a 1 252 ⋅2324⋅2223⋅2122⋅ 4 = 257 = 0,28 b 0,08 ⋅ 0,923⋅ 4 ≈ 0,2492 a
2 𝑋 = aantal leerlingen met contactlenzen in de steekproef. P(𝑋 = 2) =258 ⋅247 ⋅2317⋅1622⋅1521⋅ (5 2) ≈ 0,3584 b Zie de tabel. u� P(𝑋 = u�) 0 0,1165 1 0,3584 2 0,3584 3 0,1433 4 0,0224 5 0,0011 c 5 ⋅258 = 1,6 a
3 Zie tabel: 𝑋 = aantal leerlingen met contactlenzen in de steekproef. P(𝑋 = 2) =1400420 ⋅1399419 ⋅1398980 ⋅1397979 ⋅1396978 ⋅ (5
2) ≈ 0,3086
b P (𝑋 = 2 | u� = 5 en u� = 0,30) ≈ 0,3087. De benadering is tot op tienden van procenten gelijk aan de werkelijke kans. Met de binomiale verdeling rekent het veel gemakkelijker, zeker als het om grote populaties gaat.
c 5 ⋅ 0,30 = 1,5 a
4 Anders moet je 50 verschillende breuken met elkaar vermenigvuldigen... b P (𝑋 = 10 | u� = 50 en u� = 0,30) ≈ 0,0386 a 5 Zie voorbeeld. b 0,5513 c Doen. a 6 P(𝑀 = 2) = 12002000⋅11991999⋅1998800 ⋅1997799 ⋅ (4 2) ≈ 0,3459
b Gebruik de tabel met de benadering van de kansen m.b.v. de binomiale kansverdeling. Je vindt ongeveer 0,5248.
a
7 De steekproef is nogal groot, je zou bij elke kans 50 verschillende breuken moeten vermenigvuldigen. Omdat het een steekproef uit een nog heel veel grotere populatie is kun je de gewenste kansen goed binomiaal benaderen.
b P (𝑋 ≥ 10 | u� = 50 en u� = 0,23) = 1 − P (𝑋 ≤ 9) ≈ 0,7436. c 50 ⋅ 0,23 = 11,5
a
WISKUNDE A TWEEDE FASE HAVO > STATISTIEK EN KANSREKENING > KANSMODELLEN
STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 61
b P (𝐻 = 0) = 46⋅35⋅24 ⋅13 ≈ 0,0667 P (𝐻 = 1) = 26⋅45⋅34 ⋅23⋅ 4 ≈ 0,5333 P (𝐻 = 2) = 26⋅15⋅44 ⋅33⋅ 6 ≈ 0,4 c P (3 < 𝐻 < 11 | u� = 20 en u� = 0,3) = P (𝐻 ≤ 10) − P (𝐻 ≤ 3) ≈ 0,8758. a 9 125 ⋅114 ⋅107 ⋅69⋅ 6 ≈ 0,4242 b 1 − (128 ⋅117 ⋅106 ⋅59 +124 ⋅118 ⋅107 ⋅69⋅ 4) ≈ 0,4061 c 129 ⋅118 ⋅107 ⋅69 ≈ 0,2545 d 4 ⋅125 = 123 a
10 Een blik kan niet twee keer in de steekproef voorkomen. Het is dus een trekking zonder terugleggen. b 1000100 ⋅99999 ⋅99898 ⋅900997⋅899996⋅898995⋅897994⋅896993⋅ (8
3) ≈ 0,0326
c P (𝐵 = 3 | u� = 8 en u� = 0,10) ≈ 0,0331. Het verschil tussen beide is 0,0005, dus 0,05%.
d Het verschil is erg klein omdat het een kleine steekproef (8 stuks) uit een veel grotere populatie (1000 stuks) is.
e P (𝐵 ≤ 3 | u� = 8 en u� = 0,10) ≈ 0,9950 a
11 4 ⋅ 0,4 = 1,6
b 208 ⋅197 ⋅186 ⋅1217⋅ 4 ≈ 0,1387
c P (𝑋 = 3 | u� = 4 en u� = 0,40) ≈ 0,1536. Deze kans wijkt 0,0149 af van de juiste kans, dat is behoor-lijk veel.
d 10040 ⋅3999⋅3898⋅6097⋅ 4 ≈ 0,1512
e P (𝑋 = 3 | u� = 4 en u� = 0,40) ≈ 0,1536. Het verschil is nu veel kleiner. Hoe groter de populatie, hoe kleiner het verschil.
a 12 305 ⋅2529⋅2428⋅2327⋅ 4 ≈ 0,4196 b 1 − (2530⋅2429⋅2328⋅2227+305 ⋅2529⋅2428⋅2327⋅ 4) ≈ 0,3872 c 305 ⋅294 ⋅283 ⋅2527⋅ 4 ≈ 0,0091 13 P (𝑋 ≤ 15 | u� = 20 en u� = 0,90) ≈ 0,0432 a 14 Zie de tabel.
u� MT: P(𝑋 = u�) ZT: P(𝑋 = u�)
0 0,6561 0,6557
1 0,2916 0,2924
2 0,0486 0,0484
3 0,0036 0,0035
4 0,0001 0,0001
b Bij de derde decimaal treedt verschil op. c 5%. a 15 2041⋅1940⋅1839⋅1738⋅1637⋅1536≈ 0,0086 b 1839⋅1738⋅1637⋅1536≈ 0,0372 c 1441⋅1340⋅1239⋅1138⋅1037⋅369 ≈ 0,00068 d 416 ⋅405 ⋅394 ⋅383 ⋅372 ⋅361 ≈ 0,0000002224
WISKUNDE A TWEEDE FASE HAVO > STATISTIEK EN KANSREKENING > KANSMODELLEN
5.4 Kansmodellen
1 Je hebt nu alle methoden van het berekenen van kansen binnen het havo wiskunde A programma voorbij zien komen. Het gaat nu (en ook verder in deze paragraaf) om het kiezen van de juiste aanpak. Puzzel hier daarom zelf op.
Het antwoord is 38. a
2 Doen, zie Uitleg.
b P (𝐴 ≤ 2 | u� = 100 en u� = 0,013) ≈ 0,8582 c 100 ⋅ 0,013 = 1,3
a
3 Als de toevalsvariabele alle waarden (uit een bepaald interval) kan aannemen heb je weinig andere mogelijkheden binnen het HAVO wiskunde A programma. Je moet dan het gemiddelde en de stan-daardafwijking van de normale verdeling weten.
b Als de toevalsvariabele kan worden opgevat als het aantal elementen in een steekproef met een zekere eigenschap. Voor die eigenschap mogen er dan maar twee mogelijkheden zijn: ‘succes’ of ‘geen succes’. c In andere gevallen helpt het tekenen van kansbomen, of andere diagrammen.
a
4 Door statistiek, gewoon vaak op het doel schieten en dan de punten die worden behaald bijhouden. b 0,02
c P (𝐴 ≤ 1 | u� = 5 en u� = 0,02) ≈ 0,9962 d 0,153⋅ 0,083⋅ (5
3) ≈ 0,000216
Er zijn niet maar twee mogelijkheden, dus dit is geen binomiaal kansmodel. a
5 Het gewicht van appels is een natuurlijke maat, een grootheid die alleen door de natuur, de genen en groeiomstandigheden van een appel wordt bepaald.
b Je moet een frequentieverdeling maken van de gewichten van veel appels en dan normaal waarschijn-lijkheidspapier gebruiken om dit zeker te weten. Zie ?Voorbeeld?.
6 De kans dat een appel lichter is dan 80 gram is: P (𝐺 < 80 | 𝜇 = 115 en 𝜎 = 20) ≈ 0,0401. De gevraagde kans is: P (𝑌 = 5 | u� = 20 en u� = 0,0401) ≈ 0,00087.
a
7 0,54⋅ 6 = 0,375 (kansboom tekenen)
b P (𝑋 > 10 | u� = 13 en u� =13) ≈ 0,000213 (binomiaal kansmodel) c P (𝑇 > 14 | 𝜇 = 12 en 𝜎 = 1,5) ≈ 0,0912 (normaal kansmodel) d P (𝐴 ≤ 1 | u� = 20 en u� = 0,0912) ≈ 0,4441 (binomiaal kansmodel)
e 47⋅36⋅35 ⋅ 3 +47⋅36⋅25≈ 0,6286 (kansboom tekenen) a
8 3 ballen uit de hoed halen zonder terugleggen. b 6 ⋅136 ⋅125 ⋅112 ≈ 0,20979.
c Ρ(𝑋 = 0) = 0,57692, Ρ(𝑋 = 1) = 0,38462, Ρ(𝑋 = 2) = 0,03846 dus de verwachting is ongeveer 0,46. a 9 Zie tabel. u� 2 3 4 5 6 7 8 P(𝑋 = u�) 1/16 2/16 3/16 4/16 3/16 2/16 1/16 b De verwachting is 8016= 5. a
10 Als wit zichtbaar is en Bert zegt rood, dan is er maar één kaart die gunstig is voor Bert, dus kans is13. b P(3 spelletjes) = (13)3+ (23)3= 279 =13.
WISKUNDE A TWEEDE FASE HAVO > STATISTIEK EN KANSREKENING > KANSMODELLEN
STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 63
a
11 P (𝑇 < 8,5 | 𝜇 = 9,2 en 𝜎 = 0,6) = 0,12167
Je mag verwachten 0,12167 ⋅ 90 = 10,95, dus 11 jaar.
b 𝑃 (𝑇 > 10,3 | 𝜇 = 9,2 en 𝜎 = 0,6) = 0,033376, per eeuw dus ongeveer 3 jaren.
12 524 ⋅3651⋅3550⋅3449⋅ 4 + 524 ⋅514 ⋅3650⋅3549⋅ 12 +524 ⋅523 ⋅3650⋅3549⋅ 6 +524 ⋅514 ⋅503 ⋅3649⋅ 12 ≈ 0,1570 a 13 1 −105 ⋅49⋅38⋅27⋅16 ≈ 0,9960 b 1 − P (𝑉 = 5 | u� = 5 en u� = 0,50) = 0,96875 a 14 P (𝑉 < 0,25 | 𝜇 = 0,27 en 𝜎 = 0,01) ≈ 0,0228 b P (𝐴 ≤ 2 | u� = 24 en u� = 0,0228) ≈ 0,9832
c P (𝑉 < 0,25 | 𝜇 = u� en 𝜎 = 0,01) ≈ 0,01 geeft 0,25−u�0,01 ≈ −2,326 en dus u� = 𝜇 ≈ 0,273. Er moet gemiddeld 0,273 liter in elk flesje.
a 15 P(𝐺 = 0) = 0,55760 P(𝐺 = 1) = 0,38603 P(𝐺 = 2) = 0,05515 P(𝐺 = 3) = 0,00123 b 0,5
16 P(A wint) = P(AAA) + P(AABA) + P(AABBA) = (14)3+ 3 ⋅ (41)3⋅ (34) + 6 ⋅ (14)3⋅ (34)2=641 +2569 +102454 ≈ 010352.
a
17 P (56,7 < 𝐺 < 58,5 | 𝜇 = 57,6 en 𝜎 = 0,44) ≈ 0,95918 dus ongeveer 96%. b P (𝐴 ≥ 28 | u� = 30 en u� = 0,96) ≈ 0,8831.
c Als P (567 < 𝐺 < 585 | 𝜇 = 576 en 𝜎 = u�) = 098 dan u� ≈ 03869.
5.5 Totaalbeeld
a
1 6000 kg à €2 is €12000 en 6000 kg à €1,30 is €7800. Dit geeft een opbrengst van €19800. b 12000 kg à €2,30 is €27600 en bij regen 12000 kg à €1,30 is €15600.
P(meer dan 2 regendagen) = 1 − P (𝑋 ≤ 2 | u� = 14 en u� = 0,15) ≈ 1 − 0,6479 = 0,3521.
c De verwachte opbrengst is bij de tweede manier 0,3521 ⋅ 15600 + 0,6479 ⋅ 27600 = 23374,80 euro. Dat is meer dan bij de eerste manier van oogsten.
d Slechte weersverwachting.
2 P (𝑋 ≤ 12 | u� = 25 en u� = 0,40) = 0,84623 a
3 P (𝑋 ≥ 17 | u� = 19 en u� = 0,8) ≈ 1 − 0,76311 = 0,23689
b Als P (𝑋 ≥ 17 | u� = u� en u� = 0,8) ≤ 0,1000 dan u� = 18, dus maximaal 18 boekingen. a
4 Zie tabel.
u� 0 1 2 3 4 5 6
P(𝐾 = u�) 1/64 6/64 15/64 20/64 15/64 6/64 1/64 b Verwachting is 3.
c De kansen blijven gelijk, de waarden echter niet. Nu wordt de verwachting ongeveer 4,23. a 5 P (𝑉 < 0,15 | 𝜇 = 0,17 en 𝜎 = 0,015) ≈ 0,0912 b P (𝐴 ≤ 4 | u� = 40 en u� = 0,0912) ≈ 0,7007 a 6 0,99596≈ 0,6180 b 0,99596+ 0,99595⋅ 0,005 ⋅ 96 ≈ 0,9162
c Een teken wordt alleen verkeerd ontvangen als het drie keer fout wordt gecodeerd of twee keer fout wordt gecodeerd. De bijbehorende kans is 0,0053+ 0,995 ⋅ 0,0052⋅ 3 ≈ 0,0000007475.
d 0,9999252596≈ 0,9928 7 4 /989806 ≈ 0,00000404
a
8 Een vaste medewerker doet u� adressen, een student u�–30 adressen, totaal 20u�–480 = 1400 adressen. Dit geeft u� = 94. Dus 94 door een vaste medewerker en 64 door een student.
b 1620⋅1519⋅1418⋅1317⋅1216≈ 0,28
c De 1e en de 2e poging hebben de kansen 0,1 en 0,2 en de derde poging heeft een kans van 0,4. 0,1 ⋅ 0,2 ⋅ 0,4 ≈ 0,008 (of 0,8%).
d Eerste keer: 1400. Tweede poging: 10% van 1400 is 140. Derde poging: 20% van 140 is 28. Totaal aantal: 1568.
a
9 Het totaal aan uitgaven is ongeveer 663 miljoen gulden, dus het gemiddelde is ongeveer 152,50 gulden b P (𝐵 > 3000 | 𝜇 = 3500 en 𝜎 = 350) ≈ 0,9234. Dat zijn ongeveer 0,9234 ⋅ 52 ≈ 48 zaterdagen. c De omzet steeg met 42% en de kosten stegen met 55%. Als in 1994 de omzet 200 miljoen was en de
kosten 100 miljoen, dan was de winst 100 miljoen. De omzet steeg met 84 miljoen en de kosten stegen met 55 miljoen. De winst was dan 29 miljoen gestegen.
d 1 − (3637)250≈ 0,999 a
10 Er zijn zes manieren: 50-20, 50-10-10, 20-20-20-10, 20-20-10-10-10, 20-10-10-10-10-10, 10-10-10-10-10-10-10.
b 250 biljetten van 20 euro.
c P (𝐵 > 400 | 𝜇 = 326 en 𝜎 = 41) ≈ 0,0355. Dus het zal naar verwachting op 0,0355 ⋅ 365 ≈ 13 dagen voorkomen.
d P (𝐵 < 175 | 𝜇 = 140 en 𝜎 = u�) ≈ 0,015 geeft u� = 𝜎 ≈ 16,1. a
11 De 50 witte flessen gaan in het gat voor wit. Van de 50 groene en bruine flessen belandt (naar verwach-ting) de helft in het goede gat. Het totale aantal flessen in een goed gat is dan 50 + 25 = 75.
b P(het is een witte fles en hij komt in het gat voor wit) = 0,5 ⋅ 1. P(het is een groene fles en hij komt in het gat voor groen) = 0,4 ⋅ 0,8. P(het is een bruine fles en hij komt in het gat voor bruin) = 0,1 ⋅ 0,2. P(een fles komt goed terecht) = 0,5 + 0,32 + 0,02 = 0,84.
c Bijvoorbeeld alle gekleurde flessen in het gat voor groen met de toelichting dat de succeskans in dat geval 0,5 ⋅ 1 + 0,4 ⋅ 1 = 0,9 is.
a
12 0,54⋅ 2 = 0,125 b 0, 53⋅ 2 = 0,25 c 45⋅35⋅25 ⋅15 ≈ 0,0384
d Bij 13 vlippo’s is de kans ongeveer 0,00002 en bij 14 vlippo’s is de kans ongeveer 0,000008. Dus is het antwoord: 13.
Het lesmateraal in dit boek is gebaseerd op het materiaal dat u kunt vinden op de website www.math4all.nl.
De volgorde van de onderwerpen in dit boek is bepaald door de auteurs van Math4All. Indien u in uw klas een andere volgorde wilt hanteren, maar een boek nog steeds op prijsstelt nodigen we u uit om gebruik te maken van de Math4All maatwerkdienst waarmee u zelf boeken kunt genereren.
Stichting Math4All