Wiskunde B voor 4/5 havo

Wiskunde B voor

4/5 havo

Deel 2, Antwoordenboek

Versie 2013

Samensteller

bekijken en te gebruiken. Voor informatie en vragen kunt u contact opnemen via info@math4all.nl.

Ook houden we ons altijd aanbevolen voor suggesties, verbeteringen en/of aanvullingen.

1 Periodieke functies 3 1.1 Periodiciteit 3 1.2 Radialen 5 1.3 Sinusfuncties 7 1.4 Cosinusfuncties 8 1.5 Sinusoïden 10

1.6 Sinusoïde als model 11 1.7 Totaalbeeld 13

2 Ruimtelijke figuren 15

2.1 Projectie op het platte vlak 15 2.2 Berekeningen 20

2.3 Aanzichten en uitslagen 22 2.4 Doorsneden 30

2.5 Series evenwijdige doorsneden 34 2.6 Totaalbeeld 38

3 Oppervlakte en inhoud 42

3.1 Oppervlakte van vlakke figuren 42 3.2 Oppervlakte van ruimtelijke figuren 44 3.3 Inhoud van ruimtelijke figuren 45 3.4 Schaalvergroting 47

3.5 Totaalbeeld 48

4 Veranderingen 51

4.1 Veranderingen in grafieken 51 4.2 Veranderingen per stap 53 4.3 Differentiequotiënt 56 4.4 Differentiaalquotiënt 57 4.5 Hellingsgrafiek 59 4.6 Totaalbeeld 61

5 Afgeleide functies 63 5.1 Het begrip afgeleide 63 5.2 Differentiëren 65 5.3 Extremen berekenen 66 5.4 Buigpunten 68

5.5 Totaalbeeld 70

6 Differentieerregels 73

1 Periodieke functies

1.1 Periodiciteit

a

1 Eigen antwoord.

b 20 s.

c Net zo hoog als op 14 seconden, dus op een hoogte van 1 cm.

a

2 Omdat je anders ook andere dagen in de week kunt uitkomen, bij u� =¹₇bijvoorbeeld kom je op dinsdag.

b Woensdag.

d u� (−5) = 4.

e u� = −97.

a

7 ℎ (1) = 100 ⋅ u�u�u� (36^∘) ≈ 58,8 cm.

b ℎ (31) = ℎ (1) ≈ 58,8 cm.

c Zie figuur.

d Je krijgt dan 10 periodes in beeld.

a

8 De periode is 1 sec, de frequentie is 60 omwentelingen per minuut.

b De as zit 40 m boven de grond, een roterblad is 10 m lang.

c De periode wordt nu ¹₂ sec, de rest blijft gelijk.

d De grafiek begint nu op u� =¹₃ of u� = ²₃. a

9 u� (90^∘) = ¹₂𝜋 en u� (180^∘) = 𝜋.

b Je kunt punt 𝑃 door blijven bewegen over de cirkel en toch de hoek steeds rekenen vanaf u� = 0.

c Dat is 60^∘maar dan rechtsom gedraaid.

d u� (360^∘) = 2𝜋, u� (450^∘) = u� (90^∘) = ¹₂𝜋, u� (60^∘) =¹₃𝜋 en u� (−30^∘) = −¹₆𝜋.

e u� (1^∘) = ₁₈₀¹ 𝜋.

f Nee, de uitkomsten worden steeds groter, het is een lineaire functie.

a

10 u� (25) = u� (1) = 5.

b u� = 2 + u� ⋅ 3.

c u� = 1 ∨ u� = 4 ∨ u� = 7 ∨ u� = 2,5 ∨ u� = 5,5 ∨ u� = 8,5.

a

11 ℎ (4,5) = −1, ℎ (10,5) = −1 en ℎ (16,5) = −1.

b ℎ (0,75) =¹₂√2 want je krijgt dan een rechthoekige driehoek met een hoek van 45^u�en die is gelijkbenig met rechthoekszijden √¹2= ¹₂√2.

c Die zijn allemaal ¹₂√2 want de tijden verschillen precies een hele periode met u� = 0,75.

d u� = 0,75 + u� ⋅ 6 ∨ u� = 2,25 + u� ⋅ 6.

a

12 ℎ = 45 + 1,5 ⋅ u�u�u� (60^∘) = 45,75 m.

b Vloeiende grafiek door ℎ (0) = 46,5, ℎ (60) = 45,75, ℎ (90) = 45, ℎ (120) = 44,25, ℎ (180) = 43,5, ℎ (240) = 44,25, ℎ (270) = 45, ℎ (300) = 45,75 en ℎ (360) = 46,5, etc...

c ℎ = 45 + 1,5u�u�u� (𝛼) = 46 geeft 𝛼 ≈ 48,2^∘. De gevraagde afstand is dan 2 ⋅ u�u�u� (48,2^∘) ≈ 1,49 m.

a

13 ℎ (0) = 5 en ℎ (0,5) = 3,75.

b De periode is 2 seconden.

c ℎ (6) = ℎ (0) = 5 en ℎ (6,5) = ℎ (0,5) = 3,75.

d ℎ (15) = ℎ (−1) = 0 en ℎ (15,5) = ℎ (−0,5) = 3,75.

e Eigen antwoord.

a

14 40

b u� (250) = u� (130) = 600 +²₃⋅ 400 = 866²₃.

c u� (0) = u� (120) = 733¹₃, u� (10) = u� (130) = 866²₃, u� (20) = u� (140) = 1000, u� (30) = 600, u� (40) = 733¹₃, etc.

d u� (−250) = u� (110) = 600.

e 5

a

15 3 keer per minuut.

b ℎ (35) = ℎ (15) = 0.

c ℎ (18) = 30 ⋅ u�u�u� (¹⁸₂₀⋅ 360^∘) ≈ 24,3 cm.

d ℎ (76) = ℎ (16) = 30 ⋅ u�u�u� (¹⁶₂₀⋅ 360^∘) ≈ 9,3 cm.

e −35, −25, −15, −5, 5, 15, 25, 35.

1.2 Radialen

a

1 De hele cirkel heeft een ‘lengte’ (de omtrek) van 2𝜋 en de boog bij deze hoek is daar 1 /12 deel van.

b Alleen dan is de omtrek van de cirkel precies 2𝜋, anders is die omtrek groter of kleiner. Alle bogen zijn bij een straal van 1 delen van 2𝜋.

c Doen, elke graad is ₁₈₀¹ 𝜋 radialen.

a

2 ℎ = 0,5 en 𝛼 =¹₆𝜋.

b ℎ = 0,5 en 𝛼 =⁵₆𝜋.

c ℎ = −0,5 en 𝛼 = 1¹₆𝜋.

d ℎ = −1 en 𝛼 = 1¹₂𝜋.

e 2𝜋

f 90^∘+ u� ⋅ 360^∘of ¹₂𝜋 + u� ⋅ 2𝜋.

a

3 Drie periodes.

b u�u�u� (30^∘) = u�u�u� (390^∘) = 0,5. Ze verschillen precies één periode.

c u�u�u� (30^∘) = u�u�u� (150^∘) = 0,5. In de eenheidscirkel liggen de punten 𝑃 bij deze twee hoeken symme-

6 4 3 2 3 4 2 6

c ₁₈₀¹⁰𝜋 = ₁₈¹ 𝜋 radialen.

d 10 ⋅¹⁸⁰_𝜋 ≈ 573^∘. a

6 360^∘

b Alle waarden u� + u� ⋅ 360^∘verschillen precies één periode en hebben dus dezelfde sinus.

c In de eenheidscirkel liggen de punten 𝐴 bij deze twee hoeken symmetrisch t.o.v. een verticale lijn door het middelpunt en dus hoort er dezelfde waarde voor u�u�u� (u�) bij.

d In de eenheidscirkel liggen de punten 𝐴 bij deze twee hoeken symmetrisch t.o.v. de horizontale lijn door het middelpunt en dus horen er tegengestelde waarden voor u�u�u� (u�) bij.

e De rechthoekige driehoek met 𝑀𝐴 = 1 als hypothenusa heeft dan twee gelijke rechthoekszijden. Die hebben daarom elk een lengte van √¹2 = ¹₂√2.

f 225^∘en 315^∘. a

7 2𝜋

b Alle waarden u� + u� ⋅ 2𝜋 verschillen precies één periode en hebben dus dezelfde sinus.

c In de eenheidscirkel liggen de punten 𝐴 bij deze twee hoeken symmetrisch t.o.v. een verticale lijn door het middelpunt en dus hoort er dezelfde waarde voor u�u�u� (u�) bij.

d −1 ≤ u�u�u� (u�) ≤ 1.

e De rechthoekige driehoek met 𝑀𝐴 = 1 als hypothenusa is dan een halve gelijkzijdige driehoek.

f u�u�u� (5¹₆𝜋) = u�u�u� (1¹₆𝜋) = −0,5, u�u�u� (−1⁵₆𝜋) = u�u�u� (¹₆𝜋) = 0,5, u�u�u� (2³₄𝜋) = u�u�u� (³₄𝜋) = ¹₂√2.

a

8 Maak zelf een tekening of werk met de applet in het Practicum.

b 0,1 c −0,1 d 0,1

e −0,1 f 0,1

9 u� = ¹₆𝜋 + u� ⋅ 2𝜋 ∨ u� =⁵₆𝜋 + u� ⋅ 2𝜋 a

10 ¹₆𝜋,¹₉𝜋,₁₈¹𝜋, 1¹₂𝜋, 2𝜋, 1¹⁹₃₆𝜋,¹₃𝜋.

b 90^∘, 60^∘, 135^∘,¹⁸⁰_𝜋 ≈ 57^∘, 180^∘, ≈ 180^∘, 1800^∘. a

11 u� (⁵₆𝜋) = 0,5 en 5 ⋅ u� (¹₆𝜋) = 2,5. In het eerste geval maak je de draaihoek groter, maar de sinus blijft tussen −1 en 1. In het tweede geval bereken je een sinus die je achteraf met 5 vermenigvuldigt.

b u� (¹₄𝜋) =¹₂√2 en u� (−¹₄𝜋) = −¹₂√2. De bijbehorende punten op de grafiek liggen gespiegeld t.o.v. de oorsprong.

c Maak een schets.

d Maak ook hierbij een schets.

e Gebruik congruente driehoeken.

a

12 Maak een tekening.

b u� ≈ 0,644 ∨ u� ≈ 2,498.

a

13 Doen.

b u� = 1¹₆𝜋 ∨ u� = 1⁵₆𝜋.

a

14 ¹₃𝜋,¹₄𝜋, 𝜋, 1²₃𝜋, 1⁵₆𝜋, 1¹⁷₁₈𝜋, −1¹⁷₁₈𝜋.

b 180^∘, 60^∘, −45^∘, 360^∘, 150^∘, 195^∘, 2 ⋅¹⁸⁰_𝜋 ≈ 115^∘, 300^∘. a

15 u� (₁₂⁷𝜋) ≈ 0,966 en u� (¹₄𝜋) + u� (¹₃𝜋) ≈ 1,207. In het eerste geval verander je de draaihoek en neem je daarna de sinus, in het tweede geval neem je eerst de sinus en tel je twee sinussen op.

b u� (¹₄𝜋) = ¹₂√2 en u� (−³₄𝜋) = −¹₂√2. Ze komen overeen omdat u� (¹₄𝜋) = −u� (−¹₄𝜋) en u� (−¹₄𝜋) = u� (−³₄𝜋).

c De grafiek is symmetrisch in de lijn u� = ¹₂𝜋.

d Gebruik twee congruente driehoeken.

a

16 Doen, maak een eigen tekening of gebruik de applet in het Practicum.

b u� ≈ 6,031 ∨ u� ≈ 3,394.

1.3 Sinusfuncties

a

1 u� ≈ 0,927 ∨ u� ≈ 2,215 ∨ u� ≈ 4,069 ∨ u� ≈ 5,356 b u� = ¹₆𝜋 ∨ u� =⁵₆𝜋 ∨ u� = 2¹₆𝜋 ∨ u� = 2⁵₆𝜋 c u� = ¹₆𝜋 + u� ⋅ 2𝜋 ∨ u� =⁵₆𝜋 + u� ⋅ 2𝜋 a

2 u� = u�u�u�u�u�u� (0,2) + u� ⋅ 2𝜋 ∨ u� = 𝜋 − u�u�u�u�u�u� (0,2) + u� ⋅ 2𝜋 en dus u� ≈ 0,201 + u� ⋅ 2𝜋 ∨ u� ≈ 2,940 + u� ⋅ 2𝜋.

b u� = u�u�u�u�u�u� (−0,2) + u� ⋅ 2𝜋 ∨ u� = 𝜋 − u�u�u�u�u�u� (−0,2) + u� ⋅ 2𝜋 en dus u� ≈ −0,201 + u� ⋅ 2𝜋 ∨ u� ≈

−2,940 + u� ⋅ 2𝜋.

3 Omdat −1 ≤ u�u�u� (u�) ≤ 1.

a

4 u� = u�u�u�u�u�u� (−0,5) + u� ⋅ 2𝜋 ∨ u� = 𝜋 − u�u�u�u�u�u� (−0,5) + u� ⋅ 2𝜋 en dus u� ≈ −0,524 + u� ⋅ 2𝜋 ∨ u� ≈

−2,618 + u� ⋅ 2𝜋.

b u� = −¹₆𝜋 + u� ⋅ 2𝜋 ∨ u� = −⁵₆𝜋 + u� ⋅ 2𝜋.

c 1¹₆𝜋, 1⁵₆𝜋, 3¹₆𝜋 en 3⁵₆𝜋.

a

5 u� = ¹₄𝜋 + u� ⋅ 2𝜋 ∨ u� =³₄𝜋 + u� ⋅ 2𝜋.

b −1³₄𝜋, −1¹₄𝜋,¹₄𝜋,³₄𝜋, 2¹₄𝜋 en 2³₄𝜋.

c −5,498; 3,927; 0,785; 2,356; 7,069 en 8,639.

a

6 u� = u�u�u�u�u�u� (0,6) + u� ⋅ 2𝜋 ∨ u� = 𝜋 − u�u�u�u�u�u� (0,6) + u� ⋅ 2𝜋 geeft op [−𝜋, 3𝜋]: u� ≈ 0,64 ∨ u� ≈ 2,50 ∨ u� ≈ 6,93 ∨ u� ≈ 8,78.

b −𝜋 ≤ u� ≤ 0, 64 ∨ 2, 50 ≤ u� < 6, 93 ∨ 8, 78 < u� ≤ 2𝜋. (Denk om de isgelijktekens die ontstaan door afronden!)

c −2, 50 < u� < −0, 64 ∨ 3, 79 ≤ u� ≤ 5, 64.

a

7 Doen.

c u� = u�u�u� (1) ≈ 0,841 a

12 2u�u�u� (u�) − 1 = 0 geeft u�u�u� (u�) =¹₂ en dus u� = ¹₆𝜋 ∨ u� =⁵₆𝜋 ∨ u� = 2¹₆𝜋 ∨ u� = 2⁵₆𝜋.

De nulpunten zijn (¹₆𝜋, 0), (⁵₆𝜋, 0), (2¹₆𝜋, 0) en (2⁵₆𝜋, 0).

b ¹₆𝜋 ≤ u� ≤ ⁵₆𝜋 ∨ 2¹₆𝜋 ≤ u� ≤ 2⁵₆𝜋.

a

13 u�u�u� (2u�) = 0,5 geeft 2u� = ¹₆𝜋 + u� ⋅ 2𝜋 ∨ 2u� = ⁵₆𝜋 + u� ⋅ 2𝜋 en dus u� =₁₂¹ 𝜋 + u� ⋅ 𝜋 ∨ u� =₁₂⁵ 𝜋 + u� ⋅ 𝜋.

Op [0, 4𝜋]: u� =₁₂¹ 𝜋∨u� =₁₂⁵𝜋∨u� = 1₁₂¹𝜋∨u� = 1₁₂⁵ 𝜋∨u� = 2₁₂¹ 𝜋∨u� = 2₁₂⁵𝜋∨u� = 3₁₂¹𝜋∨u� = 3₁₂⁵ 𝜋.

b ₁₂¹𝜋 ≤ u� ≤ ₁₂⁵𝜋 ∨ 1₁₂¹𝜋 ≤ u� ≤ 1₁₂⁵𝜋 ∨ 2₁₂¹𝜋 ≤ u� ≤ 2₁₂⁵ 𝜋 ∨ 3₁₂¹ 𝜋 ≤ u� ≤ 3₁₂⁵𝜋.

a

14 u� ≈ 1,253 + u� ⋅ 2𝜋 ∨ u� ≈ 1,888 + u� ⋅ 2𝜋 b u� ≈ −1,253 + u� ⋅ 2𝜋 ∨ u� ≈ −1,888 + u� ⋅ 2𝜋.

c u� = −¹₆𝜋 + u� ⋅ 2𝜋 ∨ u� = −⁵₆𝜋 + u� ⋅ 2𝜋.

a

15 u� (u�) = 0 geeft u�u�u� (u�) = −0,25 en dus u� ≈ −0,253 + u� ⋅ 2𝜋 ∨ u� ≈ −2,889 + u� ⋅ 2𝜋.

De gevraagde nulpunten zijn (−2,89; 0) , (−0,25; 0) , (3,39; 0) en (6,03; 0).

b −2,89 < u� < −0,25 ∨ 3,39 < u� ≤ 6,03.

16 u�u�u� (3u�) = 0,5 geeft 3u� =¹₆𝜋 + u� ⋅ 2𝜋 ∨ 3u� =⁵₆𝜋 + u� ⋅ 2𝜋 en dus u� =₁₈¹𝜋 + u� ⋅²₃𝜋 ∨ u� = ₁₈⁵ 𝜋 + u� ⋅²₃𝜋.

1.4 Cosinusfuncties

a

1 u� ≈ 0,644 ∨ u� ≈ 5,640 ∨ u� ≈ 6,927 ∨ u� ≈ 11,923 b u� ≈ 0,644 + u� ⋅ 2𝜋 ∨ u� ≈ −0,644 + u� ⋅ 2𝜋 c u� = ¹₃𝜋 ∨ u� = 1²₃𝜋 ∨ u� = 2¹₃𝜋 ∨ u� = 3²₃𝜋 d u� = ¹₃𝜋 + u� ⋅ 2𝜋 ∨ u� = −¹₃𝜋 + u� ⋅ 2𝜋

a

2 u� = u�u�u�u�u�u� (0,2) + u� ⋅ 2𝜋 ∨ u� = −u�u�u�u�u�u� (0,2) + u� ⋅ 2𝜋 en dus u� ≈ 1,369 + u� ⋅ 2𝜋 ∨ u� ≈ −1,369 + u� ⋅ 2𝜋.

b u� = u�u�u�u�u�u� (−0,2)+u�⋅2𝜋∨u� = −u�u�u�u�u�u� (−0,2)+u�⋅2𝜋 en dus u� ≈ 1,772+u�⋅2𝜋∨u� ≈ −1,772+u�⋅2𝜋.

3 Maak weer gebruik van congruente driehoeken.

a

4 u� = u�u�u�u�u�u� (−0,5)+u�⋅2𝜋∨u� = −u�u�u�u�u�u� (−0,5)+u�⋅2𝜋 en dus u� ≈ 2,094+u�⋅2𝜋∨u� ≈ −2,094+u�⋅2𝜋.

b u� = ⁵₆𝜋 + u� ⋅ 2𝜋 ∨ u� = −⁵₆𝜋 + u� ⋅ 2𝜋.

c ⁵₆𝜋, 1¹₆𝜋, 2⁵₆𝜋 en 3¹₆𝜋.

a

5 u� = ¹₄𝜋 + u� ⋅ 2𝜋 ∨ u� = −¹₄𝜋 + u� ⋅ 2𝜋.

b −1³₄𝜋, −¹₄𝜋,¹₄𝜋,1³₄𝜋,2¹₄𝜋 en 3³₄𝜋.

c −5,498; −0,785; 0,785; 5,598; 7,069 en 11,781.

a

6 u� = u�u�u�u�u�u� (0,6) + u� ⋅ 2𝜋 ∨ u� = −u�u�u�u�u�u� (0,6) + u� ⋅ 2𝜋 geeft op [−𝜋, 3𝜋]: u� ≈ −0,93 ∨ u� ≈ 0,93 ∨ u� ≈ 5,36 ∨ u� ≈ 7,21.

b −𝜋 ≤ u� ≤ −0,93 ∨ 0,93 ≤ u� < 5,36 ∨ 7,21 < u� ≤ 2𝜋.

c −𝜋 ≤ u� < −2,21 ∨ 2,21 < u� < 4,07 ∨ 7,21 < u� ≤ 2𝜋.

a

7 Doen.

b 3u�u�u� (u�) + 1 = 2 geeft u�u�u� (u�) =¹₃ en dus u� ≈ 1,231 + u� ⋅ 2𝜋 ∨ u� ≈ −1,231 + u� ⋅ 2𝜋.

De oplossing van de ongelijkheid is 1,23 < u� ≤ 5,05 + u� ⋅ 2𝜋.

c 3u�u�u� (u�) + 1 = 2,5 geeft u�u�u� (u�) = 0,5 en dus u� = ¹₃𝜋 + u� ⋅ 2𝜋 ∨ u� = −¹₃𝜋 + u� ⋅ 2𝜋.

d 3u�u�u� (u�) + 1 = 4 geeft u�u�u� (u�) = 1 en dus u� = u� ⋅ 2𝜋.

e Omdat −1 ≤ u�u�u� (u�) ≤ 1.

8 u�u�u� (u�) = −¹₂√3 geeft u� = −⁵₆𝜋 ∨ u� =⁵₆𝜋 ∨ u� = 1¹₆𝜋 ∨ u� = 2⁵₆𝜋.

De ongelijkheid heeft als oplossing (gebruik een grafiek): −𝜋 ≤ u� < −⁵₆𝜋 ∨⁵₆𝜋 < u� < 1¹₆𝜋 ∨ 2⁵₆𝜋 <

u� ≤ 2𝜋.

9 u� = ₁₂¹𝜋 + u� ⋅ 2𝜋 ∨ u� = −₁₂¹𝜋 + u� ⋅ 2𝜋.

a

10 Omdat u�u�u�²(u�) + u�u�u�²(u�) = 1 is de grafiek die van u� (u�) = 1, dus een horizontale lijn.

b u�u�u� (u�) =¹₃ geeft u�u�u�²(u�) + (₃¹)²= 1 en dus u�u�u�²(u�) =⁸₉. Dus u�u�u� (u�) =

√(⁸₉) = ²₃√2 ∨ u�u�u� (u�) = −²₃√2.

a

11 Uit u�u�u�²(u�) + u�u�u�²(u�) = 1 volgt u�u�u�²(u�) = 1 − u�u�u�²(u�).

b Uit de vergelijking bij a volgt u�u�u�²(u�) =¹₂.

c u� = ¹₄𝜋 + u� ⋅ 2𝜋 ∨ u� =³₄𝜋 + u� ⋅ 2𝜋 ∨ u� = −¹₄𝜋 + u� ⋅ 2𝜋 ∨ u� = −³₄𝜋 + u� ⋅ 2𝜋.

a

12 u� ≈ 1,213 + u� ⋅ 2𝜋 ∨ u� ≈ −1,213 + u� ⋅ 2𝜋 b u� ≈ 1,928 + u� ⋅ 2𝜋 ∨ u� ≈ −1,928 + u� ⋅ 2𝜋 c u� = ¹₆𝜋 + u� ⋅ 2𝜋 ∨ u� = −¹₆𝜋 + u� ⋅ 2𝜋 d u� = ³₄𝜋 + u� ⋅ 2𝜋 ∨ u� = −³₄𝜋 + u� ⋅ 2𝜋

a

13 u� = u� ⋅ 2𝜋

b u� = 1 + u� ⋅ 2𝜋 ∨ u� = −1 + u� ⋅ 2𝜋 c u� = u�u�u� (1) ≈ 0,540

d u� ≈ 0,571 + u� ⋅ 2𝜋 ∨ u� ≈ −0,571 + u� ⋅ 2𝜋 a

14 2u�u�u� (u�) − 1 = 0 geeft u�u�u� (u�) =¹₂ en dus u� =¹₃𝜋 ∨ u� = 1²₃𝜋 ∨ u� = 2¹₃𝜋 ∨ u� = 3²₃𝜋.

De nulpunten zijn (¹₃𝜋, 0), (1²₃𝜋, 0), (2¹₃𝜋, 0) en (3²₃𝜋, 0).

b ¹₃𝜋 ≤ u� ≤ 1²₃𝜋 ∨ 2¹₃𝜋 ≤ u� ≤ 3²₃𝜋.

a

15 u�u�u� (2u�) = 0,5 geeft 2u� =¹₃𝜋 + u� ⋅ 2𝜋 ∨ 2u� = −¹₃𝜋 + u� ⋅ 2𝜋 en dus u� = ¹₆𝜋 + u� ⋅ 𝜋 ∨ u� = −¹₆𝜋 + u� ⋅ 𝜋.

Op [0, 4𝜋]: u� =¹₆𝜋 ∨ u� = ⁵₆𝜋 ∨ u� = 1¹₆𝜋 ∨ u� = 1⁵₆𝜋 ∨ u� = 2¹₆𝜋 ∨ u� = 2⁵₆𝜋 ∨ u� = 3¹₆𝜋 ∨ u� = 3⁵₆𝜋.

b 0 ≤ u� ≤¹₆𝜋 ∨⁵₆𝜋 ≤ u� ≤ 1¹₆𝜋 ∨ 1⁵₆𝜋 ≤ u� ≤ 2¹₆𝜋 ∨ 2⁵₆𝜋 ≤ u� ≤ 3¹₆𝜋 ∨ 3⁵₆𝜋 ≤ u� ≤ 4𝜋.

a

16 u�u�u� (u�) = 0 ∨ u�u�u� (u�) = 0,5 geeft u� = 0 ∨ u� = 𝜋 ∨ u� = 2𝜋 ∨ u� = ¹₃𝜋 ∨ u� =²₃𝜋.

b u�u�u�²(u�) − u�u�u� (u�) = 0 geeft u�u�u� (u�) (u�u�u� (u�) − 1) = 0 en dus u�u�u� (u�) = 0 ∨ u�u�u� (u�) = 1.

Oplossingen u� = 0 ∨ u� = 𝜋 ∨ u� = 2𝜋 ∨ u� =¹₂𝜋.

c Met de abc-formule vind je u�u�u� (u�) = 1 ∨ u�u�u� (u�) = 0,5 en dus u� = 0 ∨ u� = 2𝜋 ∨ u� =¹₃𝜋 ∨ u� = 1²₃𝜋.

d 2 (1 − u�u�u�²(u�)) + u�u�u� (u�) = 0 geeft 2u�u�u�²(u�) − u�u�u� (u�) − 2 = 0 en dus u�u�u� (u�) = ^1±√9₄ zodat u�u�u� (u�) =

1

a

1 Doen, je ziet vier periodes.

b De periode is 0,5𝜋.

c Kan met je GR. Kan ook door oplossen van u�u�u�(4u�) = ±1.

d Doen, je ziet één periode.

e De periode is 4𝜋.

f Kan met je GR. Kan ook door oplossen van u�u�u�(0,5(u� − 𝜋) = ±1.

a

2 Doen.

b Eerst vermenigvuldigen met ¹₂ in de u�-richting, dan 1 verschuiven in de u�-richting, vervolgens met 1,5 vermenigvuldigen in de u�-richting en 0,5 verschuiven in de u�-richting.

c (0, 0) wordt (1; 0,5).

d u�u�u� (2 (u� − 1)) = 1 oplossen geeft u� =¹₄𝜋 + 1 + u� ⋅ 𝜋, dus maxima van 2 bij u� =¹₄𝜋 + 1 en u� = 1¹₄𝜋 + 1.

u�u�u� (2 (u� − 1)) = −1 oplossen geeft u� =³₄𝜋+1+u�⋅𝜋, dus minima van 2 bij u� =³₄𝜋+1 en u� = 1³₄𝜋+1.

a

3 periode = ^2𝜋₃ , amplitude = 2 (grafiek gespiegeld in evenwichtslijn), evenwichtslijn u� = 1, horizontale verschuiving u� = −2.

b Doen.

c Oefenen met een medeleerling is het best.

4 Amplitude = 10, periode =^2𝜋₄ = ¹₂𝜋, evenwichtslijn u� = 5 en horizontale verschuiving u� = 0.

Toppen: (¹₈𝜋 + u� ⋅¹₂𝜋, 15) , (³₈𝜋 + u� ⋅¹₂𝜋, −5).

Venster [−𝜋, 𝜋] × [−5, 15].

a

5 periode = ^2𝜋₂ = 2

Toppen: (1¹₂+ u� ⋅ 2, 13) en (2¹₂, 7).

b Eerst vermenigvuldigen met _𝜋¹ in de u�-richting, dan 1 verschuiven in de u�-richting, vervolgens met 3 vermenigvuldigen in de u�-richting en 10 verschuiven in de u�-richting.

c u� (u�) = 11,5 geeft u�u�u� (𝜋 (u� − 1)) = 0,5 en dus 𝜋 (u� − 1) =¹₆𝜋 + u� ⋅ 2𝜋 ∨ 𝜋 (u� − 1) = ⁵₆𝜋 + u� ⋅ 2𝜋 en dus u� = 1¹₆+ u� ⋅ 2 ∨ u� = 1⁵₆+ u� ⋅ 2.

a

6 periode = ^2𝜋1 2

= 4𝜋

Toppen: (−2 + u� ⋅ 4𝜋, 12) en (2 + 2𝜋 + u� ⋅ 4𝜋, 4).

b Eerst vermenigvuldigen met 2 in de u�-richting, dan −2 verschuiven in de u�-richting, vervolgens met 4 vermenigvuldigen in de u�-richting en 8 verschuiven in de u�-richting.

c u� (u�) = 11 geeft u�u�u� (¹₂(u� + 2)) = 0,75 en dus¹₂(u� + 2) = 0,723 + u� ⋅ 2𝜋 ∨¹₂(u� + 2) = −0,723 + u� ⋅ 2𝜋 en dus u� = 5,445 + u� ⋅ 4𝜋 ∨ u� = −3,445 + u� ⋅ 4𝜋.

a

7 Periode = ^2𝜋4

3𝜋 = 1,5, amplitude = 10, evenwichtslijn ℎ = 40, horizontale verschuiving u� = 0. Venster [0, 3] × [30, 50].

b ℎ = 45 geeft u�u�u� (⁴₃𝜋 ⋅ u�) =¹₂ en dus⁴₃𝜋⋅u� = ¹₆𝜋+u�⋅2𝜋∨⁴₃𝜋⋅u� = ⁵₆𝜋+u�⋅2𝜋 zodat u� =¹₈+u�⋅1,5∨u� =

5

8+ u� ⋅ 1,5.

a

8 Periode 2𝜋, amplitude 12. Venster [0, 4𝜋] × [−15, 15].

b Periode 1, amplitude 50. Venster [0, 2] × [−40, 60].

c Periode 10, amplitude 120. Venster [0, 20] × [−120, 120].

d Periode 𝜋, amplitude 20. Venster [0, 2𝜋] × [−20, 20].

a

9 u�u�u� (¹₂u� + 4) = ¹₅ geeft u� = 2u�u�ℴu� (¹₅) − 8 + u� ⋅ 4𝜋 ∨ u� = −2u�u�ℴu� (¹₅) − 8 + u� ⋅ 4𝜋 ofwel u� ≈

−5,261 + u� ⋅ 4𝜋 ∨ u� ≈ −10,73 + u� ⋅ 4𝜋.

b u�u�u� (^𝜋₅ (u� − 2)) =¹₂ geeft u� =⁵₆+ 2 + u� ⋅ 10 ∨ u� = ²⁵₆ + 2 + u� ⋅ 10.

c u�u�u� (4u�) =¹₂√3 geeft u� =₂₄¹𝜋 + u� ⋅¹₂𝜋 ∨ u� = −₂₄¹𝜋 + u� ⋅¹₂𝜋.

d u�u�u� (^2𝜋₁₅u�) =¹₆ geeft ^2𝜋₁₅u� = u�u�u�u�u�u� (¹₆) + u� ⋅ 2𝜋 ∨^(2𝜋)₍₁₅₎u� = 𝜋 − u�u�u�u�u�u� (¹₆) + u� ⋅ 2𝜋 ofwel u� ≈ 0,399 + u� ⋅ 15 ∨ u� ≈ 7,100 + u� ⋅ 15.

a

10 B_u�= [−10, 30]

b u� (u�) = 0 geeft u� = ⁸₃+ u� ⋅ 8 ∨ u� = −⁸₃+ u� ⋅ 8.

De nulpunten zijn (2²₃, 0) , (5¹₃, 0) , (10²₃, 0) en (13¹₃, 0).

c 2²₃ ≤ u� ≤ 5¹₃∨ 10²₃ ≤ u� ≤ 13¹₃. a

11 Voer in: Y1=11+10*sin((2*pi/20)X) met venster: 0 ≤ 𝑋 ≤ 20 en 0 ≤ 𝑌 ≤ 22.

b 11 is de hoogte van de as van het reuzenrad en 10 is de straal van het reuzenrad.

c 40 seconden

d ℎ (u�) = 18 geeft u�u�u� (^2𝜋₂₀u�) = 0, 7 en daaruit volgt u� ≈ 2,468 + u� ⋅ 40 ∨ u� ≈ 7,532 + u� ⋅ 40.

Dus 5,1 seconden hoger dan 18 m.

a

12 Periode¹₂, amplitude 4, evenwichtslijn u� = 0.

b Periode 2𝜋, amplitude 2, evenwichtslijn u� = 6 en 8 eenheden naar links verschoven.

c Periode 4, amplitude 0,5, evenwichtsstand 0.

a

13 Gemiddelde waterstand ^198−182₂ = 8 cm.

b Maximale afwijking 198 − 8 = 190 cm.

c 6,29 + 6,29 = 12,58.

d Klopt redelijk.

e Periode 12,25, amplitude 190.

f u� = 180 geeft u�u�u� (_12,25^2𝜋 u�) = 0,905 en daaruit volgt u� ≈ 0,856 + u� ⋅ 12,25 ∨ u� ≈ −0,856 + u� ⋅ 12,25.

Dus boven 180 van u� ≈ −0,856 tot u� ≈ 0,856. Dat is ongeveer 1,71 ≈ 2 uur.

1.6 Sinusoïde als model

a

1 Periode: 0,5, amplitude: 0,5 en evenwichtslijn: u� = 1.

b Bijvoorbeeld u� = 1 + 0,5u�u�u�(4𝜋(u� − 0,75)).

c Bijvoorbeeld u� = 1 + 0,5u�u�u�(4𝜋u�).

2

b Bijvoorbeeld u� = 18 + 8u�u�u� (₁₂^𝜋 (u� − 7))

c u� (12) ≈ 25,73, u� (12,25) ≈ 25,85, u� (12,5) ≈ 25,93, u� (12,75) ≈ 25,98 en u� (13) = 26.

d u� (u�) = 16 geeft u�u�u� (₁₂^𝜋 (u� − 7)) = ¹₁/2 en dus ₁₂^𝜋 (u� − 7) = ¹₆𝜋 + u� ⋅ 2𝜋 ∨₍₁₂₎^(𝜋) (u� − 7) = ⁵₆𝜋 + u� ⋅ 2𝜋.

Hieruit vind je: u� = 9 + u� ⋅ 24 ∨ u� = 17 + u� ⋅ 24.

Oplossing ongelijkheid: 9 < u� < 17 + u� ⋅ 2𝜋.

a

7 u� = 2u�u�u� (0,5 (u� − 𝜋)) + 2

b De punten 𝐴 en 𝐵 liggen symmetrisch t.o.v. u� = 2𝜋 en op de grafiek.

𝐴 ≈ (2𝜋 − 2; 4,54) en 𝐵 ≈ (2𝜋 + 2; 4,54).

8 u�₁= −1 + 4u�u�u� (^2𝜋₄ (u� − 2)) u�2= 4u�u�u� (^2𝜋₂₀u�)

u�3 = 4 + 2u�u�u� (^2𝜋₁₀u�) u�4 = 5 + 2u�u�u� (^2𝜋₈ (u� + 4)) a

9 u�1= −1 + 4u�u�u� (^2𝜋₄ (u� + 2)) u�₁= −1 + 4u�u�u� (^2𝜋₄ (u� + 1)) u�1= −1 + 4u�u�u� (^2𝜋₄ (u� − 3))

b −1 + 4u�u�u� (^2𝜋₄ (u� + 2)) = − geeft u�u�u� (^𝜋₂ (u� + 2)) = −¹₄ en dus ^𝜋₂ (u� + 2) ≈ −0,253 + u� ⋅ 2𝜋 ∨

𝜋

2 (u� + 2) ≈ 3,394 + u� ⋅ 2𝜋.

Je vindt zo: u� ≈ −2,161 + u� ⋅ 4 ∨ u� = 0,161 + u� ⋅ 4.

a

10 u� (u�) = 1 + 2u�u�u� (2 (u� −¹₆𝜋)) b u� (0) = 1 − √3

c u� (u�) = 0 geeft u�u�u� (2 (u� −¹₆𝜋)) = −¹₂ en dus 2 (u� −¹₆𝜋) = −¹₆𝜋+u�⋅2𝜋∨2 (u� −¹₆𝜋) = 1¹₆𝜋+u�⋅2𝜋.

En zo vindt je: u� =₁₂¹𝜋 + u� ⋅ 𝜋 ∨ u� =³₄𝜋 + u� ⋅ 𝜋.

De oplossing van de ongelijkheid is −¹₄𝜋 ≤ u� ≤ ₁₂¹𝜋 + u� ⋅ 𝜋.

a

11 ℎ𝐷= 10 + 8u�u�u� (0,6) ≈ 14,52 m ℎ𝐶= 10 + 4u�u�u� (3,6) ≈ 8,23 m.

b ℎ𝐷(u�) = 10 + 8u�u�u� (^2𝜋₈ u�)

c ℎ𝐶(u�) = 10 + 4u�u�u� (¹₄𝜋 (u� − 3)), dus ℎ𝐶(1413,25) ≈ 9,22 m.

d ℎ_𝐶= 12 geeft u�u�u� (¹₄𝜋 (u� − 3)) = ¹₂ en dus u� = 1²₃+ u� ⋅ 8 ∨ u� = 4¹₃+ u� ⋅ 8.

Je zit dus elk rondje 4¹₃− 1²₃ = 2²₃ s boven de 12 m.

a

12 Doen.

b Periode 24, amplitude 50, evenwichtslijn u� = 350 en 26 eenheden naar rechts verschoven.

u� (u�) = 350 + 50u�u�u� (^2𝜋₂₄ (u� − 26))

c u� (50) = 350, u� (51) ≈ 351,29 en u� (52) = 352,5.

d u� (u�) = 325 geeft u�u�u� (^2𝜋₂₄(u� − 26)) = −¹₂ en dus u� = u� ⋅ 24 ∨ u� = −8 + u� ⋅ 24.

13 u� = 10 + 7¹₂u�u�u� (^2𝜋₁₀ (u� + 5)) u� = 10 + 7¹₂u�u�u� (^2𝜋₁₀(u� + 2¹₂)) a

14 12 keer per minuut.

b Doen, bepaal eerst amplitude en evenwichtslijn.

c 𝑉 = 4,95 + 0,25u�u�u� (^(2𝜋)₍₅₎ u�)

1.7 Totaalbeeld

a

1 B_u�= [150, 250]

Venster: [0, 30] × [150, 250].

b u� (u�) = 175 geeft u�u�u� (¹₂u�) =¹₂ en u� =¹₃𝜋 + u� ⋅ 4𝜋 ∨ u� = 1²₃𝜋 + u� ⋅ 4𝜋.

De oplossing van de ongelijkheid wordt:¹₃𝜋 ≤ u� ≤ 1²₃𝜋 ∨ 4¹₃𝜋 ≤ u� ≤ 5²₃𝜋 ∨ 8¹₃𝜋 ≤ u� ≤ 9²₃𝜋.

a

2 u�u�u� (^𝜋₇(u� − 15)) = −0,8 geeft^𝜋₇ (u� − 15) = u�u�u�u�u�u� (0,8)+u�⋅2𝜋∨^𝜋₇ (u� − 15) = −u�u�u�u�u�u� (0,8)+u�⋅2𝜋.

Dit levert op u� ≈ 9,43 + u� ⋅ 14 ∨ u� ≈ 20,57 + u� ⋅ 14.

b u�u�u� (2𝜋u�) = 0,5 geeft 2𝜋u� =¹₆𝜋 + u� ⋅ 2𝜋 ∨ 2𝜋u� =⁵₆𝜋 + u� ⋅ 2u� en dus u� = ₁₂¹ + u� ∨ u� =₁₂⁵ + u�.

c u�u�u� (2u�) (1 − 2u�u�u� (u�)) = 0 geeft u�u�u� (2u�) = 0 ∨ u�u�u� (u�) = 0,5 en dus u� = ¹₄𝜋 + u� ⋅ 𝜋 ∨ u� = −¹₄𝜋 + u� ⋅ 𝜋 ∨ u� =¹₆𝜋 + u� ⋅ 2𝜋 ∨ u� = ⁵₆𝜋 + u� ⋅ 2𝜋.

d u�u�u�²(u�) = 1,5 − u�u�u�²(u�) geeft u�u�u�²(u�) = ³₄ en dus u�u�u� (u�) = ±¹₂√3 zodat u� = ¹₃𝜋 + u� ⋅ 2𝜋 ∨ u� =

2

3𝜋 + u� ⋅ 2𝜋 ∨ u� = −¹₃𝜋 + u� ⋅ 2𝜋 ∨ u� = −²₃𝜋 + u� ⋅ 2𝜋.

3 I: u� = u�u�u� (^(2𝜋)₆ u�) II: u� = 0,5 + u�u�u� (^2𝜋₆ u�) III: u� = 1,5 + 2,5u�u�u� (^2𝜋₄ u�)

4 Amplitude loopt van 0,15 tot 2,10 en evenwichtsstand kan oplopen tot 2,5 m. De dijk zou dus een hoogte van 2,10 + 2,50 = 4,60 m moeten hebben.

a

5 Zie figuur. ∠𝐴𝑀𝐵 = 120^∘en dus is boog 𝐴𝐵 éénderde deel van de hele cirkel. Dus ongeveer 33%.

b Zie figuur, dit is een periodieke grafiek.

u� (u�) = −1 geeft u� ≈ 9,9 + u� ⋅ 7,4 ∨ u� ≈ 13,8 + u� ⋅ 7,4.

Ganymedes gaat achter Jupiter op bijvoorbeeld u� ≈ 13,6 en komt er dan weer achter weg op u� ≈ 13,8.

Ganymedes zit dus ongeveer 0,2 dagen achter Jupiter.

a

8 Ventiel beweegt tussen 5 cm en 85 cm (schatting wieldiameter 0,9 m) en draait¹⁵⁰⁰⁰_0,9𝜋 ≈ 5305 keer per uur rond, dat is ongeveer 1,5 keer per seconde. De omwentelingstijd (periode) is daarom ongeveer ²₃ seconde.

Mogelijke formule: ℎ (u�) = 0,45 + 0,4u�u�u� (3𝜋u�) met u� in seconden, ℎ in meter en op u� = 0 zit het ventiel op 45 cm hoogte en gaat het omhoog bewegen.

Verzin zo ook een mooie formule voor een trapper.

b De hoogte hangt dan af van de afgelegde afstand.

c De baan wordt een cycloïde. Zoek maar eens op hoe die er uit ziet.

a

9 u� = 50 en u� =^2𝜋₈ ≈ 0,2244

b u�u�u�u� = −¹₂ geeft in de eerste periode u� =⁷₆𝜋 of u� =¹¹₆ 𝜋.

11 6𝜋−⁷₆𝜋

2𝜋 = ¹₃ dus 33% van de periode

c Bij de fysieke toestand hoort de formule 𝐹 = 50u�u�u� (^2𝜋₂₃u�).

De fysieke toestand heeft op de eerste verjaardag een stijgend verloop. Dit is bijvoorbeeld te zien aan de grafiek of de tabel van de functie of van de hellingfunctie bij een domein rond 365 dagen.

d De formules 𝐹 = 50u�u�u� (^2𝜋₂₃u�) en 𝐼 = 50u�u�u� (^2𝜋₃₃u�) in de GR invoeren.

De GR instellen op een domein vanaf (bijvoorbeeld) 6570 dagen en op de GR de bij 𝐹 en 𝐼 horende grafieken of tabellen raadplegen. De 6579e, 6580e en 6581e dag zijn geschikt, dus het antwoord is: de 5e, 6e en 7e januari 2001.

a

10 u� = 3 + 3u�u�u� (0,469u�) = 3,8 geeft u� ≈ 0,58 ∨ u� ≈ 6,12.

De breedte van het blokje is ongeveer 6,12 − 0,58 = 0,55 cm (of 55 mm).

b De amplitude van de sinusoïde is 3.

Van P naar Q is 5 perioden en van S naar Q is ook 5 perioden. 𝑆𝑄 = √𝑆𝑅²+ 𝑅𝑄²= √67²+ 55²≈ 86,7.

De periode van de gevraagde sinusoïde is ongeveer ^86,7₅ ≈ 17,35 cm.

Een passende formule is u� = 3 + 3u�u�u� (_17,35^2𝜋 u�).

2 Ruimtelijke figuren

2.1 Projectie op het platte vlak

a

1 Alle lijnstukken evenwijdig aan ribbe 𝐴𝐵, alle lijnstukken evenwijdig aan ribbe 𝐴𝐷 en alle lijnstukken evenwijdig aan ribbe 𝐴𝐸.

b Een rechthoek.

c Een rechthoek.

d Een parallellogram.

Je vindt nu de punten 𝐵 en 𝐶 en je kunt de ruit tekenen.

a

7 Zie figuur.

b Zie figuur.

c Zie figuur.

a

8 Er is geen verkortingsfactor gegeven, dus het is verstandig om van het rooster gebruik te maken.

b Δ𝑃𝑄𝑅 wordt een driehoek met 𝑃𝑅 = 2 en 𝑃𝑄 = 𝑄𝑅 ≈ 2,8.

a

9 Zie figuur.

b Δ𝑃𝑄𝑅 wordt een gelijkzijdige driehoek met zijden van 4,2 cm.

c Teken eerst rechthoek 𝐷𝐵𝐹𝐻 met 𝐷𝐵 = 𝐻𝐹 ≈ 8,5 en 𝐷𝐻 = 𝐵𝐹 = 6 cm.

Vervolgens teken je het midden 𝑄 van 𝐵𝐹 en punt 𝑆 zo, dat 𝐹𝑆 =¹₄ ⋅ 𝐻𝐹.

Nu kun je vijfhoek 𝐷𝐵𝑄𝑆𝐻 tekenen.

a

10 Zie figuur.

b Zie figuur bij a. Je verdeelt gewoon elke zijde in drie gelijke delen door opmeten. Dat mag omdat de figuur een parallelprojectie is.

c Zie figuur bij a.

d Nee, het grondvlak is geen achthoek met gelijke zijden. Er zijn zijden van 2 cm en zijden van 2√2 ≈ 2,8 cm.

a

11 Zie figuur.

b Het worden gelijkzijdige driehoeken met zijden van ongeveer 4√2 ≈ 5,7 cm.

c Dat levert een kubus op.

a

12 Bij twijfel laten controleren.

b De beide driehoeken hebben een basis van 8 cm en een hoogte van ongeveer 5,8 cm.

Die hoogte is het lijnstuk vanuit 𝐹 naar het midden 𝑁 van 𝐵𝐶 of het lijnstuk vanuit 𝐸 naar het midden 𝑀 van 𝐴𝐷. Als je 𝐸𝑀𝑁𝐹 op ware grootte tekent kun je die hoogtes meten.

c De hoogte van zo’n trapezium is ongeveer 6,4 cm.

Je meet die hoogte in een driehoek door 𝐸 of 𝐹 en evenwijdig met 𝐵𝐶.

a

13 Zie figuur.

b Je ziet het bedoelde trapezium hieronder.

a

14 Zie figuur.

b Zo’n grensvlakje is een gelijkzijdig driehoekje met zijden van ongeveer 1,4 cm.

15 Bij twijfel laten controleren.

2.2 Berekeningen

a

1 𝐴𝐶 = √5²+ 3²= √34 en 𝐴𝐺 = √(√34)²+ 2²= √38.

b Uit u�u�u�(∠𝐶𝐴𝐺) = ²

√34 volgt ∠𝐶𝐴𝐺 ≈ 19^∘. a

2 Een rechthoek.

b √5²+ 2²= √29

c u�u�u� (∠𝐴𝐺𝐹) =^𝐴𝐹_𝐹𝐺= ^√29₃ , dus ∠𝐴𝐺𝐹 ≈ 61^∘. a

3 𝐴𝑀 = 𝐵𝑀 = √𝐴𝐻²+ 𝐻𝑀²= √3²+ 2²+ 2,5²= √29,25

b u�u�u� (∠𝐴𝑀𝐻) =_𝐻𝑀^𝐴𝐻 = ^√13

√6,25, dus ∠𝐴𝑀𝐻 ≈ 55^∘. c u�u�u� (∠𝐴𝑀𝐷) = ^𝐴𝐷_𝐴𝑀= ³

√19,25, dus ∠𝐴𝑀𝐷 ≈ 43^∘. d ∠𝐴𝑀𝐵 = 180^∘− 2 ⋅ ∠𝐴𝑀𝐻 ≈ 69^∘

a

4 𝐴𝑃 = √𝐴𝐻²+ 𝐻𝑃²= √6²+ 3²+ 2²= √49 = 7 𝐴𝑄 = √𝐴𝐵²+ 𝐵𝑄²= √4²+ 6²+ 1²= √53

b 𝑃𝑄 = √2²+ 2²= √8 en dus is 𝐴𝑄²≠ 𝐴𝑃²+ 𝑃𝑄². a

5 u�u�u� (∠𝐴𝐹𝐷) =^𝐴𝐷_𝐴𝐹 =⁶₅, dus ∠𝐴𝐹𝐷 ≈ 50^∘. b u�u�u� (∠𝐶𝐴𝑄) =^𝐶𝑄_𝐴𝑄= ¹

√53, dus ∠𝐴𝑀𝐷 ≈ 8^∘. c Δ𝑃𝐴𝑄 is niet rechthoekig.

a

6 𝐶𝑇 = 12, 𝑇𝐹 = 12 − 3 = 9 en 𝐶𝐵 = 3.

Δ𝑇𝐶𝐵 is gelijkvormig met Δ𝑇𝐹𝐸.

Dus 𝐹𝐸 = ₁₂⁹ ⋅ 𝐶𝐵 =₁₂⁹ ⋅ 3 = 2,25.

b u�u�u� (∠𝐶𝐵𝐸) =¹²₃ = 4 dus ∠𝐶𝐵𝐸 ≈ 72^∘. a

7 𝑃𝑄 = 2 en 𝐵𝑃 = 𝐵𝑄 = √4²+ 2²= √20 b u�u�u� (∠𝐵𝑃𝑄) = ¹

√20, dus ∠𝐵𝑃𝑄 ≈ 77^∘. En ∠𝐵𝑄𝑃 = ∠𝐵𝑃𝑄 = 77^∘. Dus is ∠𝑃𝐵𝑄 = 180^∘− 2 ⋅ ∠𝐵𝑃𝑄 ≈ 36^∘.

a

8 𝑃𝑅 = √18 en 𝑄𝑃 = 𝑄𝑅 = √34

b ∠𝑄𝑃𝑅 = ∠𝑄𝑅𝑃 ≈ 69^∘en ∠𝑃𝑄𝑅 ≈ 43^∘.

c Teken eerst rechthoek 𝐷𝐵𝐹𝐻 met 𝐷𝐵 = 𝐻𝐹 = √(72) ≈ 8,5 en 𝐷𝐻 = 𝐵𝐹 = 6 cm.

Vervolgens teken je punt 𝑄 zo, dat 𝐵𝑄 = 1 en punt 𝑆 zo, dat 𝐹𝑆 =¹₄⋅ 𝐻𝐹.

Nu kun je vijfhoek 𝐷𝐵𝑄𝑆𝐻 tekenen.

Deze vijfhoek heeft twee hoeken van 90^∘, een hoek van 157^∘en een hoek van 117^∘. a

9 𝑇𝑆 = √18

b 𝐵𝐶 en 𝑃𝑄 lopen evenwijdig en 𝐵𝑃 = 𝐶𝑄.

𝐵𝑃 = 𝐶𝑄 = √27, 𝐵𝐶 = 6 en 𝑃𝑄 = 3 cm.

c Om de figuur te kunnen tekenen is het verstandig om eerst de hoogte van het trapezium uit te rekenen.

Die hoogte is √18 − 1,5²= √15,75 ≈ 4,0 cm.

Het trapezium heeft twee hoeken van ongeveer 69^∘en twee hoeken van ongeveer 111^∘. 10 > 𝐵𝐶 = ₁₁³ ⋅ 6 = ¹⁸₁₁

> 𝐸𝐺 = √1700 en 𝐸𝐹 =³₄⋅ √1700.

a

11 𝐴𝐸 = 𝐷𝐸 = 𝐵𝐹 = 𝐶𝐹 = √50 b ∠𝐴𝐵𝐹 ≈ 65^∘en ∠𝐵𝐶𝐹 ≈ 68^∘.

c De breedte van de verdiepingsvloer is²₅ ⋅ 8 = 3,2 m.

De lengte van de verdiepingsvloer is 6 + 2 ⋅²₅ ⋅ 3 = 8,4 m.

De oppervlakte is daarom 3,2 ⋅ 8,4 = 26,88 m².

a

12 Hiernaast zie je het bedoelde (rechthoekige) trapezium.

De zijde waar 83,2 m bij staat heeft een preciese lengte van √45²+ 70²= √6925.

De langste zijde van het trapezium is √6925 + 6,5²= √6967,25 ≈ 83,5 m.

b Behalve twee rechte hoeken is er een hoek van ongeveer 86^∘en een hoek van ongeveer 94^∘. a

13 Als ℎ de hoogte van de boom is, dan is₁₀₀₀⁶ ⋅ ℎ = 2 cm.

Dus is ℎ =²⁰⁰⁰₆ ≈ 333,3 cm. Het is daarom maar een klein boompje van ongeveer 3,33 m.

b Als u� de afstand tot het vrijheidsbeeld is geldt:⁶_u�⋅ 9300 = 2. Dit betekent u� = 27900 cm, dat is 279 m.

14 ^(𝐸𝑄)_(𝐴𝑄)= _(𝐴𝐶)^(𝐸𝑃) =_(𝐸𝑄)^(𝐸𝑃) =_(𝐺𝐹)^(𝐸𝐹) =²₈.

Neem 𝐴𝑄 = u�, dan is 𝐸𝑄 = u� − 8. Dus is^u�−8_u� = ²₈. Dit levert op 𝐴𝑄 = u� = 10²₃. a

15 Doen.

b 𝐴𝑆 = √8 en 𝑆𝑀 = 5 geeft 𝐴𝑀 = √33.

Nu is 𝑀𝑃 = 𝑀𝑄 =¹₂⋅ √8 = √2 en Δ𝐴𝑀𝑃 en Δ𝐴𝑀𝑄 zijn rechthoekig.

𝐴𝑃 = 𝐴𝑄 = √35.

c u�u�u� (∠𝐴𝑃𝑀) =^√33

√2, dus ∠𝐴𝑃𝑀 ≈ 76^∘. Dit betekent dat ∠𝐴𝑄𝑀 ≈ 76^∘en ∠𝑃𝐴𝑄 ≈ 28^∘.

2.3 Aanzichten en uitslagen

a

1 Bekijk de ?Uitleg?.

b Bekijk de ?Uitleg?.

a

2 Het bovenaanzicht.

b Werk in symmetrisch trapezium 𝐴𝐶𝐺𝐸. De hoogte is√6²− (1,5√2)²= √31,5.

c Voor- en zijaanzicht krijgen nu een hoogte van ongeveer 5,6.

a

3 Bij twijfel laten controleren.

b Die hoogte wordt nu √(6²− 1, 5²) = √(33, 75).

c Alleen de hoogtes van de vier opstaande zijvlakken worden nu anders, namelijk ongeveer 5,8.

a

4 Bij twijfel laten controleren.

b Bij twijfel laten controleren.

a

5 Doen, eventueel laten controleren.

b Eerst de hoogte berekenen in een diagonaalvlak: ℎ = √18 ≈ 4,2.

6 Eerst de hoogte van een zijvlak berekenen: ℎ_zijvlak= √6²− 3²= √27 ≈ 5,2.

7 Voor de uitslag van de linker figuur bereken je eerst de hoogte van een opstaand zijvlak: √6²− 1,5²=

√33,75. Voor de aanzichten bereken je de hoogte van de afgeknotte piramide zelf: √6²− (1,5√2)²=

√31,5. De uitslag wordt:

Voor de uitslag van de rechterfiguur bereken je de zijden van Δ𝑃𝑄𝑅. Deze zijn allemaal √(8). Hier zie je de uitslag en de drie aanzichten:

8 Het wordt een piramide 𝑇.𝐴𝐵𝐶𝐷 met grondvlak 𝐴𝐵𝐶𝐷 een rechthoek van 4 bij 3.

De top 𝑇 zit recht boven punt 𝐶 met 𝐶𝑇 = 3.

a

9 Je berekent de omtrek van de grondcirkel van de kegel en de omtrek van de cirkel waar de kegelmantel een deel van is. De grootte van dat deel wordt bepaald door de sectorhoek. Deel je de omtrek van de grondcirkel door de omtrek van de cirkel waar de kegelmantel een deel van is, dan weet je welk deel van de 360^∘de sectorhoek is. Je vindt ongeveer 113^∘.

Voor de uitslag teken je nu de cirkel met straal 𝐴𝑇 = √40.

Daarbinnen meet je een sector met (met het middelpunt als hoekpunt) een hoek van 113^∘af.

De grondcirkel van de kegel voeg je nog toe.

b Zie figuur.

c Zie figuur.

a

10 Uit 6 gelijkbenige driehoeken met hoeken van (³⁶⁰₆ )^∘= 60^∘.

Deze zeshoek bestaat daarom uit 6 gelijkzijdige driehoeken met zijden van 4 cm.

b Maak een cirkel met straal 4 cm. Zet in het middelpunt naast elkaar 6 hoeken van 60^∘uit. De benen van die hoeken snijden de cirkel in 6 punten. Als je steeds twee opvolgende punten met elkaar verbindt, krijg je de regelmatige zeshoek.

c Zie figuur.

d Van het grondvlak zijn alle ribben 4 eenheden, het gaat dus om de opstaande ribben.

Ribbe 𝐷𝑇 = 6 en ribben 𝐶𝑇 = 𝐸𝑇 = √4²+ 6²= √52.

Ribben 𝐵𝑇 = 𝐹𝑇 =√(4√3)²+ 6²= √84.

Ribbe 𝐴𝑇 = √8²+ 6²= 10.

e Zie figuur.

a

11 Bij twijfel laten controleren.

b Zie figuur.

c Vlak 𝑃𝐵𝑄𝐻 is een ruit met zijden van √6²+ 3²= √45 cm.

Diagonaal 𝑃𝑄 = √(72) cm.

Met behulp van goniometrie bereken je ∠𝑃𝐻𝑄 = ∠𝑃𝐵𝑄 ≈ 78^∘. De andere twee hoeken zijn 102^∘. a

12 Zie figuur.

b Zie figuur

a

13 Het grondvlak van de piramide bestaat uit vijf gelijkbenige driehoeken met een tophoek van 72^∘ en een basis van 4 cm.

De twee benen van deze driehoeken hebben een lengte van 𝐴𝑆 = (u�u�u�(36))² ≈ 3,4 cm. Dat is de straal

15 De (stijve) kegelrok heeft de vorm van een afgeknotte kegel.

De grondcirkel heeft een omtrek van ³₄⋅ 2𝜋 ⋅ 119 = 178,5𝜋. De straal van de grondcirkel is dus 89,25 cm.

De bovencirkel heeft een omtrek van³₄⋅ 2𝜋 ⋅ 19 = 28,5𝜋. De straal van de bovencirkel is dus 14,25 cm.

Hiermee kun je de aanzichten tekenen. Eventueel kun je ook nog de hoogte van de afgeknotte kegel berekenen (≈ 66,1 cm), maar nodig is dat niet. Het zijaanzicht zie je hiernaast.

16 Het bovenvlak en het ondervlak zijn regelmatige achthoeken. Die bestaan uit acht gelijkbenige driehoe- ken met een tophoek van 45^∘en een basis van 5 cm. De twee benen van deze driehoeken hebben een lengte van(u�u�u�(22,5^{2,5 ∘}))≈ 6,5 cm. Dat is de straal van de cirkel waar de hoekpunten van deze achthoeken op liggen.

De zijkant bestaat uit 16 gelijkzijdige driehoeken met zijden van 5 cm.

a

17 Het is alleen nodig om de hoogte van 𝑇.𝐴𝐵𝐶𝐷 te berekenen, die is √(18) cm. De rest kun je construeren met passer en liniaal.

b Zie figuur.

18 Je moet alleen de sectorhoek berekenen met behulp van de omtrek van de grondcirkel van de afgeknotte kegel en de omtrek van de cirkel met straal 6 waar hij deel van is.

2.4 Doorsneden

a

1 Bekijk de ?Uitleg?.

b In de richting 𝑃𝑄 of in de richting 𝐴𝐺.

c Een ruit.

d Bekijk de ?Uitleg?. De hoeken bereken je door goniometrie te gebruiken in één van de vier rechthoekige driehoeken die ontstaan als je beide diagonalen tekent. Ga na, dat je twee hoeken van 78^∘ en twee hoeken van 102^∘vindt.

e De oppervlakte is ¹₂⋅ √50 ⋅ √75 ≈ 30,6 cm².

a

2 Ze liggen in één vlak en kunnen elkaar alleen nog snijden of ze zijn evenwijdig. Ze liggen ook in twee vlakken die evenwijdig zijn. En dus kunnen ze elkaar niet snijden; ze moeten wel evenwijdig zijn.

b 𝐴𝐶𝐺𝐸 is een rechthoek van 𝐴𝐶 = 𝐸𝐺 = √(50) bij 𝐶𝐺 = 𝐴𝐸 = 5.

Dat 𝐴𝐺 en 𝐸𝑀 loodrecht op elkaar staan kun je aantonen door de zijden van Δ𝐸𝑆𝐺 te berekenen, waarin 𝑆 het snijpunt van 𝐸𝑀 en 𝐴𝐺 is. Met verhoudingen kun je laten zien dat 𝑆𝐺 =²₃𝐴𝐺 =²₃√75 en 𝐸𝑆 =²₃√37,5. In Δ𝐸𝑆𝐺 klopt nu de stelling van Pythagoras, dus deze driehoek heeft een rechte hoek bij punt 𝑆.

c Omdat je er dan loodrecht op kijkt.

d 𝐴𝐺 = √(75) en 𝑃𝑄 = √(50).

e Er zijn twee hoeken van ongeveer 78, 5^u�en twee hoeken van ongeveer 101, 5^u�. a

3 De snijlijn door 𝑃 met vlak 𝐵𝐶𝐺𝐹 moet evenwijdig zijn met die met vlak 𝐴𝐷𝐻𝐸. Dat is het geval als de driehoeken 𝐴𝐻𝐸 en 𝑃𝑅𝐹 gelijkvormig zijn. Daarom moet 𝐹𝑅 = 2,5 cm en dus het midden van 𝐹𝐺 zijn.

b Doen.

c Vierhoek 𝐴𝑃𝑅𝐻 bevat alle snijlijnen van het valk door 𝐴, 𝑃 en 𝐻 met de kubus. Alle punten erbinnen horen daarom bij de doorsnede, alle punten erbuiten niet want die liggen buiten de kubus.

a

4 𝐴𝐹 = √6²+ 3²= √45, 𝐹𝑃 = √3²+ 2²= √13, 𝑃𝑄 = √4²+ 2²= √20 en 𝐴𝑄 = √3²+ 1²= √10.

b 𝐴𝑃 =

√(√18)²+ 4²= √34 en 𝐹𝑄 =√(√45)²+ 1²= √46.

c Omdat voorvlak en achtervlak van de balk evenwijdige vlakken zijn, zijn ook de snijlijnen met vlak 𝐴𝐹𝑃𝑄 evenwijdig: 𝐴𝐹//𝑃𝑄.

d Begin zoals in voorbeeld 1 is te zien en teken dan 𝑃𝑄 evenwijdig aan 𝐴𝐹 om punt 𝑄 te vinden.

a

5 Doen.

b u�u�u� (∠𝑇𝑃𝑄) = ^√8_1,5geeft ∠𝑇𝑃𝑄 ≈ 62^∘en dan is ∠𝑅𝑄𝑃 = 180^∘− ∠𝑇𝑃𝑄 ≈ 118^∘. De oppervlakte van het trapezium is √8 ⋅ 1,5 + 0,5 ⋅ √8 ⋅ 1,5 = 4,5√2.

a

6 Eerst worden de lijnstukken 𝑃𝑄 en 𝑄𝑅 getekend.

Omdat 𝑄𝑅 in vlak 𝐵𝐶𝐺𝐹 ligt kan die lijn in dat vlak worden verlengd. In het grondvlak snijdt 𝑄𝑅 het verlengde van 𝐶𝐵 in 𝐾. In het achtervlak snijdt 𝑄𝑅 het verlengde van 𝐶𝐺 in 𝐿. De lijn door 𝐾 en 𝑃 is de snijlijn van vlak 𝑃𝑄𝑅 met het grondvlak. De lijn door 𝐿 en evenwijdig aan 𝑃𝑄 is de snijlijn van vlak 𝑃𝑄𝑅 met het achtervlak. Dit levert de punten 𝑆, 𝑇 en 𝑈 op de ribben op die ook in vlak 𝑃𝑄𝑅 liggen.

De gevraagde doorsnede is 𝑃𝑄𝑅𝑆𝑇𝑈.

b Elke gelijkzijdige driehoek in 𝑃𝑄𝑅𝑆𝑇𝑈 heeft zijden van 4√2 cm.

De hoogte ervan is daarom (goniometrie of de stelling van Pythagoras) 2√6 cm.

De oppervlakte van 𝑃𝑄𝑅𝑆𝑇𝑈 is dus 6 ⋅ 0, 5 ⋅ 4√2 ⋅ 2√6 = 24√12 = 48√3 cm². c Verleng 𝐸𝑆 tot hij het verlengde van 𝐹𝐺 snijdt in 𝑁.

Trek snijlijn 𝑁𝑄. Deze lijn snijdt 𝐶𝐺 in 𝑉. De gevraagde doorsnede is vierhoek 𝐸𝑄𝑉𝑆.

a

7 Ze liggen beide in vlak 𝑇𝐴𝐶. 𝐾 ligt op 𝐴𝐶 en 𝐴𝐶 ligt in zijn geheel in het grondvlak 𝐴𝐵𝐶𝐷.

b Teken de lijn 𝐾𝑃. Die lijn ligt in het grondvlak en in vlak 𝑃𝑄𝑅 en snijdt 𝐵𝐶 in 𝑀 en 𝐷𝐶 in 𝐿. Trek vervolgens de lijn door 𝐿 en 𝑄. Die lijn ligt in het achtervlak en snijdt daarom 𝐷𝑇 in 𝑁. 𝑃𝑀𝑄𝑁𝑅 is de gevraagde doorsnede.

a

8 Zie figuur.

b Wil je dit echt goed doen, dan is het nog behoorlijk lastig!

Bekijk de figuur. Begin met het paarse diagonaalvlak op ware grootte te tekenen. Eén van de diagonalen van dit vlak (rode streepjeslijn) wordt de verticale as van de kubus. Maak de kubus af.

Nu verdeel je voor de vloeren de verticale diagonaal in vier gelijke delen. Er komen dan drie punten op te liggen die op de juiste vloerhoogte liggen. Trek door die punten lijnen loodrecht op de verticale diagonaal en bepaal hun snijpunten met de zijvlakken of hoekpunten van de kubus. Maak met behulp van evenwijdigheid (o.a. aan de gestippelde zijvlaksdiagonalen) de vloeren af.

a

9 Δ𝐺𝐻𝐷 is een gelijkbenige driehoek met 𝐺𝐷 = 𝐻𝐷 = 5 en 𝐺𝐻 = 4√2.

b u�u�u� (∠𝐻𝐺𝐷) = ^2√2₅ , dus ∠𝐻𝐺𝐷 ≈ 56^∘. Daarom is ∠𝐺𝐻𝐷 ≈ 56^∘en ∠𝐻𝐷𝐺 ≈ 68^∘. c 𝐷𝐻 en 𝐴𝐶 verlengen geeft snijpunt 𝐾.

𝐴𝐵 en 𝐷𝐺 verlengen geeft snijpunt 𝐿.

De lijn door 𝐾 en 𝐿 is de gevraagde lijn.

a

10 Het makkelijkst gaat dit door een bovenaanzicht te tekenen en daarin de opstaande ribben te halveren.

b De omtrek is 4 ⋅ 2 + 4 ⋅¹₂√2 = 8 + 2√2.

11 Verleng 𝐴𝐵 en 𝑄𝑃 tot ze elkaar snijden in 𝐾.

𝐾𝐶 is een lijn in vlak 𝑃𝑄𝐶 en snijdt ribbe 𝐴𝐷 in 𝐿.

De gevraagde doorsnede is vierhoek 𝑃𝑄𝐶𝐿.

12 Er zijn zeker twee geschikte manieren om dit te doen:

> Trek een lijn door 𝑅 en evenwijdig met 𝑃𝑄. Deze lijn snijdt 𝐷𝐹 in 𝑆. 𝑃𝑄𝑅𝑆 is de gevraagde door- snede.

> Verleng 𝑄𝑅 en 𝐶𝐹 tot ze elkaar snijden in 𝐾. Trek lijn 𝐾𝑃. Deze lijn snijdt 𝐷𝐹 in 𝑆. 𝑃𝑄𝑅𝑆 is de grvraagde doorsnede.

13 Teken lijnstuk 𝐴𝑃 en een lijn door 𝑄 en evenwijdig 𝐴𝑃.

Deze lijn snijdt 𝐷𝐶 in 𝑅.

Teken 𝐴𝑅 en een lijn door 𝑃 en evenwijdig met 𝐴𝑅. Deze lijn snijdt 𝐹𝐺 in 𝑆.

𝐴𝑃𝑆𝑄𝑅 is de gevraagde doorsnede.

a

14 𝐴𝐸 = 𝐴𝐺 en dus staat 𝐴𝑀 (𝑀 is het snijpunt van 𝐺𝐸 en 𝐴𝐹) loodrecht op 𝐺𝐸 en dus staat ook 𝐴𝐹 loodrecht op 𝐺𝐸. Een vierhoek waarvan de diagonalen loodrecht op elkaar staan is een vlieger.

b Hier wordt 𝐺𝐸 =¹₂𝐵𝐷 = 2√2 door 𝐴𝐹 loodrecht middendoor gedeeld.

𝐴𝑀 =√(¹₂𝐴𝐶)²+ (¹₂𝑇𝑆)²= √14¹4≈ 3,8.

De lengte van 𝐴𝐹 kun je bepalen door Δ𝐴𝐶𝑇 met daarin 𝐴𝐹 als verlengde van 𝐴𝑀 (𝑀 is het midden