Wiskunde B voor 4/5 havo

(1)

Wiskunde B voor

4/5 havo

Deel 1, Antwoordenboek

Versie 2013

Samensteller

(2)

Het auteursrecht op dit lesmateriaal berust bij Stichting Math4All. Math4All is derhalve de rechtheb- bende zoals bedoeld in de hieronder vermelde creative commons licentie.

Het lesmateriaal is met zorg samengesteld en getest. Stichting Math4All aanvaart geen enkele aansprakelijkheid voor onjuistheden en/of onvolledigheden in de module. Ook aanvaarden ze geen enkele aansprakelijkheid voor enige schade, voortkomend uit (het gebruik van) dit lesmateriaal

Voor deze module geldt een Creative Commons Naamsvermelding-Niet-commercieel 3.0 Nederland Licentie. (zie http://creativecommons.org/licenses/by/3.0).

Dit lesmateriaal is open, gratis en vrij toegankelijk lesmateriaal afkomstig van www.math4all.nl en is speciaal ontwikkeld voor het vak wiskunde in het voortgezet onderwijs. Het lesmateriaal op de website www.math4all.nl is afgestemd op kerndoelen wiskunde, tussendoelen wiskunde en eindtermen voor de vakken wiskunde A, B en C. Dit lesmateriaal is mediumneutraal ontwikkeld en op diverse manieren te bekijken en te gebruiken. Voor informatie en vragen kunt u contact opnemen via info@math4all.nl.

Ook houden we ons altijd aanbevolen voor suggesties, verbeteringen en/of aanvullingen.

(3)

Inhoud

1 Werken met formules 2 1.1 Formules gebruiken 2 1.2 Formules herschrijven 4

1.3 Formules en de graﬁsche rekenmachine 6 1.4 Vergelijkingen 7

1.5 Totaalbeeld 9

2 Functies en graﬁeken 10 2.1 Het begrip functie 10 2.2 Domein en bereik 12 2.3 Karakteristieken 14 2.4 Transformaties 16 2.5 Ongelijkheden 18 2.6 Totaalbeeld 19

3 Lineaire verbanden 20 3.1 Lineaire functies 20 3.2 Lineaire verbanden 22 3.3 Stelsels vergelijkingen 23 3.4 Lineaire modellen 25 3.5 Totaalbeeld 26

4 Exponentiële functies 28 4.1 Exponentiële groei 28 4.2 Reële exponenten 30 4.3 Exponenten en machten 32 4.4 Exponentiële functies 34 4.5 Meer exponentiële functies 35 4.6 Totaalbeeld 38

5 Logaritmische functies 40 5.1 Logaritmen 40

5.2 Eigenschappen van logaritmen 42 5.3 Logaritmische schalen 44

5.4 Logaritmische functies 47 5.5 Logaritmische vergelijkingen 48 5.6 Totaalbeeld 50

6 Machtsfuncties 52

6.1 Werken met machten 52

6.2 Eigenschappen van machtsfunties 54

6.3 Kwadratische functies als machtsfuncties 57 6.4 De abc-formule 59

6.5 Meer machtsfuncties 61 6.6 Totaalbeeld 63

(4)

1 Werken met formules

1.1 Formules gebruiken

a

1 Lengte u� en breedte u�. De omtrek 𝑃 en de oppervlakte 𝐴 liggen vast.

b u� ⋅ u� = 5000 en 2u� + 2u� = 360.

c Maak bijvoorbeeld twee graﬁeken van u� afhankelijk van u�.

a

2 oppervlakte = 6 × breedte b lengte × breedte = 12 c oppervlakte = lengte² d B bij a, A bij b en C bij c

a

3 Je betaalt €0,08 per belminuut, maar daar bovenop moet je nog de abonnementskosten verrekenen per belminuut.

(5)

WISKUNDE B TWEEDE FASE HAVO > WERKEN MET FORMULES > WERKEN MET FORMULES

STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 3

b de graﬁek is een kromme lijn door (10; 2,48), (20; 1,28), (30; 0,88), (40; 0,68), (60; 0,48), (80; 0,38), etc.

c 600 a

4 u� = 5 − 9,8u�

b rechte lijn door (0, 5) en ongeveer (0,5; 0)

c Positieve snelheid: bal gaat omhoog; negatieve snelheid: bal gaat omlaag.

d Als de snelheid 0 is, dus als u� = 24,1 /9,8 ≈ 2,459 sec.

e u� = 0 geeft u� ≈ 0,5 a

5 Ja

b Nee c Nee d Ja

e Nee f Ja

6 Alleen de formule uit c.

a

7 cm³

b 804,25 cm³ c 𝑉 = 16𝜋u�²

d Doen, maak eerst een geschikte tabel.

e bijvoorbeeld ℎ =⁽¹⁰⁰⁰⁾_(𝜋u�2)

a

8 Geen formule b Formule c Formule d Geen formule

a

9 €32

b De graﬁek is een kromme lijn door (200; 0,20), (400; 0,20), ongeveer (600; 0,17) en (800; 0,16) c 800

a

10 𝐼 ⋅ 𝑅 = 200 met 𝐼 in A en 𝑅 in Ω b Doen, maak eerst een tabel.

c ongeveer 13,3 V a

11 Formule b Geen formule c Geen formule d Formule

a

12 𝑄𝐼 ≈ 24,07 b Doen.

c Doen.

d 64,8 ≤ 𝐺 ≤ 81

(6)

1.2 Formules herschrijven

a

1 u� ⋅ u� = 5000 en 2u� + 2u� = 360.

b u� = 5000 /u� en u� = 180 − u�.

c Bijvoorbeeld door twee graﬁeken van u� afhankelijk van u� te maken. Dat gaat nu gemakkelijk omdat je eerst de formules een andere vorm hebt gegeven.

a

2 u�²= u�²− u�²en u�²= u�²− u�² b u� = 5u� of u� = −5u�

a

3 u� = 2u� − 4 b u�u� = 6

c 𝐴 = 2𝜋u�²+²⁰⁰⁰_u�

d u� = 10u�³ a

4 u� = 0,5u� − 2,5 b u� =⁶_u�− 2 c u� = ±¹₂√u�

d u� = ±√25 − u�² a

5 3u�²− 6u�u�

b −7u� − 6 c 30u�²− 100u�

d −5u�⁵+ 15u�⁶ a

6 u�²+ 6u� + 8 b 2u�²+ 4u� − 16 c 19 + 6u� +³_u�

d 25u�²− 40u� + 16 a

7 2u� (u� + 5) b (u� + 1) (u� + 4) c (u� − 1) (u� − 8) d u�(u� + 1)²

e (u� − 1) (u� − 16) f u�³(1 − u�) (1 + u�) a

8 ³₇ b ¹³₂₁ c ²_u�

d ^u�+2u�_u�u�

a 9 ₂₁²

b ⁶₇ c _u�u�² d ^2u�_u�

a 10 ^u�+2u�_u�u�

b _2u�³ c _2u�⁵2

d ^3u�+2_u�2+u�

(7)

a

11 u� + 2u� + 10 = 0 b u� = 2u�²− 2u�

c 2u�ℎ + u�²= 50

d 𝑊 = −2u�²+ 690u� − 13000 a

12 u� = 0,5u� − 5 b u� =_u�+2⁶ c u� = ±√4 − u�

d u� = ± ²

√u�

e u� = 8 −¹₃u�

f u� = 2 − u�

g u� = ±√u�²− 25 h u� =²⁵_u� −¹₂u�

a

13 −2u�³− 12u�² b −u�²− 8u�

c u�²+ 15u� − 100 d 3u�²− 2u�²+ 3u� − 2

e u�²− 9

f 36u�²− 36u� + 9 g u�²− 2 +_u�¹2

h u�³− 6u�²+ 12u� − 8 a

14 u� (u� − 4) b −2u� (u� − 9) c (u� + 6) (u� − 1) d − (u� + 6) (u� − 2)

e 4 (u� − 2) (u� + 2) f 2u� (u� − 4) (u� + 3) g (4 − u�) (4 + u�) h (u� − 9) (u� − 1)

a

15 ^3u�+5u�_u�u�

b _u�^u�+42−2u�

c ^2u�_3u�

d ^4u�_2u�²⁻¹ a

16 𝐴 = 2u�²

b 𝐴 = (u� − 6) (2u� − 10)

c (u� − 6) (2u� − 10) = 2u�²− 2690 geeft u� = 125.

a

17 u� = 1,75u�²− u�

b u� = 0,2 +¹⁰⁰_u�

c u� = ±√0,25u� − 0,5 a

18 2 (u� + 4) (u� − 3) b (u� + 7) (u� − 2) a

19 (u� + 3)²= u�²+ 6u� + 9

b −u�²− 4u� + 12 = − (u� + 6) (u� − 2) c Goede uitwerking.

(8)

d _u�2^8u�+3u�=_u�+3⁸ als u� ≠ 0 a

20 ^u�²_2u�⁺⁴ b ₁₀³ c _2u�2¹⁰+10u�

d ^3u�+2_2u�2

1.3 Formules en de graﬁsche rekenmachine

1 Doen.

a

2 u� = 6 − 2u� en u� = 6 − 0, 5u�² b Doen.

c (0, 6) en (4, −2)

d 6 − 2u� = 6 − 0,5u�²oplossen a

3 u� = 0,5u� − 2,5 b u� =⁶_u�− 2 c u� = ±√¹4u�

d u� = ±√25 − u�² 4 u� = 9 − u� en u� = u�³.

Voer in: Y1=9-X en Y2=X^3

Venster: −5 ≤ u� ≤ 15 en −5 ≤ u� ≤ 15.

Je vindt: u� ≈ 1,9 (tabel met stapgrootte 0,01).

a

5 u� = 200 − 2u�

b 𝐴 = 200u� − 2u�²

c Voer in: Y1=200X-2X^2.

Venster: 0 ≤ u� ≤ 100 en 0 ≤ u� ≤ 5000 d u� = 50

a

6 u� ≈ 5,64 b u� ≈ 4,30 c ℎ ≈ 12,7 a

7 Voer in: Y1=250X-4.9X^2

Venster: −10 ≤ u� ≤ 60 en −1000 ≤ u� ≤ 3500 b Voer in: Y1=0.04+200/X

Venster: 0 ≤ u� ≤ 50 en 0 ≤ u� ≤ 50 c -

d Voer in: Y1=60/(30+0.5X^2)

Venster: −30 ≤ u� ≤ 30 en −1 ≤ u� ≤ 3 a

8 𝑉 = ¹₃𝜋u�²ℎ b u� = √³⁰⁰⁰𝜋ℎ

c ℎ ≈ 9,55 d u� ≈ 9,77

a

9 𝐾 = 200 + 0,04u�

b 𝐼 = 0,10u�

(9)

c 3334 a

10 u� en u� zijn lengte en breedte van het bedrukte deel b u� =_(u�+20)¹⁰⁰⁰⁰ − 25 invoeren in GR.

Voer in: Y1=10000/(X+20)-25

Venster: = 10 ≤ u� ≤ 400 en −10 ≤ u� ≤ 600 c Doen.

d 97,5 bij 102,5 cm a

11 𝑇 ≥ 2

b Voer in: Y1=89/(X-2)

Venster: 0 ≤ u� ≤ 100 en 0 ≤ u� ≤ 20.

c 19,8 graden a

12 u� = 0,5u� − 5

b 0 < u� < 10 en 0 < u� < 20 c 𝐼 == u�(20 − 2u�)²

d Venster: 0 ≤ u� ≤ 15 en −100 ≤ u� ≤ 800 e u� ≈ 3,33

1.4 Vergelijkingen

a

1 Probeer voor jezelf een overzichtje te maken.

b Noem je de lenget en de breedte van de bodem u�, dan is 2u�²+ 48u� = 512.

Dit geeft u� = 8 (het andere antwoord u� = −32 vervalt).

a

2 u� = 1100 /3 b u� = 220 c u� = 700 /0,57 d u� = ⁴⁵₁₃

a

3 u� = 1100 /3 b u� = 20 ∨ u� = −6²₃ c u� = 3

a

4 u� = 0 ∨ u� = 8 b u� = −6 ∨ u� = 1 c u� = 0 ∨ u� = 8 d u� = 2 ∨ u� = 3 e u� = 4 ∨ u� = −3

f u� = 0 ∨ u� = −2 ∨ u� = 2 a

5 u� ≈ 1,379 b u� ≈ 31,174 a

6 u� ≈ 2,26 b u� ≈ 7,30

c u� ≈ 1,13 ∨ u� ≈ 8,87 d u� = 11

a

7 u� = 3 ∨ u� = −2

(10)

b u� = ±√5 c u� = −5 a

8 u� = 37,5 b u� = ±√37,5 c u� = 396 d u� = 2

e u� = ±√396 f u� = 0,03 g u� = −2 ∨ u� = 8 a

9 u� = 4

b u� = 1 ∨ u� ≈ 1,35 a

10 ℎ = 381 − 4,9u�² b u� ≈ 8,8 s

c u� ≈ 86,4 m/s ≈ 311,1 km/h.

a

11 u� = 0 geeft u� = −216²₃ u� = 0 geeft u� = 325 b u� = 0 geeft 𝑊 = 0

𝑊 = 0 geeft u� = 0 ∨ u� = 200 c u� = 0 geeft u� = ±√(96)

u� = 0 geeft u� = 8 ∨ u� = −12 d u� = 0 geeft u� = 19

u� = 0 geeft u� = ±√5700 e u� = 0 geeft u� = ±√18

u� = 0 geeft u� = ±√8 f u� = 0 geeft u� = ±√(5)

u� = 0 geeft u� = ±√3

12 0,5u�²= (u� − 4) (u� − 8) oplossen geeft u� ≈ 20,94m.

De oppervlakte is dan ongeveer 438,5 m². a

13 𝑉 = 200𝜋(1,5 + 0,5u�)²− 450𝜋

b Y1=200π(1,5+0,5a)^2-450π met 0 ≤ u� ≤ 1000 en 0 ≤ u� ≤ 160000000 c Ongeveer 23 onderdompelingen

a

14 u� = 9¹₆ b u� = 1 ∨ u� = 5 c u� = ±√140 d u� = 12 ∨ u� = −10

a

15 u� ≈ 21,9 ∨ u� ≈ 228,1 b u� ≈ ±0,4

16 u� = −¹₃ a

17 Eigen antwoord.

b 800𝜋 c 122 mm.

d 178 mm.

(11)

1.5 Totaalbeeld

a

1 u� = 3634,78 b u� = −15 ∨ u� = −35 c u� ≈ 1,59

d u� ≈ ±2,90 e u� = 10 ∨ u� = −9

f u� = 0,2 ∨ u� = 5 2 u� ≈ 4,138

a

3 Eigen antwoord.

b u� ≈ 11,3 mm

c Nee, de afstelling van snijmachines kan niet veel nauwkeuriger.

a

4 Voer is: Y1=100+40X−5X^2

Venster: −5 ≤ u� ≤ 10 en −5 ≤ u� ≤ 200 b Op 100 m hoogte, na 8 s.

c Na 4 s, 180 m.

d Na 10 s.

e Nee, je weet niet onder welke hoek de pijl is afgeschoten. In de formule wordt ℎ uitgezet tegen de tijd, dus je weet alleen het verloop van de hoogte.

a

5 De waarde van de breuk wordt kleiner als u� groter wordt.

b u� = 42 km/h c 54,2

d Eigen antwoord.

a

6 7,02 m/s ≈ 25,3 km/h b 𝐷 = √²⁰⁰⁰⁰⁰u�³

c Tussen 14,1 m en 158,1 m.

a

7 0,75 m²per persoon b 𝑀 = 0,65 m²per persoon.

c 𝑀 = 7 m²per persoon d 140 mensen per minuut

e 71 voetgangers per minuut

(12)

2 Functies en graﬁeken

2.1 Het begrip functie

a

1 Zorg er voor dat je venster goed is ingesteld. Dit is de formule van een dalparabool met top (10, 100).

b Eerst schrijven als u� = 10 − u� en dan de standaardinstellingen van het venster toepassen.

a

2 Bereken de functiewaarde bij invoerwaarde u� = 6.

b 11,232

c Van 0 tot en met 175,5 kW.

d Ongeveer 17,9 m/s.

a

3 𝑃 (u�) = 0,208u�³ b 208

c 0 ≤ u� ≤ 20 en 0 ≤ u� ≤ 1664.

(13)

WISKUNDE B TWEEDE FASE HAVO > FUNCTIES EN GRAFIEKEN > FUNCTIES EN GRAFIEKEN

d Ongeveer 5,78 m/s is ongeveer 20,8 km/h.

a

4 u� = 2 geeft u� = ±√(96) b u� = ±√100 − u�²

c u�1(u�) = √(100 − u�²) en u�2(u�) = −√(100 − u�²) d De standaardinstelling kan.

e u�₁(5) = √75 en u�2(5) = −√75.

5 u� (u�) = 5 heeft twee oplossingen.

Bij elke waarde van u� hoort precies één waarde van u�.

a

6 u� = 0 V u� = 4 b (0, 0) en (4, 0) c u� = −1 ∨ u� = 5 a

7 𝑇 = 0,44

b Ja, bij elk gewicht hoort precies één tarief (boven 250 g is het geen brief).

c Nee, je weet alleen in welke gewichtscategorie de brief zit.

d 50 ≤ 𝐺 < 100

e Nee, bij elke waarde van 𝑇 horen meerdere waarden van 𝐺.

8 A, C en D.

a

9 Nee, deze vensterinstellingen zijn ongeschikt.

b (√130, 0) en (−√130, 0) met top (0, −130) c Bijvoorbeeld −15 ≤ u� ≤ 15 en −130 ≤ u� ≤ 130.

d Twee snijpunten.

e Voor de algebraïsche aanpak moet je de vergelijking u�²− 130 = 3u� oplossen.

De snijpunten zijn (−10, −30) en (13, 39).

a

10 van u�1: (±3, 0) en (±2, 0) van u�2: (−3, 0) en (2, 0) b Doen.

c (−3, 0), (−1,79; 4,58), (2, 0) en (2,79; −4,58) a

11 u� (3) = 23

b u� (u�) = 8 geeft u� = 0 V u� = ±2 c Eigen antwoord.

d Ja.

e Nee, bijvoorbeeld bij b heb je een tegenvoorbeeld.

a

12 Bij elke waarde van u� hoort precies één waarde van 𝐾.

b 𝐾 (100) = 67 c 𝐾 (u�) = 42 + 0, 25u�

d 1832 m³ a

13 (±10, 0) en top (0, 100) b Doen.

c (−7,07; 50) en (7,07; 50) a

14 van u�1: (0, 0) en (±2, 0) van u�2: (0, 0) en (4, 0) b Doen.

c (0, 0) en (2,3; 3,9)

(14)

a

15 (0, 0) en (100, 0) b (0, 0) en (50, 0)

c (−30, 0) en (50, 0) met top (10, −1600) d (−125, 0)

a

16 𝑉 = 2𝜋u�³ b Doen.

c u� ≈ 5,42 a

17 A en B.

b B en C.

a

18 u� (5) = 250 en u� (−5) = −2250 b u� = 0 V u� = 10

c (0, 0), (8, 64) en (12, 96)

2.2 Domein en bereik

a

1 Zoek op internet: een windmolen gaat draaien vanaf windkracht 2 tot 3 (zo’n 3 m/s) en wordt stilgezet boven windkracht 10 tot 12 (zo’n 30 m/s).

In een graﬁek laat je u� waarden van 0 tot 30 m/s aannemen.

b 𝑃(0) = 0 en 𝑃(30) = 14040 kW/uur.

a

2 De wortel uit een negatief getal levert geen reëel getal op. Je neemt dus voor u� alleen de waarden 0 en alle getallen boven 0.

b Doen, neem voor u� bijvoorbeeld de getallen 0, 0, 1, 4, 9 en 16 om gehele getallen als uitkomst te krijgen.

c Ook de uitkomsten zijn alleen de waarden 0 en alle getallen boven 0.

a

3 Zeker weet je dat niet, wellicht moeten grotere molens eerder worden stilgezet, maar het zou goed kunnen dat er geen verschil is. Dan is D_𝑃= [0, 30].

b D_𝑃= [0, 30] en B_𝑃= [0; 18281,25].

(Je gebruikt een puntkomma als scheidingsteken omdat je anders in de war raakt met de decimale komma.)

a

4 Uit alle getallen vanaf 0 en groter. Dit komt omdat de wortel uit een negatief getal geen reële waarde heeft.

b De pijl betekent dat de toegestane getallen oneindig groot kunnen worden. Het rechterhaakje krijgt een andere vorm omdat er aan de rechterkant geen eindwaarde is te vinden die nog bij het interval hoort, je kunt steeds maar doorgaan.

c Bijvoorbeeld f(0) = 3, f(1) = 4, f(4) = 5, enzovoorts.

Alleen functiewaarden vanaf 3 en hoger komen voor.

d B_f= [3, →⟩

a

5 Controleer dat ℎ(14) = 0.

b Dℎ= [0, 14]

c Uit de gegeven formule lees je de top van de parabool af: 𝑇(6, 4).

d Bℎ= [0, 4]

6 Zie ﬁguur.

(15)

7 Van boven naar beneden: ⟨−2, →⟩, ⟨←, 2], [−2, 4⟩, ⟨←; 5,5] en ⟨←, 0⟩ ∪ ⟨3,5; →⟩.

8 Bij graﬁek I: D = ℝ en B = [−1, 7].

Bij graﬁek II: D = [−1, →⟩ en B = ⟨←, 4].

Bij graﬁek III: D = [−1, 5] en B = [3, 6]

a

9 u� ≥ 0 en Du�= [0, → 〉 . b (1, 0) en (0, 1).

c B_u�= 〈 ←, 1]

10 Doen.

a

11 u� (−1) = −3,5 en u� (3) = 5

b min.u� (−2) = −8, max.u� (0) = 0 en min.u� (2) = −8 c [−8, 0]

d Bijvoorbeeld [−3, −√8] en [√8, 3]

a

12 venster: [0, 40] × [−500, 500]

b (10, 400) c [−500, 400]

13 > D_u�= ℝ en B_u�= [−4, → 〉

> Du�= ℝ en Bu�= ℝ

> D_ℎ= ℝ en B_ℎ= [−8, → 〉

> D_u�= [−7, → 〉 en B_u�= [−6, → 〉 a

14 10 m.

b Dℎ= [−5, 5]

c Bℎ= [0, 5]

d 2√21 ≈ 9,17 m a

15 D_u�= ℝ en B_u�= [−6,25; → 〉 b D_u�= ℝ en D_u�= [−1,62; → 〉 c D_ℎ= ℝ en B_ℎ= ℝ

d D_u�= [0, → 〉 en B_u�= [1, → 〉 a

16 u� = 0 ∨ u� = ±¹₂√2

b D_u�= [−2, 2] × B_u�= [−2, 1]

c D_u�= 〈 ←; −0,125] en B_u�= 〈 ←, 0]

d (−1, 1), (0, 0) en (1, 1) a

17 80 m na 4 s.

b D_ℎ= [0, 6] en B_ℎ= [0, 80]

c 60 m d 6,92 s

(16)

e ℎ is tegen de tijd u� uitgezet a

18 𝑅 = u� (400 − 0,5u�) b u� in [0, 800]

c 𝑅 in [0, 80000]

19 [−1740, 60]

a

20 D_u�= ℝ en B_u�= 〈 ←, 4]

b Du�= ℝ en Bu�= {4}

c D_ℎ= 〈 ←, 4] en B_ℎ= [4, → 〉 a

21 u� (3) = u� (−3) = 9 b (±√8, 0

c (−2, −16), (0, 0) en (2, −16) d [−16, → 〉

a

22 Doen.

b D_ℎ= [−20, 20]

c B_ℎ= [5, 77]

d 30 m.

2.3 Karakteristieken

a

1 𝑃 = 0,06 +²⁵⁰_u� . b €0,06

c Nou ja, theoretisch worden ze dan oneindig groot, maar u� = 0 betekent hier dat je alleen de volledige kosten van de machine betalen moet als school.

a

2 9,5 cent per kopie.

b 7,5 cent per kopie.

c 𝐾 = 0,075 d 200,075 euro.

a

3 Doen.

b u� = 0; bij X=0 staat ERROR o.i.d.

c Functiewaarden in de buurt van 2.

d Functiewaarden in de buurt van 2 (heel klein betekent hier: heel ver negatief).

e u� = 2

f Du�= 〈 ←, 0〉 ∪ 〈0, → 〉 en Du�= 〈 ←, 2〉 ∪ 〈2, → 〉 a

4 u� = −2

b Functiewaarden in de buurt van 0.

c Functiewaarden in de buurt van 0 (heel klein betekent hier: heel ver negatief).

d u� = 0

e D_u�= 〈 ←, −2〉 ∪ 〈 − 2, → 〉 en B_u�= 〈 ←, 0〉 ∪ 〈0, → 〉.

a

5 Je krijgt dan de graﬁek niet goed in beeld, hij lijkt niet op een bergparabool.

b Om te bepalen welke instelling voor u� geschikt is.

c Doen, pas eventueel de stapgrootte aan.

d [0, 200] × [0, 50]

(17)

a

6 (0, 0), (10, 0) en (20, 0)

b Geen breuk met u� in de noemer.

c B.v. [−10, 30] × [−750000, 250000]

d min.u� (3,6) ≈ −619684, max.u� (13,9) ≈ 201716 en min.u� (20) = 0 e Bu�= [−619684, → 〉

a

7 1 + u�²> 0 b (0, 0) c u� = 0

d D_u�= ℝ en B_u�= [−2, 2].

a

8 v.a.: u� = 0 en h.a.: u� = 4 Du�= 〈 ←, 0〉 ∪ 〈0, → 〉 B_u�= 〈 ←, 4〉 ∪ 〈4, → 〉 b v.a.: u� = 0 en h.a.: u� = −1

D_u�= 〈 ←, 0〉 ∪ 〈0, → 〉 B_u�= 〈 ←, −1〉 ∪ 〈 − 1, → 〉

c v.a.: u� = −2 en u� = 2 en h.a.: u� = 0 D_ℎ= 〈 ←, −2〉 ∪ 〈 − 2, 2〉 ∪ 〈2, → 〉 B_ℎ= ℝ

d v.a.: geen en h.a.: u� = 1 D_u�= ℝ

B_u�= 〈 ←, 1〉 ∪ 〈1, → 〉 a

9 het bereik is [0,011; 22]

b Hoog, golﬂengte 0,00275 m

c Bassen, golﬂengte langer dan 16,5 m d 𝑊 nadert tot 0 m.

a

10 (0, 0)

b v.a.: u� = 20 en h.a.: u� = 10 c −200 ≤ u� ≤ 200 en 0 ≤ u� ≤ 50 d [0, → 〉

a

11 12,83

b 𝐺𝑇𝐾 = 𝑇^𝐾_u�

𝐺𝑇𝐾 = ¹⁰⁰_u� + 0, 1u�

c v.a.: u� = 0

d Het bereik is [6, 32; → 〉 a

12 u� (100) ≈ 2,0606 en u� (−100) ≈ 1,9406 b (−2, 0)

c Doen.

d u� = 1 en u� = 2

e D_u�= 〈 ←, 1〉 ∪ 〈1, → 〉 en B_u�= 〈 ←, 2〉 ∪ 〈2, → 〉 a

13 (0, 0) b u� = 0

c B.v. [−10, 10] × [−0,1; 0,2]

d [0; 0, 16]

a

14 10,9 °C.

(18)

b 〈2, → 〉 c v.a.: 𝑇 = 2

h.a.: 𝐾 = 0 d 〈0, → 〉

2.4 Transformaties

a

1 De graﬁek van u� wordt 4 eenheden naar rechts verschoven.

b De graﬁek van u� wordt 3 eenheden naar boven verschoven.

c De graﬁek van u� wordt met 1,5 vermenigvuldigd en de verticale richting.

d De graﬁek van u� wordt met¹₃vermenigvuldigd in de horizontale richting. (In dit geval kun je ook zeggen dat hij in de verticale richting wordt vermenigvuldigd, maar dan met 9. Snap je waarom?)

e De graﬁek van u� wordt 4 eenheden naar rechts verschoven, dan met 1,5 vermenigvuldigd in de verticale richting en tenslotte 3 omhoog geschoven.

a

2 −2 in de u�-richting verschuiven.

b 2 in de u�–richting verschuiven.

c u�1(u�) = (u� + 2)³− 4 (u� + 2) d u�2(u�) = u�³− 4u� + 2

e Eigen antwoorden.

a

3 Met 0,5 in de u�-richting vermenigvuldigen.

b met 2 in de u�–richting vermenigvuldigen c u�1(u�) = (2u�)³− 4 (2u�) = 8u�³− 8u�

d u�2(u�) = 2 (u�³− 4u�) = 2u�³− 8u�

e - a

4 Vermenigvuldigen in de u�-richting met 2 en dan 3 verschuiven in de u�-richting.

b 4 verschuiven in de u�-richting en dan 2 verschuiven in de u�-richting.

c Vermenigvuldigen in de u�-richting met −1 en dan 2 verschuiven in de u�-richting.

d Vermenigvuldigen met ¹₃ in de u�-richting en dan 2 verschuiven in de u�-richting.

e Eerst 1 verschuiven in de u�-richting, dan met ¹₃ vermenigvuldigen in de u�-richting, dan met 2 vermenigvuldigen in de u�-richting en dan 4 in de u�-richting verschuiven.

a

5 u� (u�) = −2 ⋅ u� (u�) + 1 b u� (u�) = u� (0,5u�) − 3 c u� (u�) = u� (u� − 4) − 2 d u� (u�) = u� (2u� − 4) − 3

e u� (u�) = u� (2 (u� − 4)) − 2 a

6 Doen.

b u�2: graﬁek u�1 verschuiven in u�-richting met 2;

u�3: graﬁek u�1 verschuiven in u�-richting met −2;

u�4: graﬁek u�1 verm. in u�-richting met 2;

u�5: graﬁek u�1 verm. in u�-richting met¹₂.

c Eerst 3 verschuiven in de u�-richting, dan met¹₂vermenigvuldigen in de u�-richting en dan 4 verschuiven in de u�-richting.

d Vermenigvuldigen met −1 in de u�-richting of spiegelen t.o.v. de u�-as.

(19)

e u� = u�(u� (u� − u�))²+ u�

f Eerst 12 in de u�-richting verschuiven, dan met −2 vermenigvuldigen in de u�-richting en dan 315 verschuiven in de u�-richting. De top wordt dus (12, 315).

a

7 u� = u�⁴

b eerst 5 in de u�-richting verschuiven, dan met 0,25 vermenigvuldigen in de u�-richting, dan −10 verschuiven in de u�-richting

c de top van u� = u�⁴is (0, 0) en de top van u� is na de transformaties (5, −10): min.u� (5) = −10 8 De functievoorschriften zijn:

> a: u� = u�²− 3

> b: u� = (u� − 3)²

> c: u� = 0, 5u�²

> d: u� = −u�²

> e: u� = (u� − 2)²− 4

> f: u� = −0,5(u� + 3)²+ 5

9 Doen.

10 [−10, 10]×[−10, 10] is standaard, 20 in de u�-richting verschuiven en 200 in de u�-richting verschuiven.

a

11 In de u�-richting met¹₂ vermenigvuldigen.

b 4 naar rechts en 2 naar boven schuiven.

c In de u�-richting met −1 vermenigvuldigen en 2 in de u�-richting verschuiven.

d In de u�-richting met ¹₃ vermenigvuldigen en 2 in de u�-richting verschuiven.

12

> u� = u�³+ 4

> u� = (u� − 4)³

> u� = −0,25u�³

> u� = (u� − 2)³− 4 a

13 Eigen docent laten controleren.

b Eigen docent laten controleren.

c Eigen docent laten controleren.

d Eigen docent laten controleren.

a

14 u� = −u�²10 in de u�-richting schuiven en 4 in de u�-richting schuiven

Neem 0 ≤ u� ≤ 25. Er wordt ook met 0,02 verm, dus 0 ≤ u� ≤ 5 is voldoende.

b 24,14 m.

c Na 20 m.

a

15 3 in de u�-richting verschuiven.

b Met ¹₂ in de u�-richting vermenigvuldigen en dan 1 in de u�-richting verschuiven.

c Met ¹₃ in de u�-richting vermenigvuldigen.

a

16 u� = √u�

b Met 10 in de u�-richting vermenigvuldigen en dan 50 in de u�-richting schuiven.

c B.v. [0, 10] × [50, 100].

17 u� (u�) = −0,5(u� − 5)³+ 10

(20)

2.5 Ongelijkheden

a

1 𝑃 = 0,06 +²⁵⁰_u� .

b Als 0,06 +²⁵⁰_u� < 0,10. Los eerst op 0,06 +²⁵⁰_u� = 0,10.

Je vindt dat de school verdient als het aantal kopieën groter is dan 625 per maand.

a

2 Doen.

b 0,052u�³= 20 geeft u�3 ≈ 384,6154 en dus u� ≈ 7,27 m/s c Dit gaat sneller.

a

3 B.v. [−30, 30] × [−30, 30]. Er zijn drie snijpunten.

b −22,36 ≤ u� < 0 ∨ u� > 22,36 c −√500 ≤ u� < 0 ∨ u� > √500 a

4 u� = −10 ∨ u� = 6 b u� < −10 ∨ u� > 6 a

5 𝐵 = 0,125u�

b 𝐺 = 1250 + 0,08u�

c 1250 + 0,08u� ≤ 0,125u�

d u� ≥ 27.778 a

6 Omdat u�³= 4u� is op te lossen door ontbinden in factoren.

b u� ≤ −2 ∨ 0 ≤ u� ≤ 2 c u� < 0 ∨ 0 < u� < 1 a

7 −1 < u� < 0 ∨ u� > 1 b u� ≤ −10 ∨ 0 ≤ u� ≤ 8 c u� < 0 ∨ 0 < u� ≤ 2 d u� < 1 ∨ u� > 3

a

8 11,5 ct/km b 3665 euro

c 1825 + 0,115u� < 4000 geeft u� ≤ 18913

d 𝐾 (u�) = 2050 + 0,10u� als u� < 15000𝐾 (u�) = 1825 + 0,115u� als u� ≥ 15000 a

9 u�A(u�) = 110u� + 24 en u�B(u�) = 120u�

b na 144 minuten c Na 2 uur en na 2,8 uur.

a

10 −3 ≤ u� ≤ −2 ∨ 2 ≤ u� ≤ 3 b −√13 < u� < 0 ∨ 0 < u� < √13 a

11 u� < −3 ∨ u� > 2 b u� ≤ −2 ∨ 0 < u� ≤ 2 c 1 < u� < 5

a

12 144 − 24u� > 18u�

b u� < 3,429

c 3 uur en 25 minuten a

13 (−0,82; 3,32) en (1,82; 0,68)

b −0,82 < u� ≤ 1,82 (Denk om de juiste ongelijktekens!)

(21)

2.6 Totaalbeeld

a

1 (0, 0) en (−20, 0) b (−10, 5000) en (0, 0) c u� ≤ −10

a

2 (−20, 0), (0, 0), (20, 0); D_u�= ℝ en B_u�= [−40000, → 〉 b (−1580, 0); Du�= 〈 ←, 20] en Bu�= [−40, → 〉

a

3 u� = 0 en u� = 4

b D_u�= 〈 ←, 0〉 ∪ 〈0, → 〉 en B_u�= 〈 ←, 4〉

c u� ≤ −0,71 ∨ u� ≥ 0,71 4 > u� = √u� + 5

> u� = 2√u� + 3 − 6

> u� = 8 − 4√u� + 4

> u� = 2 − √4 − u�

a

5 Eerst 10 verschuiven in de u�-richting, dan vermenigvuldigen met 0,25 in de u�-richting, dan −16 verschuiven in de u�-richting.

b (6, 0) en (14, 0), top (10, −16).

c 10 −√104 < u� < 10 +⁴ √104⁴ a

6 u� = (u� − 2)³ b u� = −1 ∨ u� = 3

c 2

7 Experimenteer maar eens met allerlei soorten smiley’s. Maak bijvoorbeeld een treurige variant, of een knipogende.

a

8 𝑍 (0) = 200

b Gebruik je GR en bereken daarmee het minimum en de bijbehorende u� = 10.

c GR: 22,4 minuten.

a

9 𝐼 = u� (12 − 2u�) (20 − 2u�) b D𝐼= [0, 6] en B𝐼= [0; 262, 68].

c 2,43 cm.

a

10 𝑇 (0,5; 0) en 𝑆 (0, 1)

b D_u�= 〈 ←; 0,5] en B_u�= [0, → 〉 .

c Neem 𝐴(u� < m : mn >< m : mo > , < m : mo > 0 < m : mn >) (met u� > 0). Dan is 𝐵(u�, √1 − 2u�).

Omdat 𝑂𝐴 = 𝐴𝐵 geldt: √1 − 2u� = u�. Dit levert twee waarden voor u� op, waarvan alleen de positieve waarde voldoet.

Je vindt: 𝐵 (−1 + √2, −1 + √2) .

d Het gaat om het maximum van 𝐻 (u�) = 0,5 ⋅ u� ⋅ √1 − 2u�. Dit zit niet bij u� = −1 + √(2). Met je graﬁsche rekenmachine kun je dit maximum en de bijbehorende u�-waarde benaderen.

a

11 [0, 17]

b Je vindt: 136u�² = 8(u�⁴+ 16) en dus u�⁴− 17u�²+ 16 = (u�²− 16)(u�²− 1) = 0. Dit geeft: −4 ≤ u� ≤

−1 ∨ 1 ≤ u� ≤ 4 c u� = −7 ∨ u� = 10

(22)

3 Lineaire verbanden

3.1 Lineaire functies

a

1 Doen, zoek de juiste vensterinstellingen.

b Ja, dat zou kunnen als men heel veel verbruikt.

a

2 𝐾 = 1,20u� + 70 b 1,20 euro.

c 70 euro.

d 304 euro.

e u� van 0 t/m 300 en u� van 0 t/m 500 f u� = 150

a

3 Het hellingsgetal is negatief, namelijk −0,2.

(23)

WISKUNDE B TWEEDE FASE HAVO > FUNCTIES EN GRAFIEKEN > LINEAIRE VERBANDEN

b Snijpunten met de assen zijn (0, 6) en (30, 0).

c −0,2u� + 6 = 0, dus 0,2u� = 6 en u� = 30.

d u� (u�) = 0,3u� + 6 a

4 Je krijgt u� = 2u� + 3. De graﬁek gaat niet door (99, 200) want 2 ⋅ 99 + 3 =!200.

b u� = 2u� + u�, evenwijdige lijnen. 2 ⋅ 99 + u� = 200, oftewel 198 + u� = 200, dus u� = 2.

c u� = u�u� + 3, lijnen door (0, 3). 99u� + 3 = 200, oftewel 99u� = 197, dus u� =¹⁹⁷₉₉. a

5 𝑅 = 1,20u� + 3,50 b 1,20

c 𝑅 = 0 levert een negatieve waarde voor u� en dat past niet bij deze situatie.

d €22,70

e 1,20u� + 3,50 = 31,10 geeft u� = 23 a

6 Elke 1 m stijging betekent een temperatuursdaling van 0,6 /100 °C en op 0 m hoogte is het 24°C.

b 𝑇 = 0 geeft 24 − 0,006ℎ = 0 dus 0,006ℎ = 24 en ℎ = 4000. Nulpunt is (4000, 0).

c Vensterinstellingen: [0, 5000] × [−10, 25].

d ℎ = 8884 geeft 𝑇 = −29,304. Dus ongeveer −29,3°C.

a

7 Doen.

b Fietser 1: u�1= 20u�

Fietser 2: u�2= −25u� + 150

c 20u� = −25u� + 150 geeft 45u� = 150 en dus u� = 3¹₃. Ze passeren elkaar na 3 uur en 20 minuten.

a

8 3u� − 5 = 0 dus 3u� = 5. Hieruit volgt: u� =⁵₃. De snijpunten met de assen zijn: (⁵₃, 0) en (0, −5).

b u� − 4 = 0 dus u� = 4. De snijpunten met de assen zijn: (4, 0) en (0, −4).

c −0,5u� + 4 = 0 dus 0, 5u� = 4 en u� = 8. De snijpunten met de assen zijn: (8, 0) en (0, 4).

d −2 (u� + 3) = 0 dus u� + 3 = 0 en u� = −3. De snijpunten met de assen zijn: (−3, 0) en (0, −6).

a

9 Beginpunt = (0, −4), het hellingsgetalis 5.

b u�2= 6 + 5u�

c u�3= −4 − 5u�

a

10 Lineaire vergelijking u� = u�u�+u� door (1, 5) geeft 5 = u�+u�, dus u� = 5−u�. Substitutie geeft u� = u�u�+5−u�.

b Als lijn door 𝐴 gaat, dan u� = −4 en als lijn door 𝐶 gaat, dan u� = −²₃. Dus geen snijpunt met het vierkant als u� < −4 ∨ u� > −²₃.

a

11 u�: 4 − 0,5u� = 0 dus 0,5u� = 4 en u� = 8. De snijpunten met de assen zijn: (8, 0) en (0, 4). u�: 2u� − 1 = 0 dus 2u� = 1 en u� =¹₂. De snijpunten met de assen zijn: (¹₂, 0) en (0, −1).

b 4 − 0,5u� = 2u� − 1 geeft −2,5u� = −5 en dus u� = 2. Snijpunt (2, 3).

a

12 26 km in 45 minuten is 34²₃ km/h.

b Voor het laatste deel van de tocht geldt dat als u� = 7, dan u� = 174 en als u� = 7³₄, dan is u� = 200.

Dus u� (u�) = 34²₃u� + u�. Met u� = 7 geeft dat 174 = 242²₃+ u�, dus u� = −68²₃. Het functievoorschrift is u� (u�) = 34²₃u� − 68²₃.

c Als u� = 9, dan u� = 174 en als u� = 10, dan u� = 200. Dus u� (u�) = 26u� + u� en 200 = 260 + u�, dus u� = −60.

Het functievoorschrift is u� (u�) = 26u� − 60.

a

13 Renner 3, want die heeft de steilste graﬁek en heeft dus het snelst gereden.

b De snelheid van de renners zal niet constant zijn over 15 km.

c Renner 1: ⁶⁵₇₅≈ 0, 8667 km/min = 52 km/h Renner 2: ⁶⁵₇₀≈ 0,9286 km/min = 55,7 km/h

(24)

Renner 3: ⁶⁵₆₅= 1 km/min = 60 km/h d Renner 1: u�1= 52u�

Renner 2: u�2= 55,7u�

Renner 3: u�3= 60u�

a

14 Als u� = 0, dan 7u� + 10 = 0 en u� = −¹⁰₇ . Dus het snijpunt met de u�-as is (−¹⁰₇, 0).

Als u� = 0, dan u� = 10. Dus het snijpunt met de u�-as is (0, 10).

b u� = 7u� + 7

c u� = 0, 5u� + 10. De lijn gaat door (0, 10) en (10, 15).

d Lijn gaat dan door (10, 0) en (0, 12). Dus u� = −1, 2u� + 12.

3.2 Lineaire verbanden

a

1 2u� + 2u� = 30

b Je kunt de formule herleiden tot u� = −u� + 15. En dan heeft hij de vorm van een lineaire functie.

a

2 De snijpunten met de assen zijn (0, −3) en (4, 0).

b 4u� = 3u� − 12, dus u� =³₄u� − 3. Het beginpunt is (0, −3) en het hellingsgetal is ³₄. c u� = 0 geeft ³₄u� − 3 = 0 en dus u� = 4. Dus het nulpunt is (4, 0).

a

3 Doen.

b Ja,u� = 300 levert op u� = 80 en dat zijn beide gehele getallen. Dus deze combinatie is mogelijk.

a

4 De snijpunten met de assen zijn snel te berekenen en het nulpunt heeft gehele coördinaten.

b Doen, kies een geschikt venster.

c 111 a

5 Snijpunten met assen: (0, 5) en (4, 0).

b Snijpunten met assen: (0, −5) en (4, 0).

c u� = −2u� + 10 d u� = 0,5u� − 5

a

6 u� = ... waarin op de stippeltjes een getal staat.

b Een functievoorschrift heeft de vorm u� = ... en hier zit helemaal geen u� in de vergelijking.

a

7 u�u� = −u�u� + u�, dus u� = −^u�_u�u� +^u�_u�. b Je moet delen door u�.

c u� =^u�_u�, een horizontale lijn.

d u� = ^u�_u�, een verticale lijn.

e u� = −^u�_u�u�, is een de vergelijking van een lijn door 𝑂 (0, 0).

a

8 u� =²₃u� − 4, richtingscoëﬃciënt = ²₃. b u� = 7,5, geen functie.

c u� = −¹₂u� + 3, richtingscoëﬃciënt = −¹₂. d u� = 1,5, richtingscoëﬃciënt = 0

a

9 3u� = 2u� + 6 dus u� =²₃u� + 2, richtingscoëfficiënt =²₃ b 2u� = 6u� − 24 dus u� = 3u� − 12, richtingscoëfficiënt = 3 c u� = 2u� + 1, richtingscoëfficiënt = 2

d u� = −4u� + 10, richtingscoëﬃciënt = −4 e u� = 2,25, geen richtingscoëﬃciënt

(25)

f u� = −2, richtingscoëﬃciënt = 0 a

10 u�: (−1¹₂, 0) en (0,³₄) u�: (⁸₅, 0) en (0, 2)

b Voer in: Y1=1/2X+3/4 en Y2=-5/4X+2. Venster: −4 ≤ u� ≤ 4 en −4 ≤ u� ≤ 4.

c Met de GR vindt je het snijpunt (0,71; 1,11).

a

11 u� + u� = 90 en 0, 90u� + 1,05u� = 90

b Voer in: Y1=-X+90 en Y2=-7/6X+100. Venster: 0 ≤ u� ≤ 100 en 0 ≤ u� ≤ 100.

c Snijpunt is (30, 60), dus 30 pakken appelsap en 60 pakken sinaasappelsap.

12 De ezel draagt u� zakken en het muildier draagt u� zakken.

Als de ezel een zak aan het muildier geeft, dan heeft de ezel er u� − 1 en het muildier u� + 1 en er geldt 2 (u� − 1) = u� + 1. Daaruit volgt dat u� = 2u� − 3.

Als het muildier een zak aan de ezel geeft, dan heeft de ezel er u� + 1 en het muildier u� − 1 en er geldt u� + 1 = u� − 1 en dus u� = u� + 2.

Dus 2u� − 3 = u� + 2, oftewel u� = 5 en u� = 7.

De ezel draagt 5 zakken en het muildier 7.

a

13 u� = −2,5u� + 5, richtingscoëfficiënt = −2,5 b u� =²₅u� +⁷₅, richtingscoëfficiënt =²₅ c Geen richtingscoëfficiënt.

d u� = 2, richtingscoëﬃciënt = 0 a

14 Het aantal pakjes van €9 is u� en het aantal pakjes van €1 is u�. Er geldt: u� + u� = 1000 en 9u� + u� = 3000.

b Venster 0 ≤ u� ≤ 1100 en 0 ≤ u� ≤ 3000.

c u� = 250 en u� = 750

d Er komen gehele getallen uit.

3.3 Stelsels vergelijkingen

1 Probeer dit op te lossen. Als je er niet uitkomt: geen ramp, de rest van dit onderdeel gaat hier over.

a

2 u�₁= 300 − u� en u�₂= (1110 − 2,5u�) /4,5 .

(Natuurlijk mag je die tweede vergelijking ook wel verder herleiden, maar voor de GR is dat niet nodig.) b Doen, zie eventueel ?Voorbeeld?. Je vindt (120, 180).

c Er zaten 120 kinderen in de zaal.

a

3 u� = −2u� + 6

b u� − 3 (−2u� + 6) = −4

c u� + 6u� − 18 = −4, dus 7u� = 14 en u� = 2

d u� = −2 ⋅ 2 + 6 = −4 + 6 = 2, oplossing u� = 2 en u� = 2

e Uit de tweede vergelijking volgt u� = 3u� − 4. Invullen in de eerste vergelijking geeft 2 (3u� − 4) + u� = 6.

Enzovoorts.

a

4 Doen.

b Doen.

c Doen.

(26)

d {2u� + u� = 6 (×3)

u� − 3u� = −4(×1) geeft: {6u� + 3u� = 18 u� − 3u� = −4.

Beide linkerzijden en beide rechterzijden optellen geeft: 7u� = 14 en dus u� = 2.

u� = 2 invullen in één van beide vergelijkingen geeft u� = 2.

5 Eerst beide vergelijkingen schrijven als u� = ...

Voer in:Y1=-2X+6 en Y2=1/3X+4/3.

Venster: 0 ≤ u� ≤ 5 en 0 ≤ u� ≤ 5 en dan snijpunt bepalen.

a

6 Omdat de vergelijkingen u� ⋅ u� = 120 een product van u� en u� bevat.

b Eerst de vergelijkingen herschrijven: u� =¹²⁰_u� en u� = 23 − u�.

GR: Y1=120/X en Y2=23-X met vensterinstellingen 0 ≤ u� ≤ 25 en 0 ≤ u� ≤ 25.

a

7 Dat lukt niet.

b Dat hangt af van de manier waarop je dit aanpakt. Je komt waarschijnlijk op een uitdrukking zonder u� en u� die niet waar kan zijn.

c Het zijn vergelijkingen van twee evenwijdige lijnen.

a

8 u� = 3³₅ en u� = 2²₅ b u� = 2¹⁴₁₇en u� = ₁₇² c u� = −³₂ en u� =⁵₂

d u� = 10, 5 en u� = 8 of u� = 4 en u� = 21 e u� = −3 en u� = 9 of u� = 2 en u� = 4

f u� = √5 en u� = 2√5 of u� = −√5 en u� = −2√5 9 u� ⋅ u� = 200 en 2u� + 2u� = 90, oftewel u� = 45 − u�.

Substitutie geeft u� (45 − u�) = 200 en dit levert op u� = 5 ∨ u� = 40.

Het wordt een rechthoek van 5 bij 40.

10 Aantal kg kaas = u� en aantal kg boter = u�.

Dan 9,9u� + 22,5u� = 1000 en 2u� = u�, dus 9,8u� + 22,5 ⋅ 2u� = 1000. Dit geeft u� = 18,25 en u� = 36,5.

11 Noem de prijs van een thuja u� en de prijs van een jeneverbes u�.

Dan 20u� + 12u� = 267 en 2u� + 18 = 5u�, oftewel 2u� = 5u� − 18.

Substitutie: 20u� + 6 (5u� − 18) = 267 en dit geeft u� = 7,5 en u� = 9,75.

a

12 u� = 45 en u� = 65 b u� = ⁴⁰₁₃en u� = ¹⁵₁₃ c u� = ¹⁸₅ en u� = −¹₅

d u� = 397,99 en u� = 1,005 of u� = 2,01 en u� = 198,99 13 12,50u� + 15u� = 1080 en u� + u� = 82, oftewel u� = 82 − u�.

Substitutie geeft: 12,50 (82 − u�) + 15u� = 1080 en dus u� = 22 en u� = 60.

Er zaten dus 22 mensen op het balkon en 60 in de zaal.

(27)

3.4 Lineaire modellen

a

1 Doen, zie de ?Uitleg?.

b Probeer met een formule te werken, zie de ?Uitleg?.

a

2 Maak een graﬁek met de meetpunten bij u� = 0, 10, 20, 30, 40, 50.

b Maak een tabel met je GR bij Y1=0.15X+2.3

c 2010: 𝑁 (60) = 11,3 dus ongeveer 1,13 miljoen inwoners 2020: 𝑁 (70) = 12,8 dus ongeveer 1,28 miljoen inwoners a

3 Lijn door (1, 5; 25) en (4, 20) geeft hellingsgetal u� = −_2,5⁵ = −2. Dit is de snelheid waarmee de kaars opbrandt in cm/uur.

b Op 1,5 uur 3 cm opgebrand, dus op 0 uur 𝐿 = 28. Daarom 𝐿 = −2u� + 28.

c Volledig opgebrand betekent dat 𝐿 = 0 en dus dat −2u� + 28 = 0. Daaruit volgt dat 2u� = 28 en u� = 14, dus na 14 uur.

4 u� =₂₀⁸ =²₅, dus op 3 eenheden ⁶₅ omhoog, dus u� = 2 +⁶₅ = 3¹₅. Dus u� = ²₅u� + 3¹₅. a

5 𝐺 = 0,56𝐿 − 39,2 b 50,4 kg

6 (−3, 2) en (17, 10) invullen in u� = u�u� + u�:

{−3u� + u� = 2 17u� + u� = 10

Beide vergelijkingen van elkaar aftrekken geeft: −20u� = −8 en dus u� =²₅. u� = 2 + 3u� = 2 +⁶₅ = 3¹₅, dus u� = ²₅u� + 3¹.

a

7 u� : u� = 2u� − 3 en u� : u� = −¹₃u� + 2¹₃.

b 2u� − 3 = −¹₃u� + 2¹₃ oplossen geeft: u� = ¹⁶₇. Het snijpunt is (¹⁶₇ ,¹¹₇).

a

8 u� = 1 b u� = 2

9 u� (u�) = ¹₃u� + 3¹₃; u� (u�) = ²₃u� + 1; ℎ (u�) = −2u� + 4; u� (u�) = −5u� − 2 a

10 u� = −3u� + 158 b u� = 100 c u� = 0, 5u� + 5 d u� = 0

e u� = 0

11 Lijn 𝑃𝑄 heeft vergelijking u� = ⁴₃u� −²⁸₃ en lijn 𝑅𝑆 heeft vergelijking u� = −¹₂u� +⁹⁹₂ .

Het snijpunt vind je door ⁴₃u� −²⁸₃ = −¹₂u� +⁹⁹₂ op te lossen. Dit geeft u� = ³⁵³₁₁ = 32₁₁¹ en het snijpunt is (³⁵³₁₁,³⁶⁸₁₁).

a

12 𝑉 (𝑇) =^𝑉(0)₂₇₃ ⋅ (𝑇 + 273) = 𝑉 (0) ⋅₂₇₃¹ ⋅ (𝑇 + 273) = 𝑉 (0) ⋅ (₂₇₃^𝑇 + 1) = 𝑉 (0) ⋅ (1 +₂₇₃¹ 𝑇) b 𝑉 (0) is een constante, dus de formule is te schrijven als 𝑉 (𝑇) = u� ⋅ 𝑇 + u�.

De druk moet wel constant blijven. Het domein is 𝐷 = [−273, → 〉 c Voer in: Y1=1+1/273X. Venster: −300 ≤ u� ≤ 300 en −1 ≤ u� ≤ 3.

d 𝑉 (20) = 1 +₂₇₃²⁰ = 1,073 m³

e 1,5 = 1 +₂₇₃¹ 𝑇 geeft 𝑇 = 136,5. Dus bij 136,5°C.

a

13 u� (0) is de op u� = 0 afgelegde weg en u� is de snelheid in m/s.

(28)

b u� (u�) = 20u�. Voer in: Y1=20X. Venster: 0 ≤ u� ≤ 50 en 0 ≤ u� ≤ 1000.

c u� (u�) = 400 + 15u�, dus neem Y2=400+15X.

d 20u� = 400 + 15u� geeft u� = 80 a

14 Snelheid bij u� = 0 (beginsnelheid).

b u� (u�) = 40 + 10u� en u� (u�) = 350, dus 40 + 10u� = 350. Dat geeft u� = 31.

c u� (8) = 40 + u� ⋅ 8 = 0 geeft u� = −5 m/s².

En dus is 𝐹 = u� ⋅ u� = 1000 ⋅ −5 = −5000 newton. (Het minteken betekent dat het om een kracht gaat die tegen de bewegingsrichting in werkt.)

15 u� : u� = ²₃u� −²₃ en u� : u� = −2u� + 4.

Voor het snijpunt geldt: ²₃u� −²₃ = −2u� + 4. Dit geeft u� =⁷₄. Het snijpunt is (⁷₄,¹₂).

a

16 u� = −4u� + 192 b u� = −2u�

c u� = 3 a

17 De lengte van de staaf bij 0°C.

b u� (20) = 0,5 (1 + 9 ⋅ 10⁻⁶⋅ 20) ≈ 0,5000945 m.

Je moet nu oplossen 0,5001 ≈ 0,5 (1 + 9 ⋅ 10⁻⁶⋅ 𝑇) en dit geeft 𝑇 ≈ 222 °C.

c 0,50 = u� (0) ⋅ (1 + 1,7 ⋅ 10⁻⁵⋅ 20) geeft u� (0). En dan is u� (100) ≈ 0,5006797 m.

3.5 Totaalbeeld

a

1 Ton: ¹⁵⁰⁰⁰₆₀ = 250 m/min Henk:¹²⁰⁰⁰₆₀ = 200 m/min b 2 minuten, dus 400 m.

c Ton: u� = 250u�, u� in minuten en u� in meter.

d Henk: u� = 400 + 200u�.

e Voer in: Y1=250X en Y2=400+200X. Venster: 0 ≤ u� ≤ 10 en 0 ≤ u� ≤ 1000.

Ton heeft 1000 m afgelegd na 4 minuten. Henk is na 3 minuten aan de eindstreep. Ton moet dan nog 250 m.

a

2 u� =³₂u� − 8, dus de r.c. is ³₂. b u� = −¹₃u� + 2, dus de r.c. is ⁻₁. c u� = 0,5u� − 0,5, dus de r.c. is 0,5.

d u� = 2, dus de r.c. is 0.

a

3 u� = 3,36 en u� = −0,48 b u� = 200 en 𝐾 = 72

c u� = 746,4 en u� = 13,4 of u� = 53,6 en u� = 186,6 d u� = −3 en u� = 9 of u� = 2 en u� = 4

4 Noem het aantal euro dat in fonds A is belegd u� en het aantal euro dat in fonds B is belegd u�.

Je vindt dan het stelsel:

{ u� + u� = 10000 0,10u� + 0,14u� = 1180. Dit geeft: u� = 5500 en u� = 4500

5 u� : u� = ¹⁷₄₈u� +⁹¹₆ en u� : u� = −3u� + 20 geeft snijpunt (²³²₁₆₁,²⁵²⁴₁₆₁ ).

(29)

a

6 Denk om de sprong in de graﬁek.

b Als u� ≤ 600, dan 𝐾 = 21 + 0,13u�.

Als u� > 600, dan 𝐾 = 48 + 0,08u�.

c Extra stoken om in het tarief van de grootverbruiker te vallen.

d Groot en klein verbruik even duur als 21 + 0,13u� = 48 + 0,08u�, dus als u� = 540. Dus vanaf 540 m³. e Zorgen dat de lijnen netjes aansluiten, dus bijvoorbeeld de grens van 600 verlagen naar 540.

a

7 140 km/h ≈ 38,9 m/s. Voor de snelheid van de motor geldt u� (u�) = 4 ⋅ u�. Na ongeveer 9,7 s rijdt de motor ongeveer 38,9 m/s.

b Ongeveer 6 ⋅ 38,9 ≈ 233,3 m.

c u� (u�) ≈ 233,3 + 38,9u�

d 200 km/h ≈ 55,6 m/s. Zo snel rijdt de motor ongeveer 13,9 s na u� = 0. Hij doet er dus ongeveer 13,9 s over.

e Zie antwoord bij f.

f Voor de motor geldt tijdens het versnellen u� (u�) = ¹₂⋅ 4 ⋅ u�². Zijn topsnelheid is op u� ≈ 13,9 bereikt.

Hij heeft dan ongeveer 385,8 m afgelegd. Daarna wordt de graﬁek van zijn afgelegde weg u� (u�) een rechte lijn. Die lijn heeft richtingscoëﬃciënt 55,6 en gaat door (13,9; 385,8). De bijpassende formule is daarom: u� (u�) ≈ 55,6u� − 385,8.

De motor haalt de auto in als u� (u�) = u� (u�) dus 233,3 + 38,9u� = 55,6u� − 385,8. Dat is ongeveer 37,15 seconden na het starten van de motor.

a

8 Doen. De temperatuur is in °C en de druk in atmosfeer.

b 121,43 °C.

c ≈ 3,33 atmosfeer.

a

9 u� =₈₀⁹ u� + 1

b 5,5 =₈₀⁹u� + 1 geeft u� = 40

c u� =₇₀⁹ u� + 1 als 0 ≤ u� ≤ 35 en u� =₁₀¹ u� + 2 als 35 ≤ u� ≤ 80 d Een 6,4.

e Maximaal een 6,3 en minimaal een 5,2.

a

10 Lijn gaat door (5, 85) en (25, 125). De richtingscoëﬃciënt =¹²⁵⁻⁸⁵₂₅₋₅ = 2. De formule wordt u� = 2u� + 75.

b Maak even een print van de ﬁguur.

c 2u� + 75 = 5u� + 16 als u� ≈ 19,7. Dus bij 197 mm.

d 2u� + 75 − 5u� − 16 = 4 geeft u� ≈ 18,3.

5u� + 16 − 2u� − 75 = 4 geeft u� ≈ 21,0.

Dus de verticale afstand tussen beide lijnen is minder dan 4 als 18,3 < u� < 21,0.

e Ras A: lijn door (110, 400) en (120, 470) geeft u� = 7u� − 370. Als u� = 21 dan is u� = 117 en u� = 449 kg.

Ras B: lijn door (110, 380) en (120, 435) geeft u� = 5,5u� − 225. Als u� = 21 dan is u� = 121 en u� = 440,5 kg.

(30)

4 Exponentiële functies

4.1 Exponentiële groei

a

1 1048576 lagen.

b Misschien iets te veel lagen? En een iets te klein oppervlak?

c 157286,4 mm dik, dat is meer dan 157 m!

d Ongeveer 4, 710⁻⁶cm, dat is ongeveer 0,00005 mm.

a

2 Het getal waarmee het aantal bacteriën elk uur wordt vermenigvuldigd.

b 100%

c 2457600 en 4915200, dus precies 2 keer zoveel dus.

d 19660800; rekenregel: 2¹²⋅ 2³= 2¹⁵. a

3 u�¹⁸

(31)

WISKUNDE B TWEEDE FASE HAVO > FUNCTIES EN GRAFIEKEN > EXPONENTIËLE FUNCTIES

b 12u�⁸ c −40u�⁶ d −3u�²

e ₁₆³u�

f 1 a

4 1

b 0⁰kun je geen waarde geven, zowel voor 0 als voor 1 als uitkomst valt wel wat te zeggen...

c Zie b.

a

5 1,06

b 800 ⋅ 1, 06⁵≈ 1070, 58 c 𝑆 (u�) = 800 ⋅ 1,06^u�

d Ongeveer 1,34, dus een groeipercentage van ongeveer 34% per vijf jaar.

e Je vindt telkens ongeveer €2565,71.

a

6 Doen.

b 𝐴 (u�) = 784 ⋅ 0,97^u�

c In 2022 is u� = 7 als je van u� = 0 in 2000 uitgaat.

Dan is u� ≈ 496, dus het aantal abonné’s is dan onder de 500.000.

7 Zie tabel:

procentuele toename per jaar 13 -6 0,3 15 -2 295 -99 groeifactor per jaar 1,13 0,94 1,003 1,15 0,98 3,95 0,01 a

8 2⁶= 64 b ₃¹3 =₂₇¹ a

9 𝑅 (u�) = 2 ⋅ 3^u�

b Zie tabel.

u� 0 1 2 3 4 5

𝑅 (u�) 2 6 18 54 162 486

c In de loop van het vijfde jaar.

a

10 2⁷= 128 b 2¹¹= 2028 c 2³= 8

d 2⁶²≈ 4, 6117 × 10¹⁸ a

11 𝑁 (u�) = 5000 ⋅ 0,96^u�

b 𝑁 (10) ≈ 3324

c 0,96¹⁰≈ 0,6648, dus een afnamepercentage van ongeveer 33,52%.

d 𝑁 (17) ≈ 2498, dus na 17 jaar.

a 12 3³

b 3¹ c 1 = 3⁰ d ⁴₃

a

13 Als je telkens twee opvolgende kapitalen deelt, dan vind je elke keer ongeveer 1,042.

b 4,2% per jaar.

(32)

c Zie tabel.

jaar 0 1 2 3 4

bedrag 10000,00 10800,00 11664,00 12597,12 13604,89

jaar 5 6 7 8 9 10

bedrag 14693,28 15868,74 17138,24 18509,30 19990,05 21589,25 d Na 10 jaar.

e 𝐾 (5) ≈ 19254,15 en 𝐾 (10) ≈ 23425,61 f Dit maakt geen verschil.

a

14 𝐻 (u�) = 950 ⋅ 1,04^u�

b Zie tabel.

jaar 0 1 2 3 4 5 6 7 8

huur 950,00 988,00 1027,52 1068,62 1111,37 1155,82 1202,05 1250,14 1300,14 c 1,16995 ≈ 1,17

d ≈ 1,16995⁵≈ 2,19 e Ongeveer 119%

f Na 18 jaar.

15 17

a

16 𝑊 (u�) = 5000 ⋅ 0,88^u�

b Na 13 jaar.

c De groeifactor per 5 jaar is ongeveer 0,528, dus het groeipercentage is ongeveer −47,2%.

d Met 0,528. Je vindt ongeveer €1393,21.

e Ongeveer −72,2%.

4.2 Reële exponenten

a

1 Om 11:00 was er 3 gram en om 10:00 uur was er 1,5 gram.

b Neem als groeifactor ¹₂.

c Door bijvoorbeeld de groeifactor per kwartier te gebruiken.

a

2 u� = −4

b 6 ⋅ 2⁻⁴= 6 ⋅¹₂⋅¹₂⋅¹₂⋅¹₂ = 0,375 gram.

a

3 u� = 2¹₂

b 6 ⋅ 2²¹² = 6 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ √2 ≈ 33,94 gram.

a

4 2³= 8 b 2⁴= 16 c 2⁵= 32 d 2¹²≈ 1,41

e 2¹⁴≈ 1,19

f 19200; 27152; 32290

g Vermenigvuldig dus eerst met 2⁵= 32 en dan met 2¹² en 2¹⁴. Laat zien dat dit ook weer 32290 oplevert.

(33)

a

5 In 1600: 1000 ⋅ 1,102⁻¹⁰≈ 379 miljoen.

In 2000: 1000 ⋅ 1,102¹⁰≈ 2641 miljoen.

b In 1600: 1000 ⋅ 1,025⁻⁴⁰≈ 372 miljoen.

In 2000: 1000 ⋅ 1,025⁴⁰≈ 2685 miljoen.

c In 2008: 1000 ⋅ 1,005²⁰⁸≈ 2822 miljoen.

d Ongeveer 139 jaar later dus in 2039. (Gebruik de tabel van Y1=1960*1.005^X) a

6 7500 ⋅ 1,042^1,5≈ 7977,43 b 7500 ⋅ 1,0208³≈ 7977,80 c 7500 ⋅ 1,0034¹⁸≈ 7972,51 a

7 De groeifactor per eeuw is ongeveer 0,8862.

b 0,8862^u�= 0,28 met de GR oplossen geeft: u� ≈ 10,537 eeuwen, dus ongeveer 10540 jaar oud.

a

8 𝐴 (10) = 25000 ⋅ 1,1¹⁰≈ 64844 b 𝐴 (10₁₂⁷) ≈ 68551

c 1,1

d 1,1¹²¹ ≈ 1,008 dus ongeveer 0,8% per maand.

e 𝐴 (−5) ≈ 15523 en 𝐴 (−10) ≈ 9639 f Ga na, dat 𝐴 (−5) ⋅ 1,1⁻⁵= 𝐴 (−10).

a

9 1-1-2001: €7518,15 1-1-2000: €7092,60 1-1-1999: €6691,13 b Op 1 januari 1996.

c Hij heeft €5000 ingelegd op 1 januari 1994.

a

10 u�3 uur=³⁰⁰⁰₁₂₀₀ = 2,5

b u�1 uur= 2,5¹³≈ 1,357 dus 35,7% per uur.

c 𝐻 (u�) = 1200 ⋅ 1,357^u�

d Ongeveer 2 uur en een kwartier voor u� = 0.

a

11 0 - 1500: groeifactor per jaar ongeveer 1,00046, dus groeipercentage ongeveer 0,05% per jaar 1500 - 1800: groeifactor per jaar ongeveer 1,002313, dus groeipercentage ongeveer 0,23% per jaar 1800 - 1950: groeifactor per jaar ongeveer 1,00463, dus groeipercentage ongeveer 0,46% per jaar 1950 - 1986: groeifactor per jaar ongeveer 1,01944, dus groeipercentage ongeveer 1,94% per jaar b 1500 - 1750: groeifactor per jaar ongeveer 1,00115, dus groeipercentage ongeveer 0,12% per jaar 1750 - 1800: groeifactor per jaar ongeveer 1,00814, dus groeipercentage ongeveer 0,81% per jaar 1986 - 1997: groeifactor per jaar ongeveer 1,01735, dus groeipercentage ongeveer 1,74% per jaar 12 Noem de toegestane hoeveelheid 𝐴, na het ongeluk 6𝐴.

Dan moet (¹₂)^u�⋅ 6𝐴 = 𝐴 en dit geeft (¹₂)^u�=¹₆.

Met de GR vind je u� ≈ 2,58, dus 2,58 perioden van 8 dagen. Dat is 20,68 dagen. Het hooi 21 moet dagen bewaard blijven.

a

13 𝐴 (u�) = 10 ⋅ 1,15^u�, met 𝐴 (u�) in gram per liter en u� in weken.

b 𝐴 (−3) = 10 ⋅ 1,15⁻³≈ 6,6 c 𝐴 (−²₇) = 10 ⋅ 1,15⁻²⁷≈ 9,6

d Als 1,15^u�= 2, dan u� ≈ 5 (weken), dus na 35 dagen.

a

14 u�5 jaar=⁴³⁰⁰₆₀₀₀ = 0,716 en u�1 jaar= 0,936 b 𝑁 (u�) = 6000 ⋅ 0,936^u�