Wiskunde logica Werkcollege 2 Jolien Oomens 17 februari 2017

(1)

Wiskunde logica

Werkcollege 2 Jolien Oomens 17 februari 2017

(2)

Opgave 1

Bewijs met inductie dat ◦ en ◦ ◦ e geen Sgr-termen zijn.

• Allereerst kun je met inductie naar de complexiteit van een term bewijzen dat het aantal symbolen van een term minstens 1 is.

• Daarna kun je met inductie bewijzen dat het symbool ◦ in een term altijd gevolgd wordt door twee termen. Hieruit volgt dat

◦ zelf geen term kan zijn.

• Op precies dezelfde manier kan ◦ ◦ e ook geen term zijn.

(3)

Opgave 1

(4)

Opgave 1

• Daarna kun je met inductie bewijzen dat het symbool ◦ in een term altijd gevolgd wordt door twee termen.

Hieruit volgt dat

(5)

Opgave 1

(6)

Opgave 1

(7)

Opgave 2

Geef een inductieve definitie van de functie die aan een formule de verzameling van strikte deelformules toewijst.

We defini¨eren dit met inductie naar de complexiteit: PSF(t1 ≡ t₂) = ∅

PSF(Rt₁. . . t_n) = ∅

PSF(¬ϕ) = {ϕ} ∪ PSF(ϕ)

PSF(ϕ ∨ ψ) = {ϕ, ψ} ∪ PSF(ϕ) ∪ PSF(ψ) PSF(ϕ ∧ ψ) = {ϕ, ψ} ∪ PSF(ϕ) ∪ PSF(ψ) PSF(ϕ → ψ) = {ϕ, ψ} ∪ PSF(ϕ) ∪ PSF(ψ) PSF(ϕ ↔ ψ) = {ϕ, ψ} ∪ PSF(ϕ) ∪ PSF(ψ)

PSF(∀x ϕ) = {ϕ} ∪ PSF(ϕ) PSF(∃x ϕ) = {ϕ} ∪ PSF(ϕ). Vergelijk dit zelf met Definitie 4.5 uit het boek.

(8)

Opgave 2

We defini¨eren dit met inductie naar de complexiteit:

PSF(t1 ≡ t₂) = ∅ PSF(Rt₁. . . t_n) = ∅

PSF(∀x ϕ) = {ϕ} ∪ PSF(ϕ) PSF(∃x ϕ) = {ϕ} ∪ PSF(ϕ). Vergelijk dit zelf met Definitie 4.5 uit het boek.

(9)

Opgave 2

PSF(t1 ≡ t₂) =

∅

PSF(Rt₁. . . t_n) =

∅

PSF(¬ϕ) =

{ϕ} ∪ PSF(ϕ)

PSF(ϕ ∨ ψ) =

{ϕ, ψ} ∪ PSF(ϕ) ∪ PSF(ψ)

PSF(ϕ ∧ ψ) =

PSF(ϕ → ψ) =

PSF(ϕ ↔ ψ) =

PSF(∀x ϕ) =

{ϕ} ∪ PSF(ϕ)

PSF(∃x ϕ) =

{ϕ} ∪ PSF(ϕ). Vergelijk dit zelf met Definitie 4.5 uit het boek.

(10)

Opgave 2

PSF(t1 ≡ t₂) = ∅ PSF(Rt₁. . . t_n) =

∅

PSF(¬ϕ) =

{ϕ} ∪ PSF(ϕ)

PSF(ϕ ∨ ψ) =

PSF(ϕ ∧ ψ) =

PSF(ϕ → ψ) =

PSF(ϕ ↔ ψ) =

PSF(∀x ϕ) =

{ϕ} ∪ PSF(ϕ)

PSF(∃x ϕ) =

(11)

Opgave 2

PSF(t1 ≡ t₂) = ∅ PSF(Rt₁. . . t_n) = ∅

PSF(¬ϕ) =

{ϕ} ∪ PSF(ϕ)

PSF(ϕ ∨ ψ) =

PSF(ϕ ∧ ψ) =

PSF(ϕ → ψ) =

PSF(ϕ ↔ ψ) =

PSF(∀x ϕ) =

{ϕ} ∪ PSF(ϕ)

PSF(∃x ϕ) =

(12)

Opgave 2

PSF(t1 ≡ t₂) = ∅ PSF(Rt₁. . . t_n) = ∅

PSF(¬ϕ) = {ϕ} ∪ PSF(ϕ) PSF(ϕ ∨ ψ) =

PSF(ϕ ∧ ψ) =

PSF(ϕ → ψ) =

PSF(ϕ ↔ ψ) =

PSF(∀x ϕ) =

{ϕ} ∪ PSF(ϕ)

PSF(∃x ϕ) =

(13)

Opgave 2

PSF(t1 ≡ t₂) = ∅ PSF(Rt₁. . . t_n) = ∅

PSF(ϕ ∨ ψ) = {ϕ, ψ} ∪ PSF(ϕ) ∪ PSF(ψ) PSF(ϕ ∧ ψ) =

PSF(ϕ → ψ) =

PSF(ϕ ↔ ψ) =

PSF(∀x ϕ) =

{ϕ} ∪ PSF(ϕ)

PSF(∃x ϕ) =

(14)

Opgave 2

PSF(t1 ≡ t₂) = ∅ PSF(Rt₁. . . t_n) = ∅

PSF(∀x ϕ) =

{ϕ} ∪ PSF(ϕ)

PSF(∃x ϕ) =

(15)

Opgave 2

PSF(t1 ≡ t₂) = ∅ PSF(Rt₁. . . t_n) = ∅

PSF(∀x ϕ) = {ϕ} ∪ PSF(ϕ) PSF(∃x ϕ) =

(16)

Opgave 2

PSF(t1 ≡ t₂) = ∅ PSF(Rt₁. . . t_n) = ∅

PSF(∀x ϕ) = {ϕ} ∪ PSF(ϕ) PSF(∃x ϕ) = {ϕ} ∪ PSF(ϕ).

Vergelijk dit zelf met Definitie 4.5 uit het boek.

(17)

Opgave 2

PSF(t1 ≡ t₂) = ∅ PSF(Rt₁. . . t_n) = ∅

PSF(∀x ϕ) = {ϕ} ∪ PSF(ϕ) PSF(∃x ϕ) = {ϕ} ∪ PSF(ϕ).

Vergelijk dit zelf met Definitie 4.5 uit het boek.

(18)

Opgave 3

Geef een inductieve definitie van formules in de propositielogica en definieer SF voor deze formules.

Herinner dat formules in de propositielogica bestaan uit propositieletters P, Q, . . . en connectieven ¬, ∨, ∧, →, ↔. Inductief:

• Elke propositieletter is een formule.

• Als ϕ en ψ formules zijn, dan zijn ¬ϕ, ϕ ∨ ψ, ϕ → ψ en ϕ ↔ ψ dat ook.

We defini¨eren nu SF(X ) =

{X }

als X een propositieletter is SF(¬ϕ) =

{¬ϕ} ∪ SF(ϕ)

SF(ϕ ∗ ψ) =

{ϕ ∗ ψ} ∪ SF(ϕ) ∪ SF(ψ)

als ∗ ∈ {∨, ∧, →, ↔}.

(19)

Opgave 3

Herinner dat formules in de propositielogica bestaan uit propositieletters P, Q, . . . en connectieven ¬, ∨, ∧, →, ↔.

Inductief:

{X }

{¬ϕ} ∪ SF(ϕ)

SF(ϕ ∗ ψ) =

{ϕ ∗ ψ} ∪ SF(ϕ) ∪ SF(ψ)

als ∗ ∈ {∨, ∧, →, ↔}.

(20)

Opgave 3

Inductief:

{X }

{¬ϕ} ∪ SF(ϕ)

SF(ϕ ∗ ψ) =

{ϕ ∗ ψ} ∪ SF(ϕ) ∪ SF(ψ)

als ∗ ∈ {∨, ∧, →, ↔}.

(21)

Opgave 3

Inductief:

{X }

{¬ϕ} ∪ SF(ϕ)

SF(ϕ ∗ ψ) =

{ϕ ∗ ψ} ∪ SF(ϕ) ∪ SF(ψ)

als ∗ ∈ {∨, ∧, →, ↔}.

(22)

Opgave 3

Inductief:

{X }

{¬ϕ} ∪ SF(ϕ)

SF(ϕ ∗ ψ) =

{ϕ ∗ ψ} ∪ SF(ϕ) ∪ SF(ψ)

als ∗ ∈ {∨, ∧, →, ↔}.

(23)

Opgave 3

Inductief:

{X }

{¬ϕ} ∪ SF(ϕ)

SF(ϕ ∗ ψ) =

{ϕ ∗ ψ} ∪ SF(ϕ) ∪ SF(ψ)

als ∗ ∈ {∨, ∧, →, ↔}.

(24)

Opgave 3

Inductief:

We defini¨eren nu

SF(X ) = {X } als X een propositieletter is SF(¬ϕ) =

{¬ϕ} ∪ SF(ϕ)

SF(ϕ ∗ ψ) =

{ϕ ∗ ψ} ∪ SF(ϕ) ∪ SF(ψ)

als ∗ ∈ {∨, ∧, →, ↔}.

(25)

Opgave 3

Inductief:

We defini¨eren nu

SF(X ) = {X } als X een propositieletter is SF(¬ϕ) = {¬ϕ} ∪ SF(ϕ)

SF(ϕ ∗ ψ) =

{ϕ ∗ ψ} ∪ SF(ϕ) ∪ SF(ψ)

als ∗ ∈ {∨, ∧, →, ↔}.

(26)

Opgave 3

Inductief:

We defini¨eren nu

SF(X ) = {X } als X een propositieletter is SF(¬ϕ) = {¬ϕ} ∪ SF(ϕ)

SF(ϕ ∗ ψ) = {ϕ ∗ ψ} ∪ SF(ϕ) ∪ SF(ψ) als ∗ ∈ {∨, ∧, →, ↔}.

(27)

Opgave 4

Zij A 6= ∅ eindig en zij S een eindige verzameling van symbolen. Bewijs dat er eindig veel S -structuren zijn met domein A.

Definitie: S -structuur

Een S -structuur is een paar (A, a) met A 6= ∅ en een afbeelding a zodat

(i) Voor elk relatiesymbool R ∈ S van ariteit n is a(R) een relatie op A van ariteit n.

(ii) Voor elk functieymbool f ∈ S van ariteit n is a(f ) een functie op A van ariteit n.

(iii) Voor elke constante c ∈ S geldt a(c) ∈ A. Voor elk van deze drie dingen zijn er maar eindig veel mogelijkheden.

(28)

Opgave 4

(iii) Voor elke constante c ∈ S geldt a(c) ∈ A.

Voor elk van deze drie dingen zijn er maar eindig veel mogelijkheden.

(29)

Opgave 4

(iii) Voor elke constante c ∈ S geldt a(c) ∈ A.

Voor elk van deze drie dingen zijn er maar eindig veel mogelijkheden.

(30)

Opgave 6

Bekijk de calculus Cv. Bewijs dat voor alle variabelen x en alle S -termen t, xt bewijsbaar is dan en slechts dan als x ∈ var(t).

“ =⇒ ”

Met inductie zullen we bewijzen dat voor alle n de volgende uitspraak waar is:

Als xt in n stappen is bewezen dan geldt x ∈ var(t). De uitspraak is zeker waar voor n = 0, want dan is de antecedent onwaar. Stel nu dat de uitspraak geldt voor alle m ≤ n en stel dat xt is bewezen in n + 1 stappen. Er zijn dan twee mogelijke laatste stappen:

(1) Als de eerste regel is gebruikt hebben we xt = xx , dus t = x waardoor x ∈ var(t).

(2) Als de tweede regel is gebruikt dan zijn er f ∈ S en t₁, . . . , t_n zodat xti al bewezen is en ft1. . . tn= t. Uit de inductiehypothese volgt dat x ∈ var(t_i) dus geldt er ook

x ∈ var(t₁) ∪ · · · ∪ var(t_n) = var(ft₁. . . t_n) = var(t).

(31)

Opgave 6

“ =⇒ ” Met inductie zullen we bewijzen dat voor alle n de volgende uitspraak waar is:

Als xt in n stappen is bewezen dan geldt x ∈ var(t).

De uitspraak is zeker waar voor n = 0, want dan is de antecedent onwaar. Stel nu dat de uitspraak geldt voor alle m ≤ n en stel dat xt is bewezen in n + 1 stappen. Er zijn dan twee mogelijke laatste stappen:

(32)

Opgave 6

De uitspraak is zeker waar voor n = 0, want dan is de antecedent onwaar.

Stel nu dat de uitspraak geldt voor alle m ≤ n en stel dat xt is bewezen in n + 1 stappen. Er zijn dan twee mogelijke laatste stappen:

(33)

Opgave 6

De uitspraak is zeker waar voor n = 0, want dan is de antecedent onwaar. Stel nu dat de uitspraak geldt voor alle m ≤ n

en stel dat xt is bewezen in n + 1 stappen. Er zijn dan twee mogelijke laatste stappen:

(34)

Opgave 6

De uitspraak is zeker waar voor n = 0, want dan is de antecedent onwaar. Stel nu dat de uitspraak geldt voor alle m ≤ n en stel dat xt is bewezen in n + 1 stappen.

Er zijn dan twee mogelijke laatste stappen:

(35)

Opgave 6

(36)

Opgave 6

(1) Als de eerste regel is gebruikt hebben we xt = xx ,

dus t = x waardoor x ∈ var(t).

(37)

Opgave 6

(38)

Opgave 6

(2) Als de tweede regel is gebruikt dan zijn er f ∈ S en t₁, . . . , t_n zodat xti al bewezen is en ft1. . . tn= t.

Uit de inductiehypothese volgt dat x ∈ var(t_i) dus geldt er ook

(39)

Opgave 6

(2) Als de tweede regel is gebruikt dan zijn er f ∈ S en t₁, . . . , t_n zodat xti al bewezen is en ft1. . . tn= t. Uit de inductiehypothese volgt dat x ∈ var(t_i)

dus geldt er ook x ∈ var(t₁) ∪ · · · ∪ var(t_n) = var(ft₁. . . t_n) = var(t).

(40)

Opgave 6

(2) Als de tweede regel is gebruikt dan zijn er f ∈ S en t₁, . . . , t_n zodat xti al bewezen is en ft1. . . tn= t. Uit de inductiehypothese volgt dat x ∈ var(t) dus geldt er ook

(41)

Opgave 6

“ ⇐= ”

Met inductie naar de complexiteit van t bewijzen we: Als x ∈ var(t) dan is xt bewijsbaar.

(T1) Als t een variabele is dan geldt var(t) = {t}, dus x ∈ var(t) impliceert x = t. Er geldt dus xt = xx en dit bewijsbaar dankzij de eerste regel.

(T2) Als t een constante is dan geldt var(t) = ∅ dus x 6∈ var(t). (T3) Stel dat t₁, . . . , t_n S -termen zijn en dat f ∈ S met

t = ft1. . . tn. Er geldt

x ∈ var(t) = var(f (t₁. . . t_n)) = var(t₁) ∪ · · · ∪ var(t_n), dus x ∈ var(t_i) voor een zekere 1 ≤ i ≤ n. Volgens de inductiehypothese is xti bewijsbaar. Nu kunnen we xt bewijzen met de tweede regel.

(42)

Opgave 6

“ ⇐= ” Met inductie naar de complexiteit van t bewijzen we:

Als x ∈ var(t) dan is xt bewijsbaar.

x ∈ var(t) = var(f (t₁. . . t_n)) = var(t₁) ∪ · · · ∪ var(t_n), dus x ∈ var(t_i) voor een zekere 1 ≤ i ≤ n. Volgens de inductiehypothese is xti bewijsbaar. Nu kunnen we xt bewijzen met de tweede regel.

(43)

Opgave 6

x ∈ var(t) = var(f (t₁. . . t_n)) = var(t₁) ∪ · · · ∪ var(t_n), dus x ∈ var(ti) voor een zekere 1 ≤ i ≤ n. Volgens de inductiehypothese is xti bewijsbaar. Nu kunnen we xt bewijzen met de tweede regel.

(44)

Opgave 6

(T1) Als t een variabele is dan geldt var(t) = {t},

dus x ∈ var(t) impliceert x = t. Er geldt dus xt = xx en dit bewijsbaar dankzij de eerste regel.

(45)

Opgave 6

(T1) Als t een variabele is dan geldt var(t) = {t}, dus x ∈ var(t) impliceert x = t.

Er geldt dus xt = xx en dit bewijsbaar dankzij de eerste regel.

(46)

Opgave 6

(47)

Opgave 6

(T2) Als t een constante is dan geldt var(t) = ∅

dus x 6∈ var(t). (T3) Stel dat t₁, . . . , t_n S -termen zijn en dat f ∈ S met

(48)

Opgave 6

(T2) Als t een constante is dan geldt var(t) = ∅ dus x 6∈ var(t).

(T3) Stel dat t₁, . . . , t_n S -termen zijn en dat f ∈ S met t = ft1. . . tn. Er geldt

(49)

Opgave 6

(T3) Stel dat t₁, . . . , t_n S -termen zijn en dat f ∈ S met t = ft1. . . tn.

Er geldt

(50)

Opgave 6

x ∈ var(t) = var(f (t₁. . . t_n)) = var(t₁) ∪ · · · ∪ var(t_n),

dus x ∈ var(ti) voor een zekere 1 ≤ i ≤ n. Volgens de inductiehypothese is xti bewijsbaar. Nu kunnen we xt bewijzen met de tweede regel.

(51)

Opgave 6

x ∈ var(t) = var(f (t₁. . . t_n)) = var(t₁) ∪ · · · ∪ var(t_n), dus x ∈ var(ti) voor een zekere 1 ≤ i ≤ n.

Volgens de inductiehypothese is xti bewijsbaar. Nu kunnen we xt bewijzen met de tweede regel.

(52)

Opgave 6

x ∈ var(t) = var(f (t₁. . . t_n)) = var(t₁) ∪ · · · ∪ var(t_n), dus x ∈ var(ti) voor een zekere 1 ≤ i ≤ n. Volgens de inductiehypothese is xt bewijsbaar.

Nu kunnen we xt bewijzen met de tweede regel.

(53)

Opgave 6

(54)

Opgave 6

x ∈ var(t) = var(f (t₁. . . t_n)) = var(t₁) ∪ · · · ∪ var(t_n), dus x ∈ var(ti) voor een zekere 1 ≤ i ≤ n. Volgens de inductiehypothese is xt bewijsbaar. Nu kunnen we xt