Vergelijkingen
We gaan een aantal verschillende vergelijkingen oplossen. Er is niet één manier die altijd werkt. Bij de uitwerkingen wordt aangegeven wat de oplossingsstrategie is en waarom.
Oefeningen
1) los op:
2) los op:
3) los op, zonder abc-formule:
4) los op, door ontbinden in factoren:
5) los op:
6) los op:
7) los op, zonder abc-formule:
8) los op, zonder abc-formule:
9) los op:
10) los op:
11) los op:
12) los op:
13) los op:
14) druk p uit in q:
15) bereken het snijpunt van deze twee functies:
16) Een werknemer heeft met zijn baas afgesproken, dat hij de eerstkomende 8 jaar 1,8 % loonsverhoging krijgt per jaar. In onderstaande tabel zie je het loon na 1 jaar, 2 jaar en 3 jaar
Er is hier sprake van een exponentiële functie. Bepaal de bijbehorende formule voor het loon (L, in euro) als functie van tijd (t, in jaar).
(x − 6) (x + 5) = 0 2 (b − 5) = 40 x 2 − 5x = − 6 K 2 = 169
7 a = 49 4x
12 = 3x − 4 18 p 2 = 256
(p − 5) 2 − 64 = 0 p = 9
4p+ 2 5 = 0
3 − 7p = − 3 + 9p 5t = 2t 2 + 3 p 7 − 6 = 0 q = 2p − 8 5
y 1 = 7 y 2 = 5 2x − 5
t (jaar) 1 2 4
loon (€) 35630 36271,34 37588,86
Uitwerkingen
1) Wat je hier ziet is een kwadratische vergelijking die al ontbonden is in factoren: .
Oplossing: als dan geldt en/of . Dus: en/of .
2) I. Je kunt hier eerst de haakjes wegwerken: II. Of je deelt meteen beide zijden door 2:
3) Zonder abc-formule zijn er nog twee mogelijkheden om een kwadratische vergelijking op te lossen; ontbinden in factoren of kwadraat afsplitsen. Omdat het tweede getal (–5) oneven is, kiezen we voor ontbinden in factoren.
(naar 0 herleiden)
(ontbinden in factoren)
4) Let op! Je bent waarschijnlijk geneigd om hier van te maken. Ten eerste krijg je dan maar één oplossing en het is ook niet ontbinden in factoren. Hieronder staat wat je wél moet doen.
(naar 0 herleiden, let op het introduceren van 0K) (ontbinden in factoren)
5) Let op! Als je dit te snel leest, schrijf je misschien op. Trap er niet in, dit is een valstrik.
6) Twee breuken of delingen die gelijk aan elkaar zijn, mag je kruislings vermenigvuldigen.
voorbeeld:
7) Zie ook opgave 4.
(naar 0 herleiden, let op het introduceren van 0p) (ontbinden in factoren)
(x − 6) (x + 5) = 0 a × b = 0 a = 0 b = 0 (x − 6) = 0 (x + 5) = 0
⇔ x − 6 = 0 of x + 5 = 0
⇔ x = 6 of x = − 5
2 (b − 5) = 40 2 (b − 5) = 40
⇔ 2b − 10 = 40 ⇔ (b − 5) = 20
⇔ 2b = 50 ⇔ b − 5 = 20
⇔ b = 25 ⇔ b = 25
x
2− 5x = − 6
⇔ x
2− 5x + 6 = 0
⇔ (x − 2) (x − 3) = 0
⇔ x − 2 = 0 of x − 3 = 0
⇔ x = 2 of x = 3
K = 169 K
2= 169
⇔ K
2+ 0K − 169 = 0
⇔ (K + 13) (K − 13) = 0
⇔ K + 13 = 0 of K − 13 = 0
⇔ K = − 13 of K = 13
a = 7 7
a = 49 ⇔ a = 7 49 =
17a
b = c d → a × d = b × c 4x
12 = 3x − 4 18
⇔ 4x × 18 = 12 × (3x − 4)
⇔ 72x = 36x − 48
⇔ 36x = − 48
⇔ x = − 48 ÷ 36 = − 1
13p
2= 256
⇔ p
2+ 0p − 256 = 0
⇔ (p + 16) (p − 16) = 0
⇔ p + 16 = 0 of p − 16 = 0
⇔ p = − 16 of p = 16
8)
(denk eraan twee oplossingen!)
9) Let op! Als je dit te snel leest, schrijf je misschien op. Trap er niet in, dit is een valstrik.
Kijk naar dit getallenvoorbeeld: , dus als je links de wortel weghaalt, moet je rechts een kwadraat toevoegen.
10)
11)
(let op, als je een breuk als antwoord kunt geven moet je dat doen)
12) Eerst naar 0 herleiden en dan de abc-formule gebruiken, want het getal voor het kwadraat ≠ 1 en ≠ –1
en
en
13)
14) Dit betekent dat je de formule zo moet herschrijven dat er staat p = ……
(p − 5)
2− 64 = 0
⇔ (p − 5)
2= 64
⇔ (p − 5) = 64 of (p − 5) = − 64
⇔ p − 5 = 8 of p − 5 = − 8
⇔ p = 13 of p = − 3
p = 3 16 = 4 → 16 = 4
2p = 9 → p = 9
2= 81
4p+
25= 0
⇔ 4p = −
25⇔ p = −
25÷ 4 = −
1013 − 7p = − 3 + 9p
⇔ − 7p − 9p = − 3 − 3
⇔ − 16p = − 6
⇔ p = − 6 ÷ −16 =
385t = 2t
2+ 3
⇔ − 2t
2+ 5t − 3 = 0
⇔ a = − 2 b = 5 c = − 3
⇔ t
1,2= −b ± b
2− 4a c 2a
⇔ t
1,2= −5 ± 5
2− 4 ⋅ −2 ⋅ −3 2 ⋅ −2
⇔ t
1,2= −5 ± 1
−4
⇔ t
1= −5 + 1 −4 t
2= −5 − 1 −4
⇔ t
1= 1 t
2= 1
12p
7− 6 = 0
⇔ p
7= 6
⇔ p =
76 ≈ 1,29
q = 2p − 8 5
⇔ 2p − 8 = 5q
⇔ 2p = 5q + 8
⇔ p = 2
12q + 4
15)
Voor het berekenen van snijpunten de functies altijd eerst gelijkstellen:
We zijn op zoek naar een macht, want staat op de plek van de macht. Dat betekent dat we een logaritme moeten uitrekenen, want ‘log’ = ‘tot de macht wát is’.
16) Bij een rente van 1,8% is de groeifactor: . Het startbedrag is € 35.630,-
Formule:
