Wiskunde logica Werkcollege 10 Jolien Oomens 21 april 2017

Jolien Oomens Werkcollege 10 21 april 2017 1 / 6

Wiskunde logica

Werkcollege 10 Jolien Oomens 21 april 2017

Opgave 5(a)

Bewijs dat K elementair is dan en slechts dan als er een eindig systeem van axioma’s bestaat.

De implicatie “ =⇒ ” is triviaal.

“ ⇐= ”: Stel dat K = Mod(Φ) met Φ = {ϕ₁, . . . , ϕ_n}. Definieer nu

ψ = ϕ1∧ · · · ∧ ϕ_n. Dan geldt K = Mod({ψ}), dus K is elementair.

Jolien Oomens Werkcollege 10 21 april 2017 2 / 6

Opgave 5(a)

Bewijs dat K elementair is dan en slechts dan als er een eindig systeem van axioma’s bestaat.

De implicatie “ =⇒ ” is triviaal.

“ ⇐= ”: Stel dat K = Mod(Φ) met Φ = {ϕ₁, . . . , ϕ_n}. Definieer nu

ψ = ϕ1∧ · · · ∧ ϕ_n. Dan geldt K = Mod({ψ}), dus K is elementair.

Jolien Oomens Werkcollege 10 21 april 2017 2 / 6

Opgave 5(a)

Bewijs dat K elementair is dan en slechts dan als er een eindig systeem van axioma’s bestaat.

De implicatie “ =⇒ ” is triviaal.

“ ⇐= ”: Stel dat K = Mod(Φ) met Φ = {ϕ₁, . . . , ϕ_n}.

Definieer nu

ψ = ϕ1∧ · · · ∧ ϕ_n. Dan geldt K = Mod({ψ}), dus K is elementair.

Jolien Oomens Werkcollege 10 21 april 2017 2 / 6

Opgave 5(a)

Bewijs dat K elementair is dan en slechts dan als er een eindig systeem van axioma’s bestaat.

De implicatie “ =⇒ ” is triviaal.

“ ⇐= ”: Stel dat K = Mod(Φ) met Φ = {ϕ₁, . . . , ϕ_n}. Definieer nu

ψ = ϕ1∧ · · · ∧ ϕ_n.

Dan geldt K = Mod({ψ}), dus K is elementair.

Jolien Oomens Werkcollege 10 21 april 2017 2 / 6

Opgave 5(a)

Bewijs dat K elementair is dan en slechts dan als er een eindig systeem van axioma’s bestaat.

De implicatie “ =⇒ ” is triviaal.

“ ⇐= ”: Stel dat K = Mod(Φ) met Φ = {ϕ₁, . . . , ϕ_n}. Definieer nu

ψ = ϕ1∧ · · · ∧ ϕ_n. Dan geldt K = Mod({ψ}), dus K is elementair.

Jolien Oomens Werkcollege 10 21 april 2017 2 / 6

Opgave 5(b)

Als K elementair is en K = Mod(Φ) dan is er een eindige ϕ0⊆ Φ zodat K = Mod(Φ0).

We hebben K = Mod({ϕ}) voor een zekere formule ϕ. De verzameling Φ ∪ {¬ϕ} is onvervulbaar, dus er is een eindige deelverzameling Φ₀∪ {¬ϕ} die onvervulbaar is.

Het is zeker waar dat Mod(Φ) ⊆ Mod(Φ0).

Zij M ∈ Mod Φ₀. Omdat Φ₀∪ {¬ϕ} inconsistent is volgt dat M 6|= ¬ϕ dus M |= ϕ. Hieruit volgt dat M een element is van Mod({ϕ}) = Mod(Φ).

Jolien Oomens Werkcollege 10 21 april 2017 3 / 6

Opgave 5(b)

Als K elementair is en K = Mod(Φ) dan is er een eindige ϕ0⊆ Φ zodat K = Mod(Φ0).

We hebben K = Mod({ϕ}) voor een zekere formule ϕ.

De verzameling Φ ∪ {¬ϕ} is onvervulbaar, dus er is een eindige deelverzameling Φ₀∪ {¬ϕ} die onvervulbaar is.

Het is zeker waar dat Mod(Φ) ⊆ Mod(Φ0).

Zij M ∈ Mod Φ₀. Omdat Φ₀∪ {¬ϕ} inconsistent is volgt dat M 6|= ¬ϕ dus M |= ϕ. Hieruit volgt dat M een element is van Mod({ϕ}) = Mod(Φ).

Jolien Oomens Werkcollege 10 21 april 2017 3 / 6

Opgave 5(b)

Als K elementair is en K = Mod(Φ) dan is er een eindige ϕ0⊆ Φ zodat K = Mod(Φ0).

We hebben K = Mod({ϕ}) voor een zekere formule ϕ. De verzameling Φ ∪ {¬ϕ} is onvervulbaar,

dus er is een eindige deelverzameling Φ₀∪ {¬ϕ} die onvervulbaar is.

Het is zeker waar dat Mod(Φ) ⊆ Mod(Φ0).

Zij M ∈ Mod Φ₀. Omdat Φ₀∪ {¬ϕ} inconsistent is volgt dat M 6|= ¬ϕ dus M |= ϕ. Hieruit volgt dat M een element is van Mod({ϕ}) = Mod(Φ).

Jolien Oomens Werkcollege 10 21 april 2017 3 / 6

Opgave 5(b)

Als K elementair is en K = Mod(Φ) dan is er een eindige ϕ0⊆ Φ zodat K = Mod(Φ0).

We hebben K = Mod({ϕ}) voor een zekere formule ϕ. De verzameling Φ ∪ {¬ϕ} is onvervulbaar, dus er is een eindige deelverzameling Φ₀∪ {¬ϕ} die onvervulbaar is.

Het is zeker waar dat Mod(Φ) ⊆ Mod(Φ0).

Zij M ∈ Mod Φ₀. Omdat Φ₀∪ {¬ϕ} inconsistent is volgt dat M 6|= ¬ϕ dus M |= ϕ. Hieruit volgt dat M een element is van Mod({ϕ}) = Mod(Φ).

Jolien Oomens Werkcollege 10 21 april 2017 3 / 6

Opgave 5(b)

Als K elementair is en K = Mod(Φ) dan is er een eindige ϕ0⊆ Φ zodat K = Mod(Φ0).

We hebben K = Mod({ϕ}) voor een zekere formule ϕ. De verzameling Φ ∪ {¬ϕ} is onvervulbaar, dus er is een eindige deelverzameling Φ₀∪ {¬ϕ} die onvervulbaar is.

Het is zeker waar dat Mod(Φ) ⊆ Mod(Φ0).

Zij M ∈ Mod Φ₀. Omdat Φ₀∪ {¬ϕ} inconsistent is volgt dat M 6|= ¬ϕ dus M |= ϕ. Hieruit volgt dat M een element is van Mod({ϕ}) = Mod(Φ).

Jolien Oomens Werkcollege 10 21 april 2017 3 / 6

Opgave 5(b)

Als K elementair is en K = Mod(Φ) dan is er een eindige ϕ0⊆ Φ zodat K = Mod(Φ0).

We hebben K = Mod({ϕ}) voor een zekere formule ϕ. De verzameling Φ ∪ {¬ϕ} is onvervulbaar, dus er is een eindige deelverzameling Φ₀∪ {¬ϕ} die onvervulbaar is.

Het is zeker waar dat Mod(Φ) ⊆ Mod(Φ0).

Zij M ∈ Mod Φ₀.

Omdat Φ₀∪ {¬ϕ} inconsistent is volgt dat M 6|= ¬ϕ dus M |= ϕ. Hieruit volgt dat M een element is van Mod({ϕ}) = Mod(Φ).

Jolien Oomens Werkcollege 10 21 april 2017 3 / 6

Opgave 5(b)

Als K elementair is en K = Mod(Φ) dan is er een eindige ϕ0⊆ Φ zodat K = Mod(Φ0).

We hebben K = Mod({ϕ}) voor een zekere formule ϕ. De verzameling Φ ∪ {¬ϕ} is onvervulbaar, dus er is een eindige deelverzameling Φ₀∪ {¬ϕ} die onvervulbaar is.

Het is zeker waar dat Mod(Φ) ⊆ Mod(Φ0).

Zij M ∈ Mod Φ₀. Omdat Φ₀∪ {¬ϕ} inconsistent is volgt dat M 6|= ¬ϕ dus M |= ϕ.

Hieruit volgt dat M een element is van Mod({ϕ}) = Mod(Φ).

Jolien Oomens Werkcollege 10 21 april 2017 3 / 6

Opgave 5(b)

Als K elementair is en K = Mod(Φ) dan is er een eindige ϕ0⊆ Φ zodat K = Mod(Φ0).

We hebben K = Mod({ϕ}) voor een zekere formule ϕ. De verzameling Φ ∪ {¬ϕ} is onvervulbaar, dus er is een eindige deelverzameling Φ₀∪ {¬ϕ} die onvervulbaar is.

Het is zeker waar dat Mod(Φ) ⊆ Mod(Φ0).

Zij M ∈ Mod Φ₀. Omdat Φ₀∪ {¬ϕ} inconsistent is volgt dat M 6|= ¬ϕ dus M |= ϕ. Hieruit volgt dat M een element is van Mod({ϕ}) = Mod(Φ).

Jolien Oomens Werkcollege 10 21 april 2017 3 / 6

Opgave 6(a)

Zij K1⊆ K en K2= K \ K1. Stel dat K elementair is en K1∆-elementair is.

Bewijs dat K1elementair is dan en slechts dan als K2∆-elementair is.

“ =⇒ ”: Stel dat K₁ = Mod({ϕ}). Schrijf K = Mod({ψ}). De formule ψ ∧ ¬ϕ beschrijft nu precies K₂, dus K₂ is zelfs elementair.

“ ⇐= ”: Stel dat K2 = Mod(Ψ). Schrijf K1 = Mod(Φ). De verzameling Φ ∪ Ψ is onvervulbaar dus er is een eindige deelverzameling Φ₀∪ Ψ₀ die onvervulbaar is. Er geldt nu K₁ = Mod(Φ0∪ {ψ}). Deze verzameling is eindig, dus K₁ is elementair.

(Bewijs: stel dat M |= Φ0 en M |= ψ. Dan kan M geen model zijn van Ψ0, dus M 6∈ Mod(Ψ) = K2. Omdat M wel een model is van ψ geldt M ∈ K \ K₂ = K₁.)

Jolien Oomens Werkcollege 10 21 april 2017 4 / 6

Opgave 6(a)

Zij K1⊆ K en K2= K \ K1. Stel dat K elementair is en K1∆-elementair is.

Bewijs dat K1elementair is dan en slechts dan als K2∆-elementair is.

“ =⇒ ”: Stel dat K₁ = Mod({ϕ}).

Schrijf K = Mod({ψ}). De formule ψ ∧ ¬ϕ beschrijft nu precies K₂, dus K₂ is zelfs elementair.

“ ⇐= ”: Stel dat K2 = Mod(Ψ). Schrijf K1 = Mod(Φ). De verzameling Φ ∪ Ψ is onvervulbaar dus er is een eindige deelverzameling Φ₀∪ Ψ₀ die onvervulbaar is. Er geldt nu K₁ = Mod(Φ0∪ {ψ}). Deze verzameling is eindig, dus K₁ is elementair.

(Bewijs: stel dat M |= Φ0 en M |= ψ. Dan kan M geen model zijn van Ψ0, dus M 6∈ Mod(Ψ) = K2. Omdat M wel een model is van ψ geldt M ∈ K \ K₂ = K₁.)

Jolien Oomens Werkcollege 10 21 april 2017 4 / 6

Opgave 6(a)

Zij K1⊆ K en K2= K \ K1. Stel dat K elementair is en K1∆-elementair is.

Bewijs dat K1elementair is dan en slechts dan als K2∆-elementair is.

“ =⇒ ”: Stel dat K₁ = Mod({ϕ}). Schrijf K = Mod({ψ}).

De formule ψ ∧ ¬ϕ beschrijft nu precies K₂, dus K₂ is zelfs elementair.

“ ⇐= ”: Stel dat K2 = Mod(Ψ). Schrijf K1 = Mod(Φ). De verzameling Φ ∪ Ψ is onvervulbaar dus er is een eindige deelverzameling Φ₀∪ Ψ₀ die onvervulbaar is. Er geldt nu K₁ = Mod(Φ0∪ {ψ}). Deze verzameling is eindig, dus K₁ is elementair.

(Bewijs: stel dat M |= Φ0 en M |= ψ. Dan kan M geen model zijn van Ψ0, dus M 6∈ Mod(Ψ) = K2. Omdat M wel een model is van ψ geldt M ∈ K \ K₂ = K₁.)

Jolien Oomens Werkcollege 10 21 april 2017 4 / 6

Opgave 6(a)

Zij K1⊆ K en K2= K \ K1. Stel dat K elementair is en K1∆-elementair is.

Bewijs dat K1elementair is dan en slechts dan als K2∆-elementair is.

“ =⇒ ”: Stel dat K₁ = Mod({ϕ}). Schrijf K = Mod({ψ}). De formule ψ ∧ ¬ϕ beschrijft nu precies K₂, dus K₂ is zelfs elementair.

“ ⇐= ”: Stel dat K2 = Mod(Ψ). Schrijf K1 = Mod(Φ). De verzameling Φ ∪ Ψ is onvervulbaar dus er is een eindige deelverzameling Φ₀∪ Ψ₀ die onvervulbaar is. Er geldt nu K₁ = Mod(Φ0∪ {ψ}). Deze verzameling is eindig, dus K₁ is elementair.

(Bewijs: stel dat M |= Φ0 en M |= ψ. Dan kan M geen model zijn van Ψ0, dus M 6∈ Mod(Ψ) = K2. Omdat M wel een model is van ψ geldt M ∈ K \ K₂ = K₁.)

Jolien Oomens Werkcollege 10 21 april 2017 4 / 6

Opgave 6(a)

Zij K1⊆ K en K2= K \ K1. Stel dat K elementair is en K1∆-elementair is.

Bewijs dat K1elementair is dan en slechts dan als K2∆-elementair is.

“ =⇒ ”: Stel dat K₁ = Mod({ϕ}). Schrijf K = Mod({ψ}). De formule ψ ∧ ¬ϕ beschrijft nu precies K₂, dus K₂ is zelfs elementair.

“ ⇐= ”: Stel dat K2 = Mod(Ψ).

Schrijf K1 = Mod(Φ). De verzameling Φ ∪ Ψ is onvervulbaar dus er is een eindige deelverzameling Φ₀∪ Ψ₀ die onvervulbaar is. Er geldt nu K₁ = Mod(Φ0∪ {ψ}). Deze verzameling is eindig, dus K₁ is elementair.

(Bewijs: stel dat M |= Φ0 en M |= ψ. Dan kan M geen model zijn van Ψ0, dus M 6∈ Mod(Ψ) = K2. Omdat M wel een model is van ψ geldt M ∈ K \ K₂ = K₁.)

Jolien Oomens Werkcollege 10 21 april 2017 4 / 6

Opgave 6(a)

Zij K1⊆ K en K2= K \ K1. Stel dat K elementair is en K1∆-elementair is.

Bewijs dat K1elementair is dan en slechts dan als K2∆-elementair is.

“ =⇒ ”: Stel dat K₁ = Mod({ϕ}). Schrijf K = Mod({ψ}). De formule ψ ∧ ¬ϕ beschrijft nu precies K₂, dus K₂ is zelfs elementair.

“ ⇐= ”: Stel dat K2 = Mod(Ψ). Schrijf K1 = Mod(Φ).

De verzameling Φ ∪ Ψ is onvervulbaar dus er is een eindige deelverzameling Φ₀∪ Ψ₀ die onvervulbaar is. Er geldt nu K₁ = Mod(Φ0∪ {ψ}). Deze verzameling is eindig, dus K₁ is elementair.

(Bewijs: stel dat M |= Φ0 en M |= ψ. Dan kan M geen model zijn van Ψ0, dus M 6∈ Mod(Ψ) = K2. Omdat M wel een model is van ψ geldt M ∈ K \ K₂ = K₁.)

Jolien Oomens Werkcollege 10 21 april 2017 4 / 6

Opgave 6(a)

Zij K1⊆ K en K2= K \ K1. Stel dat K elementair is en K1∆-elementair is.

Bewijs dat K1elementair is dan en slechts dan als K2∆-elementair is.

“ =⇒ ”: Stel dat K₁ = Mod({ϕ}). Schrijf K = Mod({ψ}). De formule ψ ∧ ¬ϕ beschrijft nu precies K₂, dus K₂ is zelfs elementair.

“ ⇐= ”: Stel dat K2 = Mod(Ψ). Schrijf K1 = Mod(Φ). De verzameling Φ ∪ Ψ is onvervulbaar dus er is een eindige deelverzameling Φ₀∪ Ψ₀ die onvervulbaar is.

Er geldt nu K₁ = Mod(Φ0∪ {ψ}). Deze verzameling is eindig, dus K₁ is elementair.

(Bewijs: stel dat M |= Φ0 en M |= ψ. Dan kan M geen model zijn van Ψ0, dus M 6∈ Mod(Ψ) = K2. Omdat M wel een model is van ψ geldt M ∈ K \ K₂ = K₁.)

Jolien Oomens Werkcollege 10 21 april 2017 4 / 6

Opgave 6(a)

Zij K1⊆ K en K2= K \ K1. Stel dat K elementair is en K1∆-elementair is.

Bewijs dat K1elementair is dan en slechts dan als K2∆-elementair is.

“ =⇒ ”: Stel dat K₁ = Mod({ϕ}). Schrijf K = Mod({ψ}). De formule ψ ∧ ¬ϕ beschrijft nu precies K₂, dus K₂ is zelfs elementair.

“ ⇐= ”: Stel dat K2 = Mod(Ψ). Schrijf K1 = Mod(Φ). De verzameling Φ ∪ Ψ is onvervulbaar dus er is een eindige deelverzameling Φ₀∪ Ψ₀ die onvervulbaar is. Er geldt nu K₁ = Mod(Φ0∪ {ψ}).

Deze verzameling is eindig, dus K1 is elementair.

(Bewijs: stel dat M |= Φ0 en M |= ψ. Dan kan M geen model zijn van Ψ0, dus M 6∈ Mod(Ψ) = K2. Omdat M wel een model is van ψ geldt M ∈ K \ K₂ = K₁.)

Jolien Oomens Werkcollege 10 21 april 2017 4 / 6

Opgave 6(a)

Zij K1⊆ K en K2= K \ K1. Stel dat K elementair is en K1∆-elementair is.

Bewijs dat K1elementair is dan en slechts dan als K2∆-elementair is.

“ =⇒ ”: Stel dat K₁ = Mod({ϕ}). Schrijf K = Mod({ψ}). De formule ψ ∧ ¬ϕ beschrijft nu precies K₂, dus K₂ is zelfs elementair.

“ ⇐= ”: Stel dat K2 = Mod(Ψ). Schrijf K1 = Mod(Φ). De verzameling Φ ∪ Ψ is onvervulbaar dus er is een eindige deelverzameling Φ₀∪ Ψ₀ die onvervulbaar is. Er geldt nu K₁ = Mod(Φ0∪ {ψ}). Deze verzameling is eindig, dus K₁ is elementair.

(Bewijs: stel dat M |= Φ0 en M |= ψ. Dan kan M geen model zijn van Ψ0, dus M 6∈ Mod(Ψ) = K2. Omdat M wel een model is van ψ geldt M ∈ K \ K₂ = K₁.)

Jolien Oomens Werkcollege 10 21 april 2017 4 / 6

Opgave 6(a)

Zij K1⊆ K en K2= K \ K1. Stel dat K elementair is en K1∆-elementair is.

Bewijs dat K1elementair is dan en slechts dan als K2∆-elementair is.

“ =⇒ ”: Stel dat K₁ = Mod({ϕ}). Schrijf K = Mod({ψ}). De formule ψ ∧ ¬ϕ beschrijft nu precies K₂, dus K₂ is zelfs elementair.

“ ⇐= ”: Stel dat K2 = Mod(Ψ). Schrijf K1 = Mod(Φ). De verzameling Φ ∪ Ψ is onvervulbaar dus er is een eindige deelverzameling Φ₀∪ Ψ₀ die onvervulbaar is. Er geldt nu K₁ = Mod(Φ0∪ {ψ}). Deze verzameling is eindig, dus K₁ is elementair.

(Bewijs: stel dat M |= Φ0 en M |= ψ. Dan kan M geen model zijn van Ψ0, dus M 6∈ Mod(Ψ) = K2. Omdat M wel een model is van ψ geldt M ∈ K \ K₂ = K₁.)

Jolien Oomens Werkcollege 10 21 april 2017 4 / 6

Opgave 6(b)

Bewijs dat K2∆-elementair is dan en slechts dan als K2elementair is.

“ ⇐= ” is triviaal.

“ =⇒ ”: Als K2 ∆-elementair is dan hebben we K1= Mod({ϕ}) volgens onderdeel (a). Schrijf K = Mod({ψ}). Nu geldt

K₂ = Mod({ψ ∧ ¬ϕ}), dus K₂ is elementair.

Jolien Oomens Werkcollege 10 21 april 2017 5 / 6

Opgave 7

Geef een formule die voor elke n een model heeft met 2n punten (en geen oneven modellen).

Idee: we nemen twee unaire relatiesymbolen R en B zodat voor elk punt ´of Rx geldt ´of Bx . Als er dan een permutatie f bestaat die de kleuren omdraait dan waren blijkbaar evenveel punten rood gekleurd als blauw.

Formeel: Neem S := {R, B, f }. We willen dat voldaan wordt aan ϕ₁ =

∀x(Rx ∨ Bx)

ϕ₂ =

¬∃x(Rx ∧ Bx)

ϕ₃ =

∀x ((Bx → R(fx)) ∧ (Rx → B(fx)))

ϕ4 =

∀x∀y (fx ≡ fy → x ≡ y )

dus we nemen de formule ϕ = ϕ1∧ · · · ∧ ϕ₄.

Jolien Oomens Werkcollege 10 21 april 2017 6 / 6

Opgave 7

Geef een formule die voor elke n een model heeft met 2n punten (en geen oneven modellen).

Idee: we nemen twee unaire relatiesymbolen R en B zodat voor elk punt ´of Rx geldt ´of Bx .

Als er dan een permutatie f bestaat die de kleuren omdraait dan waren blijkbaar evenveel punten rood gekleurd als blauw.

Formeel: Neem S := {R, B, f }. We willen dat voldaan wordt aan ϕ₁ =

∀x(Rx ∨ Bx)

ϕ₂ =

¬∃x(Rx ∧ Bx)

ϕ₃ =

∀x ((Bx → R(fx)) ∧ (Rx → B(fx)))

ϕ4 =

∀x∀y (fx ≡ fy → x ≡ y )

dus we nemen de formule ϕ = ϕ1∧ · · · ∧ ϕ₄.

Jolien Oomens Werkcollege 10 21 april 2017 6 / 6

Opgave 7

Geef een formule die voor elke n een model heeft met 2n punten (en geen oneven modellen).

Idee: we nemen twee unaire relatiesymbolen R en B zodat voor elk punt ´of Rx geldt ´of Bx . Als er dan een permutatie f bestaat die de kleuren omdraait dan waren blijkbaar evenveel punten rood gekleurd als blauw.

Formeel: Neem S := {R, B, f }. We willen dat voldaan wordt aan ϕ₁ =

∀x(Rx ∨ Bx)

ϕ₂ =

¬∃x(Rx ∧ Bx)

ϕ₃ =

∀x ((Bx → R(fx)) ∧ (Rx → B(fx)))

ϕ4 =

∀x∀y (fx ≡ fy → x ≡ y )

dus we nemen de formule ϕ = ϕ1∧ · · · ∧ ϕ₄.

Jolien Oomens Werkcollege 10 21 april 2017 6 / 6

Opgave 7

Geef een formule die voor elke n een model heeft met 2n punten (en geen oneven modellen).

Idee: we nemen twee unaire relatiesymbolen R en B zodat voor elk punt ´of Rx geldt ´of Bx . Als er dan een permutatie f bestaat die de kleuren omdraait dan waren blijkbaar evenveel punten rood gekleurd als blauw.

Formeel: Neem S := {R, B, f }.

We willen dat voldaan wordt aan ϕ₁ =

∀x(Rx ∨ Bx)

ϕ₂ =

¬∃x(Rx ∧ Bx)

ϕ₃ =

∀x ((Bx → R(fx)) ∧ (Rx → B(fx)))

ϕ4 =

∀x∀y (fx ≡ fy → x ≡ y )

dus we nemen de formule ϕ = ϕ1∧ · · · ∧ ϕ₄.

Jolien Oomens Werkcollege 10 21 april 2017 6 / 6

Opgave 7

Geef een formule die voor elke n een model heeft met 2n punten (en geen oneven modellen).

Idee: we nemen twee unaire relatiesymbolen R en B zodat voor elk punt ´of Rx geldt ´of Bx . Als er dan een permutatie f bestaat die de kleuren omdraait dan waren blijkbaar evenveel punten rood gekleurd als blauw.

Formeel: Neem S := {R, B, f }. We willen dat voldaan wordt aan ϕ1 =

∀x(Rx ∨ Bx)

ϕ₂ =

¬∃x(Rx ∧ Bx)

ϕ₃ =

∀x ((Bx → R(fx)) ∧ (Rx → B(fx)))

ϕ4 =

∀x∀y (fx ≡ fy → x ≡ y )

dus we nemen de formule ϕ = ϕ1∧ · · · ∧ ϕ₄.

Jolien Oomens Werkcollege 10 21 april 2017 6 / 6

Opgave 7

Geef een formule die voor elke n een model heeft met 2n punten (en geen oneven modellen).

Idee: we nemen twee unaire relatiesymbolen R en B zodat voor elk punt ´of Rx geldt ´of Bx . Als er dan een permutatie f bestaat die de kleuren omdraait dan waren blijkbaar evenveel punten rood gekleurd als blauw.

Formeel: Neem S := {R, B, f }. We willen dat voldaan wordt aan ϕ1 =∀x(Rx ∨ Bx)

ϕ₂ =

¬∃x(Rx ∧ Bx)

ϕ₃ =

∀x ((Bx → R(fx)) ∧ (Rx → B(fx)))

ϕ4 =

∀x∀y (fx ≡ fy → x ≡ y )

dus we nemen de formule ϕ = ϕ1∧ · · · ∧ ϕ₄.

Jolien Oomens Werkcollege 10 21 april 2017 6 / 6

Opgave 7

Geef een formule die voor elke n een model heeft met 2n punten (en geen oneven modellen).

Idee: we nemen twee unaire relatiesymbolen R en B zodat voor elk punt ´of Rx geldt ´of Bx . Als er dan een permutatie f bestaat die de kleuren omdraait dan waren blijkbaar evenveel punten rood gekleurd als blauw.

Formeel: Neem S := {R, B, f }. We willen dat voldaan wordt aan ϕ1 =∀x(Rx ∨ Bx)

ϕ₂ = ¬∃x (Rx ∧ Bx ) ϕ₃ =

∀x ((Bx → R(fx)) ∧ (Rx → B(fx)))

ϕ4 =

∀x∀y (fx ≡ fy → x ≡ y )

dus we nemen de formule ϕ = ϕ1∧ · · · ∧ ϕ₄.

Jolien Oomens Werkcollege 10 21 april 2017 6 / 6

Opgave 7

Geef een formule die voor elke n een model heeft met 2n punten (en geen oneven modellen).

Idee: we nemen twee unaire relatiesymbolen R en B zodat voor elk punt ´of Rx geldt ´of Bx . Als er dan een permutatie f bestaat die de kleuren omdraait dan waren blijkbaar evenveel punten rood gekleurd als blauw.

Formeel: Neem S := {R, B, f }. We willen dat voldaan wordt aan ϕ1 =∀x(Rx ∨ Bx)

ϕ₂ = ¬∃x (Rx ∧ Bx )

ϕ₃ = ∀x ((Bx → R(fx )) ∧ (Rx → B(fx ))) ϕ4 =

∀x∀y (fx ≡ fy → x ≡ y )

dus we nemen de formule ϕ = ϕ1∧ · · · ∧ ϕ₄.

Jolien Oomens Werkcollege 10 21 april 2017 6 / 6

Opgave 7

Geef een formule die voor elke n een model heeft met 2n punten (en geen oneven modellen).

Idee: we nemen twee unaire relatiesymbolen R en B zodat voor elk punt ´of Rx geldt ´of Bx . Als er dan een permutatie f bestaat die de kleuren omdraait dan waren blijkbaar evenveel punten rood gekleurd als blauw.

Formeel: Neem S := {R, B, f }. We willen dat voldaan wordt aan ϕ1 =∀x(Rx ∨ Bx)

ϕ₂ = ¬∃x (Rx ∧ Bx )

ϕ₃ = ∀x ((Bx → R(fx )) ∧ (Rx → B(fx ))) ϕ4 = ∀x ∀y (fx ≡ fy → x ≡ y )

dus we nemen de formule ϕ = ϕ1∧ · · · ∧ ϕ₄.

Jolien Oomens Werkcollege 10 21 april 2017 6 / 6