedte dus zo kiezen dat de omtrek zo klein mogelijk wordt.

Hoeveel meter omheining is in dit geval nodig?

Er gelden voor zo’n rechthoek twee formules:

𝐴 = u� ⋅ u� en 𝑃 = 2u� + 2u�

als u� de lengte (in m), u� de breedte (in m), 𝐴 de oppervlakte en 𝑃 de omtrek is.

Omdat 𝐴 = 200, geldt: u� ⋅ u� = 200 en dus u� = ²⁰⁰_u�

Die uitdrukking kun je invullen in de formule voor de omtrek: 𝑃 =⁴⁰⁰_u� + 2u�

Deze formule geeft een verband tussen 𝑃 en u� waarmee je een grafiek kunt maken. Je voert dan de formule in de grafische rekenmachine in en je kiest verstandige waarden voor de instelling van het grafiekenvenster.

Aan de graﬁek kun dan je zien, dat er een waarde van u� is, waarbij de omtrek zo klein mogelijk is. Die waarde is ongeveer 14,1 m en de bijbehorende breedte is hetzelfde.

Kennelijk is een ongeveer vierkant landje het gunstigst. Dat zal je niet verwonderen...

Opgave 5

Boer Voortman zet voor zijn paard een weilandje af. Hij heeft daarvoor nog 200 meter gaas. Het weiland wordt zuiver rechthoekig. Omdat het weiland tegen een brede rivier aan komt te liggen hoeft hij alleen de twee breedtes en de lengte van gaas te voorzien.

a Druk de lengte u� van het weiland uit in de breedte u�.

b Druk de oppervlakte 𝐴 van het weiland uit in u�.

c Breng met je graﬁsche rekenmachine de graﬁek bij de formule die je in b hebt gevonden in beeld.

Bedenk van te voren de beste vensterinstellingen.

d Voor welke waarden van u� is de oppervlakte van het weiland zo groot mogelijk?

(25)

Opgave 6

Voor de inhoud van een cilindervormig blikje geldt:

𝑉 = 𝜋 ⋅ u�²⋅ ℎ

Hierin is 𝑉 de inhoud (het volume), u� de straal in centimeters en ℎ de hoogte in centimeters.

a Neem een blikje waarvoor ℎ = 10 cm. Nu is 𝑉 een functie van u�. Breng de graﬁek van deze functie zo in beeld dat je bij 𝑉 = 1000 nog kunt aﬂezen hoe groot u� is. Bepaal de waarde van u� in twee decimalen nauwkeurig.

b Voor een blikje waarvan de diameter en de hoogte gelijk zijn, geldt: ℎ = 2u�.

Schrijf een formule op voor 𝑉 als functie van u�. Bepaal nu de waarde van u� van zo’n blikje als de inhoud 0,5 L is.

c Voor een blikje waarvan de inhoud 1 L is, kun je een formule opstellen voor ℎ afhankelijk van u�. Breng de bijbehorende graﬁek in beeld en bepaal de waarde van ℎ waarvoor u� = 5 cm.

Verwerken

Opgave 7

Breng van de volgende formules de graﬁeken in beeld. Denk om het gebruik van haakjes en de instellingen van het venster!

a u� = 250u� − 4,9u�² b u� = 0,04 +²⁰⁰_u�

c 4 ⋅ u� ⋅ ℎ + 2 ⋅ u�²= 100 d 𝑁 = _30+0,5u�⁶⁰ 2

Opgave 8

Voor de inhoud van een rechte kegel geldt: 𝑉 = ¹₃𝐺ℎ, waarin 𝐺 de oppervlakte van het grondvlak en ℎ de hoogte is. Dit grondvlak is een cirkel met straal u�.

a Welke formule beschrijft het verband tussen 𝑉, u� en ℎ?

Voor een kegel met een inhoud van 1 liter kun je uit de formules een verband aﬂeiden tussen u� en ℎ.

b Geef dat verband in een formule weer zo, dat u� een functie is van ℎ.

c Bepaal nu de waarde van ℎ waarvoor geldt: u� = 10 cm. Benader het antwoord in twee decimalen nauwkeurig.

d Bepaal de waarde van u� waarvoor geldt: ℎ = 10 cm. Benader het antwoord in twee decimalen nauwkeurig.

(26)

Opgave 9

Voor een kopieerapparaat bedraagt de maandelijkse huur €200 waarbij nog een bedrag van 4 cent per kopie komt. 𝐾 stelt de totale kosten voor en u� is het aantal kopieën dat er maandelijks (gemiddeld) wordt gemaakt.

a Schrijf de formule op voor 𝐾 als functie van u�.

b Iemand die een kopie maakt betaalt 10 cent per kopie. Schrijf de formule op voor de inkomsten 𝐼 als functie van u�.

c Hoeveel kopieën moeten er per maand worden gemaakt als 10 cent per kopie kostendekkend is?

Opgave 10

Stel je voor dat een bedrijf affiches wil maken. Om op te vallen moet de oppervlakte van zo’n affiche 1 m²worden. Het affiche wordt zo bedrukt, dat er aan de beide zijkanten en de bovenkant een witte strook van 10 cm overblijft. Aan de onderkant is die strook 15 cm.

De bedrijfsleiding vraagt zich af welke afmetingen het aﬃche nu nog kan hebben. Ze komen daarbij op de formule: (u� + 25) (u� + 20) = 10000.

a Laat zien hoe ze aan deze formule komen en wat u� en u� betekenen.

b Breng de graﬁek bij deze formule in beeld.

c Controleer of alle in beeld gebrachte afmetingen ook mogelijk zijn.

d Bij nader inzien wil de bedrijfsleiding dat het bedrukte deel een vierkant wordt. Welke maat voor de aﬃches adviseer je nu?

Testen

Opgave 11

In een biologisch laboratorium is onderzoek gedaan naar de tijd die bij een bepaalde temperatuur nodig is om 50% van het zaad van een plant te laten ontkiemen. Proefondervindelijk werd dit verband tussen de tijde in dagen en de temperatuur in °C (graden Celsius) gevonden:

u�u�u�u� =_𝑇−2⁸⁹

Hierin is 𝑇 de temperatuur in °C.

a Voor welke temperaturen heeft de formule betekenis?

b Maak een graﬁek bij deze formule. Schrijf de instellingen van het beeldscherm op.

c Bij welke temperatuur duurt het 5 dagen totdat 50% van het zaad is ontkiemd?

(27)

Opgave 12

Van een vierkant stuk papier van 20 cm bij 20 cm wordt een bakje gemaakt door uit de hoeken een vierkantje weg te knippen. De randen die ontstaan worden naar boven gevouwen. Stel zo’n geknipt vierkantje heeft een zijde van u� cm.

a Stel een formule op voor de breedte u� van het bakje als functie van u�.

b Welke waarden kunnen u� en u� aannemen?

c Maak een formule voor de inhoud 𝐼 als functie van u�.

d Maak een graﬁek van de formule voor 𝐼. Let op de waarden die u� kan aannemen en zorg voor een zodanige graﬁek dat alle mogelijke waarden van 𝐼 in beeld komen.

e Bepaal voor welke waarde van u� de inhoud maximaal is.

(28)

1.4 Vergelijkingen

Inleiding

Een architect wil een goede trap ontwerpen. Hij gebruikt daarvoor de formule:

2 · optrede + aantrede = paslengte

Hij gaat uit van een paslengte van 70 cm. Voor de optrede wil hij 16 cm nemen. Vult hij deze gegevens in de formule in, dan krijgt hij de vergelijking: 32 + aantrede

= 70.

Hij kan dus als aantrede nemen: aantrede = 70 − 32 = 38 cm.

Op deze manier heeft hij de vergelijking opgelost.

Het getal 38 maakt de vergelijking kloppend: 32+38 = 70.

> systematisch vergelijkingen met één variabele oplossen met al bekende oplossingsmethoden;

> vergelijkngen oplossen met de graﬁsche rekenmachine.

Voorkennis

> werken met variabelen (met ’letters’);

Verkennen

Opgave 1

Je hebt al in voorgaande jaren vergelijkingen opgelost.

a Zet even je kennis op een rijtje: welke soorten vergelijkingen ken je en welke oplossingsmethoden ken je?

Een zuiver rechthoekig doosje met een vierkante bodem en een hoogte van 12 cm heeft een buitenop- pervlakte (inclusief bodem en deksel) van 512 cm².

b Welke afmetingen heeft dat doosje?

Beantwoord deze vraag met behulp van een vergelijking.

(29)

Theorie en voorbeelden

Formules zoals u� = 2u� + 3, of u� + 4u� − u� = 15, of 6u� + 10 = 2u� − 8noem je vergelijkingen. Je kunt dan waarden (of combinaties van waarden) zoeken die de vergelijking kloppend maken, dat heet het oplossen van een vergelijking.

Vergelijkingen kun je systematisch oplossen door herschrijven. Vooral bij vergelijkingen met één variabele doe je dat vaak. Je gebruikt dan algebraïsche methoden, zoals:

> de balansmethode, waarbij je aan beide zijden van het isgelijkteken

> hetzelfde optelt of aftrekt;

> met hetzelfde vermenigvuldigt of door hetzelfde deelt (maar niet 0).

> de terugrekenmethode, waarbij je bewerkingen ongedaan maakt door het tegenovergestelde te doen:

> optellen maak je ongedaan door aftrekken (en omgekeerd);

> vermenigvuldigen maak je ongedaan door delen (en omgekeerd);

> machten maak je ongedaan door worteltrekken (en omgekeerd).

> ontbinden in factoren, waarbij je gebruik maakt van het feit dat een vergelijking van de vorm u� ⋅ u� = 0 gelijkwaardig is met u� = 0 ∨ u� = 0.

Het teken ∨ betekent dat je deze uitdrukking moet lezen als u� = 0 en/of u� = 0 (dus u� = 0 of u� = 0 of beide).

Als algebraïsche methoden niet werken, kun je nog denken aan inklemmen: je zoekt dan door pro- beren op een steeds kleiner zoekgebied. Je graﬁsche rekenmachine heeft daar diverse routines voor ingebouwd.

Voorbeeld 1

Los de vergelijking ¹₂(u� + 8) = −7 + u� op met de balansmethode.

Je kunt bijvoorbeeld zo te werk gaan:

1

2(u� + 8) = −7 + u�

haakjes uitwerken 1

2u� + 4 = −7 + u�

beide zijden −4 1

2u� = −11 + u�

−¹₂u� = −11

beide zijden × − 2

u� = 22

Je kunt dit antwoord nog controleren door aan beide zijden van de gegeven vergelijking voor u� het getal 22 te substitueren.

(30)

Opgave 2

Los de volgende vergelijkingen op met de balansmethode.

a 3u� − 400 = 700 b 3u� − 400 = 700 − 2u�

c 2300 − 0,15 ⋅ u� = 1600 + 0,42 ⋅ u�

d ^u�−3₄ =¹₅(10 − 2u�)

Voorbeeld 2

In de vergelijking 2(u� − 4)²= 32 komt de onbekende u� maar op één plek voor. Je kunt hem oplossen met terugrekenen.

Eerst even uitzoeken hoe je heen rekent vanuit x:

u� 32

Vervolgens ga je terugrekenen:

u� 32

Je vindt: u� = ±√³²2 + 4 en dus u� = 0 en/of u� = 8.

En weer controleren door invullen!

Opgave 3

Los de volgende vergelijkingen op door terugrekenen.

a 3u� − 400 = 700 b (3 ⋅ u� − 20)²= 1600 c 3 ⋅ u�³= 81

Voorbeeld 3

Deze twee vergelijkingen kun je oplossen met ontbinden in factoren:

> u�²− 5u� + 6 = 0

> u�³= 4u�

De eerste vergelijking gaat zo:

u�²− 5u� + 6 = 0 (u� − 2) (u� − 3) = 0 u� − 2 = 0 ∨ u� − 3 = 0 u� = 2 ∨ u� = 3

En de tweede vergelijking gaat zo:

u�³= 4u�

u�³− 4u� = 0 u� (u�²− 4) = 0 u� = 0 ∨ u�²− 4 = 0 u� = 0 ∨ u�²= 4

(31)

Opgave 4

Los de volgende vergelijkingen op door ontbinden in factoren.

a 0,5u�²= 4u�

b u�²+ 5u� − 6 = 0 c 8u� − u�²= 0 d u� (u� − 2) = 3u� − 6

e u�²= u� + 12 f u�³= 4u�

Voorbeeld 4

De vergelijking u� + u�²= 10 kun je oplossen met inklemmen.

Eerst maak je de grafieken van u�1 = u� + u�² en u�2 = 10 op de grafische rekenmachine. Breng ze zo in beeld dat alle snijpunten zichtbaar zijn! De grafieken snijden elkaar tweemaal. De vergelijking heeft twee oplossingen.

Voor de positieve oplossing moet je zoeken tussen 2 en 3. Stel de tabel in op stappen (voor u�) van 0,1.

Je ziet dat je verder moet zoeken tussen 2,7 en 2,8.

Het zoekgebied wordt kleiner, je klemt de oplossing in.

Stel vervolgens een stapgrootte van 0,01 in en zoek tussen 2,70 en 2,80.

Nu zie je dat de oplossing tussen 2,70 en 2,71 ligt, het dichtst bij 2,70.

Zo vind je op twee decimalen nauwkeurig: u� ≈ 2,70.

Als een nauwkeuriger oplossing wordt verlangd, moet je nog door zoeken tussen 2,700 en 2,710.

Op dezelfde manier bepaal je de andere oplossing.

Op twee decimalen nauwkeurig is de volledige oplossing: u� ≈ 2,70 en/of u� ≈ −3,70.

Opgave 5

Niet alle vergelijkingen kun je met de balansmethode, door terugrekenen of ontbinden in factoren systematisch oplossen. De oplossing vinden door inklemmen werkt daarentegen wel altijd. Je moet dan van tevoren een idee hebben van het zoekgebied, dus van het gebied waarin de oplossing is te vinden.

In Voorbeeld 4 op pagina 29kun je nalezen hoe je de inklemmethode gebruikt samen met je graﬁsche rekenmachine.

Los de volgende vergelijkingen op met de inklemmethode. Geef je oplossingen in drie decimalen nauwkeurig.

a u�³= 4 − u�.

b ⁶⁰⁰_u� = 18 + 0,04u�

(32)

Opgave 6

Los de volgende vergelijkingen op met de graﬁsche rekenmachine. Geef waar nodig benaderingen in twee decimalen nauwkeurig.

a u�³+ 2u� = 16 b u� + √u� = 10 c u� +¹⁰_u� = 10 d _u�+4³⁰⁰ = 20

Voorbeeld 5

Los de vergelijking ¹_u�+_u�+3² = 1 zowel algebraïsch als met de graﬁsche rekenmachine op.

De oplossing met de graﬁsche rekenmachine is betrekkelijk eenvoudig:

> Voer in: Y1=1/X+2/(X+3) en Y2=3.

> Bekijk de graﬁeken.

> Je vindt de twee x-waarden waar Y1 en Y2 gelijk zijn in de tabel, maar exacte waarden vind je niet.

De algebraïsche oplossing gaat bijvoorbeeld zo:

1

u�+_u�+3² =_u�(u�+3)^u�+3 +_u�(u�+3)^2u� =_u�(u�+3)^3u�+3 = 1

en dus: 3u� + 3 = u�(u� + 3). (Let op dat zowel u� ≠ 0 als u� + 3 ≠ 0 moet zijn!) Dit geeft: u�²= 3 en dus u� = √3 ∨ u� = −√3.

Je ziet meteen hoe nuttig algebraïsche methoden zijn: je vindt meteen de exacte oplossingen, terwijl je je anders moet behelpen met benaderingen, die vaak nog lastig te vinden zijn ook...

Opgave 7

Los de volgende vergelijkingen zowel algebraïsch als met de graﬁsche rekenmachine op.

a _u�+3¹ +¹_u� =¹₂ b _u�²⁰2+5 = 2 c ¹⁰_u� + 1 = ⁵_u�

Verwerken

Opgave 8

Los de volgende vergelijkingen algebraïsch op.

a 4u� + 50 = 200 b 4u�²+ 50 = 200 c √u� + 4 = 20 d (2u� − 5)³= 125

e √u�²+ 4 − 20 = 0 f ¹²_u� = 400

(33)

Opgave 9

Los de volgende vergelijkingen op door inklemmen met behulp van je graﬁsche rekenmachine. Zoek alle oplossingen.

a √u� = 6 − u�

b u�⁴= 2 + u�

Opgave 10

Het Empire State Building is een hoge wolkenkrabber in New York. Stel je voor dat iemand van het 381 m hoge gebouw een steentje laat vallen!

Onder invloed van de zwaartekracht valt een steen eenparig versneld (de luchtweerstand laat je buiten beschouwing). Natuurkundigen hebben daarvoor een rekenmodel bedacht. Daarin hangen de afgelegde weg u� (in meter) en de snelheid u� (in m/s) af van de tijd u� (in seconde) volgens de formules u� = 4,9u�²en u� = 9,8u�.

a Geef een formule voor de hoogte ℎ van het steentje boven de grond als functie van u�.

b Bereken het tijdstip waarop het steentje op de grond komt.

c Bereken de snelheid waarmee het steentje op de grond komt. Geef je antwoord zowel in m/s als in km/h.

Opgave 11

Bereken bij deze formules de waarde van de éne variabele als de andere 0 is.

a 2u� − 3u� = 650

b 𝑊 = −0,25u� (0,5u� − 100) c u�²+ (u� + 2)²= 100 d u� =_600+0,2u�¹²⁰⁰ 2− 1

e (u�²− 4) (u�²− 9) = −36 f u�⁴+ 1 = _1+u�⁴2

Opgave 12

Een boer wordt door de gemeente gevraagd om een stuk land te voorzien van een boswal van 4 m breedte. Het stuk land is zuiver vierkant. Het grenst aan één kant al aan het bos, zodat er maar aan driekanten een strook af hoeft voor de boswal. “Ik houd zo maar de helft van mijn land over”, verzucht de boer.

Als dat waar is, hoe groot is dan de oppervlakte van het land?

Los dit probleem op met behulp van een vergelijking.

(34)

Opgave 13

Sommige kaarsen zijn bijna zuiver cilindervormig. Stel je voor dat je zo’n kaars wilt maken met een lengte van 20 cm. Je neemt een lont met een diameter van 3 mm en dompelt die een aantal keer in een bad met vloeibaar kaarsvet. Elke onderdompeling wordt de diameter van de kaars 1 mm groter. De hoeveelheid kaarsvet 𝑉 in de kaars hangt af van het aantal onderdompelingen u�.

a Geef een formule voor 𝑉 als functie van u�.

b Breng de graﬁek van deze functie met je graﬁsche rekenmachine in beeld.

c Na hoeveel onderdompelingen is de hoeveelheid kaarsvet in de kaars ongeveer 106 cm³? Lees je antwoord eerst uit de graﬁek af en bereken het daarna door de bijbehorende vergelijking algebraïsch op te lossen.

Testen

Opgave 14

Los de volgende vergelijkingen algebraïsch op.

a 1,25u� + 5,50 = 1,85u�

b 0,15(u� − 2)²= 1,35 c 12 − √4 + u�²= 0 d 3u�²− 6u� = 360

Opgave 15

Los de volgende vergelijkingen op door inklemmen met behulp van je graﬁsche rekenmachine. (Even- tuele benaderingen in één decimaal nauwkeurig.)

a 0,12u� +⁶⁰⁰_u� = 30

b ⁴

√3+u�²=¹_u�

Opgave 16

Los deze vergelijking algebraïsch op: _u�+1² +¹_u� = 0.

Opgave 17

Voor de totale oppervlakte 𝐴 van een cilindervormig groenteblik met straal u� en hoogte ℎ geldt: 𝐴 = 2𝜋u�²+ 2𝜋u�ℎ.

a Leg uit hoe je deze formule zelf kunt aﬂeiden.

b Bereken in cm³nauwkeurig de oppervlakte van een groenteblik met een diameter van 20 cm en een hoogte van 30 cm.

c Een groenteblik met een oppervlakte van 1000 cm²heeft een hoogte van 20 cm. Bereken de diameter in mm nauwkeurig.

d Van een groenteblik met een oppervlakte van 1000 cm² zijn de hoogte en de diameter even groot.

Bereken de diameter in mm nauwkeurig.

(35)

Samenvatten

Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Werken met formules. Een eigen samenvatting maken is nuttig.

Begrippenlijst

> formule — variabele — grootheid — eenheid

> herschrijven — uitdrukken in — haakjes uitwerken — ontbinden in factoren

> functie

> vergelijking — vergelijking oplossen — balansmethode — terugrekenen — inklemmen

Activiteitenlijst

> soorten formules herkennen graﬁeken maken bij verbanden tussen 2 variabelen

> formules herschrijven de éne variabele uitdrukken in de andere formules combineren

> formules invoeren in de graﬁsche rekenmachine en graﬁeken erbij maken

> vergelijkingen oplossen met alle bekende methoden

Achtergronden

Het gebruik van formules is een betrekkelijk recente "uitvin- ding".

De Franse amateurwiskundigeFrançois Viète (1540 - 1603) was de eerste die een systematische symbolische notatie voor algebraïsche problemen bedacht. Hij gebruikte letters voor onbekenden: klinkers voor variabelen en medeklinkers voor constanten (die hij als eerste coëﬃciënten noemde). Zijn bij- drage aan de theorie van het oplossen van vergelijkingen is mede daardoor heel groot, want voor die tijd moesten alle oplossingsmethoden in woorden worden omschreven...

Al eerder had de theoloog Nicole d’Oresme (1323 - 1382) voor zijn natuurkundige onderzoekingen de graﬁek uitgevon- den. Maar pas nadat René Descartes (1596 - 1650) de be- schrijving van rechte en kromme lijnen met behulp van formules bedacht, werd het gebruik van graﬁeken zoals wij die tegenwoordig kennen langzamerhand gemeengoed. Descar- tes gebruikte voor variabelen letters achterin het alfabet (vaak x, y en z) en voor constanten letters voor in het alfabet. Dat doen wiskundigen tegenwoordig nog steeds...

Daarom weet je dat de formule y = ax + b een (lineair) verband beschrijft tussen x en y, waarin a en b constanten zijn.

(36)

Testen

Opgave 1

Los deze vergelijkingen algebraïsch op. Geef eventueel benaderingen van je antwoorden in twee decimalen nauwkeurig.

a 1220 + 0,35u� = 2056 + 0,12u�

b −0,15(u� + 25)²+ 15 = 0 c 4 ⋅ u�³= 16

d _20+0,25u�³⁵⁰ 2 = 7 e u�²− u� = 90

f ¹_u�+ u� = 5,2

Opgave 2

Los de volgende vergelijking op met behulp van de graﬁsche rekenmachine. Geef een benadering in drie decimalen nauwkeurig.

u�²+ √2u� = 20

Opgave 3

Een fabrikant wil zijn hagelslag verpakken in doosjes met een vierkante bodem. Voor een doosje gebruikt hij 800 cm³karton. Ga ervan uit dat een doosje precies de vorm van een balk heeft.

a De hoogte van zo’n doosje wordt aangegeven met ℎ en de zijde van het grondvlak met u�. Laat zien dat het verband tussen ℎ en u� beschreven wordt door de formule: 4u�ℎ + 2u�²= 800.

b De verpakkingsmachine laat een maximale hoogte van 12 centimeter toe. Bepaal de waarde van u� bij ℎ = 12 cm. Geef de benadering in mm nauwkeurig.

c Is een nauwkeuriger benadering van u� zinvol in deze situatie? Geef aan waarom.

Opgave 4

Vanaf een toren wordt een vuurpijl afgeschoten. De hoogte ℎ van de vuurpijl hangt af van de tijd u� dat deze onderweg is. Er geldt: ℎ = 100 + 40u� − 5u�².

Hierin is ℎ in meter en u� in seconden gemeten.

a Breng de graﬁek van ℎ in beeld op je graﬁsche rekenmachine.

b Op welke hoogte boven de begane grond werd de vuurpijl afgeschoten? Na hoeveel seconden was de vuurpijl weer op diezelfde hoogte?

c Na hoeveel seconden was de vuurpijl op het hoogste punt in zijn baan? Hoeveel meter boven de begane grond was hij op dat moment?

d Na hoeveel seconden kwam de vuurpijl op de grond terecht?

e Kun je met deze gegevens de baan van de vuurpijl in beeld brengen? Verklaar je antwoord.

(37)

Toepassen

Opgave 5: Koolmonoxide

Koolmonoxide (CO) is één van de stoﬀen die via de uitlaat van een auto de lucht inkomt. De hoeveelheid CO die uitgestoten wordt is afhankelijk van de temperatuur van de motor en van de rijsnelheid.

Voor de CO-uitstoot bij de warme motor geldt: u� = 4,4 +^196,0_u� . Bij een koude motor geldt: u� = 6,9 +^298,5_u� .

Hierin is u� de uitstoot in gram per kilometer en u� de snelheid in kilometer per uur.

a Hoe kun je aan de formules zien dat de uitstoot afneemt als de snelheid toeneemt?

b De uitstoot van een koude motor bedroeg 14 g/km. Hoe hard reed deze auto?

c Iemand is geïnteresseerd in het verschil tussen de uitstoot bij een koude en bij een warme motor. Hij onderzoekt hoeveel procent de uitstoot bij een koude motor meer is dan bij een warme motor. Dat percentage hangt af van de snelheid. Hoe groot is dat percentage bij een snelheid van 30 kilometer per uur?

d Er bestaan ook formules waarbij de CO-uitstoot gegeven wordt afhankelijk van de ritlengte en de rijtijd.

Voor een warme benzinemotor geldt: u�_tot= 4,4𝐿 + 0,054𝑇.

Hierin is u�totde totale hoeveelheid CO in gram uitgestoten tijdens de rit, 𝐿 de ritlengte in kilometers en 𝑇 de rijtijd in seconden. Laat zien hoe deze formule kan ontstaan uit de eerste formule voor de CO-uitstoot bij een warme motor.

Opgave 6: Windmolens

Windmolens kunnen elektriciteit opwekken. Voor een zekere windmolen wordt dat aangegeven door de formule:

𝑃 = 0,00013 ⋅ u�³⋅ 𝐷²

Hierin is 𝑃 het (gemiddelde) vermogen in kW (kiloWatt), u� de (gemiddelde) windsnelheid in m/s en 𝐷 de rotordiameter in m.

a Ga uit van een windmolen met een diameter van 24 m. Bij welke windsnelheid in km/h wordt een vermogen van 26 kW opgewekt?

b Ga weer uit van een vermogen van 26 kW. Welke diameter de windmolen moet hebben, kun je dan nog berekenen. Stel een formule op die 𝐷 uitdrukt in u�.

c In een bepaald gebied ligt de windsnelheid tussen de 7,2 en de 36 km/h. Als je een (gemiddeld) vermogen van 26 kW met een windmolen wilt opwekken, tussen welke waarden kies je dan de diameter van die molen?

(38)

Examen

Opgave 7: Treinreizigers te U.

Treinreizigers die op het station te U. uitstappen, kunnen de uitgang van het station alleen bereiken via een voetgangerstunnel. De tunnel is 30 meter lang en 3 meter breed. De snelheid van de voetgangersstroom in de tunnel is afhankelijk van de drukte. Een maat voor de drukte is de module, dat is het gemiddelde aantal vierkante meter per voetganger.

a Op zeker moment bevinden zich 120 mensen in de tunnel, die allen in de richting van de uitgang lopen.

Bereken voor deze situatie de module.

Het verband tussen de snelheid van de voetgangersstroom V en de module M wordt gegeven door de formule

𝑉 = 87 −_𝑀+0,5²⁶

met 𝑉 in meter per minuut en 𝑀 in m²per voetganger.

b Bereken de module bij een snelheid van 50 m per minuut. Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig.

c Wanneer een voetganger ongehinderd kan lopen, is zijn snelheid ongeveer 5 km/h. Onderzoek of dat in overeenstemming is met de formule.

d Er bestaat een verband tussen de waarde van 𝑀 en het aantal voetgangers dat per minuut de tunnel verlaat (𝑁). Het verband tussen 𝑀 en 𝑁 staat graﬁsch weergegeven in de ﬁguur. Schat zo nauwkeurig mogelijk hoeveel mensen er per minuut de tunnel verlaten in het geval dat de snelheid van de voetgangersstroom 70 m per minuut is.

e Een belangrijk gegeven bij het ontwerpen van een tunnel is het maximale aantal mensen dat in korte tijd kan worden verwerkt. Bij welke snelheid is het aantal voetgangers dat per minuut de tunnel verlaat maximaal? Licht je antwoord toe.

(bron: examen wiskunde A havo 1989, tweede tijdvak)