Wiskunde B voor 4/5 havo

(1)

4/5 havo

Deel 2

Versie 2013

Samensteller

(2)

Het auteursrecht op dit lesmateriaal berust bij Stichting Math4All. Math4All is derhalve de rechtheb- bende zoals bedoeld in de hieronder vermelde creative commons licentie.

Het lesmateriaal is met zorg samengesteld en getest. Stichting Math4All aanvaart geen enkele aansprakelijkheid voor onjuistheden en/of onvolledigheden in de module. Ook aanvaarden ze geen enkele aansprakelijkheid voor enige schade, voortkomend uit (het gebruik van) dit lesmateriaal

Voor deze module geldt een Creative Commons Naamsvermelding-Niet-commercieel 3.0 Nederland Licentie. (zie http://creativecommons.org/licenses/by/3.0).

Dit lesmateriaal is open, gratis en vrij toegankelijk lesmateriaal afkomstig van www.math4all.nl en is speciaal ontwikkeld voor het vak wiskunde in het voortgezet onderwijs. Het lesmateriaal op de website www.math4all.nl is afgestemd op kerndoelen wiskunde, tussendoelen wiskunde en eindtermen voor de vakken wiskunde A, B en C. Dit lesmateriaal is mediumneutraal ontwikkeld en op diverse manieren te bekijken en te gebruiken. Voor informatie en vragen kunt u contact opnemen via info@math4all.nl.

Ook houden we ons altijd aanbevolen voor suggesties, verbeteringen en/of aanvullingen.

(3)

Voorwoord 3

1 Periodieke functies 5 1.1 Periodiciteit 6 1.2 Radialen 14 1.3 Sinusfuncties 22 1.4 Cosinusfuncties 28 1.5 Sinusoïden 36

1.6 Sinusoïde als model 43 1.7 Totaalbeeld 50

2 Ruimtelijke ﬁguren 57

2.1 Projectie op het platte vlak 58 2.2 Berekeningen 65

2.3 Aanzichten en uitslagen 72 2.4 Doorsneden 80

2.5 Series evenwijdige doorsneden 89 2.6 Totaalbeeld 97

3 Oppervlakte en inhoud 105

3.1 Oppervlakte van vlakke figuren 106 3.2 Oppervlakte van ruimtelijke figuren 114 3.3 Inhoud van ruimtelijke figuren 122 3.4 Schaalvergroting 130

3.5 Totaalbeeld 136

4 Veranderingen 143

4.1 Veranderingen in grafieken 144 4.2 Veranderingen per stap 151 4.3 Differentiequotiënt 159 4.4 Differentiaalquotiënt 166 4.5 Hellingsgrafiek 175 4.6 Totaalbeeld 186

5 Afgeleide functies 193 5.1 Het begrip afgeleide 194 5.2 Diﬀerentiëren 202 5.3 Extremen berekenen 209 5.4 Buigpunten 217

6 Diﬀerentieerregels 231

(4)

6.3 De productregel 246 6.4 De quotiëntregel 252

6.5 De afgeleide van een sinusoïde 257 6.6 Toepassingen 264

Register 276

(5)

Het lesmateraal in dit boek is gebaseerd op het materiaal dat je kunt vinden op de website www.math4all.nl. In de tekst staan dan ook regelmatig verwijzingen naar die website. Waar je precies moet zijn op die website kun je zien in de kopregel van iedere pagina.

Bij bestudering van het lesmateriaal kom je in de tekst ook aanwijzingen tegen. Je ziet dan bijvoorbeeld in de tekst:

Bekijk eerst:

www.math4all.nl > 1/2 HAVO/VWO > Afstanden > Toepassen

Je kunt met de muis elk deel van de wereld bekijken en er op inzoomen.

Als zo’n aanwijzing in een opgave staat, kun je die opgave waarschijnlijk alleen maar maken als je inderdaad op de website hebt gekeken.

Ieder hoofdstuk bestaat uit een aantal paragrafen en wordt steeds afgesloten met een paragraaf To- taalbeeld waar de leerstof wordt samengevat en/of herhaald. Iedere paragraaf is ingedeeld in vaste rubrieken die houvast geven bij de bestudering van het lesmateriaal.

> Verkennen

> Uitleg

> Theorie en Voorbeelden

> Verwerken

> Toepassen

Indien er in het lesmateriaal wordt verwezen naar werkbladen dan kun je deze terugvinden op de website.

(6)

(7)

1 Periodieke functies

Periodiciteit 6 Radialen 14 Sinusfuncties 22 Cosinusfuncties 28 Sinusoïden 36

Sinusoïde als model 43

(8)

1.1 Periodiciteit

Inleiding

Er zijn veel verschijnselen die zich herhalen in tijd of ruimte.

Bijvoorbeeld een muzieknummer dat je afspeelt met herhaling, een voetbalfragment dat telkens wordt herhaald, zomer en winter, de dagen van de week, rondjes in een reuzenrad.

Je noemt dat: periodieke verschijnselen.

Als het verschijnsel ook nog met een functie te beschrijven is, spreek je van een periodieke functie.

Als je één geschikt stukje kent (de periode) kun je het ver- volg helemaal voorspellen. In dit onderdeel zul je dat voor verschillende soorten van periodieke functies doen.

Je leert in dit onderwerp

> de periode vaststellen van een periodiek verschijnsel;

> berekeningen maken bij periodieke verschijnselen.

Voorkennis

> graﬁeken tekenen met grote getallen op de assen;

> lineaire vergelijkingen oplossen;

> vergelijkingen oplossen met twee of meer oplossingen.

Verkennen

Opgave 1

Bekijk de applet.

Een mier loopt op een verticaal vlak vierkantjes: 5 cm omhoog, 5 cm horizontaal, 5 cm recht naar beneden, 5 cm horizontaal, enz. De snelheid is constant 1 cm/s. Hier zie je de graﬁek van de hoogte ℎ boven de horizontale as afhankelijk van de tijd u�.

a Leg uit waarom de graﬁek er zo uitziet.

b Welke periode heeft de graﬁek?

c Hoe hoog zit de mier na 614 seconden?

(9)

Uitleg

Het is maandag. Welke dag is het over 100 dagen?

Bij de dagen van de week is sprake van herhaling per 7 dagen. Je zegt dat dit periodieke verschijnsel een periode heeft van 7 dagen.

Het is dus opnieuw maandag na bijvoorbeeld 70 dagen, na 77, 84, 91 en 98 dagen. Dus over 99 dagen is het dinsdag en over 100 dagen is het woensdag.

In dit soort situaties moet je één basispatroon kiezen dat zich telkens herhaalt. Dat kan zijn maandag tot en met zondag (dus 7 dagen), maar bijvoorbeeld ook zondag tot en met zaterdag (ook 7 dagen) of donderdag tot en met woensdag.

Bekijk de applet.

Een wiel draait met steeds dezelfde snelheid rond en maakt één omwenteling in 10 seconden. Op tijdstip u� = 0 staat punt 𝐴 precies bovenaan. Het punt gaat naar links.

> Op welke tijdstippen is punt 𝐴 bovenaan?

Omdat het wiel in 10 seconden ronddraait is dat op u� = 10, maar ook op u� = 20, u� = 30, u� = 40, enz. En als het wiel al aan het draaien was, ook op u� = −10, u� = −20, u� = −30, enz.

Het valt nog niet mee om dat wiskundig netjes op te schrijven.

Het kan zo: u� = 0 + u� ⋅ 10 met u� ∈ ℤ.

Hierin is ℤ een schrijfwijze voor de verzameling van alle gehele getallen.

> Op welke tijdstippen is punt 𝐴 helemaal rechts?

Dat duurt drie vierde van een omwenteling, dus 7,5 seconden. Maar daar kan weer 10 bij of af, zo vaak als je maar wilt. Dus u� = ...; −12,5; −2,5; 7,5; 27,5; ....

Anders gezegd: u� = 7,5 + u� ⋅ 10 met u� ∈ ℤ.

Opgave 2

Bestudeer eerst in de Uitleg op pagina 7hoe je een serie zich herhalende tijdstippen weergeeft.

a Op u� = 0 is het maandag. Leg uit waarom het u� ⋅ 7 dagen later weer maandag is. Waarom moet je aannemen dat u� een geheel getal is?

b Welke dag is het 2 + u� ⋅ 7 dagen later?

c Waarom heeft de vraag welke dag het u� ⋅ 5 dagen later is geen zin?

Opgave 3

Bekijk nu in de Uitleg op pagina 7nog eens het verhaal van het ronddraaiende wiel. Ga er van uit dat het punt 𝐴 in 10 seconden rond draait en op u� = 0 bovenaan zit.

a Op welke tijdstippen zit punt 𝐴 helemaal links?

(10)

WISKUNDE B TWEEDE FASE HAVO > FUNCTIES EN GRAFIEKEN > PERIODIEKE FUNCTIES

Theorie en voorbeelden

De periode van een periodiek verschijnsel is de lengte van het interval waarop de graﬁek zich telkens herhaalt.

Je hebt nog wel keuze, welk stuk je daarvoor neemt.

Zo kun je bij een golf een stukje nemen van een maximum tot het eerstvolgend maximum. Maar ook van een minimum tot het eerstvolgend minimum. Of van een willekeurig punt tot het (PAS OP!) tweede volgende punt op dezelfde hoogte op de graﬁek.

Voor de lengte van het interval waarop de grafiek zich herhaalt maakt het niets uit, welk stuk van de grafiek je neemt. Die lengte is altijd gelijk als de grafiek zuiver periodiek is.

Bij de dagen van de week is de periode 7 dagen.

Bij een draaiend wiel is de periode bijvoorbeeld 10 seconden.

Soms wordt de periode ook wel de golﬂengte genoemd.

Het aantal periodes per (tijds)eenheid heet de frequentie.

Voorbeeld 1

De schijngestalten van de maan: nieuwe maan, eerste kwartier (halve maan), volle maan, laatste kwartier (weer halve maan), nieuwe maan, enz., zijn een periodiek verschijnsel met een periode van gemiddeld ongeveer 30 dagen (in de loop van het jaar wisselt de lengte een beetje).

Op 14 januari 2006 was het volle maan.

Bereken op welke datum in mei 2006 het ook volle maan was.

(11)

Je telt 30 dagen op bij 14 januari, dat geeft 13 februari. Zo kom je stap voor stap op 15 maart, 14 april en dan op 13 mei. De volgende volle maan valt niet meer in mei.

Antwoord: 13 mei 2006.

Meer lezen over de schijngestalten van de maan?

Ga naar» urania.be.

Opgave 4

Bekijk in de Theorie op pagina 8wat een periodiek verschijnsel is en wat je verstaat onder de periode en de frequentie van zo’n verschijnsel. Bekijk Voorbeeld 1 op pagina 8over de schijngestalten van de maan.

a Welke periode heeft dit verschijnsel?

b Met welke frequentie is het volle maan?

c Op welke datum was het volle maan in januari 2007?

Voorbeeld 2

Een opslagtank bevat 1000 liter brandstof op dag u� = 0. In 20 dagen neemt dat gelijkmatig af tot 100 liter. Dan wordt hij in 1 dag bijgevuld tot 1000 liter, enz.

Hoeveel zit erin na 75 dagen?

De inhoud is een periodieke functie met een periode van 21 dagen. Na 75 dagen is de inhoud hetzelfde als hij was na 54, na 33 en na 12 dagen.

Je bekijkt daarom de lineaire functie door de punten (0, 1000) en (20, 100).

Hiervan is de helling −⁹⁰⁰₂₀ = −45.

Dus is de gevraagde inhoud 1000−12⋅45 = 460 liter.

Opgave 5

In Voorbeeld 2 op pagina 9 gaat het over het leeglopen en weer vullen van een brandstoftank. De hoogte van de brandstof in de tank is een periodiek verschijnsel.

a Hoeveel bedraagt de periode?

b Leg uit waarom er 550 liter in de tank zit op u� = 10 + u� ⋅ 21 ∨ u� = 20,5 + u� ⋅ 21.

c Voor welke waarden van u� zit er 100 liter in de tank?

d Hoeveel zit er in de brandstoftank na 500 dagen?

(12)

Opgave 6

Hier zie je de graﬁek van de periodieke functie u�. Het domein is ℝ (dus de graﬁek loopt naar beide kanten oneindig ver door).

a Bepaal de periode van deze functie.

b Bepaal u� (81) en u� (91).

c Los op: u� (u�) = 6 met 75 ≤ u� ≤ 85.

d Bepaal u� (−5).

e Los op: u� (u�) = 4 met −100 ≤ u� ≤ −90.

Voorbeeld 3 Bekijk de applet.

Je bekijkt een wiel dat in 10 seconden ronddraait.

Punt 𝐴 is helemaal rechts op het tijdstip u� = 0. Gegeven is dat de straal 𝑀𝐴 van het wiel 100 centimeter is. De hoogte ℎ (u�) van punt 𝐴 meet je ten opzichte van de as van het wiel, zodat op tijdstip u� = 0 de hoogte ook 0 cm is.

Hoe hoog is het punt op tijdstip u� = 42?

ℎ (u�) heeft een periode van 10. Dus is de hoogte op u� = 42 hetzelfde als de hoogte op u� = 2.

Punt 𝐴 heeft dan ₁₀² van de cirkel doorlopen en is dus ₁₀² ⋅ 360^∘= 72^∘gedraaid.

Voor het berekenen van de hoogte heb je de sinus nodig:

u�u�u�(72^∘) =₁₀₀^ℎ en dus: ℎ = 100 ⋅ u�u�u� (72^∘) ≈ 95,1 cm.

Dus is op u� = 42 de hoogte ongeveer 95 cm.

Opgave 7

Bestudeer Voorbeeld 3 op pagina 10over het ronddraaiende punt 𝐴.

a Bereken de hoogte ℎ als u� = 1.

b Hoe groot is ℎ als u� = 31?

(13)

c Bereken de hoogtes voor de gehele waarden van u� vanaf 0 tot en met 10. Teken een graﬁek van ℎ als functie van u�.

d Hoe ziet de graﬁek er uit als de waarden van u� vanaf 0 tot en met 100 lopen?

Opgave 8

Hier zie je een punt 𝑃 op de tip van een rotorblad van een ronddraaiende windmolen. Hieronder is de graﬁek van de functie ℎ (u�) getekend, waarin ℎ de hoogte van punt 𝑃 boven de grond in meter voorstelt en u� de tijd in seconden is.

a Met welke periode draait het rotorblad van de windmolen? Met welke frequentie (omwentelingen per minuut) draait het rotorblad?

b Hoe hoog zit de as van de windmolen boven de grond? En hoe lang is het rotorblad?

c De wind neemt toe, de windmolen gaat twee keer zo snel draaien. Teken de bijbehorende graﬁek.

d Teken ook de graﬁek van de hoogte van de tip van één van de twee andere rotorbladen.

Opgave 9

Een punt 𝑃 beweegt linksom over een cirkel met straal 1 om de oorsprong 𝑂 van een 𝑂u�u�-assenstelsel.

De afstand u� die het punt heeft afgelegd hangt af van de hoek 𝛼 waarover 𝑂𝑃 is gedraaid. Neem aan dat u� = 0 als 𝛼 = 0.

a Hoeveel is u� (90^∘)? En u� (180^∘)? (Geef exacte waarden.)

b Leg uit waarom je nu te maken krijgt met hoeken die groter zijn dan 180^∘. Leg ook uit waarom de draaihoek zelfs groter kan zijn dan 3690^∘.

c Wat zou een draaihoek van −60^∘betekenen?

d Bepaal nu u� (360^∘), u� (450^∘), u� (60^∘) en u� (−30^∘).

e Hoeveel is u� (1^∘)?

f Is u� (𝛼) een periodieke functie? Licht je antwoord toe.

(14)

Verwerken

Opgave 10

Bekijk deze graﬁek van de periodieke functie u�.

a Bereken u� (25).

b Voor welke waarden van u� is u� (u�) = 10?

c Los op: u� (u�) = 5 met 0 ≤ u� ≤ 9.

Opgave 11

Punt 𝐴 ligt op een wiel op afstand 1 van de as. De hoogte van punt 𝐴 ten opzichte van de as noem je ℎ (u�). Punt 𝐴 begint rechts, dus ℎ (0) = 0. Het wiel draait in 6 seconden rond, linksom. Dus ℎ (1,5) = 1, want na 1,5 seconden is punt 𝐴 precies boven.

a Bereken ℎ (4,5), ℎ (10,5) en ℎ (16,5).

b Bereken ℎ (0,75) exact.

c Bereken exact ℎ (6,75), ℎ (12,75) en ℎ (−5,25).

d Los op: ℎ (u�) = ℎ (0,75).

Opgave 12

Een torenklok heeft een grote wijzer met een lengte van 1,5 m. De beide wijzers zitten bevestigd op de as van de klok op 45 m boven de grond. Punt 𝑇 stelt de tip van deze grote wijzer voor. De hoogte ℎ in m van 𝑇 boven de grond hangt af van de draaihoek 𝛼. Neem aan dat 𝛼 = 0 om 12:00 uur.

a Hoe hoog zit 𝑇 boven de grond op 2:10 uur?

b Schets een graﬁek van ℎ (𝛼).

c Er zijn twee tijdstippen waarop ℎ (𝛼) = 46. De bijbehorende punten waar 𝑇 dan zit zijn 𝐴 en 𝐵. Hoe ver zitten die punten 𝐴 en 𝐵 van elkaar?

(15)

Opgave 13

Een bal wordt omhooggeschoten op tijdstip u� = −1 en valt terug.

Hij veert volkomen elastisch, waardoor hij alsmaar blijft stuiteren.

Gebruik de formule ℎ (u�) = 5 − 5u�²met −1 ≤ u� ≤ 1. u� is in seconden, ℎ is in meter.

a Bereken ℎ (0) en ℎ (0,5).

b Bepaal de periode van de graﬁek.

c Bereken ℎ (6) en ℎ (6,5).

d Bereken ℎ (15) en ℎ (15,5).

e Hoe realistisch is dit rekenmodel?

Testen

Opgave 14

Een graﬁek bestaat in een 𝑂u�u�-assenstelsel uit rechte lijnstukjes tussen de punten (100, 1000) , (110, 600) , (140, 1000) , (150, 600) , (180, 1000), enz. Het patroon gaat naar links en rechts oneindig ver door.

a Welke periode heeft deze graﬁek?

b Bereken de waarde van u� bij u� = 250.

c Teken de graﬁek met 0 ≤ u� ≤ 100.

d Bereken de waarde van u� bij u� = −250.

e Hoeveel getallen u� met 0 ≤ u� ≤ 100 bestaan er bij u� = 900?

Opgave 15

Een wiel met een straal van 30 cm draait linksom rond met constante snelheid. De omlooptijd is 20 seconden. De hoogte in centimeter van punt 𝐴 aan de buitenkant van het wiel, gemeten ten opzichte van het middelpunt, noem je ℎ (u�) met u� in seconden. Het punt 𝐴 begint bovenaan, dus ℎ (0) = 30.

a Met welke frequentie draait punt 𝐴?

b Bereken ℎ (35).

c Bereken ℎ (18) in één decimaal nauwkeurig.

d Bereken ℎ (76) in één decimaal nauwkeurig.

e Geef alle tijdstippen u� met −40 ≤ u� ≤ 40 waarvoor geldt ℎ = 0.

(16)

1.2 Radialen

Inleiding

Een regelmatige cirkelbeweging is een belangrijk periodiek verschijnsel. De hoogte van een punt op een draaiende cirkel, uitgezet tegen de tijd, levert een heel regelmatige periodieke graﬁek: de sinusoïde.

Daarbij komt vanzelf een nieuwe manier te voorschijn om de grootte van een hoek aan te geven: in radialen in plaats van in graden.

> de graﬁek van u� = u�u�u�(u�) tekenen met u� in radialen;

> graden omrekenen in radialen en omgekeerd.

Voorkennis

> graﬁeken tekenen met de graﬁsche rekenmachine;

> werken met sinus in rechthoekige driehoeken.

Verkennen

Opgave 1

Bekijk de applet.

Hoeken druk je al heel lang in graden uit. Toch hoeft dat niet, bekijk deze kwart- cirkel maar eens. Hij heeft een straal van 1. Er staat een hoek van 30^∘in getekend.

a Hoe lang is de getekende cirkelboog? Leg uit waarom 30^∘overeenkomt met een booglengte van ¹₆𝜋.

Als je de grootte van een hoek door zijn booglengte in een cirkel met straal 1 beschrijft, krijg je hoeken in radialen. Dus 30^∘komt overeen met¹₆π radialen.

b Waarom is het van belang dat de cirkel waarin je de booglengte uitrekent een straal van 1 heeft?

c Reken maar eens een paar andere hoeken om van graden naar radialen.

Uitleg

Bekijk de applet.

Hier zie je een punt dat linksom (tegen de klok in) draait over een cirkel met straal 1, een eenheidscirkel.

Straal 𝑂𝑃 maakt een hoek 𝛼 met de horizontale as. De hoogte ℎ van punt is rechthoekszijde in een rechthoekige driehoek. Deze hoogte is te berekenen met behulp van goniometrie: u�u�u� (𝛼) =^ℎ₁ = ℎ. Dit is precies de u�-coördinaat van punt 𝑃: u�𝑃= u�u�u� (𝛼).

De driehoek is alleen te gebruiken zolang 𝛼 < 90^∘. Maar het punt draait gewoon door, evenals de hoek.

Op deze manier wordt de sinus gedeﬁnieerd voor hoeken van 90^∘en groter. Je ziet dat voor sommige hoeken de sinus een negatief getal kan zijn!

(17)

In de sinusgraﬁek die ontstaat is u� niet de hoek 𝛼 in graden, maar de lengte van de bijbehorende cirkelboog. Deze cirkelboog is ook een maat voor hoek 𝛼, dan is 𝛼 in radialen uitgedrukt: 𝛼 = u�

radialen. Dus dit is de graﬁek van ℎ = u�u�u�(u�) met u� in radialen. En u� loopt vanaf 0 tot 2𝜋 (de omtrek van de eenheidscirkel).

Je kunt ook over grotere hoeken draaien, of juist in de tegenovergestelde richting (met de wijzers van de klok mee). Zo krijg je positieve hoeken (linksom draaien) en negatieve hoeken (rechtsom draaien).

De graﬁek van ℎ = u�u�u�(u�) gaat zich dan eindeloos herhalen, zowel naar rechts als naar links. De hoeken worden vanaf nu gemeten in radialen: 2𝜋 rad komt overeen met 360^∘. De periode van deze standaardsinusoïde is daarom 2𝜋.

Hier zie je nog eens een eenheidscirkel. Maar nu staat op de horizontale as de afgelegde afstand van 𝑃 langs de eenheidscirkel, de booglengte van 𝛼. (Omdat de graﬁek anders niet past is 𝛼 op de horizontale as kleiner gemaakt dan de werkelijke booglengte. Er is een andere schaalverdeling op de as gebruikt dan op de cirkel.)

De omtrek van de cirkel is 2𝜋 ⋅ straal = 2𝜋 ⋅ 1 = 2𝜋. De periode van de sinusgraﬁek is daarom niet 360, maar 2𝜋.

Deze graﬁek is de meest gebruikte sinusgraﬁek. Je noemt dit de standaardsinusoïde. Je werkt met 2𝜋 als met een gewoon getal, zonder nog aan hoeken te denken.

Het punt kan ook rechtsom (met de klok mee) draaien, er komen dan mintekens voor de booglengtes.

(18)

Opgave 2

Bekijk de Uitleg op pagina 14. Daarin zie je hoe je in een eenheidscirkel de lengte van de boog als maat voor een hoek gebruikt. Je zegt dan dat de hoek 𝛼 is uitgedrukt in radialen.

Teken een eenheidscirkel (een cirkel met een straal van 1 eenheid).

a Teken 𝑃 als de draaihoek 𝛼 = 30^∘. Bereken de bijbehorende waarde van ℎ. Hoeveel radialen is 𝛼?

b Teken 𝑃 als de draaihoek 𝛼 = 150^∘. Bereken ℎ. Hoeveel radialen is 𝛼?

c Teken 𝑃 als de draaihoek 𝛼 = 210^∘. Bereken ℎ. Hoeveel radialen is 𝛼?

d Teken 𝑃 als de draaihoek 𝛼 = 270^∘. Bereken ℎ. Hoeveel radialen is 𝛼?

e Hoeveel radialen hoort er bij 360^∘?

f Bij welke draaihoeken is ℎ = 1? Geef je antwoord in graden en daarna in radialen.

Opgave 3

Teken met je graﬁsche rekenmachine de graﬁek van u� = u�u�u� (u�). Neem u� in graden en stel het venster zo in dat −360 ≤ u� ≤ 720 en −1,5 ≤ u� ≤ 1,5.

a Hoeveel periodes van de sinusgraﬁek krijg je zo in beeld?

b Bereken u�u�u� (30^∘) en u�u�u� (390^∘). Leg uit waarom beide uitkomsten gelijk zijn.

c Bereken u�u�u� (30^∘) en u�u�u� (150^∘). Leg uit waarom beide uitkomsten gelijk zijn.

d Bij welke waarden van u� vind je dezelfde uitkomst als u�u�u� (30000^∘)?

e Bij welke waarden van u� vind je dezelfde uitkomst als u�u�u� (−10000^∘)?

Opgave 4

Teken met je graﬁsche rekenmachine de graﬁek van u� = u�u�u� (u�). Neem u� in radialen en stel het venster zo in dat −2𝜋 ≤ u� ≤ 6𝜋 en −1,5 ≤ u� ≤ 1,5.

a Hoeveel periodes van de sinusgraﬁek krijg je zo in beeld?

b Bereken u�u�u� (1) en u�u�u� (1 + 2𝜋). Leg uit waarom beide uitkomsten gelijk zijn.

c Bereken u�u�u� (1) en u�u�u� (𝜋 − 1). Leg uit waarom beide uitkomsten gelijk zijn.

d Bij welke waarden van u� vind je dezelfde uitkomst als u�u�u� (211,5𝜋)?

e Bij welke waarden van u� vind je dezelfde uitkomst als u�u�u� (−1500𝜋)?

Theorie en voorbeelden

Punt 𝑃 beweegt over een eenheidscirkel (cirkel met straal 1). De bijbehorende draaihoek 𝛼 is positief als je linksom draait, negatief als je rechtsom draait en kan alle waarden aannemen. De hoogte ℎ van 𝑃 t.o.v. het middelpunt van de cirkel is ℎ = u�u�u�(𝛼).

Voor een geschikte graﬁek neem je liever 𝛼 = u� radialen.

De hoek wordt dan voorgesteld door de lengte van de bijbehorende boog op de eenheidscirkel.

360^∘komt overeen met 2𝜋 radialen. Vanaf nu wordt elke hoek in radialen gemeten tenzij duidelijk is vermeld dat het om een hoek in graden gaat!

Deze standaard sinusgraﬁek is periodiek met periode 2𝜋.

(19)

Bekijk de applet.

Voorbeeld 1

Bij het omrekenen van graden naar radialen gebruik je: 360^∘wordt 2𝜋 radialen.

En dus:

> 1^∘wordt₃₆₀^2𝜋 =₁₈₀¹ 𝜋 rad.

> 90^∘wordt 90 ⋅₃₆₀^2𝜋 =¹₂𝜋 rad.

En omgekeerd:

> 1 rad komt overeen met (³⁶⁰_2𝜋)^∘≈ 57^∘

> ¹₆𝜋 rad komt overeen met (¹₆𝜋 ⋅³⁶⁰_2𝜋)^∘= 30^∘

Opgave 5

Punt 𝐴 beweegt tegen de klok in over een eenheidscirkel met middelpunt 𝑀. 𝛼 is de draaihoek van 𝑀𝐴 in graden en u� is de lengte van de cirkelboog die bij die draaihoek hoort.

a Hoeveel bedraagt u� als 𝛼 = 360^∘? b Vul deze tabel in.

𝛼 0^∘ 30^∘ 45^∘ 60^∘ 90^∘ 120^∘ 225^∘ 270^∘ 330^∘ u�

u� is de lengte van de eenheidscirkelboog in radialen.

Bekijk nu in Voorbeeld 1 op pagina 8hoe je systematisch van graden naar radialen omrekent en omgekeerd.

c Hoeveel radialen is 10^∘? d Hoeveel graden is 10 radialen?

(20)

Voorbeeld 2

Bepaal met je rekenmachine u�u�u�(10^∘), u�u�u�(100^∘), u�u�u�(1000^∘) en u�u�u�(10000^∘).

Waarom zijn de laatste twee uitkomsten hetzelfde?

De draaihoek is gegeven in graden. Zorg er voor dat je rekenmachine met graden rekent.

Ga na, dat u�u�u�(10^∘) ≈ 0,174; u�u�u�(100^∘) ≈ 0,985; u�u�u�(1000^∘) ≈ −0,985 en u�u�u�(10000^∘) ≈ −0,985.

De graﬁek van u� = u�u�u�(u�) met u� in graden heeft een periode van 360^∘. De laatste twee uitkomsten zijn gelijk omdat tussen 1000^∘en 10000^∘precies 9000^∘= 25 ⋅ 360^∘zit. Dat is precies 25 perioden.

Opgave 6

In Voorbeeld 2 op pagina 18bekijk je de waarden van u�u�u� (u�) als u�

in graden is. Hier zie je nog eens waar je de waarden van u�u�u� (u�) in de eenheidscirkel vindt.

a Hoeveel bedraagt de periode van deze sinusfunctie?

b Leg uit waarom u�u�u� (u�) = u�u�u� (u� + u� ⋅ 360^∘).

c Leg uit waarom u�u�u� (u�) = u�u�u� (180^∘− u�).

d Leg uit waarom u�u�u� (−u�) = −u�u�u� (u�).

e Waarom is u�u�u� (45^∘) =¹₂√2? (Denk aan de stelling van Pythagoras.) f Voor welke twee hoeken u� tussen 0^∘en 360^∘geldt: u�u�u� (u�) = −¹₂√2?

Voorbeeld 3

Bepaal met je rekenmachine u�u�u�(1), u�u�u�(10), u�u�u�(¹₆π) en u�u�u�(360).

Er wordt nu in radialen gerekend, want er zijn geen gradentekens. Laat je rekenmachine dan ook in radialen rekenen.

Ga na, dat u�u�u�(1) ≈ 0,841; u�u�u�(10) ≈ −0,544; u�u�u�(¹₆𝜋) = 0,5 en u�u�u�(360) ≈ 0,959.

(21)

Hier zie je de graﬁek van u� = u�u�u�(u�) met u� in radialen.

Opgave 7

In Voorbeeld 3 op pagina 18bekijk je de waarden van u�u�u� (u�) als u� in radialen is. Hier zie je nog eens waar je de waarden van u�u�u� (u�) in de eenheidscirkel vindt.

a Hoeveel bedraagt de periode van deze sinusfunctie?

b Leg uit waarom u�u�u� (u�) = u�u�u� (u� + u� ⋅ 2𝜋).

c Leg uit waarom u�u�u� (u�) = u�u�u� (𝜋 − u�).

d Welke waarden kan u�u�u� (u�) aannemen?

e Waarom is u�u�u� (¹₆𝜋) exact 0,5? En waarom volgt daar uit dat u�u�u� (¹₃𝜋) =¹₂√3?

f Geef de volgende waarden exact: u�u�u� (5¹₆𝜋) , u�u�u� (−1⁵₆𝜋) , u�u�u� (2³₄𝜋).

Opgave 8

Gegeven is u�u�u� (u�) = 0,1 met u� in radialen.

a Geef alle mogelijke hoeken u� die hieraan voldoen en waarvoor geldt 0 ≤ u� < 2𝜋 aan in een eenheidscirkel.

b Hoe groot is u�u�u� (u� + 2𝜋)?

c Hoe groot is u�u�u� (u� + 𝜋)?

d Hoe groot is u�u�u� (𝜋 − u�)?

e Hoe groot is u�u�u� (15𝜋 + u�)?

f Hoe groot is u�u�u� (16𝜋 + u�)?

Opgave 9

Voor welke exacte waarden van u� (in radialen) geldt u�u�u� (u�) = 0,5?

(22)

Verwerken

Opgave 10

Deze hoeken zijn gegeven in graden. Bereken de bijbehorende booglengtes in de eenheidscirkel in radialen.

a 30^∘, 20^∘, 10^∘, 270^∘, 360^∘, 455^∘, 780^∘.

Hier zijn booglengtes in de eenheidscirkel gegeven. Bereken de bijbehorende hoeken in graden nauwkeurig.

b ¹₂𝜋;¹₃𝜋;³₄𝜋; 1; 𝜋; 3,1416; 10𝜋.

Opgave 11

Vanaf nu is (tenzij anders vermeld) bij u�u�u� (u�) de variabele u� altijd in radialen uitgedrukt.

Bekijk de graﬁek van u� (u�) = u�u�u� (u�) op [−2𝜋, 4𝜋].

a Bereken u�(5 ⋅¹₆𝜋) en 5 ⋅ u�(¹₆𝜋) exact. Verklaar het verschil.

b Bereken u� (¹₄𝜋) en u� (−¹₄𝜋) exact. Verklaar de overeenkomst.

c Laat in deze graﬁek zien dat u�u�u� (−u�) = −u�u�u� (u�).

d Laat met behulp van deze graﬁek zien dat u�u�u� (u�) = u�u�u� (3𝜋 − u�).

e Met een graﬁek kun je natuurlijk niets bewijzen. Met behulp van een ﬁguur in de eenheidscirkel wel.

Bewijs nu de twee voorgaande eigenschappen.

Opgave 12

Gegeven u�u�u� (u�) = 0,6.

a Geef in een eenheidscirkel alle waarden van u� met 0 ≤ u� < 2𝜋 aan die hieraan voldoen.

b Schrijf alle waarden van u� op die hier aan voldoen. Benaderingen in drie decimalen nauwkeurig.

Opgave 13

Gegeven u�u�u� (u�) = −0,5.

b Schrijf alle waarden van u� op die hier aan voldoen. Geef exacte waarden.

Testen

Opgave 14

Geef de antwoorden exact indien mogelijk, anders in drie decimalen benaderd.

a Deze hoeken zijn gegeven in graden. Reken om naar radialen.

60^∘, 45^∘, 180^∘, 300^∘, 330^∘, 350^∘, −350^∘.

b Deze booglengtes van een eenheidscirkel zijn gegeven in radialen. Bereken de bijbehorende hoeken in graden.

𝜋,¹₃𝜋, −¹₄𝜋, 2𝜋,⁵₆𝜋,¹³₁₂𝜋, 2,⁵₃𝜋.

(23)

Opgave 15

Bekijk de graﬁek van u� (u�) = u�u�u� (u�) op [−2𝜋, 4𝜋].

a Bereken u� (¹₄𝜋 +¹₃𝜋) en u� (¹₄𝜋) + u� (¹₃𝜋). Verklaar het verschil.

b Bereken u� (¹₄𝜋) en u� (−³₄𝜋) exact. Verklaar de overeenkomst.

c Laat in deze graﬁek zien dat u�u�u� (−u�) = u�u�u� (𝜋 + u�).

d Bewijs deze eigenschap met behulp van een eenheidscirkel.

Opgave 16

Gegeven u�u�u� (u�) = 0,25.

b Schrijf alle waarden van u� op die hier aan voldoen. Benaderingen in drie decimalen nauwkeurig.

(24)

1.3 Sinusfuncties

Inleiding

Met periodieke functies kun je, door de herhaling, gemakkelijk voorspellingen doen. Dezelfde uitkomsten komen met een vaste regelmaat weer terug. Dit bemoeilijkt echter het terugrekenen. Zelfs een eenvoudige vergelijking als u�u�u�(u�) = 0,5 heeft in principe oneindig veel oplossingen. Hoe vind je die allemaal en en hoe schrijf je ze allemaal netjes op? Daarover gaat dit onderdeel. Bij de graﬁek van u� = u�u�u�(u�) neem je u� altijd in radialen.

> de vergelijking u�u�u�(u�) = u� oplossen als u� een constante is.

Voorkennis

> een grafiek tekenen op de grafische rekenmachine en dan uit de grafiek u� vinden, als u� gegeven is;

> symmetrie in graﬁeken gebruiken.

Verkennen

Opgave 1

Gebruik deze graﬁek van u� (u�) = u�u�u� (u�) en de symmetrie ervan.

a Los op: u�u�u� (u�) = 0,8 met u� in [0, 4𝜋]. Geef je antwoord in drie decimalen nauwkeurig.

b Los op: u�u�u� (u�) = 0,5 met u� in [0, 4𝜋]. Geef je antwoord exact.

c Los op: u�u�u� (u�) = 0,5 voor elke mogelijke waarde van u�. Geef je antwoord exact.

Uitleg

Bekijk de applet.

Hier kun je zien hoeveel oplossingen de vergelijking u�u�u�(u�) = u� heeft als u� een constante is. Je gebruikt daarbij de symmetrie en de periode van de graﬁek van u� = u�u�u�(u�).

(25)

Als je bijvoorbeeld u�u�u�(u�) = 0,8 wilt oplossen, bepaal je eerst de oplossing die zo dicht mogelijk bij de verticale as zit: u� ≈ 0,93.

Dit getal kun je vinden met je graﬁsche rekenmachine.

Het heet in de wiskunde de arcussinus van 0,8: u� = u�u�u�u�u�u�(0,8) ≈ 0,93.

Binnen één periode is (vaak) nog een oplossing.

Vanwege de symmetrie van de graﬁek is die tweede oplossing u� = 𝜋 − u�u�u�u�u�u�(0,8).

Vanwege de periode van 2𝜋 zijn alle oplossingen van deze vergelijking:

u� = u�u�u�u�u�u�(0,8) + u� ⋅ 2𝜋 ∨ u� = 𝜋 − u�u�u�u�u�u�(0,8) + u� ⋅ 2𝜋 met u� een geheel getal.

Door u� te veranderen kun je de oplossingen zien van andere vergelijkingen zoals bijvoorbeeld u�u�u�(u�) = 0,2 en u�u�u�(u�) = −0,2 enzovoorts...

Je ziet bovendien:

> u�u�u�(u�) = 1 heeft als oplossingen: u� = ¹₂𝜋 + u� ⋅ 2𝜋.

> u�u�u�(u�) = −1 heeft als oplossingen: u� = −¹₂𝜋 + u� ⋅ 2𝜋.

> u�u�u�(u�) = 0 heeft als oplossingen: u� = 0 + u� ⋅ 𝜋 = u� ⋅ 𝜋.

> Als u� groter dan 1 of kleiner dan −1 is zijn er geen oplossingen.

Opgave 2

Bekijk de Uitleg op pagina 22. Los nu zelf op:

a u�u�u� (u�) = 0,2 b u�u�u� (u�) = −0,2

Opgave 3

Waarom heeft u�u�u� (u�) = 1,2 geen oplossingen?

(26)

Theorie en voorbeelden

Bekijk de applet.

Je ziet hier de graﬁek van u�(u�) = u�u�u�(u�) met u� in radialen op [0, 2𝜋]. Verder zijn de oplossingen van u�u�u�(u�) = u� aangegeven (u� is een constante).

De oplossing van u�u�u�(u�) = u� die ligt binnen [−¹₂𝜋,¹₂𝜋] heet de arcussinus van u�: u� = u�u�u�u�u�u�(u�).

Vanwege de symmetrie van de graﬁek is die tweede oplossing u� = 𝜋 − u�u�u�u�u�u�(u�).

Vanwege de periode van 2𝜋 zijn alle oplossingen van u�u�u�(u�) = u�:

u� = u�u�u�u�u�u�(u�) + u� ⋅ 2𝜋 ∨ u� = 𝜋 − u�u�u�u�u�u�(u�) + u� ⋅ 2𝜋 met u� een geheel getal.

De vergelijking u�u�u�(u�) = u� heeft alleen oplossingen als −1 ≤ u� ≤ 1.

Er zijn enkele waarden die handig zijn om te gebruiken:

> u�u�u�(0) = 0

> u�u�u�(¹₆𝜋) = ¹₂

> u�u�u�(¹₄𝜋) = ¹₂√2

> u�u�u�(¹₃𝜋) = ¹₂√3

> u�u�u�(¹₂𝜋) = 1 en omgekeerd:

> u�u�u�u�u�u�(0) = 0

> u�u�u�u�u�u�(¹₂) =¹₆𝜋

> u�u�u�u�u�u�(¹₂√2) = ¹₄𝜋

> u�u�u�u�u�u�(¹₂√3) = ¹₃𝜋

> u�u�u�u�u�u�(1) =¹₂𝜋

Worden er exacte uitkomsten gevraagd, dan gebruik je deze waarden.

(27)

Voorbeeld 1

Los op: u�u�u�(u�) = 0,5 met u� in [0, 3π].

Maak eerst met je graﬁsche rekenmachine de graﬁeken van u�1= u�u�u�(u�) en u�2= 0,5 op het gegeven interval.

Een oplossing is: u� = u�u�u�u�u�u�(0,5).

Met je rekenmachine geeft dat in drie decimalen nauwkeurig: u� ≈ 0,524.

Op het gewenste interval vind je dan vier oplossingen:

u� ≈ 0,524 ∨ u� ≈ 𝜋 − 0,524 ∨ u� ≈ 0,524 + 2𝜋 ∨ u� ≈ 𝜋 − 0,524 + 2𝜋.

En dus: u� ≈ 0,524 ∨ u� ≈ 2,618 ∨ u� ≈ 6,807 ∨ u� ≈ 8,901.

Het exacte antwoord is: u� =¹₆𝜋 (zie de tabel bij de theorie).

Op het gegeven interval: u� =¹₆𝜋 ∨ u� = 𝜋 −¹₆𝜋 ∨ u� = ¹₆𝜋 + 2𝜋 ∨ u� = 𝜋 −¹₆𝜋 + 2𝜋.

En dus: u� =¹₆𝜋 ∨ u� =⁵₆𝜋 ∨ u� = 2¹₆𝜋 ∨ u� = 2⁵₆𝜋.

Opgave 4

Bekijk Voorbeeld 1 op pagina 25.

Los nu op u�u�u� (u�) = −0,5.

a Geef alle oplossingen benaderd in drie decimalen nauwkeurig.

b Geef alle exacte oplossingen.

c Geef alle exacte oplossingen op het interval [0,4𝜋].

Opgave 5

Bekijk de graﬁek van u� (u�) = u�u�u� (u�). Zorg dat je in ieder geval één complete periode in beeld hebt.

a Los exact op: u�u�u� (u�) =¹₂√2.

b Geef alle exacte oplossingen op het interval [−2𝜋, 4𝜋].

c Geef de oplossingen op het interval [−2𝜋, 4𝜋] in drie decimalen nauwkeurig.

Voorbeeld 2

Los op: u�u�u�(u�) = −0,8.

Bekijk een deel van de standaard sinusgraﬁek en zet er de lijn u�2= −0,8 bij in. Zorg dat in ieder geval een hele periode zichtbaar is.

Een oplossing is:u� = u�u�u�u�u�u�(−0,8) ≈ −0,927 (een exacte uitkomst is er niet).

De tweede oplossing binnen een periode is: u� = π−u�u�u�u�u�u�(−0,8) ≈ 4,069.

Alle verdere oplossingen zijn nu te vinden door bij deze twee oplossingen een veelvoud van de periode op te tellen:

u� ≈ −0,927 + u� ⋅ 2π ∨ x ≈ 4,069 + u� ⋅ 2π een wilekeurig geheel getal.

Opgave 6

In Voorbeeld 2 op pagina 25los je u�u�u� (u�) = −0,8 op. Nu zijn alleen benaderingen mogelijk.

a Los op u�u�u� (u�) = 0,6 op het interval [−𝜋, 3𝜋]. Geef benaderingen in twee decimalen nauwkeurig.

b Los op u�u�u� (u�) < 0, 6 op het interval [−𝜋, 3𝜋]. Geef benaderingen in twee decimalen nauwkeurig.

(28)

Voorbeeld 3

Los op: 3 ⋅ u�u�u�(u�) + 1 < 0.

Je kunt de graﬁek van de functie u� = 3 ⋅ u�u�u�(u�) + 1 bekijken met je graﬁ- sche rekenmachine. Het gaat bij de vergelijking 3 ⋅ u�u�u�(u�) + 1 = 0 om de nulwaarden van deze functie, dat zijn er oneindig veel.

De vergelijking 3 ⋅ u�u�u�(u�) + 1 = 0 herleid je tot u�u�u� (u�) = −¹₃.

De oplossingen hiervan zijn: u� = u�u�u�u�u�u�(−¹₃) + u� ⋅ 2π ∨ u� = π − u�u�u�u�u�u�(−¹₃) + u� ⋅ 2π.

In drie decimalen nauwkeurig: u� ≈ −0,340 + u� ⋅ 2π ∨ u� = 3,841 + u� ⋅ 2π.

In de graﬁek zie je dat de functiewaarden negatief zijn als u� tussen 3,841 en −0,340 + 2π inligt, dus voor 3,841 < u� < 5,943.

De oplossing van de ongelijkheid is nu: 3,841 + u� ⋅ 2π < u� < 5,943 + u� ⋅ 2π.

Opgave 7

Bestudeer Voorbeeld 3 op pagina 26. Je werkt daarin met de graﬁek van de functie u� (u�) = 3u�u�u� (u�)+1.

a Breng zelf deze graﬁek in beeld op [−2𝜋, 4𝜋].

b Los u� (u�) < 2 op met benaderingen in twee decimalen nauwkeurig.

c Los u� (u�) = 2,5 exact op.

d Los u� (u�) = 4 exact op.

e Waarom kun je u� (u�) = 5 niet oplossen?

Opgave 8

Los op [−2𝜋, 2𝜋] exact op: 2 ⋅ u�u�u� (u�) ≤ −√3.

Opgave 9

Los exact op: u�u�u� (2u�) = u�u�u� (₁₂¹ 𝜋).

Verwerken

Opgave 10

Bekijk de graﬁek van u� (u�) = u�u�u� (u�).

Los de volgende vergelijkingen op. Geef waar mogelijk exacte oplossingen en anders benaderingen in drie decimalen nauwkeurig.

a u�u�u� (u�) = 0,35 b u�u�u� (u�) = −0,35 c u�u�u� (u�) =¹₂√3 d u�u�u� (u�) = −¹₂√2

Opgave 11

Geef alle oplossingen van:

a u�u�u� (u�) = 1

(29)

b u�u�u� (u�) = u�u�u� (1) c u�u�u� (1) = u�

Opgave 12

Gegeven is de functie u� met u� (u�) = 2u�u�u� (u�) − 1 op [0, 4𝜋].

a Bereken alle nulpunten van de graﬁek van deze functie.

b Los op: u� (u�) ≥ 0.

Opgave 13

Gegeven is de functie u� met u� (u�) = u�u�u� (2u�) op [0, 4𝜋].

a Los op: u� (u�) = 0,5 b Los op: u� (u�) ≥ 0,5.

Testen

Opgave 14

a u�u�u� (u�) = 0,95 b u�u�u� (u�) = −0,95 c u�u�u� (u�) = −¹₂

Opgave 15

gegeven is de functie u� (u�) = 4u�u�u� (u�) + 1 op [−2𝜋, 2𝜋].

a Bereken alle nulpunten van de graﬁek van u� in twee decimalen nauwkeurig.

b Los op u� (u�) < 0.

Opgave 16

Los exact op: u�u�u� (3u�) = 0,5.

(30)

1.4 Cosinusfuncties

Inleiding

Je kunt nu, als het goed is, al heel aardig rekenen met de sinus. Bij formules voor periodieke functies komt echter ook vaak de cosinus voor. De functie u� = u�u�u�(u�) (met u� in radialen) heeft een graﬁek die er uitziet als een verschoven sinus. Veel berekeningen in dit onderdeel lijken op de berekeningen uit het voorgaande. Let wel goed op de verschillen, die er ook zijn. Bijvoorbeeld heeft de cosinus andere symmetrie-eigenschappen dan de sinus. Bij vergelijkingen heeft dat gevolgen voor het vinden van de volledige oplossing.

Voorkennis

Verkennen

Opgave 1

Gebruik deze graﬁek van u�(u�) = u�u�u�(u�) en de symmetrie ervan.

a Los op: u�u�u�(u�) = 0,8 met u� in [0, 4𝜋]. Geef je antwoord in drie decimalen nauwkeurig.

b Los op: u�u�u�(u�) = 0,8 voor elke mogelijke waarde van u�. Geef je antwoord in drie decimalen nauwkeurig.

c Los op: u�u�u�(u�) = 0,5 met u� in [0, 4𝜋]. Geef je antwoord exact.

d Los op: u�u�u�(u�) = 0,5 voor elke mogelijke waarde van u�. Geef je antwoord exact.

Uitleg

Bekijk de applet.

Je ziet hier weer een punt 𝑃 dat ronddraait over de eenheidscirkel. Nu begint het punt zijn draaiing op de verticale as recht boven het middelpunt. Alle draaihoeken in radialen worden gemeten vanaf de straal naar dat punt.

De hoogte ℎ van punt 𝑃 boven het middelpunt bereken je met behulp van de cosinus:

u�u�u�(𝛼) =^𝑃𝑄₁ =^ℎ₁ = ℎ.

(31)

De graﬁek die ontstaat door 𝑃 te bewegen is dus die van ℎ = u�u�u�(u�) met u� in radialen.

Je ziet dat deze standaard cosinusgraﬁek sprekend lijkt op de standaard sinusgraﬁek, de periode is ook 2𝜋. Hij is alleen ¹₂𝜋 naar links verschoven ten opzichte van de standaardsinus.

Dit betekent dat u�u�u�(u�) = u�u�u�(u� +¹₂𝜋).

Bekijk de applet.

Hier kun je zien hoeveel oplossingen de vergelijking u�u�u�(u�) = u� heeft als u� een constante is. Je gebruikt daarbij de symmetrie en de periode van de graﬁek van u� = u�u�u�(u�).

Als je bijvoorbeeld u�u�u�(u�) = 0,8 wilt oplossen, bepaal je eerst de oplossing die zo dicht mogelijk bij de verticale as zit: u� ≈ 0,64.

Dit getal kun je vinden met je graﬁsche rekenmachine.

Het heet in de wiskunde de arcuscosinus van 0,8: u� = u�u�u�u�u�u�(0.8) ≈ 0,64.

Vanwege de symmetrie van de graﬁek is die tweede oplossing u� =

−u�u�u�u�u�u�(0,8).

Vanwege de periode van 2𝜋 zijn alle oplossingen van deze vergelijking:

u� = u�u�u�u�u�u�(0,8) + u� ⋅ 2𝜋 ∨ u� = −u�u�u�u�u�u�(0,8) + u� ⋅ 2𝜋 met u� een geheel getal.

Door u� te veranderen kun je de oplossingen zien van andere vergelijkingen zoals bijvoorbeeld u�u�u�(u�) = 0,2 en u�u�u�(u�) = −0,2 enzovoorts...

(32)

Je ziet bovendien:

> u�u�u�(u�) = 1 heeft als oplossingen: u� = 0 + u� ⋅ 2𝜋 = u� ⋅ 2𝜋.

> u�u�u�(u�) = −1 heeft als oplossingen: u� = 𝜋 + u� ⋅ 2𝜋.

> u�u�u�(u�) = 0 heeft als oplossingen: u� =¹₂𝜋 + u� ⋅ 𝜋.

> Als u� groter dan 1 of kleiner dan −1 is zijn er geen oplossingen.

Opgave 2

Bekijk de Uitleg op pagina 28. Los nu zelf op:

a u�u�u� (u�) = 0,2 b u�u�u� (u�) = −0,2

Opgave 3

Laat ook in de eenheidscirkel zien, dat u�u�u� (u�) = u�u�u� (u� +¹₂𝜋).

Theorie en voorbeelden

Bekijk de applet.

Je ziet hier de graﬁek van u�(u�) = u�u�u�(u�) met u� in radialen.

Verder zijn de oplossingen van u�u�u�(u�) = u� aangegeven (u� is een constante).

De oplossing van u�u�u�(u�) = u� binnen [−¹₂𝜋,¹₂𝜋] is arcuscosinusc: u� = u�u�u�u�u�u�(u�).

Vanwege de symmetrie van de graﬁek is die tweede oplossing u� = −u�u�u�u�u�u�(u�).

Vanwege de periode van 2𝜋 zijn alle oplossingen van u�u�u�(u�) = u�:

u� = u�u�u�u�u�u�(u�) + u� ⋅ 2𝜋 ∨ u� = −u�u�u�u�u�u�(u�) + u� ⋅ 2𝜋 met u� een geheel getal.

De vergelijking u�u�u�(u�) = u� heeft alleen oplossingen als −1 ≤ u� ≤ 1.

Verder lijkt de graﬁek van de cosinusfunctie sterk op die van de sinusfunctie. Er bestaan dan ook diverse verbanden tussen beide.

Bekijk de applet.

(33)

De grafiek van u�(u�) = u�u�u�(u�) met u� in radialen, de standaard cosinusgrafiek lijkt sprekend op de standaard sinusgrafiek en de periode is ook 2𝜋. Hij is alleen ¹₂π naar links verschoven ten opzichte van de standaardsinus.

Dit betekent dat u�u�u�(u�) = u�u�u�(u� +¹₂𝜋).

Verder kun je de sinus en de cosinus van dezelfde hoek in één eenheidscirkel tekenen. Je ziet dan dat voor de coördinaten van punt 𝑃 geldt: u�_𝑃= u�u�u�(𝛼) en u�_𝑃= u�u�u�(𝛼).

En dan kun je met de stelling van Pythagoras nagaan, dat:

(u�u�u�(𝛼))²+ (u�u�u�(𝛼))²= 1

Om het aantal haakjes te verminderen schrijf je dit als:

u�u�u�²(𝛼) + u�u�u�²(𝛼) = 1

Er zijn enkele waarden die handig zijn om te gebruiken:

> u�u�u�(0) = 1

> u�u�u�(¹₆𝜋) = ¹₂√3

> u�u�u�(¹₄𝜋) = ¹₂√2

> u�u�u�(¹₃𝜋) = ¹₂

> u�u�u�(¹₂𝜋) = 0 en omgekeerd:

> u�u�u�u�u�u�(0) =¹₂𝜋

> u�u�u�u�u�u�(¹₂) =₃₃¹𝜋

> u�u�u�u�u�u�(¹₂√2) =¹₄𝜋

> u�u�u�u�u�u�(¹₂√3) =¹₆𝜋

> u�u�u�u�u�u�(1) = 1

Worden er exacte uitkomsten gevraagd, dan gebruik je deze waarden.

Voorbeeld 1

Los op: u�u�u�(u�) = 0,5 met u� in [0, 3π].

Maak eerst met je graﬁsche rekenmachine de graﬁeken van u�1 = u�u�u�(u�) en u�2= 0,5 op het gegeven interval.

Een oplossing is: u� = u�u�u�u�u�u�(0,5).

Met je rekenmachine geeft dat in drie decimalen nauwkeurig: u� ≈ 1,047.

Op het gewenste interval vind je dan drie oplossingen:

u� ≈ 1,047 ∨ u� ≈ 2𝜋 − 1,047 ∨ u� ≈ 1,047 + 2𝜋.

En dus: u� ≈ 1,047 ∨ u� ≈ 5,236 ∨ u� ≈ 7,330 ∨ u� ≈ 8,901.

Het exacte antwoord is: u� =¹₃𝜋 (zie de tabel bij de theorie).

Op het gegeven interval: u� =¹₃𝜋 ∨ u� = 2𝜋 −¹₃𝜋 ∨ u� = ¹₃𝜋 + 2𝜋.

En dus: u� =¹₃𝜋 ∨ u� = 1²₃𝜋 ∨ u� = 2¹₃𝜋 ∨ u� = 2⁵₆𝜋.

(34)

Opgave 4

Bekijk Voorbeeld 1 op pagina 31.

Los nu op u�u�u� (u�) = −0,5.

a Geef alle oplossingen benaderd in drie decimalen nauwkeurig.

b Geef alle exacte oplossingen.

c Geef alle exacte oplossingen op het interval [0, 4𝜋].

Opgave 5

Bekijk de graﬁek van u� (u�) = u�u�u� (u�). Zorg dat je in ieder geval één complete periode in beeld hebt.

a Los exact op: u�u�u� (u�) =¹₂√2.

b Geef alle exacte oplossingen op het interval [−2𝜋, 4𝜋].

c Geef de oplossingen op het interval [−2𝜋, 4𝜋] in drie decimalen nauwkeurig.

Voorbeeld 2

Los op: u�u�u�(u�) = −0,8.

Bekijk een deel van de standaard cosinusgraﬁek en zet er de lijn u�₂= −0,8 bij in. Zorg dat in ieder geval een hele periode zichtbaar is.

Een oplossing is:u� = u�u�u�u�u�u�(−0,8) ≈ 2,498 (een exacte uitkomst is er niet).

De tweede oplossing binnen een periode is: u� = −u�u�u�u�u�u�(−0,8) ≈ −2,498.

Alle verdere oplossingen zijn nu te vinden door bij deze twee oplossingen een veelvoud van de periode op te tellen:

u� ≈ 2,498 + u� ⋅ 2π ∨ u� ≈ −2,498 + u� ⋅ 2π een wilekeurig geheel getal.

Opgave 6

In Voorbeeld 2 op pagina 32los je u�u�u� (u�) = −0,8 op. Nu zijn alleen benaderingen mogelijk.

a Los op u�u�u� (u�) = 0,6 op het interval [−𝜋, 3𝜋]. Geef benaderingen in twee decimalen nauwkeurig.

b Los op u�u�u� (u�) < 0,6 op het interval [−𝜋, 3𝜋]. Geef benaderingen in twee decimalen nauwkeurig.

c Los op u�u�u� (u�) < −0,6 op het interval [−𝜋, 3𝜋]. Geef benaderingen in twee decimalen nauwkeurig.

Voorbeeld 3

Los op: 3 ⋅ u�u�u�(u�) + 1 < 0.

Je kunt de graﬁek van de functie u� = 3 ⋅ u�u�u�(u�) + 1 bekijken met je graﬁ- sche rekenmachine. Het gaat bij de vergelijking 3 ⋅ u�u�u�(u�) + 1 = 0 om de nulwaarden van deze functie, dat zijn er oneindig veel.

De vergelijking 3 ⋅ u�u�u�(u�) + 1 = 0 herleid je tot u�u�u� (u�) = −¹₃.

De oplossingen hiervan zijn: u� = u�u�u�u�u�u�(−¹₃)+u�⋅2π∨u� = −u�u�u�u�u�u�(−¹₃)+

u� ⋅ 2π.

In drie decimalen nauwkeurig: u� ≈ 1,911 + u� ⋅ 2π ∨ u� = −1,911 + u� ⋅ 2π.

In de graﬁek zie je dat de functiewaarden negatief zijn als u� tussen 1,911 en 2𝜋 − 1.911 inligt, dus voor 1,911 < u� < 4,373.

De oplossing van de ongelijkheid is nu: 1,911 + u� ⋅ 2π < u� < 4,373 + u� ⋅ 2π.

(35)

Opgave 7

Bestudeer Voorbeeld 3 op pagina 32. Je werkt daarin met de graﬁek van de functie u� (u�) = 3u�u�u� (u�)+1.

a Breng zelf deze graﬁek in beeld op [−2𝜋,4𝜋].

b Los u� (u�) < 2 op met benaderingen in twee decimalen nauwkeurig.

c Los u� (u�) = 2,5 exact op.

d Los u� (u�) = 4 exact op.

e Waarom kun je u� (u�) = 5 niet oplossen?

Opgave 8

Los op [−2𝜋, 2𝜋] exact op: 2 ⋅ u�u�u� (u�) ≤ −√3.

Opgave 9

Los exact op: u�u�u� (2u�) = u�u�u� (₁₂¹𝜋).

Voorbeeld 4

Voor een bepaalde waarde van u� geldt u�u�u�(u�) = 0,2.

Bereken nu de exacte waarde van u�u�u�(u�).

In de Theorie op pagina 30zie je dat er verschillende verbanden bestaan tussen u�u�u�(u�) en u�u�u�(u�).

Bijvoorbeeld: u�u�u�²(u�) + u�u�u�²(u�) = 1.

Met u�u�u�(u�) = 0,2 wordt dit: 0,2²+ u�u�u�²(u�) = 1.

En dus is: u�u�u�²(u�) = 1 − 0,04 = 0,96.

Je vindt daarom twee mogelijke waarden voor u�u�u�(u�), namelijk:

u�u�u�(u�) = √0,96 ∨ u�u�u�(u�) = −√0,96.

Opgave 10

Bekijk de graﬁek van u� (u�) = u�u�u�²(u�) + u�u�u�²(u�) op [−2𝜋, 4𝜋].

a Bekijk de Theorie op pagina 30. Leg uit waarom de graﬁek er zo uit ziet.

b Stel dat u�u�u� (u�) =¹₃. Hoe groot is dan u�u�u� (u�) exact? Bekijk eventueel Voorbeeld 4 op pagina 33.

Opgave 11

Je wilt de vergelijking u�u�u�²(u�) = u�u�u�²(u�) oplossen.

a Laat zien dat je deze vergelijking kunt schrijven als 2u�u�u�²(u�) = 1.

b Laat zien dat uit het voorgaande volgt dat u�u�u� (u�) =¹₂√2 ∨ u�u�u� (u�) = −¹₂√2.

c Geef nu alle oplossingen van de vergelijking.

(36)

Verwerken

Opgave 12

a u�u�u� (u�) = 0,35 b u�u�u� (u�) = −0,35 c u�u�u� (u�) =¹₂√3 d u�u�u� (u�) = −¹₂√2

Opgave 13

Geef alle oplossingen van:

a u�u�u� (u�) = 1 b u�u�u� (u�) = u�u�u� (1) c u�u�u� (1) = u�

d u�u�u� (u�) = u�u�u� (1)

Opgave 14

Gegeven is de functie u� met u� (u�) = 2u�u�u� (u�) − 1 op [0, 4𝜋].

a Bereken alle nulpunten van de graﬁek van deze functie.

b Los op: u� (u�) ≥ 0.

Opgave 15

Gegeven is de functie u� met u� (u�) = u�u�u� (2u�) op [0, 4𝜋].

a Los op: u� (u�) = 0, 5 b Los op: u� (u�) ≥ 0,5.

Opgave 16

Bereken exact de oplossingen op [0, 2𝜋].

a u�u�u� (u�) (2u�u�u� (u�) − 1) = 0 b u�u�u�²(u�) = u�u�u� (u�)

c u�u�u�²(u�) − 1, 5u�u�u� (u�) − 1 = 0 d 2u�u�u�²(u�) + u�u�u� (u�) = 0

(37)

Testen

Opgave 17

a u�u�u� (u�) = 0,95 b u�u�u� (u�) = −0,95 c u�u�u� (u�) = −¹₂

Opgave 18

Gegeven is de functie u� (u�) = 4u�u�u� (u�) + 1 op [−2𝜋, 2𝜋].

a Bereken alle nulpunten van de graﬁek van u� in twee decimalen nauwkeurig.

b Los op u� (u�) < 0.

Opgave 19 Los exact op:

a u�u�u� (3u�) = 0,5.

b u�u�u�²(u�) = 0,5 + u�u�u�²(u�)

(38)

1.5 Sinusoïden

Inleiding

Je hebt leren werken met de functies u� = u�u�u�(u�) en u� = u�u�u�(u�) (met u� in radialen). Als je op deze functies transformaties toepast, krijg je andere periodes en kunnen de graﬁeken om een andere lijn dan de u�-as gaan slingeren met een andere uitwijking. Dat is belangrijk omdat de sinusfunctie en de cosinusfunctie dan kunnen worden gebruikt om periodieke verschijnselen meer in het algemeen te beschrijven. Functies die door transformatie ontstaan uit u� = u�u�u�(u�) noem je sinusoïden.

> de graﬁeken van u� = u� ⋅ u�u�u�(u�(u� + u�)) + u� en u� = u� ⋅ u�u�u�(u�(u� + u�)) + u� tekenen;

> de vergelijkingen u� ⋅ u�u�u�(u�(u� + u�)) + u� = u� en u� ⋅ u�u�u�(u�(u� + u�)) + u� = u� oplossen.

Voorkennis

> de graﬁeken van u� = u�u�u�(u�) en u� = u�u�u�(u�) tekenen met u� in radialen;

> de vergelijkingen u�u�u�(u�) = u� en u�u�u�(u�) = u� oplossen als u� een constante is.

> transformaties op functies toepassen.

Verkennen

Opgave 1

Gegeven is de functie u�(u�) = 2 ⋅ u�u�u�(4u�) + 3.

a Maak met de graﬁsche rekenmachine de graﬁek van u� op [0, 2𝜋].

b Bepaal de periode van deze periodieke functie.

c Bereken de coördinaten van alle toppen van de graﬁek op [0, 2𝜋].

Gegeven is de functie u�(u�) = 4 ⋅ u�u�u�(0,5(u� − 𝜋)) − 1.

d Maak met de graﬁsche rekenmachine de graﬁek van u� op [0, 4𝜋].

e Bepaal de periode van deze periodieke functie.

f Bereken de coördinaten van alle toppen van de graﬁek op [0, 4𝜋].

Uitleg

Bekijk de applet.

Je kunt met de applet in

> www.math4all.nl > Math4All > 4/5 HAVO B > Sinusoïden > Uitleg

de grafiek van de functie u�(u�) = u� ⋅ u�u�u�(u�(u� + u�)) + u� maken. Deze grafiek ontstaat door transformatie uit die van u�(u�) = u�u�u�(u�). De grafiek van u� noem je een sinusoïde.

> u� verandert de maximale uitwijking, de amplitude is u�;

> u� verandert de periode, de periode is^2𝜋_u� ;

(39)

> u� zorgt voor een horizontale verschuiving over −u�;

> u� verandert de evenwichtslijn, die is u� = u�.

Je ziet hier de graﬁek van de sinusoïde u�(u�) = 1,5 ⋅ u�u�u�(2(u� − 1)) + 0,5. Je ziet:

> de amplitude is 1,5;

> de evenwichtslijn is u� = 0,5;

> de periode is^2𝜋₂ = 𝜋;

> de horizontale verschuiving is 1.

Het bereik is daarom Bu�= [0,5 − 1,5; 0,5 + 1,5] = [−1, 2].

De toppen van u� zijn te vinden door de transformaties toe te passen op de toppen van u�.

Opgave 2

Bekijk bij de Uitleg op pagina 36de graﬁek van u� (u�) = 1,5u�u�u� (2 (u� − 1)) + 0,5 op [0, 2𝜋].

a Maak zelf deze graﬁek op de graﬁsche rekenmachine.

b Leg uit welke transformaties er achtereenvolgens op de graﬁek van u� = u�u�u� (u�) moeten worden toege- past om die van u� te krijgen.

c Het punt (0, 0) ligt op de graﬁek van u� = u�u�u� (u�). Welk punt op de graﬁek van u� ontstaat door deze transformaties uit (0, 0)?

d Welke toppen heeft de graﬁek van u�?

Opgave 3

Gegeven is de functie u� met u� (u�) = 1 − 2u�u�u� (3 (u� + 2)).

a Lees uit het functievoorschrift de periode, de amplitude, de evenwichtslijn en de horizontale verschuiving af. Schets de graﬁek.

b Controleer met behulp van de applet in de Uitleg op pagina 36of je graﬁek juist is.

c Oefen dit een aantal keer.

(40)

Theorie en voorbeelden

Bekijk de applet.

De graﬁek van de functie u�(u�) = u� ⋅ u�u�u�(u�(u� + u�)) + u� is een sinusoïde. Dat is een functie die door transformatie ontstaat uit u�(u�) = u�u�u�(u�). Voor de graﬁek van u� geldt:

> de amplitude (maximale uitwijking van de evenwichtslijn) is u�;

> de periode is ^2𝜋_u� dus u� =_periode^2𝜋 ;

> de horizontale verschuiving is −u�;

> de evenwichtslijn is de lijn u� = u�.

Bekijk de applet.

De graﬁek van de functie u�(u�) = u� ⋅ u�u�u�(u�(u� + u�)) + u� is een sinusoïde. Dat is een functie die door transformatie ontstaat uit u�(u�) = u�u�u�(u�). Voor de graﬁek van u� geldt:

> de amplitude (maximale uitwijking van de evenwichtslijn) is u�;

> de periode is ^2𝜋_u� dus u� =_periode^2𝜋 ;

> de horizontale verschuiving is −u�;

> de evenwichtslijn is de lijn u� = u�.

(41)

Voorbeeld 1

Je ziet hier een deel van de graﬁek van u� = 2u�u�u�(3u�).

Bereken de periode en alle toppen van deze sinusoïde.

De variabele u� wordt eerst vermenigvuldigd met 3.

Dan is de periode^2𝜋₃ .

De amplitude is 2 en de graﬁek is niet omhoog geschoven.

Het maximum is dus 2.

De maxima van de standaard sinusgraﬁek zitten bij u� =¹₂𝜋 + u� ⋅ 2𝜋.

Dus vind je de maxima van deze graﬁek als 3u� =¹₂𝜋 + u� ⋅ 2𝜋.

Links en rechts door 3 delen geeft: u� =¹₆𝜋 + u� ⋅²₃𝜋.

En dat klopt netjes met de berekende periode.

Het minimum is −2.

Die minima vind je als 3u� = 1¹₂𝜋 + u� ⋅ 2𝜋.

Dus de minima zitten bij: u� =¹₂𝜋 + u� ⋅²₃𝜋.

Opgave 4

Je ziet hier een deel van de graﬁek van u� = 10u�u�u� (4u�) + 5.

Bereken de periode en alle toppen van deze sinusoïde en zorg dat je de graﬁek ook zo in beeld krijgt.

Bekijk eventueel eerst Voorbeeld 1 op pagina 39.

Voorbeeld 2

Je ziet hier een deel van de graﬁek van u�(u�) = u�u�u�(2(u� − 0,5𝜋)) + 1.

De functie u� is gedeﬁnieerd op ℝ.

Bepaal de periode en de coördinaten van alle toppen.

Los op: u�u�u�(2(u� − 0,5𝜋)) + 1 = 1,5.

De periode is ^2𝜋₂ = 𝜋.

De hoogste waarde die wordt bereikt is 1 + 1 = 2.

De maxima van de standaard sinusgraﬁek zitten bij u� =¹₂𝜋 + u� ⋅ 2𝜋.

Dus vind je de maxima van deze graﬁek als 2(u� −¹₂𝜋) = ¹₂𝜋 + u� ⋅ 2𝜋.

Eerst door 2 delen: u� −¹₂𝜋 = ¹₄𝜋 + u� ⋅ 𝜋.

Nu¹₂𝜋 bijtellen: u� = ³₄𝜋 + u� ⋅ 𝜋 Het minimum is 0.

Daarvoor geldt: 2(u� −¹₂𝜋) = 1¹₂𝜋 + u� ⋅ 2𝜋.

Nu vind je: u� =⁵₄𝜋 + u� ⋅ 𝜋.

Omdat de periode 𝜋 is mag je dit ook schrijven als u� = ¹₄𝜋 + u� ⋅ 𝜋.

De toppen zijn: (³₄𝜋 + u� ⋅ 𝜋 < m : mn >< m : mo > , < m : mo > 2 < m : mn >) en (¹₄𝜋 + u� ⋅ 𝜋 < m : mn >< m : mo > , < m : mo > 0 < m : mn >).

Je moet oplossen: u�u�u�(2(u� − 0,5𝜋)) + 1 = 1,5.