1 Eigen antwoord. a
2 Doen.
b ¯𝐿 ≈ 169 en 𝜎𝐿≈ 8,86.
c Doen, het zal niet precies kloppen natuurlijk. d Doen.
e Redelijk, natuurlijk niet precies. a
3 100−682 = 16%.
b 100−952 = 2,5%.
a
4 Relatief is het misschien wel lager, maar absoluut kan het evenveel of zelfs meer zijn.
b Het aantal automobilisten dat zonder alcohol op rijdt is veel en veel hoger, dus je moet het in verhou-ding zien tot het aantal automobilisten dat met of zonder alcohol op rijdt.
c 20% witter dan wit, wat is dat?
d Het slagingspercentage is vooral afhankelijk van de capaciteiten van de leerlingen die aan het examen deelnemen. Zorg je er als school voor dat alleen heel goede leerlingen in de examenklas komen dan slagen er dan waarschijnlijk veel, maar komen waarschijnlijk ook veel leerlingen helemaal niet in de examenklas.
5 ¯𝐿 ≈ 180,7 en 𝜎𝐿≈ 7,73.
Je kunt de vuistregels het makkelijkst controleren door aflezen in een cumulatief frequentiepolygoon. Daarin geef je ¯𝐿 + 𝜎𝐿en ¯𝐿 − 𝜎𝐿aan en kijk je of er ongeveer 68% van de waarnemingen binnen valt. En op dezelfde manier controleer je ook de andere vuistregel.
a
6 waar
b waar, 104 minuten of meer c niet waar d waar a 7 waar b niet waar, 2,5% c waar d niet waar e waar 8 Eigen antwoord. a
9 Vraag 1: Horen allochtonen dan niet tot de Nederlanders? Vraag 2: Zijn het vooral allochtonen die racistisch zijn?
WISKUNDE A TWEEDE FASE HAVO > STATISTIEK EN KANSREKENING > STATISTIEK
b 1020, waarbij 150 mensen de vragenlijst niet afgemaakt hebben. c 3450 zijn verstuurd en 870 formulieren zijn volledig ingevuld.
d ‘In geval van ontslag zouden allochtonen als eerste ontslagen moeten worden’, ‘Nederlanders moeten zich niet mengen met een andere nationaliteit’ en ‘Nederlanders zijn intelligenter dan allochtonen’. e Veel allochtonen hebben ook Nederlandse nationaliteit en zijn dus Nederlander. Het begrip
Nederlan-der is niet duidelijk en het begrip allochtoon ook niet. f Negatieve aspecten worden benadrukt.
a
10 Het gemiddelde weekloon is ongeveer €557 met een standaardafwijking van ongeveer €89. b Doen.
c Aflezen bij 50%.
d Aflezen bij 84% geeft gemiddelde + standaardafwijking. Daarmee kun je de standaardafwijking bepalen. e Aflezen hoeveel procent er tussen 379 en 735 euro zit.
Vervolgens trek je dit percentage van de 100% af. a
11 Eigen antwoord.
b De modale lengte is 161 cm, de gemiddelde lengte is ongeveer 162,1 cm.
c Gebruik een cumulatief frequentiepolygoon voor aflezen. Lees mediaan af bij 50%: 161,5 cm. Lees eerste kwartiel af bij 25%: 157,5 cm. Lees derde kwartiel af bij 75%: 166 cm.
d Ja, wordt redelijk klokvormig. e Zie grafiek.
Lees mediaan af bij 50%: 161 cm. Lees eerste kwartiel af bij 25%: 157 cm. Lees derde kwartiel af bij 75%: 166 cm. Nee, wijkt nauwelijks af.
f Zonder klassenindeling is de gemiddelde lengte ongeveer 162,1 cm en de standaardafwijking ongeveer 6,5 cm. Het gaat dus om de lengtes van minder dan 156,6 en meer dan 168,6 cm. Dat is 17835001 ≈ 36% van de vrouwen.
g Het gaat nu om de lengtes van minder dan 149,6 en meer dan 175,1 cm. Dat is 5001263 ≈ 5% van de vrouwen.
h Ze komen aardig overeen. a
WISKUNDE A TWEEDE FASE VWO > STATISTIEK EN KANSREKENING > STATISTIEK
STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 41
b Zie figuur. De laagstbetaalde werknemers krijgen €200 meer.
c Zie figuur. De laagstbetaalde werknemers krijgen er niets bij.
13 De geboortelengte is gemiddeld ongeveer 50,6 cm met een standaardafwijking van 2,6 cm. (Klassenmiddens: 44,5; 46,5; 48,5; ...; 56,5 cm)
Het geboortegewicht is gemiddeld ongeveer 3477 gram met een standaardafwijking van ongeveer 607 gram.
(Klassenmiddens: 1250, 1750, 2250, ..., 4750)
Uitspraken over de geboortelengte: 68% van de pasgeborenen heeft een lengte tussen 48,0 en 53,2 cm en 95% heeft een lengte tussen 45,4 en 55,8 cm.
Uitspraken over de geboortelengte: 68% van de pasgeborenen heeft een gewicht tussen 2870 en 4084 gram en 95% heeft een gewicht tussen 2263 en 4691 gram.
a
14 Gemiddelde lengte ongeveer 171 cm.
Mannen zijn gemiddeld 176 cm met een standaarddeviatie van 7 cm en vrouwen gemiddeld 164 cm met een standaarddeviatie van 6 cm.
Mannen zijn gemiddeld langer dan vrouwen.
b Dat is inderdaad zo: de 50% langste mannen zijn minstens 176 cm, de 84% kortste vrouwen zijn hoog-tens 164 + 6 = 170 cm.
a
15 De 25% kortste mannen hebben lengtes vanaf 150 tot 168,4 cm. b De 25% langste mannen hebben lengtes vanaf 176,8 tot 194,6 cm.
c 266
a
16 Gebruik als klassenmiddens voor de leeftijden: 27,5; 32,5; 37,5; ...; 62,5.
De gemiddelde leeftijden zijn dan achtereenvolgens: 39,2; 40,5; 42,35; 45,85; 48,1. De standaarddeviaties zijn achtereenvolgens: 9,7; 8,8; 8,4; 8,3; 9,3.
b Eigen antwoord
c De gemiddelde leeftijd wordt gestaag hoger en de standaardafwijking verandert weinig.
d Ze lijken goed te passen: de gemiddelde leeftijden nemen toe. Waarom die toename sterker is dan in de eerste drie jaren zal men uit onderzoek hebben afgeleid.
a
17 Doen.
b Doen.
c In de jaren tot 1900 is de gemiddelde julitemperatuur 16,8°C met een standaarddeviatie van 1,4°C. In de jaren vanaf 1900 is de gemiddelde julitemperatuur 17,0°C met een standaarddeviatie van 1,4°C. De gemiddelde julitemperatuur is bijna 1 standaarddeviatie hoger geworden.
WISKUNDE A TWEEDE FASE VWO > STATISTIEK EN KANSREKENING > STATISTIEK
3.6 Totaalbeeld
a
1 Doen. Denk om het omrekenen van percentages naar graden.
b De oppervlakte van de cirkel moet twee keer zo groot worden, dus de straal moet √(2) keer zo groot worden. Dat is 3 ⋅ √2 ≈ 4,2 cm. c Doen. d 3000147 ≈ 4,9% a 2 210000300 = 700 euro b 369000800000= 46%
c Zie figuur en tabel.
categorie bedrag % sectorhoek
grond 210000 26 95
bouwkosten 369000 46 165
BTW 119100 15 54
overige 101900 13 46
totaal 800000 100 360
d Niet over alle posten moet BTW worden betaald. a
3 De Verenigde Staten. b Koeweit.
c De V.S. heeft veel meer inwoners dan Koeweit.
d Bepaal eerst het totaal van de reserves (≈ 531 mld barrels) en de hoeveelheid die bij de OPEC-landen zit.
298
531≈ 56% van de reserves zit bij de OPEC.
e Bepaal eerst het totaal van de productie (≈ 54,2 mln barrels/dag) en de hoeveelheid die bij OPEC-landen zit.
28,5
54,2≈ 52,5% van de productie zit bij de OPEC. f Doen.
a
4 Totaal 1044 bedrijven. b 101 − 110
c Denk om het werken met de rechter klassengrenzen! d Mediaan ongeveer 105,5; 𝑄1≈ 75,5 en 𝑄3≈ 125,5.
WISKUNDE A TWEEDE FASE VWO > STATISTIEK EN KANSREKENING > STATISTIEK
STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 43
f Redelijk.
g Interval [64,5; 135,5].
Daarbinnen zit 106 ⋅ 69 + 75 + 108 + 120 + 123 + 101 + 85 +105 ⋅ 79 ≈ 692,9 van de 1044 bedrijven. Dat is ongeveer 66,4%.
h Het gaat om de 26 gemengde bedrijven met de meeste kippen. Die hebben zeker meer dan 160 kippen per bedrijf.
a 5 Waar. b Niet waar. c Waar. d Niet waar. e Niet waar. a
6 Afrika: in totaal (als je de categorie ‘Noord-Afrika/Midden-Oosten’ voor de helft meerekent) zo’n 25,5 miljoen besmettingen.
b Spanje: 61028.
c Nee, want het aantal inwoners van Luxemburg is ook heel klein. d De aantallen inwoners van deze landen.
e 18000
f 6000 + 8000 + 11000 + 12000 + 14000 + 16000 + 18000 = 85000 g Zie figuur.
a
7 1,11 ⋅ 150000 = 166500, dus in 2008 was dat €166500. 1,06 ⋅ 150000 = 159000, dus in 2000 was dat €159000.
b De eerste conclusie is juist, want 2007 is het basisjaar. De tweede conclusie is onjuist,want 2008 is niet het basisjaar. Het tweede percentage moet zijn 4,5%.
c Totaal €475000, dat is €158000 per jaar gemiddeld.
d In 2007 werd 0,95 ⋅ 150000 = 142500 euro uitgegeven en in 2008 werd 0,88 ⋅ 166500 = 146520 euro uitgegeven. Dus in 2008 gaf dit bedrijf 1425004020 ≈ 2,8% meer uit aan reclame in de dagbladen.
e Aan dagbladen werd in 2008 146520 euro uitgegeven en aan gedrukte reclame werd in 2009 0,90 · 159000 = 143100 euro uitgegeven. Dus beide conclusies zijn onjuist.
a
8 Deze opgave zou je moeten doen met gegevens van de eigen school! b Eigen antwoord. c Eigen antwoord. d Eigen antwoord. e Eigen antwoord. f Eigen antwoord. g Eigen antwoord. h Eigen antwoord. i Eigen antwoord.
j Eigen antwoord. k Eigen antwoord. a 9 Staafdiagrammen/histogrammen. b 1900: ongeveer 350000 + 350000 = 700000 1950: ongeveer 580000 + 580000 = 1160000
c De staafjes bij 0 − 4 zijn in het diagram van 1950 veel langer dan in de andere drie.
d Het aantal ouderen neemt behoorlijk toe in verhouding tot het aantal jongeren. De staafjes van de hogere leeftijdscategorieën worden langer dan die van de jongere.
e De staafjes voor de vrouwen zijn bij hoge leeftijden langer dan die van de mannen. f 1900: 0 − 4
2050: 50 − 54
g De meest voorkomende leeftijd wordt steeds hoger, er komen dus naar verhouding weinig jonge-ren/kinderen bij.
h Dat wordt schatten...
De mediaan ligt in 1900 ergens bij de 20 jaar en in 2050 ergens bij de 40 jaar. Het eerste kwartiel ligt in 1900 onder de 10 jaar en in 2050 bij de 20 jaar. Het derde kwartiel ligt in 1900 bij de 40 jaar en in 2050 bij de 60 jaar.
a
10 Voor de oversteektijden geldt: maximum = 0,3020 ≈ 67 seconden 𝑄3=0,7520 ≈ 27 seconden mediaan = 0,9020 ≈ 22 seconden 𝑄1=1,0520 ≈ 19 seconden
minimum =1,6020 = 12,5 seconden
b Lees de zes oversteektijden bij een voertuigintensiteit van 800 per uur af. Teken een grafiek door de zes punten (5; 5,1), (10; 7,2), (15; 8,2), (20; 9,2), (25; 10,1) en (30; 10,9).
c De snelheden variëren van 2,0 tot 2,6 m/s. De oversteektijden variëren van 10 tot 7,7 sec.
De bijbehorende wachttijden zijn ongeveer 27 en 13 sec.
De kortste somtijd is ongeveer 21 seconden en de langste is ongeveer 37 seconden. a
11 Als de zonen allemaal studenten van een Londense universiteit zijn, zijn ze niet aselect uit de Engelse bevolking gekozen
b Teken een grenslijn, bijvoorbeeld de lijn door (62, 60) en (74, 72) en als andere grenslijn de lijn door (60, 62) en (72, 74). Arceer het gebied tussen deze lijnen.
c Er zijn veel zonen duidelijk langer dan hun vader en weinig duidelijk korter. Waar vaders en zonen on-geveer even lang zijn, zijn zonen net zo vaak groter als kleiner dan hun vader. Ja, zonen zijn gemiddeld langer.
d mediaan = 68,6 𝑄1= 66,9 𝑄3= 70,5
Kleinste en grootste waarneming zijn 59,7 en 78,6.
e Het gemiddelde was 68,6 ⋅ 2,54 ≈ 174 cm en de standaarddeviatie was ongeveer 2,7 ⋅ 2,54 ≈ 7 cm. Dus zat 100 jaar geleden 68% van de jonge mannen tussen 167 en 181 cm. Het aantal jonge mannen van 182 cm of meer was dus iets kleiner dan 100−682 = 16% van alle jonge mannen uit die tijd.
STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 45
4
Normale verdeling
4.1 Normaalkromme
a
1 Doen, bepaal ze eerst met behulp van Excel. b Antwoord.
a
2 3,4 + 11,6 + 23,8 = 38,8%.
b De staven beslaan ongeveer een even groot gebied als het gebied onder de kromme lijn tussen 𝐿 = 165 en 𝐿 = 180.
c 8,4 + 2,2 + 0,5 = 11,1%.
d Kleur het gebied onder de nromaalkromme vanaf 𝐿 = 190. e 100%
a
WISKUNDE A TWEEDE FASE HAVO > STATISTIEK EN KANSREKENING > NORMALE VERDELING
b 50% want het gemiddelde moet (als de figuur echt netjes symmetrisch is) de verdeling in twee gelijke delen verdelen.
c 8,4 + 2,2 + 0,5 = 11,1%.
23,8 + 28,9 + 0,4 ⋅ 20,4 ≈ 60,9%. d Ook ongeveer 60,9%.
a
4 179,5− < 180,5 en daar zit 5,5% van de soldaten in.
b 0,013 + 0,017 + 0,021 + 0,025 + 0,030 + 0,035 = 0,141 dus 14,1%. c Dat zou ongeveer 68% moeten zijn.
d Ongeveer 6,6%.
e 0,022 + 0,027 + 0,034 + 0,040 + 0,047 + 0,053 = 0,223 dus 22,3%. f Dat moet weer ongeveer 68% zijn.
g Het betreft de eerste vuistregel. a
5 Eigen antwoord b 17,8 + 12,2 = 30,0%. c 20,7 + 14,1 = 34,8%.
d Redelijk, het is geen perfecte normale verdeling. a 6 Eigen antwoord b Eigen antwoord c 95 %. d Zie figuur. e Bijna 100%. a
7 I: 2,5%, II: 13,5%, III: 34%, IV: 34%, V: 13,5%, VI: 2,5%.
b 16% c 81,5% d 84% a 8 Eigen antwoord b 68% + 16% = 84% c 68% + 13,5% = 81,5% d 84% a 9 Normaal verdeeld. b Normaal verdeeld.
c Waarschijnlijk niet normaal verdeeld, het gewicht is sterk te beïnvloeden door (slechte) eetgewoontes. d Normaal verdeeld, wellicht afhankelijk van de manier waarop die reactietijd wordt getest.
e Niet normaal verdeeld, er zijn veel meer lagere inkomens dan top inkomens, de verdeling is erg scheef. f Niet normaal verdeeld, kleinere wachttijden zullen vaker voorkomen dan grotere.
a
10 Er ontstaat geen heel mooie symmetrische klokvorm, maar vooruit... b 𝜇 ≈ 1005 en 𝜎 ≈ 2,4 gram.
WISKUNDE A TWEEDE FASE HAVO > STATISTIEK EN KANSREKENING > NORMALE VERDELING
STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 47
d 1000 gram is ongeveer het gemiddelde min 2 keer de standaardafwijking. Daar zou 2,5% onder moeten zitten volgens de vuistregels.
e Ongeveer 16%. f Ongeveer 68%. a 11 50% b 85% c 𝜎𝐵= 50 en 𝜇𝐵= 1150 (uur).
d Omdat de verdeling breder is en het gebied in beide gevallen 100% voorstelt, moet de hoogte minder zijn. e 2,5% a 12 Doen. b 68% c 2,5% d 97,5% e 2,5% a 13 𝜇 = 3,0 en 𝜎 = 0,2 𝜇 = 82 en 𝜎 = 6.
b Bovenste normaalkromme: gebied is 16%. Onderste normaalkromme: gebied is 84%. a
14 Zie figuur.
b 32%
c 84%
d Nee, de vuistregels zijn hierbij niet te gebruiken.
e Ongeveer 16% + 20% = 36%. Ja, waarschijnlijk hebben ze gelijk. a
15 68%
b 16%
c 84%
d Onder een IQ van 85. a 16 Tussen 32 en 64. b Tussen 32 en 80. c 16% a 17 𝜇 = 162 cm en 𝜎 = 6,5 cm. b Doen, werk met Excel. c u� = 13
d 168,5 cm. a
WISKUNDE A TWEEDE FASE HAVO > STATISTIEK EN KANSREKENING > NORMALE VERDELING
b 84%
c 5%
d Nee, de vuistregels zijn hierbij niet te gebruiken.